Transcript VDD eindtoets 28jan2014 - faculteit Technische Natuurkunde

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Technische Natuurkunde
Eindtoets Variabelen, Dimensies en Dynamica (3AKX1)
dinsdag 28 januari 2014, 14.00-17.00 uur.
De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
opgeschreven te worden. Motiveer al uw antwoorden!
Het gebruik van boeken, aantekeningen en andere hulpmiddelen is niet toegestaan.
Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is
aangegeven.
Opgave 1 [5 ptn]
Beantwoord de volgende vragen met “ja” of “nee” en geef daarbij een korte argumentatie.
(a) Een dynamisch systeem wordt beschreven door
dx
= α(x + 1)3 + βt2 − 1,
dt
(1)
met α en β constanten. Is het waar dat de faseruimte van dit systeem
´e´en-dimensionaal is?
[1 ptn]
(b) Beschouw nogmaals het dynamisch systeem (1). Is het waar dat de gelineariseerde versie van dit systeem voor kleine x wordt gegeven door
dx
= 3αx + 2βt?
dt
[1 ptn]
(c) Beschouw een variant van het Lotka-Volterra-populatiemodel, waarbij een
van de soorten (y) met een harmonische ”bron”geforceerd wordt:
x˙ = ax − cxy,
y˙ = −by + cxy + A [1 − cos(Ωt)] ,
met a, b en c constanten, A en Ω de forcerings-amplitude en -frequentie. Is
het waar dat dit systeem chaotisch gedrag kan vertonen?
[1 ptn]
(d) De verplaatsing x (dimensie [m]) van een massa als functie van de tijd t
(dimensie [s]) wordt bepaald door de volgende evolutievergelijking:
(x)
dx
d2 x
+
α
+
g
sin
= 0.
dt2
dt
L
1
Is het waar dat een dimensieloze vorm van deze vergelijking wordt gegeven
door
x
d2 x˜ d˜
+
+ S sin(˜
x) = 0,
2
dt˜
dt˜
met S = α2 L/g?
[1 ptn]
(e) Een dynamisch systeem wordt beschreven door de twee grootheden x(t) en
y(t), welke zijn gegeven door:
x(t) = (1 + e−t ) sin(t),
y(t) = (1 − e−t ) cos(t).
Is het waar dat dit systeem evolueert naar een limit cycle?
[1 ptn]
Opgave 2 [6 pt])
Beschouw een cilindrisch waterreservoir met doorsnede-oppervlak A0 . Via een
toevoerbuis aan de bovenzijde stroomt water naar binnen (volumeflux ϕ1 (t)),
terwijl via een afvoerbuis aan de onderzijde water uit het reservoir wegstroomt
(volumeflux ϕ2 (t)), zie figuur 1.
Figuur 1: Tekening bij Opgave 2
(a) Stel de evolutievergelijking op die de verandering van de waterhoogte h(t)
in het reservoir relateert aan de in- en uitgaande volumefluxen.
[1 ptn]
Er is gegeven dat de ingaande volumeflux constant is: ϕ1 (t) = ϕ¯1 = constant,
√
terwijl de uitgaande volumeflux afhangt van de waterdiepte: ϕ2 (t) = α h(t),
met α een positieve constante.
[1 ptn]
(b) Bepaal de dimensie van de constante α.
Na enige tijd stelt zich een evenwicht in, waarbij het waterniveau niet meer ver¯
andert in de tijd: h(t) = constant = h.
¯
[1 ptn]
(c) Bepaal deze waterdiepte h.
2
De in- en uitstroomcondities worden nu gewijzigd: de ingaande volumeflux wordt
constant gehouden (ϕ1 (t) = ϕ¯1 = constant) terwijl de uitgaande volumeflux in
de tijd verandert:
ϕ2 (t) = ϕ¯2 sin(ωt),
met ϕ¯2 en ω positieve constanten.
(d) Bepaal de oplossing voor h(t). Geef deze oplossing grafisch weer voor de
gevallen (i) ϕ¯1 = ϕ¯2 en (ii) ϕ¯1 > ϕ¯2 .
[3 ptn]
Opgave 3 [6 pt])
De evolutie van een populatie x(t) wordt beschreven door
dx
= βx − αx,
dt
(2)
waarbij α en β factoren zijn die sterfte (= afname) en geboorten (= toename)
beschrijven. Als α en β constanten zijn, schrijven we r = β − α (= constant).
(a) Geef de algemene oplossing van (2).
[1 ptn]
(b) Indien r > 0 neemt de populatie x(t) toe in de tijd. Geef een uitdrukking
voor de tijd T waarin de populatie verdubbelt.
[2 ptn]
We bekijken nu de situatie dat de sterfte toeneemt met de omvang van de populatie (bijvoorbeeld door te weinig voedsel), waarbij α in (2) wordt vervangen
door α + γx(t), met α en γ positieve constanten. Vergelijking (2) wordt daarmee:
dx
= βx − (α + γx)x.
dt
(3)
(c) Laat zien dat er voor r > 0 twee stationaire toestanden bestaan: een triviale
en een niet-triviale.
[1 ptn]
(d) Schets het gedrag van de oplossing x(t) van (3).
[2 ptn]
Opgave 4 [3 ptn]
Beschouw het volgende twee-dimensionale systeem:
x˙ = y,
y˙ = x2 − 1.
[1 ptn]
(a) Bepaal de stationaire punten van dit systeem.
(b) Onderzoek de aard (elliptisch of hyperbolisch) van deze stationaire punten.
[2 ptn]
3
Opgave 5 [4 ptn]
We beschouwen een systeem dat bifurcatiegedrag kan vertonen.
(a) Wat is een bifurcatie? Geef ook een voorbeeld.
(b) Wat is hysterese? Geef een voorbeeld.
[2 ptn]
[2 ptn]
Opgave 6 [4 ptn]
De evolutie van een dynamisch systeem wordt beschreven door de functies x(t)
en y(t), welke zijn gegeven door:
x(t) = sin(t),
y(t) = cos(t) + F (t).
Hierin is F (t) = sin(Ωt) de bronterm met Ω de bronfrequentie.
(a) Karakteriseer het gedrag van dit systeem door middel van Poincar´e-secties
voor Ω = 2 en voor Ω = 3.
[2 ptn]
√
(b) Hoe zien de Poincar´e-secties eruit voor Ω = 5/3 en voor Ω = 5 ? [2 ptn]
Opgave 7 [2 pt]
Vanaf een tijdstip t = 0 voert een plaat een heen-en-weergaande beweging uit in
zijn eigen vlak met een frequentie ω. De plaat bevindt zich onder een vloeistof
waarvan de stroperigheid wordt bepaald door de viscositeit ν, welke een dimensie
[m2 s−1 ] heeft. De vloeistoflaag heeft een diepte H. De tijd die verstrijkt voordat
men aan het vrije oppervlak (op hoogte H) iets merkt van de oscillerende plaat
wordt aangeduid met de tijdschaal T . Leid met behulp van een dimensieanalyse
het verband af tussen deze tijdschaal T en de andere relevante variabelen.
4