Transcript Extra Oefening Hs6 Differentiaalvergelijkingen Oplossen

Extra oefening bij hoofdstuk 6
y=
3400
.
1 + C ⋅ e−24 t
Verder geldt y(0) = 25, dus
De oplossing is dus y =
b
3400 = 25, 1 + C = 136 en C = 135.
1 + C ⋅1
3400
1 + 135e−24 t
Je schrijft de differentiaalvergelijking in de vorm
logistische groei, dus y =
1 23
er
s
De differentiaalvergelijking duidt op logistische groei. De oplossingen zijn
dy
y
= 5 y(1 − 2 ). Er is sprake van
dt
13
ev
1a
bv
Uitwerkingen Wiskunde D Moderne wiskunde VWO deel 3 Extra Oefening Hoofdstuk 6 Differentiaalvergelijkingen Oplossen www.uitwerkingensite.nl
c
d
Ui
tg
. De constante C vind je met behulp van de voor1 + C ⋅ e−5 t
12
1 23
.
waarde y(0) = 13 . Daaruit volgt
= 13 , dus 1 + C = 3 = 395 en C = − 34
39
13
1+C
1 23
65
.
=
De oplossing: y =
34 −5 t
1 − 39 e
39 − 34e−5 t
Je kunt de variabelen scheiden: y2 dy = t 2 dt . Door te primitiveren vind je y3 = t 3 + C .
Verder is 33 = 1 + C , dus C = 26. De oplossing is dan y3 = t 3 + 26
dy
Je kunt de variabelen scheiden:
= t dt . Door te primitiveren vind je
y
2 y = 23 t t + C .
De randvoorwaarde geeft 2 4 = 23 + C, dus C = 3 13 . De vergelijking van de oplossing is dan
y = 13 (t t + 5) of y = 19 (t t + 5)2.
off
2 y = 23 t t + 3 13 . Dit kun je herleiden tot
c
De oplossingskromme gaat door het punt (0, 4 ) dus
dh
b
Er geldt e y ⋅ e− y = e y+− y = e0 = 1, dus e− y = 1y .
e
Je kunt de variabelen scheiden: 1y dy = dt . Primitiveren geeft
e
−y
−e = t + C ⇒ − y = ln −t − C ⇒ y = − ln t + C .
2a
4 = − ln C ⇒ ln C = −4 ⇒ C = e−4 =
1
e4
.
De oplossing y = − ln t + e14 of y = − ln t − e14
De gereduceerde differentiaalvergelijking is
No
or
3a
dy
= ty . Je kunt nu de variabelen
dt
scheiden:
dy
= t dt . Door te primitiveren vind je ln y = 12 t 2 + C . Deze uitdrukking is te herleiy
1 2
t
den tot y = C ⋅ e 2 .
b
©
c
Invullen in de differentiaalvergelijking geeft p = t ( pt + q) + t 2 − 2t − 1. Je kunt dit herleiden tot
( p + 1)t 2 + (q − 2)t − p − 1 = 0 . Omdat deze vergelijking voor elke waarde van t moet
kloppen geldt dat p + 1 = 0 en q − 2 = 0 . Dus p = −1 en q = 2.
1 2
t
De algemene oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking is y = C ⋅ e 2 − t + 2 .
1
⋅
0
De oplossingskromme gaat door het punt (0, 5) dus 5 = C ⋅ e 2 − 1 ⋅ 0 + 2 . Daaruit
1 2
t
volgt dat C = 3. De oplossingskromme is dus y = 3e 2 − t + 2 .
© Noordhoff Uitgevers bv
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 165
⁄
165
11-06-09 14:16
4a
5
. De kromme gaat door het punt (0, 4), dus
1 + C ⋅ e−1,5 t
. Daaruit volgt dat 1 + C = 1 14 , dus C = 14 .
De algemene oplossing is y =
er geldt dat 4 =
5
1+C
er
s
bv
Extra oefening bij hoofdstuk 6
20 .
4 + e−1,5 t
De groeisnelheid is maximaal op de helft van het maximale niveau dus als
y = 12 ⋅ 5 = 2, 5 .
De formule: y =
b
c
Dan moet gelden dat
5
= 2, 5 . Daaruit volgt 1 + 0, 25 ⋅ e−1,5 t = 2 , e−1,5 t = 4 ,
1 + 0, 25 ⋅ e−1,5 t
ev
−1, 5t = ln 4 en t = − 23 ln 4 ≈ −0, 92 .
De maximale groeisnelheid is dan
5
dy
= a , dus de orthogonale trajectoriën zijn de oplossingen van de differentiaaldt 2 t
dy −2 t −2 t −2t
=
=
=
. Je kunt de variabelen scheiden: y ⋅ dy = −2t dt .
vergelijking
dt
a
y
y
t
Primitiveren geeft
1
2
Ui
tg
dy
2, 5
= 1, 5 ⋅ 2, 5(1 −
) = 1, 875.
dt
5
y2 = −t 2 + C . De kromme gaat door het punt (9, 6) dus
6a
b
De karakteristieke vergelijking is k 2 + 2 k − 3 = 0. Daaruit volgt (k + 3)(k − 1) = 0, dus
k = −3 of k = 1. De oplossingen zijn de functies y = C1 ⋅ e−3t + C2 ⋅ et .
De gereduceerde vergelijking is y′′ + y′ − 2 y = 0. De karakteristieke vergelijking is
k 2 + k − 2 = 0.
Dus (k + 2)(k − 1) = 0 en k = −2 of k = 1. De gereduceerde vergelijking heeft
dus als oplossingen de functies y = C1 ⋅ e−2 t + C2 ⋅ et . Je zoekt een oplossing van de
vorm y = pt + q . Invullen in de differentiaalvergelijking geeft p = 2( pt + q) + t of
(2 p + 1)t + (2q − p) = 0 . Deze vergelijking moet kloppen voor alle waarden van t, dus
er geldt dat 2 p + 1 = 0 en 2q − p = 0 . Daaruit volgt dat
p = − 12 en q = − 14 . De oplossing is dus y = C1 ⋅ e−2 t + C2 ⋅ et − 12 t − 14 .
©
No
or
dh
off
18 = −81 + C. Daaruit volgt C = 99 .
De orthogonale trajectorie is dus 12 y2 = −t 2 + 99 ⇒ y2 = −2t 2 + 198 ⇒ y2 + 2t 2 = 198
een ellips.
⁄
166
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 166
© Noordhoff Uitgevers bv
11-06-09 14:16