Transcript 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2013

1
Vlaamse Wiskunde Olympiade 2013-2014: de eerste ronde
1. Siham begint met de veelterm 20x + 14 en telt er een aantal keer eenzelfde veelterm
bij op.
20x + 14
17x + 15
14x + 16
11x + 17
?
Welke veelterm schrijft ze in het vijfde vakje?
(A) 8x + 18
(D) 8x + 16
(B) 14x + 16
(E) 14x + 18
(C) 19x − 72
2. Onderstaande sterren zijn gelijkzijdig. Welke ster heeft de grootste omtrek?
6c
5 cm
m
(A)
(B)
4 cm
3 cm
(C)
(D)
2 cm
(E)
3. Als (x, −3) tot het vierde kwadrant behoort en (−2, y ) tot het tweede kwadrant, dan
behoort (x, y ) tot
(A) het eerste kwadrant
(C) het derde kwadrant
(B) het tweede kwadrant
(D) het vierde kwadrant
(E) één van de assen
4. Als α geen geheel veelvoud is van 180◦ , dan is
(A) −1
(B) −
1
2
(C) 0
c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw 2014
1
sin(360◦ − α)
gelijk aan
sin(α − 360◦ )
(D)
1
2
(E) 1
5. Wim heeft een eigenaardige manier om breuken te vermenigvuldigen. Op zijn blad
staan de volgende bewerkingen:
1 8
18
· =
4 5
45
1 5
15
· =
2 4
24
1 4
14
· =
6 3
63
4 9
49
· =
9 8
98
6 5
65
· =
2 6
26
Hoeveel van deze bewerkingen zijn correct?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
6. Een hotel heeft k kamers. Een derde van de kamers zijn eenpersoonskamers. De andere
kamers zijn tweepersoonskamers. Hoeveel mensen kunnen er in dit hotel slapen?
(A)
6k
5
(B)
5k
4
4k
3
(C)
(D)
3k
2
(E)
5k
3
7. Op een pad met 100 tegels staat er op elke tegel een getal zoals in de onderstaande
figuur.
2
3
5
7
11
2
3
5
7
11
...
Jo vertrekt op een van de eerste vijf tegels en gaat vervolgens steeds het aantal tegels
vooruit dat op haar tegel aangegeven staat. Op hoeveel verschillende getallen kan Jo
maximaal gestaan hebben?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
8. Volgens een oude Japanse volkswijsheid huwt een man best met een vrouw die precies 7
jaar ouder is dan de helft van zijn leeftijd. Kentaro is 28 jaar en heeft, rekening houdend
met deze wijsheid, besloten pas over 6 jaar te trouwen met zijn geliefde Namika. Hoe
oud is Namika nu?
(A) 17 jaar
(D) 22 jaar
(B) 18 jaar
(E) 24 jaar
(C) 21 jaar
9. Als het gemiddelde van twee reële getallen gelijk is aan hun verschil, dan verhouden
deze getallen zich als
(A) 3 : 2
10. Als x ? y = 2 −
(A)
1
8
(B) 2 : 1
(D) 3 : 1
(E) 7 : 2
x
, dan is (1 ? 2) ? (3 ? 4) gelijk aan
y
(B)
1
4
11. Voor welke waarde van n is
(A) 2
(C) 5 : 2
(B) 3
4
5
(C)
√
n
2·
√
2n
2=
(D)
6
5
(E)
15
8
√
2?
(C) 4
(D) 5
(E) 6
12. Een dominospel bevat 28 rechthoekige stenen. De bovenkant van elke steen heeft twee
delen en op allebei de delen staan, al dan niet verschillend, 0, 1, 2, 3, 4, 5 of 6 stippen.
Hoeveel van die stenen hebben een totaal aantal stippen dat oneven is?
(A) 12
(B) 13
(C) 14
2
(D) 15
(E) 16
13. Zes tandwielen met assen A, B, C en D zijn met elkaar verbonden zoals op de figuur.
A
•
B
•
C
•
D
•
De drie grote tandwielen hebben omtrek 10 cm, de drie kleine tandwielen hebben
omtrek 5 cm. Over hoeveel graden draait het tandwiel met as D als het tandwiel met
as A draait over 10◦ ?
(A) 10◦
(B) 20◦
(C) 30◦
(D) 40◦
(E) 80◦
14. Marie gooit één keer met vier dobbelstenen. Hoe groot is de kans dat het aantal ogen
op alle dobbelstenen verschillend is?
(A)
1
360
(B)
1
90
5
18
(C)
(D)
5
36
(E)
1
24
15. Als aan 8 liter droog zand 6 liter water wordt toegevoegd, dan is het totale volume
10 liter. Dit is te verklaren doordat een deel van het toegevoegde water alle ruimte
tussen de zandkorrels opvult. Wat is het totale volume als aan 6 liter droog zand van
diezelfde soort 5 liter water wordt toegevoegd?
(A) 6 liter
(D) 7,5 liter
(B) 6,5 liter
(E) 8 liter
(C) 7 liter
16. Een rechthoek is verdeeld in vijf rechthoekjes zoals in de figuur. Van elk rechthoekje is
de omtrek gegeven.
17
9
14
13
17
Wat is de omtrek van de grote rechthoek?
(A) 28
(B) 35
(C) 42
(D) 56
(E) 70
17. Gegeven is een scherphoekige driehoek ABC met Ab = 40◦ . Het punt H is het snijpunt
[ gelijk aan
van de drie hoogtelijnen. Dan is BHC
(A) 100◦
(B) 110◦
(C) 120◦
(D) 130◦
(E) 140◦
18. Van de positieve getallen p, r , o, d, u, c en t weten we dat
p · r = 12
o · d = 15
d · u = 20
c · t = 22
o · u = 27.
Dan is het product p · r · o · d · u · c · t gelijk aan
(A) 23760
(B) 32400
(C) 42768
3
(D) 48600
(E) 53460
19. In de rechthoekige driehoek in de figuur is sin B̂ · tan B̂
gelijk aan
B
a
c
A
(A)
a b
−
b c
(B)
a c
−
b b
a b
−
b a
(C)
(D)
a c
−
c
a
b
(E)
C
a b
−
c
a
20. Op een houten tafel staat een kubus met ribbe 6 die uit 63 identieke kubusjes met ribbe
1 bestaat. Hoeveel van deze kleine kubusjes zijn zichtbaar?
(A) 132
(B) 136
(C) 140
(D) 156
(E) 180
21. Welke van onderstaande vergelijkingen in de onbekende t heeft precies één reële oplossing?
√
√
√
√
√
√
(A) 1 = √t + √1 − t
(B) 2 = √ t + √ 2 − t
(C) 3 = t + 3 − t
(D) 4 = t + 4 − t
(E) 5 = t + 5 − t
22. Over vier reële getallen hebben we de volgende informatie.
• Het kleinste getal is 7.
• De mediaan is minstens 11.
• Het gemiddelde is hoogstens 10.
Het grootste van deze vier getallen is
(A) 11
(D) 14
(B) 12
(C) 13
(E) niet eenduidig te bepalen
23. In de regelmatige twintighoek GHIJ . . . XY Z staan de namen van de hoekpunten in
\
alfabetische volgorde. Dan is JW
O + V\
W O gelijk aan
(A) 108◦
(B) 117◦
(C) 144◦
(D) 216◦
(E) 234◦
24. Als a − b = 3 en a3 − b3 = 9, dan is (a + b)2 gelijk aan
(A) 1
25. Het getal √
(B) 3
2
√
2
2+
√
2 2
(C) 4
√
+√
21−
2
√
2 + 21−
2
is
(A) rationaal en strikt kleiner dan 1
(B) rationaal en strikt groter dan 1
(C) irrationaal en strikt kleiner dan 1
(D) irrationaal en strikt groter dan 1
(E) gelijk aan 1
4
(D) 9
(E) 36
26. Hoeveel verschillende meetkundige rijen van drie reële getallen bestaan er met de eigenschap dat 1 tot de rij behoort en dat het rekenkundig gemiddelde van de termen
gelijk is aan 1?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 5
(E) 6
27. In de figuur zijn twaalf roosterpunten getekend. Hoeveel nietcongruente rechthoekige driehoeken kan je tekenen waarvan de
hoekpunten drie roosterpunten zijn?
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
28. In deze veelhoek zijn alle zijden gelijk aan 1 en
is α = 120◦ en β = 60◦ . De overige hoeken
zijn, hetzij als binnenhoek, hetzij als buitenhoek
gelijk aan 150◦ . Wat is de oppervlakte van deze
veelhoek?
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(E) 10
α
β
β
α
(A) 8
(B) 4 +
√
(D) 5 3
(E) 9
√
(C) 5 + 2 3
5√
3
2
29. De driehoek ABC is rechthoekig in A met |AB| = 3 en |AC| = 4. Het punt P ligt
binnen ∆ABC, op afstand d van [AB], op afstand 2d van [AC] en op afstand 3d van
[BC]. Wat is de waarde van d?
(A)
12
22
(B)
12
23
12
24
(C)
(D)
12
25
(E)
12
26
30. Op de vrijdagmarkt heeft Mariëtte drie zakken fruit gekocht: één zak met tien appelen,
één zak met tien peren en één zak met vijf appelen en vijf peren. Marktkramer Eddy
heeft op elke zak een verschillend etiket geplakt: “appelen”, “peren” en “gemengd”.
Hij heeft de etiketten per ongeluk verwisseld waardoor op elke zak een verkeerd etiket
plakt en Mariëtte weet dat. Hoeveel vruchten moet Mariëtte minimaal uit een of
meerdere zakken halen om met zekerheid te weten te komen wat in elk van de zakken
zit?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
5
(D) 6
(E) 12