Transcript Ruimtewiskunde - Universiteit Twente

Ruimtewiskunde
college 3
Lijnen, vlakken en oppervlakken in de
ruimte
UNIVERSITEIT TWENTE.
collegejaar
college
build
slides
:
:
:
:
12-13
3
19 mei 2014
37
Vandaag
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
1
2
3
4
Lijnen
Vlakken
Kwadratische oppervlakken
Toepassing: perspectivische projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
1
RW
vandaag
Lijnen in het platte vlak
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een lijn in R2 wordt gedefinieerd
door een vergelijking van de vorm
y
Lijnen in het vlak
`
Lijnen in de ruimte
ax + by = c
` : ax + by = c
(*)
x
met a, b en c reële getallen.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
2
RW
l2/1
Lijnen in het platte vlak
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een lijn in R2 wordt gedefinieerd
door een vergelijking van de vorm
y
Lijnen in het vlak
`
Lijnen in de ruimte
ax + by = c
` : ax + by = c
(*)
x
met a, b en c reële getallen.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
De lijn ` bestaat uit de punten die voldoen aan
vergelijking (*):
` = {(x, y) | ax + by = c}.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
2
RW
l2/1
Lijnen in het platte vlak
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een lijn in R2 wordt gedefinieerd
door een vergelijking van de vorm
y
Lijnen in het vlak
`
Lijnen in de ruimte
ax + by = c
` : ax + by = c
(*)
x
met a, b en c reële getallen.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
De lijn ` bestaat uit de punten die voldoen aan
vergelijking (*):
` = {(x, y) | ax + by = c}.
Vergelijking (*) is lineair.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
2
RW
l2/1
Lijnen in het platte vlak
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een lijn in R2 wordt gedefinieerd
door een vergelijking van de vorm
y
Lijnen in het vlak
`
Lijnen in de ruimte
ax + by = c
` : ax + by = c
(*)
x
met a, b en c reële getallen.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
De lijn ` bestaat uit de punten die voldoen aan
vergelijking (*):
` = {(x, y) | ax + by = c}.
Vergelijking (*) is lineair.
Ruimtewiskunde
Onthoud
Lijnen in R2 zijn oplossingsverzamelingen van lineaire
vergelijkingen.
RW.12-13[3]
19-5-2014
2
RW
l2/1
Parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
y
Een parametrisatie van de lijn ` is een
`
2
functie r : R → R zodat r(t) alle
punten van ` doorloopt als t de reële
getallen doorloopt.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
r(t)
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
3
RW
l2/2
Parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
y
Een parametrisatie van de lijn ` is een
`
2
functie r : R → R zodat r(t) alle
punten van ` doorloopt als t de reële
getallen doorloopt.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
r(t)
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Het getal t heet de parameter.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
3
RW
l2/2
Parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
y
Een parametrisatie van de lijn ` is een
`
2
functie r : R → R zodat r(t) alle
punten van ` doorloopt als t de reële
getallen doorloopt.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
r(t)
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Het getal t heet de parameter.
De lijn ` is de verzameling van alle beeldpunten r(t):
` = {r(t) | t ∈ R}.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
3
RW
l2/2
Parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
y
Een parametrisatie van de lijn ` is een
`
2
functie r : R → R zodat r(t) alle
punten van ` doorloopt als t de reële
y(t)
getallen doorloopt.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
r(t)
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
x(t)
Perspectivische
projectie
Het getal t heet de parameter.
De lijn ` is de verzameling van alle beeldpunten r(t):
` = {r(t) | t ∈ R}.
De functie r(t) heeft twee componenten die ieder van t
afhangen:
r(t) = hx(t), y(t)i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
3
RW
l2/2
Van vergelijking naar parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Gegeven is de lijn ` : 2x + 3y = 6. Bepaal een parametrisatie
van `.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
y
Kwadratische
oppervlakken
2
1
Perspectivische
projectie
`
x
1
2
3
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
4
RW
l2/3
Van vergelijking naar parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Gegeven is de lijn ` : 2x + 3y = 6. Bepaal een parametrisatie
van `.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kies x als parameter: t = x.
y
Kwadratische
oppervlakken
2
1
Perspectivische
projectie
`
x
1
2
3
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
4
RW
l2/3
Van vergelijking naar parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Gegeven is de lijn ` : 2x + 3y = 6. Bepaal een parametrisatie
van `.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kies x als parameter: t = x.
Los y op uit de vergelijking
2t + 3y = 6:
6 − 2t
y=
= 2 − 23 t.
3
y
Kwadratische
oppervlakken
2
1
Perspectivische
projectie
`
x
1
2
3
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
4
RW
l2/3
Van vergelijking naar parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Gegeven is de lijn ` : 2x + 3y = 6. Bepaal een parametrisatie
van `.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kies x als parameter: t = x.
Los y op uit de vergelijking
2t + 3y = 6:
6 − 2t
y=
= 2 − 23 t.
3
Een parametrisatie van ` is
D
` : r(t) = t, 2 −
2
3t
E
y
Kwadratische
oppervlakken
2
1
Perspectivische
projectie
`
x
1
2
3
, t ∈ R.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
4
RW
l2/3
Van vergelijking naar parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Gegeven is de lijn ` : 2x + 3y = 6. Bepaal een parametrisatie
van `.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kies x als parameter: t = x.
Los y op uit de vergelijking
2t + 3y = 6:
6 − 2t
y=
= 2 − 23 t.
3
Een parametrisatie van ` is
D
` : r(t) = t, 2 −
t
0
2
3t
E
x(t) y(t)
0
2
y
2
1
Kwadratische
oppervlakken
t=0
Perspectivische
projectie
`
x
1
2
3
, t ∈ R.
r(t)
h0, 2i
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
4
RW
l2/3
Van vergelijking naar parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Gegeven is de lijn ` : 2x + 3y = 6. Bepaal een parametrisatie
van `.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kies x als parameter: t = x.
Los y op uit de vergelijking
2t + 3y = 6:
6 − 2t
y=
= 2 − 23 t.
3
Een parametrisatie van ` is
D
` : r(t) = t, 2 −
t
0
1.5
2
3t
E
y
2
1
Kwadratische
oppervlakken
t=0
`
Perspectivische
projectie
t = 1.5
x
1
2
3
, t ∈ R.
x(t) y(t) r(t)
0
2
h0, 2i
1.5
1 h1.5, 1i
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
4
RW
l2/3
Van vergelijking naar parametrisatie
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Gegeven is de lijn ` : 2x + 3y = 6. Bepaal een parametrisatie
van `.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kies x als parameter: t = x.
Los y op uit de vergelijking
2t + 3y = 6:
6 − 2t
y=
= 2 − 23 t.
3
Een parametrisatie van ` is
D
` : r(t) = t, 2 −
t
0
1.5
3
2
3t
E
y
2
1
Kwadratische
oppervlakken
t=0
`
Perspectivische
projectie
t = 1.5
t=3
1
2
x
3
, t ∈ R.
x(t) y(t) r(t)
0
2
h0, 2i
1.5
1 h1.5, 1i
3
0
h3, 0i
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
4
RW
l2/3
Van parametrisatie naar vergelijking
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking voor de lijn
` : h3t, 2 − 2ti,
t ∈ R.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
5
RW
l2/4
Van parametrisatie naar vergelijking
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking voor de lijn
` : h3t, 2 − 2ti,
t ∈ R.
De parametrische
vergelijkingen zijn
(
x = 3t,
y = 2 − 2t.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
5
RW
l2/4
Van parametrisatie naar vergelijking
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking voor de lijn
` : h3t, 2 − 2ti,
t ∈ R.
De parametrische
vergelijkingen zijn
(
x = 3t,
y = 2 − 2t.
Elimineer t: uit de eerste parametrische vergelijking
volgt
x
t= .
3
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
5
RW
l2/4
Van parametrisatie naar vergelijking
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking voor de lijn
` : h3t, 2 − 2ti,
t ∈ R.
De parametrische
vergelijkingen zijn
(
x = 3t,
y = 2 − 2t.
Elimineer t: uit de eerste parametrische vergelijking
volgt
x
t= .
3
Uit de tweede parametrische vergelijking volgt
y = 2 − 32 x,
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
5
RW
l2/4
Van parametrisatie naar vergelijking
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking voor de lijn
` : h3t, 2 − 2ti,
t ∈ R.
De parametrische
vergelijkingen zijn
(
x = 3t,
y = 2 − 2t.
Elimineer t: uit de eerste parametrische vergelijking
volgt
x
t= .
3
Uit de tweede parametrische vergelijking volgt
y = 2 − 32 x,
3y = 6 − 2x,
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
5
RW
l2/4
Van parametrisatie naar vergelijking
herhaling
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking voor de lijn
` : h3t, 2 − 2ti,
t ∈ R.
De parametrische
vergelijkingen zijn
(
x = 3t,
y = 2 − 2t.
Elimineer t: uit de eerste parametrische vergelijking
volgt
x
t= .
3
Uit de tweede parametrische vergelijking volgt
y = 2 − 32 x,
3y = 6 − 2x,
2x + 3y = 6.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
5
RW
l2/4
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Voor iedere lijn ` bestaan er getallen p1 , p2 , v1 en v2 zodat
r(t) = hp1 + v1 t, p2 + v2 ti
Lijnen in het vlak
t ∈ R.
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
y
Kwadratische
oppervlakken
`
Perspectivische
projectie
x
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
6
RW
l2/5
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Voor iedere lijn ` bestaan er getallen p1 , p2 , v1 en v2 zodat
r(t) = hp1 + v1 t, p2 + v2 ti
Lijnen in het vlak
t ∈ R.
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
De vectorfunctie r(t) kun je
ook als volgt schrijven:
y
Kwadratische
oppervlakken
`
Perspectivische
projectie
r(t) = hp1 , p2 i + thv1 , v2 i.
x
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
6
RW
l2/5
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Voor iedere lijn ` bestaan er getallen p1 , p2 , v1 en v2 zodat
r(t) = hp1 + v1 t, p2 + v2 ti
Lijnen in het vlak
t ∈ R.
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
De vectorfunctie r(t) kun je
ook als volgt schrijven:
r(t) = hp1 , p2 i + thv1 , v2 i.
De vector p = hp1 , p2 i heet
een steunvector van `.
y
Kwadratische
oppervlakken
`
Perspectivische
projectie
p = r(0)
x
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
6
RW
l2/5
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Voor iedere lijn ` bestaan er getallen p1 , p2 , v1 en v2 zodat
r(t) = hp1 + v1 t, p2 + v2 ti
Lijnen in het vlak
t ∈ R.
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
De vectorfunctie r(t) kun je
ook als volgt schrijven:
y
Kwadratische
oppervlakken
`
De vector p = hp1 , p2 i heet
een steunvector van `.
De vector v = hv1 , v2 i heet
een richtingsvector van `.
Perspectivische
projectie
p = r(0)
r(t) = hp1 , p2 i + thv1 , v2 i.
v
q = r(1)
x
v
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
6
RW
l2/5
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Voor iedere lijn ` bestaan er getallen p1 , p2 , v1 en v2 zodat
r(t) = hp1 + v1 t, p2 + v2 ti
Lijnen in het vlak
t ∈ R.
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
De vectorfunctie r(t) kun je
ook als volgt schrijven:
y
Kwadratische
oppervlakken
`
De vector p = hp1 , p2 i heet
een steunvector van `.
De vector v = hv1 , v2 i heet
een richtingsvector van `.
Definieer q = r(1), dan
r(1) = p + v,
Perspectivische
projectie
p = r(0)
r(t) = hp1 , p2 i + thv1 , v2 i.
v
q = r(1)
x
v
dus v = q − p.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
6
RW
l2/5
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Voor iedere lijn ` bestaan er getallen p1 , p2 , v1 en v2 zodat
r(t) = hp1 + v1 t, p2 + v2 ti
Lijnen in het vlak
t ∈ R.
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
De vectorfunctie r(t) kun je
ook als volgt schrijven:
y
Kwadratische
oppervlakken
`
De vector p = hp1 , p2 i heet
een steunvector van `.
De vector v = hv1 , v2 i heet
een richtingsvector van `.
Definieer q = r(1), dan
r(1) = p + v,
v
q = r(1)
x
v
dus v = q − p.
De geparametriseerde vectorvoorstelling van ` is
` : r(t) = p + tv
t ∈ R.
Perspectivische
projectie
p = r(0)
r(t) = hp1 , p2 i + thv1 , v2 i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
6
RW
l2/5
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een steun- en een richtingsvector van de lijn
` : 2x + 3y = 6, en geef de geparametriseerde
vectorvoorstelling van `.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
y
Perspectivische
projectie
2
1
`
1
2
3
x
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
7
RW
l2/6
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een steun- en een richtingsvector van de lijn
` : 2x + 3y = 6, en geef de geparametriseerde
vectorvoorstelling van `.
Een parametrisatie van ` is
D
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
y
Perspectivische
projectie
E
` : r(t) = t, 2 − 32 t , t ∈ R.
2
1
`
1
2
3
x
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
7
RW
l2/6
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een steun- en een richtingsvector van de lijn
` : 2x + 3y = 6, en geef de geparametriseerde
vectorvoorstelling van `.
Een parametrisatie van ` is
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
y
Perspectivische
projectie
E
D
` : r(t) = t, 2 − 32 t , t ∈ R.
2
Herschrijf r(t):
D
E
r(t) = h0, 2i + t 1, − 23 .
1
`
1
2
3
x
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
7
RW
l2/6
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een steun- en een richtingsvector van de lijn
` : 2x + 3y = 6, en geef de geparametriseerde
vectorvoorstelling van `.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Een parametrisatie van ` is
y
E
D
2
p = r(0)
` : r(t) = t, 2 − 3 t , t ∈ R.
2
q = r(1)
Herschrijf r(t):
v
D
E
1
r(t) = h0, 2i + t 1, − 23 .
p = h0, 2i en v =
`
1
Kies als steun- en
richtingsvector
2
2
−3
D
1, − 23
Perspectivische
projectie
E
.
v
3
x
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
7
RW
l2/6
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Geef een parametrisatie en een vergelijking van de lijn ` die
door de punten P = (−1, −1) en Q = (1, 3) gaat.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
8
RW
l2/7
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Geef een parametrisatie en een vergelijking van de lijn ` die
door de punten P = (−1, −1) en Q = (1, 3) gaat.
Defineer
p = h−1, −1i en q = h1, 3i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
8
RW
l2/7
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Geef een parametrisatie en een vergelijking van de lijn ` die
door de punten P = (−1, −1) en Q = (1, 3) gaat.
Defineer
p = h−1, −1i en q = h1, 3i.
Defineer v = q − p = h2, 4i, dan is een parametrisatie
` : r(t) = p + tv = h−1, −1i + th2, 4i
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
= h2t − 1, 4t − 1i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
8
RW
l2/7
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Geef een parametrisatie en een vergelijking van de lijn ` die
door de punten P = (−1, −1) en Q = (1, 3) gaat.
Defineer
p = h−1, −1i en q = h1, 3i.
Defineer v = q − p = h2, 4i, dan is een parametrisatie
` : r(t) = p + tv = h−1, −1i + th2, 4i
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
= h2t − 1, 4t − 1i.
De parametrische vergelijkingen zijn
(
dus t =
x = 2t − 1,
y = 4t − 1,
Ruimtewiskunde
x+1
2 .
RW.12-13[3]
19-5-2014
8
RW
l2/7
Steun- en richtingsvector
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Geef een parametrisatie en een vergelijking van de lijn ` die
door de punten P = (−1, −1) en Q = (1, 3) gaat.
Defineer
p = h−1, −1i en q = h1, 3i.
Defineer v = q − p = h2, 4i, dan is een parametrisatie
` : r(t) = p + tv = h−1, −1i + th2, 4i
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
= h2t − 1, 4t − 1i.
De parametrische vergelijkingen zijn
(
x = 2t − 1,
y = 4t − 1,
dus t = x+1
2 .
Invullen in de tweede vergelijking geeft
y = 2(x + 1) − 1 = 2x + 1 oftewel
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
8
y − 2x = 1.
RW
l2/7
Lijnen in de ruimte
Section 12.5
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Stel p en v 6= 0 zijn vectoren. De parametervoorstelling
van de lijn door p en evenwijdig aan v is
r(t) = p + tv,
t ∈ R.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
9
RW
l3/1
Lijnen in de ruimte
Section 12.5
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Stel p en v 6= 0 zijn vectoren. De parametervoorstelling
van de lijn door p en evenwijdig aan v is
r(t) = p + tv,
t ∈ R.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Met “door p” bedoelen we: door het eindpunt van de
standaardvector van p, met andere woorden door het
# »
punt P waarbij p = OP.
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
9
RW
l3/1
Lijnen in de ruimte
Section 12.5
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Stel p en v 6= 0 zijn vectoren. De parametervoorstelling
van de lijn door p en evenwijdig aan v is
r(t) = p + tv,
t ∈ R.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Met “door p” bedoelen we: door het eindpunt van de
standaardvector van p, met andere woorden door het
# »
punt P waarbij p = OP.
De vector p heet een steunvector en de vector v heet
een richtingsvector van de lijn.
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
9
RW
l3/1
Lijnen in de ruimte
Section 12.5
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Stel p en v 6= 0 zijn vectoren. De parametervoorstelling
van de lijn door p en evenwijdig aan v is
r(t) = p + tv,
t ∈ R.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Met “door p” bedoelen we: door het eindpunt van de
standaardvector van p, met andere woorden door het
# »
punt P waarbij p = OP.
De vector p heet een steunvector en de vector v heet
een richtingsvector van de lijn.
Als r(t) = hf (t), g(t), h(t)i, dan heten de vergelijkingen



x = f (t),
y = g(t),

 z = h(t)
de parametrische vergelijkingen van de lijn.
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
9
RW
l3/1
Lijnen in de ruimte
Voorbeeld
Bepaal de parametrische
vergelijkingen van de lijn ` door
(−2, 0, 4) in de richting
v = 2i + 4j − 2k
= h2, 4, −2i.
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 1
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
10
RW
l3/2
Lijnen in de ruimte
Voorbeeld
Bepaal de parametrische
vergelijkingen van de lijn ` door
(−2, 0, 4) in de richting
v = 2i + 4j − 2k
= h2, 4, −2i.
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 1
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Defineer p = P0 = h−2, 0, 4i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
10
RW
l3/2
Lijnen in de ruimte
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 1
Bepaal de parametrische
vergelijkingen van de lijn ` door
(−2, 0, 4) in de richting
v = 2i + 4j − 2k
= h2, 4, −2i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Defineer p = P0 = h−2, 0, 4i.
Een parametrisatie van ` is
` : r(t) = p + tv = h−2, 0, 4i + th2, 4, −2i
= h2t − 2, 4t, 4 − 2ti.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
10
RW
l3/2
Lijnen in de ruimte
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 1
Bepaal de parametrische
vergelijkingen van de lijn ` door
(−2, 0, 4) in de richting
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
v = 2i + 4j − 2k
Kwadratische
oppervlakken
= h2, 4, −2i.
Perspectivische
projectie
Defineer p = P0 = h−2, 0, 4i.
Een parametrisatie van ` is
` : r(t) = p + tv = h−2, 0, 4i + th2, 4, −2i
= h2t − 2, 4t, 4 − 2ti.
RW.12-13[3]
19-5-2014
De parametrische vergelijkingen van ` zijn
x = 2t − 2,
y = 4t,
z = 4 − 2t,
Ruimtewiskunde
10
t ∈ R.
RW
l3/2
Lijnen in de ruimte
Voorbeeld
Bepaal de parametrische
vergelijkingen van de lijn `
door P = (−3, 2, −3) en
Q = (1, −1, 4).
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 2
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
11
RW
l3/3
Lijnen in de ruimte
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 2
Bepaal de parametrische
vergelijkingen van de lijn `
door P = (−3, 2, −3) en
Q = (1, −1, 4).
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
# »
Definieer p = OP = h−3, 2, −3i en
# »
v = PQ = h1, −1, 4i − h−3, 2, −3i = h4, −3, 7i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
11
RW
l3/3
Lijnen in de ruimte
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 2
Bepaal de parametrische
vergelijkingen van de lijn `
door P = (−3, 2, −3) en
Q = (1, −1, 4).
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
# »
Definieer p = OP = h−3, 2, −3i en
# »
v = PQ = h1, −1, 4i − h−3, 2, −3i = h4, −3, 7i.
Een parametrisatie van ` is
` : r(t) = p + tv = h−3, 2, −3i + th4, −3, 7i
= h4t − 3, 2 − 3t, 7t − 3i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
11
RW
l3/3
Lijnen in de ruimte
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 2
Bepaal de parametrische
vergelijkingen van de lijn `
door P = (−3, 2, −3) en
Q = (1, −1, 4).
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
# »
Definieer p = OP = h−3, 2, −3i en
# »
v = PQ = h1, −1, 4i − h−3, 2, −3i = h4, −3, 7i.
Een parametrisatie van ` is
` : r(t) = p + tv = h−3, 2, −3i + th4, −3, 7i
= h4t − 3, 2 − 3t, 7t − 3i.
De parametrische vergelijkingen van ` zijn
x = 4t − 3, y = 2 − 3t, z = 7t − 3,
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
11
t ∈ R.
RW
l3/3
Parametrisatie van een lijn in de ruimte
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Samenvatting
Een parametrisatie van de lijn door een punt P
evenwijdig aan een vector v 6= 0 is
p + tv,
t ∈ R,
# »
met steunvector p = OP en richtingsvector v.
Een parametrisatie van de lijn door twee punten P en Q
is
p + tv, t ∈ R
# »
# »
met steunvector p = OP en richtingsvector v = PQ.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
12
RW
l3/4
Parametrisatie van een lijn in de ruimte
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Samenvatting
Een parametrisatie van de lijn door een punt P
evenwijdig aan een vector v 6= 0 is
p + tv,
t ∈ R,
# »
met steunvector p = OP en richtingsvector v.
Een parametrisatie van de lijn door twee punten P en Q
is
p + tv, t ∈ R
# »
# »
met steunvector p = OP en richtingsvector v = PQ.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Waarschuwing
Parametrisaties zijn niet uniek:
Ieder punt op de lijn kan als steunvector worden gekozen.
Iedere niet-nul vector evenwijdig aan de lijn kan als
richtingsvector worden gekozen.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
12
RW
l3/4
Lijnstukken
Voorbeeld
Bepaal een parametrisatie van
het lijnstuk met eindpunten
P = (−3, 2, −3) en
Q = (1, −1, 4).
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 3
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
13
RW
l3/5
Lijnstukken
Voorbeeld
Bepaal een parametrisatie van
het lijnstuk met eindpunten
P = (−3, 2, −3) en
Q = (1, −1, 4).
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 3
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Een parametrisatie van de lijn door P en Q is
r(t) = h4t − 3, 2 − 3t, 7t − 3i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
13
RW
l3/5
Lijnstukken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 3
Bepaal een parametrisatie van
het lijnstuk met eindpunten
P = (−3, 2, −3) en
Q = (1, −1, 4).
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Een parametrisatie van de lijn door P en Q is
r(t) = h4t − 3, 2 − 3t, 7t − 3i.
Er geldt
P = r(0)
Ruimtewiskunde
en Q = r(1);
RW.12-13[3]
19-5-2014
13
RW
l3/5
Lijnstukken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 3
Bepaal een parametrisatie van
het lijnstuk met eindpunten
P = (−3, 2, −3) en
Q = (1, −1, 4).
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Een parametrisatie van de lijn door P en Q is
r(t) = h4t − 3, 2 − 3t, 7t − 3i.
Er geldt
P = r(0)
Ruimtewiskunde
en Q = r(1);
De parametrische vergelijkingen van het lijnstuk zijn
x = 4t − 3,
y = 2 − 3t,
z = 7t − 3,
RW.12-13[3]
19-5-2014
13
0 ≤ t ≤ 1.
RW
l3/5
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
S
d
`
v
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
P
Probleem
Gegeven zijn een punt S en een lijn ` door het punt P en
met richtingsvector v. Bepaal de afstand d van S tot `.
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
14
RW
l3/6
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
S
h
u
P
d
`
Lijnen in het vlak
v
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
proj v u
Kwadratische
oppervlakken
Probleem
Gegeven zijn een punt S en een lijn ` door het punt P en
met richtingsvector v. Bepaal de afstand d van S tot `.
Oplossing 1: Bepaal de lengte van de normale component
#»
van u = PS langs
Werkt in Rn
v:
voor iedere n
u v d = |h| = u −
v
v v
·
·
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
14
RW
l3/6
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
S
h
d
u
`
Lijnen in het vlak
v
Lijnen in de ruimte
θ
P
Vlakken in de
ruimte
proj v u
Kwadratische
oppervlakken
Probleem
Gegeven zijn een punt S en een lijn ` door het punt P en
met richtingsvector v. Bepaal de afstand d van S tot `.
Oplossing 1: Bepaal de lengte van de normale component
#»
van u = PS langs
Werkt in Rn
v:
voor iedere n
u v d = |h| = u −
v
v v
Oplossing 2: Gebruik het uitwendig product:
·
·
Werkt alleen
in R3
d = |u| sin θ =
|u × v|
.
|v|
Formule (5)
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
14
RW
l3/6
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
Methode 1:
y = 3 − t,
z = 2t.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
15
RW
l3/7
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Methode 1:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
15
RW
l3/7
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Methode 1:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
15
RW
l3/7
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Methode 1:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
·
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
·
u v = 0+2+10 = 12 en v v = 12 +(−1)2 +22 = 6.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
15
RW
l3/7
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Methode 1:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
·
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
·
u v = 0+2+10 = 12 en v v = 12 +(−1)2 +22 = 6.
De afstand
is
·
·
u v v
d = u −
v v Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
15
RW
l3/7
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Methode 1:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
·
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
·
u v = 0+2+10 = 12 en v v = 12 +(−1)2 +22 = 6.
De afstand
is
·
·
u v v =
d = u −
v v h0, −2, 5i − 12 h1, −1, 2i 6
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
15
RW
l3/7
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Lijnen in het vlak
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Vlakken in de
ruimte
Methode 1:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
·
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
·
u v = 0+2+10 = 12 en v v = 12 +(−1)2 +22 = 6.
De afstand
is
·
·
u v 12
v = h0, −2, 5i − h1, −1, 2i d = u −
v v
6
q
√
= |h−2, 0, 1i| =
(−2)2 + 02 + 12 =
5.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
15
RW
l3/7
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
Methode 2:
y = 3 − t,
z = 2t.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
16
RW
l3/8
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
Methode 2:
y = 3 − t,
z = 2t.
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
16
RW
l3/8
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
Methode 2:
y = 3 − t,
z = 2t.
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
16
RW
l3/8
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
Methode 2:
y = 3 − t,
z = 2t.
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
√
v v = 12 +(−1)2 +22 = 6, dus |v| = 6.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
·
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
16
RW
l3/8
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Methode 2:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
√
v v = 12 +(−1)2 +22 = 6, dus |v| = 6.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
·
u × v = h0, −2, 5i × h1, −1, 2i = h1, 5, 2i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
16
RW
l3/8
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Methode 2:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
√
v v = 12 +(−1)2 +22 = 6, dus |v| = 6.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
·
u × v = h0, −2, 5i × h1, −1, 2i = h1, 5, 2i.
De afstand is
|u × v|
d=
|v|
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
16
RW
l3/8
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Methode 2:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
√
v v = 12 +(−1)2 +22 = 6, dus |v| = 6.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
·
u × v = h0, −2, 5i × h1, −1, 2i = h1, 5, 2i.
De afstand is
√
12 + 52 + 22
|u × v|
√
=
d=
|v|
6
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
16
RW
l3/8
Afstand tot een lijn
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 5
Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
` : x = 1 + t,
y = 3 − t,
z = 2t.
Methode 2:
# »
Definieer P = (1, 3, 0), p = OP = h1, 3, 0i
en v = h1, −1, 2i, dan ` : p + tv (t ∈ R).
#»
Definieer u = PS = h1, 1, 5i − h1, 3, 0i = h0, −2, 5i.
√
v v = 12 +(−1)2 +22 = 6, dus |v| = 6.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
·
u × v = h0, −2, 5i × h1, −1, 2i = h1, 5, 2i.
De afstand is
√
√
12 + 52 + 22
30 √
|u × v|
√
=
= √ = 5.
d=
|v|
6
6
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
16
RW
l3/8
Vlakken in de ruimte
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een vlak in R3 wordt gedefinieerd door een vergelijking van
de vorm
M : ax + by + cz = d
met a, b, c en d reële getallen.
Voorbeelden:
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
17
RW
v3/1
Vlakken in de ruimte
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een vlak in R3 wordt gedefinieerd door een vergelijking van
de vorm
M : ax + by + cz = d
met a, b, c en d reële getallen.
Voorbeelden:
Het vlak M1 gedefinieerd door
M1 : x + y + z = 1
gaat door de punten (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0, 0, 1).
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
17
RW
v3/1
Vlakken in de ruimte
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een vlak in R3 wordt gedefinieerd door een vergelijking van
de vorm
M : ax + by + cz = d
met a, b, c en d reële getallen.
Voorbeelden:
Het vlak M1 gedefinieerd door
M1 : x + y + z = 1
gaat door de punten (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0, 0, 1).
Het vlak M2 gedefinieerd door
M2 : x + y + z = 0
gaat door O en is evenwijdig aan M1 .
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
17
RW
v3/1
Vlakken in de ruimte
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een vlak in R3 wordt gedefinieerd door een vergelijking van
de vorm
M : ax + by + cz = d
met a, b, c en d reële getallen.
Voorbeelden:
Het vlak M1 gedefinieerd door
M1 : x + y + z = 1
gaat door de punten (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0, 0, 1).
Het vlak M2 gedefinieerd door
M2 : x + y + z = 0
gaat door O en is evenwijdig aan M1 .
Het vlak M3 gedefinieerd door
M3 : 2y = 3
is het vlak door (0, 3/2, 0) evenwijdig aan het xz-vlak.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
17
RW
v3/1
Steunvectoren
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
# »
Een steunvector van een vlak M is een vector p = OP met
P een punt van M .
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
18
RW
v3/2
Steunvectoren
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
# »
Een steunvector van een vlak M is een vector p = OP met
P een punt van M .
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Stel M wordt gedefinieerd door ax + by + cz = d, en
stel P = (x0 , y0 , z0 ) ∈ M , dan geldt
ax0 + by0 + cz0 = d, dus
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
voor alle (x, y, z, ) in M .
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
18
RW
v3/2
Steunvectoren
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
# »
Een steunvector van een vlak M is een vector p = OP met
P een punt van M .
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Stel M wordt gedefinieerd door ax + by + cz = d, en
stel P = (x0 , y0 , z0 ) ∈ M , dan geldt
ax0 + by0 + cz0 = d, dus
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
voor alle (x, y, z, ) in M .
Definitie
De vergelijking
Ruimtewiskunde
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
heet de vectorvergelijking van M .
RW.12-13[3]
19-5-2014
18
RW
v3/2
Normaalvectoren
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een normaalvector van een vlak M is een vector n 6= 0 die
loodrecht staat op M .
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
19
RW
v3/3
Normaalvectoren
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een normaalvector van een vlak M is een vector n 6= 0 die
loodrecht staat op M .
Stel M wordt gedefinieerd door de vectorvergelijking
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0, dan geldt
·
ha, b, ci hx − x0 , y − y0 , z − z0 i
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
19
RW
v3/3
Normaalvectoren
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een normaalvector van een vlak M is een vector n 6= 0 die
loodrecht staat op M .
Stel M wordt gedefinieerd door de vectorvergelijking
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0, dan geldt
·
ha, b, ci hx − x0 , y − y0 , z − z0 i
= ha, b, ci
·
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
hx, y, zi − hx0 , y0 , z0 i
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
19
RW
v3/3
Normaalvectoren
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een normaalvector van een vlak M is een vector n 6= 0 die
loodrecht staat op M .
Stel M wordt gedefinieerd door de vectorvergelijking
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0, dan geldt
·
ha, b, ci hx − x0 , y − y0 , z − z0 i
= ha, b, ci
=0
·
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
hx, y, zi − hx0 , y0 , z0 i
voor alle (x, y, z, ) in M .
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
19
RW
v3/3
Normaalvectoren
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een normaalvector van een vlak M is een vector n 6= 0 die
loodrecht staat op M .
Stel M wordt gedefinieerd door de vectorvergelijking
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0, dan geldt
·
ha, b, ci hx − x0 , y − y0 , z − z0 i
= ha, b, ci
=0
·
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
hx, y, zi − hx0 , y0 , z0 i
voor alle (x, y, z, ) in M .
Definieer x = hx, y, zi, p = hx0 , y0 , z0 i en n = ha, b, ci,
dan geldt
·
n (x − p) = 0
voor alle x in M .
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
19
RW
v3/3
Normaalvectoren
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een normaalvector van een vlak M is een vector n 6= 0 die
loodrecht staat op M .
Stel M wordt gedefinieerd door de vectorvergelijking
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0, dan geldt
·
ha, b, ci hx − x0 , y − y0 , z − z0 i
= ha, b, ci
=0
·
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
hx, y, zi − hx0 , y0 , z0 i
voor alle (x, y, z, ) in M .
Definieer x = hx, y, zi, p = hx0 , y0 , z0 i en n = ha, b, ci,
dan geldt
·
n (x − p) = 0
voor alle x in M .
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
Definitie
·
De vergelijking n (x − p) = 0 heet de normaalvergelijking
van M .
19
RW
v3/3
De normaalvergelijking
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Stel M wordt gegeven door de normaalvergelijking
n (x − p) = 0 waarbij n een normaalvector van M is, en
p = hx0 , y0 , z0 i een steunvector. Als X = (x, y, z) een punt
# »
van M is dan geldt n ⊥ PX .
·
# »
Merk op dat PX = x − p.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
20
RW
v3/4
De normaalvergelijking
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Section 12.5, example 6
Bepaal een vergelijking van het vlak M door (−3, 0, 7)
loodrecht op n = h5, 2, −1i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
21
RW
v3/5
De normaalvergelijking
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Section 12.5, example 6
Bepaal een vergelijking van het vlak M door (−3, 0, 7)
loodrecht op n = h5, 2, −1i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Definieer p = h−3, 0, 7i, dan geeft de
normaalvergelijking n (x − p) = 0 na invullen:
h5, 2, −1i
·
·
hx, y, zi − h−3, 0, 7i = 0,
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
oftewel
·
h5, 2, −1i hx − (−3), y − 0, z − 7i = 0.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
21
RW
v3/5
De normaalvergelijking
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Section 12.5, example 6
Bepaal een vergelijking van het vlak M door (−3, 0, 7)
loodrecht op n = h5, 2, −1i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Definieer p = h−3, 0, 7i, dan geeft de
normaalvergelijking n (x − p) = 0 na invullen:
h5, 2, −1i
·
·
hx, y, zi − h−3, 0, 7i = 0,
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
oftewel
·
h5, 2, −1i hx − (−3), y − 0, z − 7i = 0.
De vectorvergelijking van M is dus
5(x + 3) + 2y − (z − 7) = 0.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
21
RW
v3/5
De normaalvergelijking
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Section 12.5, example 6
Bepaal een vergelijking van het vlak M door (−3, 0, 7)
loodrecht op n = h5, 2, −1i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Definieer p = h−3, 0, 7i, dan geeft de
normaalvergelijking n (x − p) = 0 na invullen:
h5, 2, −1i
·
·
hx, y, zi − h−3, 0, 7i = 0,
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
oftewel
·
h5, 2, −1i hx − (−3), y − 0, z − 7i = 0.
De vectorvergelijking van M is dus
5(x + 3) + 2y − (z − 7) = 0.
Vereenvoudigen geeft
5x + 2y − z = −22.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
21
RW
v3/5
De normaalvergelijking
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een normaalvergelijking voor het vlak M : y − 2z = 4.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
22
RW
v3/6
De normaalvergelijking
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een normaalvergelijking voor het vlak M : y − 2z = 4.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Schrijf de vergelijking als volgt:
0 · x + 1 · y + (−2) · z = 4.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
22
RW
v3/6
De normaalvergelijking
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een normaalvergelijking voor het vlak M : y − 2z = 4.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Schrijf de vergelijking als volgt:
0 · x + 1 · y + (−2) · z = 4.
Een normaal is n = h0, 1, −2i.
NB
De componenten van n zijn de coëfficiënten van de
vergelijking.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
22
RW
v3/6
De normaalvergelijking
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een normaalvergelijking voor het vlak M : y − 2z = 4.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Schrijf de vergelijking als volgt:
0 · x + 1 · y + (−2) · z = 4.
Een normaal is n = h0, 1, −2i.
NB
De componenten van n zijn de coëfficiënten van de
vergelijking.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Voor een punt P in het vlak kies je x = z = 0. Dan
geldt y = 4, dus P = (0, 4, 0), dus een steunvector is
p = h0, 4, 0i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
22
RW
v3/6
De normaalvergelijking
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Bepaal een normaalvergelijking voor het vlak M : y − 2z = 4.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Schrijf de vergelijking als volgt:
0 · x + 1 · y + (−2) · z = 4.
Een normaal is n = h0, 1, −2i.
NB
De componenten van n zijn de coëfficiënten van de
vergelijking.
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Voor een punt P in het vlak kies je x = z = 0. Dan
geldt y = 4, dus P = (0, 4, 0), dus een steunvector is
p = h0, 4, 0i.
Een normaalvergelijking van M is
h0, 1, −2i
NB
·
x − h0, 4, 0i = 0.
Ieder punt van M kan als steunvector worden gebruikt,
bijvoorbeeld p0 = h1, 6, 1i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
22
RW
v3/6
Een vlak door drie punten
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking voor het vlak door de punten
A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 7
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
23
RW
v3/7
Een vlak door drie punten
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking voor het vlak door de punten
A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
# »
Kies als steunvector a = OA = h0, 0, 1i.
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 7
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
23
RW
v3/7
Een vlak door drie punten
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 7
Bepaal een vergelijking voor het vlak door de punten
A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
# »
Kies als steunvector a = OA = h0, 0, 1i.
Neem als normaalvector
# » # »
n = AB × AC = h2, 0, −1i × h0, 3, −1i = h3, 2, 6i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
23
RW
v3/7
Een vlak door drie punten
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 7
Bepaal een vergelijking voor het vlak door de punten
A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
# »
Kies als steunvector a = OA = h0, 0, 1i.
Neem als normaalvector
# » # »
n = AB × AC = h2, 0, −1i × h0, 3, −1i = h3, 2, 6i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
De normaalvergelijking wordt dan
·
·
n (x − a) = h3, 2, 6i hx − 0, y − 0, z − 1i
= 3x − 2y + 6(z − 1) = 0.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
23
RW
v3/7
Een vlak door drie punten
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 7
Bepaal een vergelijking voor het vlak door de punten
A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
# »
Kies als steunvector a = OA = h0, 0, 1i.
Neem als normaalvector
# » # »
n = AB × AC = h2, 0, −1i × h0, 3, −1i = h3, 2, 6i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
De normaalvergelijking wordt dan
·
·
n (x − a) = h3, 2, 6i hx − 0, y − 0, z − 1i
= 3x − 2y + 6(z − 1) = 0.
Vereenvoudigen geeft de vergelijking
3x + 2y + 6z = 6.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
23
RW
v3/7
Afstand van een punt tot een vlak
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Stel het vlak M wordt gegeven door de normaalvergelijking
# »
n (x − p) = 0, waarbij p = OP met P een punt van M .
Stel S is een punt in de ruimte, dan is de afstand van S tot
M gelijk aan
# » n .
d = PS
|n| ·
·
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
24
RW
v3/8
Afstand van een punt tot een vlak
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Stel het vlak M wordt gegeven door de normaalvergelijking
# »
n (x − p) = 0, waarbij p = OP met P een punt van M .
Stel S is een punt in de ruimte, dan is de afstand van S tot
M gelijk aan
# » n .
d = PS
|n| ·
·
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
De afstand d is gelijk aan de lengte van de projectie van
#»
PS op n.
24
RW
v3/8
Afstand van een punt tot een vlak
Voorbeeld
Bepaal de afstand van
S = (1, 1, 3) tot het vlak
M : 3x + 2y + 6z = 6.
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 11
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
25
RW
v3/9
Afstand van een punt tot een vlak
Voorbeeld
Bepaal de afstand van
S = (1, 1, 3) tot het vlak
M : 3x + 2y + 6z = 6.
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 11
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Het punt P = (0, 3, 0) is een punt van M .
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
25
RW
v3/9
Afstand van een punt tot een vlak
Voorbeeld
Bepaal de afstand van
S = (1, 1, 3) tot het vlak
M : 3x + 2y + 6z = 6.
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 11
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Het punt P = (0, 3, 0) is een punt van M .
Een normaal van M is n = h3, 2, 6i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
25
RW
v3/9
Afstand van een punt tot een vlak
Voorbeeld
Bepaal de afstand van
S = (1, 1, 3) tot het vlak
M : 3x + 2y + 6z = 6.
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 11
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Het punt P = (0, 3, 0) is een punt van M .
Een normaal van M is n = h3, 2, 6i.
√
√
|n| = 32 + 22 + 62 = 49 = 7.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
25
RW
v3/9
Afstand van een punt tot een vlak
Voorbeeld
Bepaal de afstand van
S = (1, 1, 3) tot het vlak
M : 3x + 2y + 6z = 6.
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 11
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Het punt P = (0, 3, 0) is een punt van M .
Een normaal van M is n = h3, 2, 6i.
√
√
|n| = 32 + 22 + 62 = 49 = 7.
#»
PS = h1, 1, 3i − h0, 3, 0i = h1, −2, 3i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
25
RW
v3/9
Afstand van een punt tot een vlak
Voorbeeld
Bepaal de afstand van
S = (1, 1, 3) tot het vlak
M : 3x + 2y + 6z = 6.
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 11
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Het punt P = (0, 3, 0) is een punt van M .
Een normaal van M is n = h3, 2, 6i.
√
√
|n| = 32 + 22 + 62 = 49 = 7.
#»
PS = h1, 1, 3i − h0, 3, 0i = h1, −2, 3i.
#»
PS n = 1 · 3 + (−2) · 2 + 3 · 6 = 17.
·
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
25
RW
v3/9
Afstand van een punt tot een vlak
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 11
Bepaal de afstand van
S = (1, 1, 3) tot het vlak
M : 3x + 2y + 6z = 6.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Het punt P = (0, 3, 0) is een punt van M .
Een normaal van M is n = h3, 2, 6i.
√
√
|n| = 32 + 22 + 62 = 49 = 7.
#»
PS = h1, 1, 3i − h0, 3, 0i = h1, −2, 3i.
#»
PS n = 1 · 3 + (−2) · 2 + 3 · 6 = 17.
# »
17
d = PS | nn | = .
7
·
·
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
25
RW
v3/9
Pauze
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
25
RW
break
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Twee niet-samenvallende vlakken die verschillend
geörienteerd zijn snijden elkaar in een lijn.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
26
RW
v3/10
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Twee niet-samenvallende vlakken die verschillend
geörienteerd zijn snijden elkaar in een lijn.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
“Verschillend geörienteerd” wil zeggen: de normalen
van beide vlakken hebben een verschillende richting.
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
26
RW
v3/10
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Twee niet-samenvallende vlakken die verschillend
geörienteerd zijn snijden elkaar in een lijn.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
“Verschillend geörienteerd” wil zeggen: de normalen
van beide vlakken hebben een verschillende richting.
Stel de vlakken heten M en N , dan noteren we de
snijlijn als volgt:
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
` = M ∩ N.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
26
RW
v3/10
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Twee niet-samenvallende vlakken die verschillend
geörienteerd zijn snijden elkaar in een lijn.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
“Verschillend geörienteerd” wil zeggen: de normalen
van beide vlakken hebben een verschillende richting.
Stel de vlakken heten M en N , dan noteren we de
snijlijn als volgt:
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
` = M ∩ N.
Een lijn in de ruimte kan dus ook worden gegeven als
snijlijn van twee vlakken, oftewel als de
oplossingsverzameling van twee vergelijkingen:
(
`:
ax + by + cz = d,
px + qy + rz = s.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
26
RW
v3/10
Snijlijn van twee vlakken
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 8+9
Geef een parametrisatie voor de snijlijn van de vlakken
3x − 6y − 2z = 15 en 2x + y − 2z = 5.
Lijnen in het vlak
Methode 1:
Vlakken in de
ruimte
Lijnen in de ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
27
RW
v3/11
Snijlijn van twee vlakken
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 8+9
Geef een parametrisatie voor de snijlijn van de vlakken
3x − 6y − 2z = 15 en 2x + y − 2z = 5.
Methode 1:
Uit de eerste vergelijking volgt x = 2y + 23 z + 5.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
27
RW
v3/11
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 8+9
Geef een parametrisatie voor de snijlijn van de vlakken
3x − 6y − 2z = 15 en 2x + y − 2z = 5.
Methode 1:
Uit de eerste vergelijking volgt x = 2y + 23 z + 5.
Invullen in de tweede vergelijking geeft
2 2y +
2
3z
+ 5 + y − 2z = 5,
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
en na vereenvoudigen wordt dit
15
z = 15
2 y+ 2 .
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
27
RW
v3/11
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 8+9
Geef een parametrisatie voor de snijlijn van de vlakken
3x − 6y − 2z = 15 en 2x + y − 2z = 5.
Methode 1:
Uit de eerste vergelijking volgt x = 2y + 23 z + 5.
Invullen in de tweede vergelijking geeft
2 2y +
2
3z
+ 5 + y − 2z = 5,
en na vereenvoudigen wordt dit
15
z = 15
2 y+ 2 .
Eén van de onbekenden is vrij te kiezen. Stel y = t, dan
15
z = 15
2 t+ 2
en
15
t
+
x = 2t + 32 15
2
2 + 5 = 7t + 10.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
27
RW
v3/11
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 8+9
Geef een parametrisatie voor de snijlijn van de vlakken
3x − 6y − 2z = 15 en 2x + y − 2z = 5.
Methode 1:
Uit de eerste vergelijking volgt x = 2y + 23 z + 5.
Invullen in de tweede vergelijking geeft
2 2y +
2
3z
+ 5 + y − 2z = 5,
en na vereenvoudigen wordt dit
15
z = 15
2 y+ 2 .
Eén van de onbekenden is vrij te kiezen. Stel y = t, dan
15
z = 15
2 t+ 2
en
15
t
+
x = 2t + 32 15
2
2 + 5 = 7t + 10.
Een parametrisering
van de snijlijn
is
D
E
r(t) = 7t + 10, t,
15
2 t
+
15
2
,
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
27
t ∈ R.
RW
v3/11
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Methode 2:
De respectievelijke normaalvectoren n1 en n2 staan
loodrecht op de snijlijn, dus het uitwendig product van
n1 en n2 is een richtingsvector van de snijlijn.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
28
RW
v3/12
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Methode 2:
De respectievelijke normaalvectoren n1 en n2 staan
loodrecht op de snijlijn, dus het uitwendig product van
n1 en n2 is een richtingsvector van de snijlijn.
De normaalvectoren lees je af uit de vergelijkingen:
M1 : 3x − 6y − 2z = 15, → n1 = h3, −6, −2i,
M2 : 2x + y − 2z = 5,
→ n2 = h2, 1, −2i,
dus v = n1 × n2 = h14, 2, 15i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
28
RW
v3/12
Snijlijn van twee vlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Methode 2:
De respectievelijke normaalvectoren n1 en n2 staan
loodrecht op de snijlijn, dus het uitwendig product van
n1 en n2 is een richtingsvector van de snijlijn.
De normaalvectoren lees je af uit de vergelijkingen:
M1 : 3x − 6y − 2z = 15, → n1 = h3, −6, −2i,
Ruimtewiskunde
M2 : 2x + y − 2z = 5,
→ n2 = h2, 1, −2i,
RW.12-13[3]
19-5-2014
dus v = n1 × n2 = h14, 2, 15i.
28
v3/12
Een steunvector vind je door voor bijvoorbeeld z een
waarde te kiezen, en dan beide vergelijkingen op te lossen. RW
Snijpunt van een lijn en een vlak
zelfstudie
Voorbeeld
Example 10
De lijn ` is gegeven door de parametrisatie
x=
8
3
UNIVERSITEIT
TWENTE.
+ 2t,
y = −2t,
z = 1 + t,
Lijnen in het vlak
t ∈ R.
Bepaal het snijpunt van ` en het vlak 3x + 2y + 6z = 6.
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
29
RW
v3/13
Snijpunt van een lijn en een vlak
zelfstudie
Voorbeeld
Example 10
De lijn ` is gegeven door de parametrisatie
x=
8
3
UNIVERSITEIT
TWENTE.
+ 2t,
y = −2t,
z = 1 + t,
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
t ∈ R.
Vlakken in de
ruimte
Bepaal het snijpunt van ` en het vlak 3x + 2y + 6z = 6.
Kwadratische
oppervlakken
Stel het snijpunt
is
D
E
8
x0 = 3 + 2t, −2t, 1 + t .
(1)
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
29
RW
v3/13
Snijpunt van een lijn en een vlak
zelfstudie
Voorbeeld
Example 10
De lijn ` is gegeven door de parametrisatie
x=
8
3
UNIVERSITEIT
TWENTE.
+ 2t,
y = −2t,
z = 1 + t,
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
t ∈ R.
Vlakken in de
ruimte
Bepaal het snijpunt van ` en het vlak 3x + 2y + 6z = 6.
Kwadratische
oppervlakken
Stel het snijpunt
is
D
E
8
x0 = 3 + 2t, −2t, 1 + t .
Het punt x0 ligt op het vlak, dus geldt
3
8
3
(1)
Perspectivische
projectie
+ 2t + 2(−2t) + 6(1 + t) = 6.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
29
RW
v3/13
Snijpunt van een lijn en een vlak
zelfstudie
Voorbeeld
Example 10
De lijn ` is gegeven door de parametrisatie
x=
8
3
UNIVERSITEIT
TWENTE.
+ 2t,
y = −2t,
z = 1 + t,
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
t ∈ R.
Vlakken in de
ruimte
Bepaal het snijpunt van ` en het vlak 3x + 2y + 6z = 6.
Kwadratische
oppervlakken
Stel het snijpunt
is
D
E
8
x0 = 3 + 2t, −2t, 1 + t .
Het punt x0 ligt op het vlak, dus geldt
3
8
3
(1)
Perspectivische
projectie
+ 2t + 2(−2t) + 6(1 + t) = 6.
Los t op uit deze vergelijking:
8 + 6t − 4t + 6 + 6t = 6,
hieruit volgt t = −1.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
29
RW
v3/13
Snijpunt van een lijn en een vlak
zelfstudie
Voorbeeld
Example 10
De lijn ` is gegeven door de parametrisatie
x=
8
3
UNIVERSITEIT
TWENTE.
+ 2t,
y = −2t,
z = 1 + t,
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
t ∈ R.
Vlakken in de
ruimte
Bepaal het snijpunt van ` en het vlak 3x + 2y + 6z = 6.
Kwadratische
oppervlakken
Stel het snijpunt
is
D
E
8
x0 = 3 + 2t, −2t, 1 + t .
Het punt x0 ligt op het vlak, dus geldt
3
8
3
(1)
Perspectivische
projectie
+ 2t + 2(−2t) + 6(1 + t) = 6.
Los t op uit deze vergelijking:
8 + 6t − 4t + 6 + 6t = 6,
hieruit volgt t = −1.
Het snijpunt krijg je door t = −1 in te vullen in (1):
x0 =
D
E
2
3 , 2, 0
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
29
.
RW
v3/13
Hoek tussen twee vlakken
zelfstudie
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
De hoek tussen twee vlakken is
gedefinieerd als de scherpe hoek
tussen de respectievelijke
normaalvectoren van beide vlakken.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Voorbeeld
Example 10
Bepaal de hoek tussen de vlakken 3x − 6y − 2z = 15 en
2x + y − 2z = 5.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
30
RW
v3/14
Hoek tussen twee vlakken
zelfstudie
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
De hoek tussen twee vlakken is
gedefinieerd als de scherpe hoek
tussen de respectievelijke
normaalvectoren van beide vlakken.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Voorbeeld
Example 10
Bepaal de hoek tussen de vlakken 3x − 6y − 2z = 15 en
2x + y − 2z = 5.
De normalen zijn n1 = h3, −6, −2i en n2 = h2, 1, −2i.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
30
RW
v3/14
Hoek tussen twee vlakken
zelfstudie
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
De hoek tussen twee vlakken is
gedefinieerd als de scherpe hoek
tussen de respectievelijke
normaalvectoren van beide vlakken.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Voorbeeld
Example 10
Bepaal de hoek tussen de vlakken 3x − 6y − 2z = 15 en
2x + y − 2z = 5.
De normalen zijn n1 = h3, −6, −2i en n2 = h2, 1, −2i.
De hoek tussen de vlakken is
n1 n2
θ = arccos
= arccos (4/21) ≈ 79 ◦ .
|n1 | |n2 |
·
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
30
RW
v3/14
Parametervoorstelling van een vlak
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een parametervoorstelling van het vlak M is een functie
van de vorm
p + sv + tw,
s, t ∈ R
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
De vector p heet de steunvector van de parametrisatie,
en de vectoren v en w heten richtingsvectoren.
RW.12-13[3]
19-5-2014
31
RW
v3/15
Parametervoorstelling van een vlak
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 7
Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door de
punten A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
32
RW
v3/16
Parametervoorstelling van een vlak
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 7
Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door de
punten A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
# »
Kies als steunvector a = OA = h0, 0, 1i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
32
RW
v3/16
Parametervoorstelling van een vlak
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Example 7
Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door de
punten A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
# »
Kies als steunvector a = OA = h0, 0, 1i.
Neem als richtingsvectoren
# »
v = AB = h2, 0, −1i
en
# »
w = AC = h0, 3, −1i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
32
RW
v3/16
Parametervoorstelling van een vlak
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 7
Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door de
punten A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
# »
Kies als steunvector a = OA = h0, 0, 1i.
Neem als richtingsvectoren
# »
v = AB = h2, 0, −1i
en
# »
w = AC = h0, 3, −1i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Een parametrisering wordt dan
r(s, t) = a + sv + tw
= h0, 0, 1i + sh2, 0, −1i + th0, 3, −1i
Ruimtewiskunde
= h2s, 3t, 1 − s − ti,
RW.12-13[3]
19-5-2014
s, t ∈ R.
32
RW
v3/16
Parametervoorstelling van een vlak
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Example 7
Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door de
punten A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0).
# »
Kies als steunvector a = OA = h0, 0, 1i.
Neem als richtingsvectoren
# »
v = AB = h2, 0, −1i
en
# »
w = AC = h0, 3, −1i.
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Een parametrisering wordt dan
r(s, t) = a + sv + tw
= h0, 0, 1i + sh2, 0, −1i + th0, 3, −1i
Ruimtewiskunde
= h2s, 3t, 1 − s − ti,
RW.12-13[3]
19-5-2014
s, t ∈ R.
Er geldt: A = r(0, 0), B = r(1, 0) en C = r(0, 1).
32
RW
v3/16
Samenvatting
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Lijnen en vlakken
Een lijn in R2 wordt gedefinieerd met 1 vergelijking:
ax + by = c,
Lijnen in de ruimte
of met een parametrisatie met 1 parameter:
p + tv,
Lijnen in het vlak
t ∈ R.
Een vlak in R3 wordt gedefinieerd met 1 vergelijking:
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
ax + by + cy = d,
of met een parametrisatie met 2 parameters:
p + sv + tw,
s, t ∈ R.
R3
Een lijn in
wordt gedefinieerd met 2 vergelijkingen:
n ax + by + cz = d,
px + qy + rz = s,
of met een parametrisatie met 1 parameter:
p + tv,
t ∈ R.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
33
RW
v3/17
Samenvatting
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Afstanden en hoeken
In Rn is de afstand van een punt S tot een lijn p + tv
# »
met p = OP gelijk aan
#»
u v u − v ··v v , waarbij u = PS.
In R3 is de afstand van een punt S tot een lijn p + tv
# »
met p = OP is gelijk aan
#»
| PS×v |
|v| .
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
De afstand van S tot een vlak met normaalvector n en
# »
steunvector p = OP is gelijk aan
# »
PS | n
n| .
·
De hoek tussen twee vlakken met normaalvectoren n1
respectievelijk n2 is gelijk aan
arccos
·
n1 n2
| n1 || n2 |
.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
34
RW
v3/18
Kwadratische oppervlakken
Section 12.6
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Een paraboloïde is een oppervlak gedefinieerd door de
vergelijking
x 2 y2
z
+ 2 = ,
2
a
b
c
met a > 0, b > 0 en c > 0.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
35
RW
ko/1
Ellipsoïde
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
Een ellipsoïde is een oppervlak gedefinieerd door de
vergelijking
x 2 y2 z 2
+ 2 + 2 = 1,
a2
b
c
met a > 0, b > 0 en c > 0.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
36
RW
ko/2
Perspectivische projectie
Section 12.5, exercise 73
z
UNIVERSITEIT
TWENTE.
`
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
P1 = (x1 , y1 , z1 )
P
Kwadratische
oppervlakken
y
x
Vlakken in de
ruimte
Perspectivische
projectie
(x0 , 0, 0)
De lijn ` wordt als volgt geparametriseerd:
` : r(t) = hx0 , 0, 0i + thx1 − x0 , y1 , z1 i,
t ∈ R.
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
37
RW
pp/1
Perspectivische projectie
Section 12.5, exercise 73
z
UNIVERSITEIT
TWENTE.
`
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
P1 = (x1 , y1 , z1 )
P = r(t0 )
y
x
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
(x0 , 0, 0)
De lijn ` wordt als volgt geparametriseerd:
` : r(t) = hx0 , 0, 0i + thx1 − x0 , y1 , z1 i, t ∈ R.
0
Het snijpunt met het yz-vlak is P = r(t0 ) met t0 = x0x−x
.
1
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
37
RW
pp/1
Perspectivische projectie
Section 12.5, exercise 73
z
UNIVERSITEIT
TWENTE.
`
Lijnen in het vlak
Lijnen in de ruimte
P1 = (x1 , y1 , z1 )
P = r(t0 ) = (0, y, z)
y
x
Vlakken in de
ruimte
Kwadratische
oppervlakken
Perspectivische
projectie
(x0 , 0, 0)
De lijn ` wordt als volgt geparametriseerd:
` : r(t) = hx0 , 0, 0i + thx1 − x0 , y1 , z1 i, t ∈ R.
0
Het snijpunt met het yz-vlak is P = r(t0 ) met t0 = x0x−x
.
1
Voor het punt P = (0, y, z) geldt
x0 y1
x0 z1
en z = t0 z1 =
.
y = t 0 y1 =
x0 − x1
x0 − x1
Ruimtewiskunde
RW.12-13[3]
19-5-2014
37
RW
pp/1