Transcript Sumatorias.
SUMATORIAS Donia Alizandra Ruelas Acero [email protected] CONTENIDO Introducción Definición Propiedades Sumatorias Notables Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Conclusiones Bibliografía INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN Érase una vez un niño alemán llamado Carl F. Gauss. Cuando tenía diez años, su profesor de la escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban mal, le puso un problema matemático al pequeño Carl y a sus compañeros. Los niños debían sumar todos los números del 1 al 100, es decir: 1+2+3+4+5+…+98+99+100 El profesor se sentó en su silla a leer el periódico, confiaba en que tendría horas hasta que los niños sumaran todos los números. Sin embargo, el pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir hacia el profesor y darle el resultado: 5050. ¿Cómo lo había hecho? Gauss tenía que sumar lo siguiente: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir: 1 +100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 4 + 97 = 101 5 + 96 = 101 ... 46 + 55 = 101 47 + 54 = 101 48 + 53 = 101 49 + 52 = 101 50 + 51 = 101 50 veces 101, es decir 50x101= 5050 De donde se deduce la fórmula de la sumatoria de los n primeros números. 𝑛 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝑛+1 2 Conociendo esta fórmula podremos resolver el problema planteado a Gauss, que fue de sumar los 100 primero números. 100 𝑖=1 100 100 100 + 1 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = 2 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = 50(101) 𝑖=1 100 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = 5050 𝑖=1 DEFINICIÓN DEFINICIÓN La sumatoria es la operación de la adición de una secuencia de números, el resultado es la suma total. NOTACIÓN Índice superior 𝑛 𝒕𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 +…+𝒕𝒏 = 𝑡𝑖 Término general 𝑖=𝑎 sigma Índice inferior PROPIEDADES P1. El número de sumandos y de términos de una sumatoria es igual al índice superior menos el índice inferior mas la unidad. 𝑛 𝑡𝑖= 𝒏−𝒂 +𝟏=𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝑖=𝑎 Ejemplo: Hallar el número de términos de la siguiente expresión: 45 𝑖= 𝑖=5 45−5 +1=41 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del número de sumandos por la constante. 𝑛 𝐶 = [ 𝑛 − 𝑎 + 1]. 𝐶 𝑖=𝑎 Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión: 45 4= 𝑖=5 45 − 5 + 1 . 4 = 164 P3. La sumatoria en el que el término general es una suma algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias independientes. 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑘𝑖 2 + 𝑘 ´ 𝑖) = 𝑖=𝑎 𝑘𝑖 2 + 𝑖=𝑎 𝑘 ´𝑖 𝑖=𝑎 Donde: k y k´ son constantes. Ejemplo: 𝑛 𝑛 (2𝑖 2 + 3𝑖) = 𝑖=𝑎 𝑛 2𝑖 2 + 𝑖=𝑎 3𝑖 𝑖=𝑎 P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede descomponerse de ésta manera: 𝑛 𝑛 𝑡𝑖 = 𝑖=𝑎 𝑎−1 𝑡𝑖 − 𝑖=1 𝑡𝑖 𝑖=1 Donde: a ≠ 𝟏 Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión: 11 11 𝑖= 𝑖=5 4 𝑖− 𝑖=1 𝑖 𝑖=1 SUMATORIAS NOTABLES Los n primeros números naturales 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛+1 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛 = 2 Los n primeros números pares naturales 𝑛 2𝑖 = 2+ 4 + 6 + 8 + ⋯ + 𝟐𝒏 = 𝑛 𝑛 + 1 𝑖=1 Demostración: 𝑛 2𝑖 = 2+ 4 + 6 + 8 + ⋯ + 𝟐𝒏 𝑖=1 𝑛 2𝑖 = 2(1+ 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝒏) Factorización 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 n(n+1) 2𝑖 = 2 [ ] 2 2𝑖 = 𝑛 𝑛 + 1 𝑖=1 SN primeros N lqqd Los n primeros números impares naturales. 𝑛 (2𝑖 − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 𝑖=1 Demostración: 𝑛 𝑛 2𝑖 − 1 = 𝑖=1 𝑛 𝑛 2𝑖 − 𝑖=1 1 P3: 𝑖=1 2𝑖 − 1 = [𝑛 𝑛 + 1 − 𝑛 − 1 + 1 1] SN #pares y P2: 2𝑖 − 1 = [𝑛 𝑛 + 1 − 𝑛 − 1 + 1 1] simplificación 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑖=1 2𝑖 − 1 = [𝑛2 + 𝑛 − 𝑛 ] 𝑖=1 𝑛 2𝑖 − 1 = 𝑛2 𝑖=1 lqqd Los n primeros números cuadrados perfectos 𝑛 𝑖 2 = 12 +22 +32 +42 + ⋯ + 𝑛2 = 𝑖=1 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1) 6 Los n primeros números cubos perfectos. 𝑛 𝑖3 𝑖=1 = 13 +23 +33 +43 + ⋯ + 𝑛3 𝑛 𝑛+1 2 =[ ] 2 Los n primeros números cuartos perfectos. 𝑛 𝑖=1 2 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)(3𝑛 + 3𝑛 − 1) 𝑖 4 = 14 +24 +34 +44 + ⋯ + 𝑛4 = 30 Los n primeras potencias. 𝑛 𝑖=1 𝑛+1 − 𝑎 𝑎 𝑎𝑖 = 𝑎1 +𝑎2 +𝑎3 +𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑎−1 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Escriba con notación ∑ a) 3+9+27+81+…(10 términos) Resolución: 3+9+27+81+…(10 términos) 𝒕𝟏 =3 𝒕𝟐 =9 =𝟑𝟐 𝒕𝟑 =27=𝟑𝟑 𝒕𝟒 =81=𝟑𝟒 … 10 3𝑖 3+9+27+81+…(10 términos) = 𝑖=1 b) 2+6+10+14+18…(10 términos) Resolución: 2+6+10+14+18…(10 términos) 𝒕𝟏 =2 𝒕𝟐 = 6 = 2(3) 𝒕𝟑 = 10 = 2(5) 𝒕𝟒 = 14 = 2(7) … 10 2+6+10+14+18…(10 términos) = 2(2𝑛 − 1) 𝑖=1 30 (3𝑥 + 2) 2. Hallar 𝑥=1 Resolución: 30 30 3𝑥 + 2 = 3𝑥 + 𝑥=1 𝑥=1 30 30 3𝑥 + 2 = 3 𝑥=1 30 30 𝑥+ 30 3𝑥 + 2 = 3( 2 :propiedad 2 𝑥=1 30 30 + 1 ) + [ 30 − 1 + 1]. 2 2 3𝑥 + 2 = 3(465) + 60 𝑥=1 30 3𝑥 + 2 = 1455 𝑥=1 :propiedad 3 𝑥=1 𝑥=1 𝑥=1 30 2 :S.N y :propiedad 2 3. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 +… + 8232 Resolución: 𝑃 = 3 + 24 + 81 + 192 + … + 8232 𝑃 = 3(1 + 8 + 27 + 64 + … + 2744) :factorizando 𝑃 = 3(13 + 23 + 33 + 43 + … + 143 ) 14 𝑥3 𝑃=3 :S.N. cubos 𝑥=1 𝑃 =3 14(14+1) 2 2 𝑃 = 3 7(15) 𝑃 =33075 2 𝑛 4. Hallar n: 2𝑥 = 342 𝑥=1 Resolución: 𝑛 2𝑥 = 342 :S.N. números pares 𝑥=1 𝑛(𝑛 + 1) = 342 𝑛2 + 𝑛 − 342 = 0 (n-18)(n+19)= 0 n-18= 0 n= 18 :Ec. De 2 grado 5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 15 términos Resolución: S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 15 términos 15 (𝑖 2 +3) 𝑆= :Propiedad 3 𝑖=1 15 15 𝑖2 + 𝑆= 𝑖=1 𝑆= 3 𝑖=1 15(15+1)(2(15)+1) +(15-1+1)3 6 𝑆 = 1240+45 𝑆 = 1285 :S.N. y Propiedad 2 𝐸= 6. Calcular E: 0,01 + 0,03 + 0,05 + … + 19,99 Resolución: 𝐸= 0,01 + 0,03 + 0,05 + … + 19,99 𝐸= 1 10 𝐸= 1 3 5 1999 + + + ⋯+ 100 100 100 100 1 + 3 + 5 + ⋯ + 1999 1 𝐸=10 10002 E= 100 :Decimal a fracción :Factorizando 2n-1= 1999 2n = 2000 n = 1000 𝑴𝑨𝑹=1+2+3+…+ 43 Encontrar el valor de: 1 +2 +3 +…+ 𝑹𝑴 7. Se tiene: Resolución: A:Encontremos el valor de 𝑅𝑀 𝑀𝐴𝑅=1+2+3+…+ 43 43(43+1) 2 𝑀𝐴𝑅= B: Hallando 1 +2 +3 +…+ 𝑹𝑴 1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 n=69 𝑀𝐴𝑅=946 Aplicando S.N Por Tanto: M =9 A=4 R=6 1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 =69(70)/2 1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 = 𝟏𝟒𝟏𝟓 8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7 pasajeros, y en cada estación suben 2 pasajeros más de lo que subieron en la estación anterior. Si al llegar a su paradero final se contaron con 520 pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el ómnibus a recoger pasajeros? Resolución: Inicio: 7 1° 2° 3° 9 11 13 … n° __ Final 520 Total de pasajeros: 7 +9+11+13+…+n=520 𝑛 2𝑖 − 1 = 520 𝑛 𝑖=4 3 2𝑖 − 1 − 𝑖=1 2𝑖 − 1 = 520 𝑖=1 𝑛2 − 32 = 520 𝑛= 23 𝑷𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒊𝒂 𝟕 𝒑𝒂𝒔𝒂𝒋𝒆𝒓𝒐𝒔, 𝒆𝒍 𝒐𝒎𝒏𝒊𝒃𝒖𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝟐𝟎 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 9. Un obrero ha ahorrado este mes $ 178 y tiene con esto $ 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes $12 más que el mes anterior.¿ Cuánto ahorro el primer mes? Resolución: 1° 2° 3° … n° Mes Mes Mes 1° Mes actual pasado antepasado de ahorro 178 + 166 + 154 + … +(190-12n) 𝑛 190 − 12𝑖 = 1410 𝑖=1 𝑛 190 − 12 190𝑛 − 12 190𝑛 −6𝑛2 − 6𝑛 = 1410 6𝑛2 − 184𝑛 + 1410 = 0 𝑛 𝑖=1 = 1410 𝑖 = 1410 𝑖=1 𝑛(𝑛+1) = 2 1410 3𝑛2 − 92n + 705 = 0 (3n- 8)(n-15) = 0 𝑛= 15 𝑬𝒍 𝟏° 𝒎𝒆𝒔 𝒂𝒉𝒐𝒓𝒓𝒐: 𝟏𝟗𝟎 − 𝟏𝟐 𝟏𝟓 = 𝟏𝟎 10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe S/. 12285 ¿Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado? Resolución: 1° 2° Fósil Fósil x + 2x + 3° 4° 5° 6° 7° 8° …. 12° Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil 4x + 8x + 16x + 32 x + 64 x + 128x +…+ = 12285 x( 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 ) = 12285 11 2𝑖 = 12285 𝑥+ 𝑥 𝑖=1 212 −2 x+𝑥[ 2−1 ]= 12285 4095𝑥 = 12285 𝑥=3 Por 𝐞𝐥 𝟖° 𝒇ó𝒔𝒊𝒍 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓𝒐𝒏: 𝟏𝟐𝟖 𝟑 = 𝟑𝟖𝟒 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Escriba con notación ∑ a) 11+13+15+17+…(7 términos) b) 4+9+16+25+36…(10 términos) 30 (7𝑥 + 2𝑥 + 6) 2. Hallar 𝑥=1 Resolución: 3. Calcular P , si P = 7 +10 + 14 + 19 +… + 78 Resolución: 𝑛 4. Hallar n: 3𝑥 = 741 𝑥=1 Resolución: 5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 30 términos Resolución: 6. Calcular G: Resolución: 𝐺= 0,02 + 0,04 + 0,06 + … + 22,22 𝑬𝑻𝑪=1+3+5+…+ 43 Encontrar el valor de: 1 +3 +5 +…+ 𝑻𝑬 7. Se tiene: Resolución: CONCLUSIONES La definición de sumatoria ayuda en el entendimiento base en problemas de sumatorias. Las propiedades de las sumatorias facilitan en la resolución de problemas. Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas que nos permiten resolver problemas. BIBLIOGRAFÍA Ministerio de educación.(2007).Matemática primer grado de educación secundaria. Editorial Bruño. Lima-Perú. Razonamiento Matemático.(2009). Razonamiento Matemático. Editorial Lumbrras. Lima – Perú Recursos tic para la educación. (2010). Recursos. Recuperado 1 de Setiembre, 2011. de http://recursostic.educacion.es/ GRACIAS “Ir más allá de uno mismo y dominar el mundo”