Transcript LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Assistant Professor Ferdowsi University of Mashhad Lecture 8 Lecture 8 Controllability and observability Topics to be covered include:    Canonical forms.  Controllable, observable and Jordan.

LINEAR CONTROL
SYSTEMS
Ali Karimpour
Assistant Professor
Ferdowsi University of Mashhad
Lecture 8
Lecture 8
Controllability and observability
Topics to be covered include:



Canonical forms.

Controllable, observable and Jordan canonical forms.

Controllability and observability in Jordan forms.
Transfer function of controllable and observable systems.
Controllability and observability from block diagram.
2
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Similarity transformation properties
‫خواص تبدیالت همانندی‬
x  Ax  bu
y  cx  du
Similaritytransformation

w Px
Aˆ P A P 1
cˆ  cP 1
bˆ  Pb
dˆ  d
1- It can lead to a simpler system.
2- It doesn’t change the eigenvalues.
w  Aˆ w  bˆu
y  cˆw  dˆu
‫ امکان ساده سازی سیستم‬-1
‫ عدم تغییر مقادیر ویژه‬-2
3- It doesn’t change controllability.
‫ عدم تغییر کنترل پذیری‬-3
4- It doesn’t change observability.
‫ عدم تغییر رویت پذیری‬-4
3
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Effect of similarity transformation on eigenvalues of system
‫تاثیر تبدیالت همانندی بر مقادیر ویژه‬
x  Ax  bu
y  cx  du
w  Px
Aˆ P A P 1
cˆ  cP 1
bˆ  Pb
dˆ  d
sI  A  0
w  Aˆ w  bˆu
y  cˆw  dˆu
sI  Aˆ  0
sI  Aˆ  sPP 1  PAP 1  P ( sI  A) P 1  P sI  A P 1
 sI  A
Similarity transformation doesn’t change the eigenvalues.
‫تبدیل همانندی مقادیر ویژه را تغییر نمی دهد‬
4
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Effect of similarity transformation on controllability
‫تاثیر تبدیالت همانندی بر کنترل پذیری‬
w  Aˆ w  bˆu
ˆ
x  Ax  bu
Aˆ P A P 1
y  cx  du

cˆ  cP 1
n 1
S  b Ab A b ... A b

2

b  Pb
dˆ  d
Controllabilit y
Matrix

y  cˆw  dˆu

Sˆ  bˆ Aˆ bˆ Aˆ 2bˆ ... Aˆ n1bˆ


Sˆ  bˆ Aˆ bˆ Aˆ 2bˆ ... Aˆ n 1bˆ  Pb PAP1Pb PA2 P 1Pb ... PAn1P 1Pb 
Pb PAb PA b ... PA b  Pb
2

n 1

Ab A2b ... An1b  PS
Sˆ  PS  P S
Similarity transformation doesn’t change the controllability.
‫تبدیل همانندی کنترل پذیری را تغییر نمی دهد‬
5
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Effect of similarity transformation on observability
‫تاثیر تبدیالت همانندی بر رویت پذیری‬
x  Ax  bu
y  cx  du
 c 


cA


V  . 


 . 
cAn 1 


Aˆ P A P 1
cˆ  cP 1
bˆ  Pb
dˆ  d
Observability
Matrix
With the same proof as pervious
w  Aˆ w  bˆu
y  cˆw  dˆu
 cˆ 
 ˆ 
 cˆA 
Vˆ   . 


 . 
slide cˆAˆ n1 
Similarity transformation doesn’t change the observability.
‫تبدیل همانندی رویت پذیری را تغییر نمی دهد‬
6
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Important canonical forms
‫فرمهای کانونی مهم‬
1- Controllable canonical form.
‫ فرم کانونی کنترل پذیر‬-1
2- Observable canonical form.
‫ فرم کانونی رویت پذیر‬-2
3- Jordan canonical form.
‫ فرم کانونی جردن‬-3
7
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Controllable canonical form
‫فرم کانونی کنترل پذیر‬
0
0

x   ..

0
 
y [ 
... 0 0
... 0 0
.. .. ... .. x   . u
  
0 0 ... 1  0
  ...   1 
  ... ]x
1
0
0
1
1
0  0 
0
x   0
0
1  x  0u
 8  14  7  1 
y  [1 2 0] x
0
0

S   ..

0
 1
... 1 
0 0 ... 
.. .. ... .. 

1  ...  
  ...  
G (s) 
0
0
 S 0
2s  1
s 3  7 s 2  14 s  8
8
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Observable canonical form
‫فرم کانونی رویت پذیر‬
0
1

x   0

 ..
 0
y [ 0
...  
...  
1
0 ...  x  u
  
.. .. ... ..   . 
0 0 1   
0 0 ... 1]x
0
0
0
x   1
 0
y  [0
0
0
 8 1 
0  14  x  2u
1  7  0 
0 1]x
0
0
V 
 ..

1
0 ... 0 1 
0 ... 1 
 V 0
.. .. ... .. 

  ...  
0
G (s) 
2s  1
s 3  7 s 2  14 s  8
9
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Jordan canonical form for systems with distinct eigenvalues
‫فرم کانونی جردن برای سیستم با مقادیر ویژه مجزا‬
1 0 0
0  0
2

x   .. .. ..

 .. .. ..
0 0 0

y  [ c1 c2 c3
... 0  b1 
... 0  b2 
... ..  x   . u
  
... ..   . 
... n  bn 
... cn ]x
Checking the controllability
and observability is very simple
All modes are controllable
and observable
‫تمام مودها کنترل پذیر‬
‫و رویت پذیر است‬
0
0  7 
 4
x   0  2
0 x   3 u
(0.17 )( 7) (0.5)  (3) (0.33)  (1)
g ( s) 


 0
0  1  1 
s4
s2
s 1
y  [0.17  0.5 0.33] x
10
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Extended Jordan canonical form
‫فرم کانونی جردن تعمیم یافته‬
1 1 0
0  0
1

x   0 0 2

 .. .. ..
0 0 0

y  [ c1  c2
... 0   
... 0  b1 
... 0  x  b2 u
  
... ..   . 
... r  br 
... cr ]x
1 and 1 are conrollable iff b1  0 1 and 1 are observable iff c1  0
2 is conrollable iff
.
.
.
.
r is conrollable iff
b2  0
br  0
2 is observable iff
.
.
.
.
r is observable iff
c2  0
11
cr  0
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Transforms to controllable canonical form
‫تبدیل به فرم کانونی کنترل پذیر‬
1  1 1
x  
x   u

0  1 1
 q
P 
qA
q  [0 1]S
1 0 
S

1

1


1
0
1
ˆ
A  PAP  
1
0 1
0
w  
w   u

1 0
1 
S  1 0
System is
controllable
q is last row
of S-1
1
0
1  1
P

1
0


 0
ˆ
b  Pb   
 1
Controllable
canonical form
12
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Transforms to observable canonical form
‫تبدیل به فرم کانونی رویت پذیر‬
 1 2 1
x  
x   u

 2 1 1
y  [0 1]x
0
q V  
1 
1
0  5
1
ˆ
A  PAP  

1
2


 0 1 System is
V 
 observable

2
1


q is last
column
of V-1
 3
ˆ
b  Pb   
1 
0  5
 3
w  
w   u

1 2 
1 
y  [0 1]w
P  q Aq
1
 2  1
P

0
1


cˆ  cP 1  0
dˆ  d  0
1
Observable
canonical form
13
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Transfer function of controllable and observable systems.
‫تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر‬
x  Ax  bu
y  cx  du

G(s)  c(sI  A)1b  d
Let A be n  n
Suppose the system is controllable and observable
‫فرض کنید سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر باشد‬
There is no pole zero cancellation in transfer function
‫حذف صفر و قطب در تابع انتقال نداریم‬
The degree of transfer function is n
.‫ است‬n ‫درجه تابع انتقال برابر‬
14
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Transfer function of controllable and observable systems.
‫تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر‬
x  Ax  bu
y  cx  du

G(s)  c(sI  A)1b  d
Let A be n  n
Suppose the system is not controllable or is not observable
‫فرض کنید سیستم کنترل پذیر یا رویت پذیر نیست‬
There is pole zero cancellation in transfer function
‫حذف صفر و قطب در تابع انتقال داریم‬
The degree of transfer function is less than n
.‫ است‬n ‫درجه تابع انتقال کمتر از‬
15
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Example 1: Transfer function of controllable and observable
systems.
‫ تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر‬: 1‫مثال‬
1 1 0 0
x  0 1 0  x  1 u
0 0 3  1 
y  [1 0 2]x
1 2 3  1 
x  1 2 0 x  1 u
0 0 1 0
y  [1 1 1] x
G( s) 
2s  3s  1
s 3  5s 2  7 s  3
2
2
G (s) 
s 3
System is
controllable
and
observable
System is not both
controllable and
observable but 3 is
controllable and
observable
But we can not know much more information about the system by this method
.‫اما نمی توان اطالعات بیشتری از این روش بدست آورد‬
16
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Controllability and observability from block diagram and state diagram
‫کنترل پذیری و رویت پذیری از طریق بلوک دیاگرام و دیاگرام حالت‬
1- Find the numbers of s-1in the block diagram or state diagram.
‫ را در بلوک دیاگرام و یا دیاگرام حالت بدست آورید‬s-1 ‫ ابتدا تعداد‬-1
2 - Find the transfer function by Mason’s rule
‫ تابع انتقال را با توجه به قانون گین میسون بدست آورید‬-2
3 – If the numbers of s-1in the block diagram or state diagram
is equal to degree of transfer function then the system is
controllable and observable.
‫ در بلوک دیاگرام و یا معادالت حالت با درجه تابع انتقال برابر‬s-1 ‫ اگر تعداد‬-3
.‫شد آنگاه سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر است‬
17 ‫با‬
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Example 2: Check the controllability and observability of following
function.
.‫ کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید‬:2 ‫مثال‬
SD
TF
Mason’s rule
G( s) 
c( s )
1
 2
r ( s ) s  5s  4
The numbers of s-1in the state diagram is 2 and the degree of
transfer function is also 2 so the system is controllable and
observable.
‫ است لذا‬2 ‫ بوده و درجه تابع انتقال نیز‬2 ‫ در دیاگرام حالت برابر‬s-1 ‫تعداد‬
.‫سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر است‬
18
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Exercises
1- a) Find the transfer function of the following system.
b) Check the controllability and observability of the system from part a.
 2
x   0
 1
y  [1 2
3 0
 3 2  x  1 u
4  1  0
0] x
1
2- Consider the following system.
a) Find the controllable canonical form.
b) Find the observable canonical form.
  3  6  4  6 
x   1
2
2  x   3u
 1  6  6   4 
y  [2 2  1]x
19
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Exercises (Cont.)
3- Check the controllability and observability of every mode in the
following system by direct inspection (without calculation).
 2
w   0
 0
y  [1 1
0
 2
 1 0 w  0u
1 
0  4
0]w
0
S-1
1
4- Check the controllability and
observability of the following
system
1
r(s)
1
-1
S-1
-3
S-1
3
-2
c(s)
1
20
-2
Ali Karimpour Oct 2009
Lecture 8
Exercises (Cont.)
5- Check the controllability and observability of the following system
by transfer function method.
1
s2
+
+
3
1
s
+
+
6- Check the controllability and observability of every mode in
exercise 5.
7- The eigenvalues of a system are -3,4,-5 and the poles of its transfer
function are -3 and -5.(Midterm spring 2008)
a) What is your idea about the observability of each eigenvalue.
b) What is your idea about the controllability of each eigenvalue.21
Ali Karimpour Oct 2009