Transcript Document 6149072

Logica voor Informatica
Mehdi Dastani
Relaties en Functies
Geordende paren,
productverzameling, relatie

(a, b) is a geordend paar.
(a, b) = (c, d) ⇔ a=c en b=d

Productverzameling (Cartesisch
product) van A en B:
A × B = {(a, b) | a ∈ A en b ∈ B}

(Binaire) relatie R van A naar B
R⊆A×B
Notatie: R(a, b) of aRb voor (a, b) ∈ R
Relatie

Relatie R over verzamelingen A en B
a
A
R
b
B
Universele, lege, gelijkheidsrelatie, inverse relatie




Gegeven verzamelingen A en B, A×B is
de universele relatie over A en B
Ø ⊆ A × A is de lege relatie voor verz. A
=A = {(a, a) | a ∈ A} is de
gelijkheidsrelatie op A
Gegeven een relatie R van A naar B,
de inverse relatie R-1 gedefinieerd als
R-1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}
Inverse relatie
a
A
R-1
b
B
Compositie van relaties

Zij R ⊆ A × B en S ⊆ B × C. De
compositie R ° S van R en S is
gedefinieerd als:
R ° S = {(a, c) | ∃b ∈ B : (a, b) ∈ R en (b, c) ∈ S}
R ° S = {(a, c) | ∃b ∈ B : aRb en
bSc }
Compositie van relaties
R
A
S
B
R ° S = {(a, c) | ∃b ∈ B : aRb en
C
bSc }
Compositie van relaties
R°S
A
B
R ° S = {(a, c) | ∃b ∈ B : aRb en
C
bSc }
Reflexieve relatie
A
∀a ∈ A : aRa
(e.g., ≤)
Symmetrische relatie
A
∀a, b ∈ A : aRb ⇒ bRa
(e.g., =)
Asymmetrische relatie
A
∀a, b ∈ A : aRb ⇒ Niet bRa
(e.g., <)
Antisymmetrische relatie
A
∀a, b ∈ A : aRb en bRa ⇒ a = b
(e.g., ≤)
Transitieve relatie
A
∀a, b, c ∈ A : aRb en bRc ⇒ aRc
(e.g., ≤)
Stelling
Zij R een relatie over A

R reflexief
⇔
=A ⊆ R

R symmetrisch
⇔
R-1 ⊆ R

R transitief
⇔
R°R⊆R
Equivalentierelatie

Een relatie R over een verz. A is een
equivalentierelatie als:



R is reflexief,
R is symmetrisch, en
R is transitief

Notatie: vaak ~ of ≡

Voorbeeld: gelijkheid =A op will. verz. A
Equivalentieklassen en
Quotiëntverzameling

Zij R een equivalentierelatie op A
De equivalentieklasse van a ∈ A onder R
[a]R = { x∈A | (a,x)∈R }
De quotiëntverzameling van A onder R
A / R = { [a]R | a∈A }

Stelling: A / R is een partitie van A
Equivalentieklassen en
quotiëntverzameling
A
a
[a]R
[a]R ∈ A/R
Partiële ordening

Een relatie R op verz. A is een partiële
ordening op A als:



R is reflexief,
R is antisymmetrisch, en
R is transitief

Notatie: vaak ≤

Voorbeeld: deelverzamelingsrelatie ⊆
n-aire relaties
n-aire relatie R op A is een verzameling
n-tuples (a1, …, an)
R ⊆ A×…×A
n
= An
Functies


Een functie (afbeelding) van A naar B
f: A → B
Een functie f is een relatie F van A naar B
met de eigenschap dat, voor elke a ∈ A
∃b∈B : (a, b)∈F
&
∀ b,b’∈B : (a,b)∈F en (a,b’)∈F


⇒
b = b’
N.B. f(a) verwijst naar uniek element in B
Notatie: f(a) = b voor (a, b) ∈ F
Functie
f
a
A
b
b’
B
Een functie f is een relatie F van A naar B met de eigenschap
dat, voor elke a ∈ A
∃b∈B : (a, b)∈F
&
∀ b,b’∈B : (a,b)∈F en (a,b’)∈F ⇒ b = b’
Functie
a
A
f
b
B
Een functie f is een relatie F van A naar B met de eigenschap
dat, voor elke a ∈ A
∃b∈B : (a, b)∈F
&
∀ b,b’∈B : (a,b)∈F en (a,b’)∈F ⇒ b = b’
Functie
f
A
ok
B
Een functie f is een relatie F van A naar B met de eigenschap
dat, voor elke a ∈ A
∃b∈B : (a, b)∈F
&
∀ b,b’∈B : (a,b)∈F en (a,b’)∈F ⇒ b = b’
Functie
a
A
f
ok
b
B
Een functie f is een relatie F van A naar B met de eigenschap
dat, voor elke a ∈ A
∃b∈B : (a, b)∈F
&
∀ b,b’∈B : (a,b)∈F en (a,b’)∈F ⇒ b = b’
Identiteitsfunctie en
functiecompositie

Gegeven een verz. A
Identiteitsfunctie
1A : A → A
1A(a) = a voor elke a ∈ A

Gegeven f : A → B en g : B → C
Compositie g ° f is de functie die hoort
bij de relatie F ° G.
∀a ∈ A: (g ° f)(a) = g(f(a))
(Let op volgorde!)
Speciale typen functies

Functie f: A → B is injectief (of ‘1-1’) als
∀a, a’∈ A : f(a) = f(a’) ⇒ a = a’

Functie f: A → B is surjectief als
∀b∈B ∃a∈A: f(a) = b

Functie f: A → B is bijectief
(‘1-1-correspondence’) als
f is injectief en surjectief is
Niet-injectieve, Wel-surjectieve
functie
f
B
A
Injectief:
∀a, a’∈ A : f(a) = f(a’) ⇒ a = a’
Surjectief:
∀b∈B ∃a∈A: f(a) = b
Wel-injectieve, Niet-surjectieve
functie
f
B
A
Injectief:
∀a, a’∈ A : f(a) = f(a’) ⇒ a = a’
Surjectief:
∀b∈B ∃a∈A: f(a) = b
Bijectieve functie
f
A
Bijectief = Injectief + Surjectief
B
Inverteerbare functies


Gegeven functie f: A → B (en
geassocieerde relatie F ⊆ A × B)
Functie f is inverteerbaar als de
-1
inverse relatie F van de relatie F weer
een functie is

Stelling: f is inverteerbaar ⇔ f is bijectief

Notatie: inverse functie f : B → A
-1
Functie
a
A
f
b
B
Inverse functie
a
A
f -1
b
B
Geen inverse functie
f
A
B
Geen inverse functie
f -1
A
B
Geen inverse functie
a
A
f
b
B
Geen inverse functie
a
A
f -1
b
B
Eigenschappen inverse
functie

Zij f: A → B bijectief (inverteerbaar)
Dan geldt voor f : B → A:
-1
f
-1
°
f = 1A
-1
f ° f = 1B
-1
d.w.z. f (f(a)) = a
-1
d.w.z. f(f (b)) = b
Partiële functie

f : A → B is een partiële functie

f ⊆ A × B is een relatie

er bestaat een niet-lege verz. A’ ⊆ A

f : A’ → B is een functie