Transcript Motivation6 1a b c d e 1 2 3 4 5 f g 6 7 2 3 4 5 4 5 6 7 7 1 2 3 1 Example 1:

Motivation
5
6
7
3
1
2
a b c d e
1 2 3 4 5
4
f g
6 7
2 3 4 5
4 5 6 7
7 1
2 3
6
1
Example 1: Fano
configuration
(projective plane).
lines
points
a
1
b
2
c
3
d
4
e
5
f
6
g
7
Exercises
• N1: Determina all lines passing through the point
3 of Fano plane.
• N2: How many lines pass through 4 and 6?
• N3: How many lines pass through 1, 2, 3?
• N4*: Is it possible to draw Fano plane with
straight lines?
• N5*: Describe various properties of Fano plane.
For example: Each number from 1 to 7 appears
exactly three times in the table.
Incidence structure
• An incidence structure C is a triple
– C = (P,L,I) where
• P is the set of points,
• L is the set of blocks or lines
– I  P  L is an incidence relation.
– Elements from I are called flags.
• The bipartite incidence graph G(C) with black
vertices P, white vertices L and edges I is known
as the Levi graph of the structure C.
Pappus Configuration
1
2
3
2’’
3’’
1’
1’’
2’
3’
Naloge
• N1: Koliko točk in koliko premic ima Papusova
konfiguracija
• N2: Koliko premic poteka skozi posamezno točko
Papusove konfiguracije?
• N3: Koliko je največ in koliko je najmanj premic,
ki potekajo skozi par različnih točk Papusove
konfiguracije?
• N4: Zapiši tabelo (kombinatorični opis) za
Papusovo konfiguracijo.
• N5*: V sadovnjak zasadi 9 dreves v 10 vrst, tako
da bodo v vsaki od desetih vrst po 3 drevesa!
Še en zgled
1
4
3
2
• Slika na levi vsebuje 4
točke 1,2,3,4 in štiri
krožnice a,b,c,d.
Kombinatorični opis
daje konfiguracijska
tabela:
a
b
c
d
1
1
1
2
2
3
2
3
4
4
3
4
Še en zgled - nadaljevanje
a
b
c
d
1
1
1
2
2
3
2
3
4
4
3
4
• Konfiguracijsko tabelo
lahko prikažemo
“grafično”.
Še en zgled - konec
B
4
3
1
A
D
2
C
• Naloge:
• N1: Napiši
konfiguracijsko tabelo
oglišč in lic četverca
(tetraedra).
• N2: Napiši
konfiguracijsko tabelo za
konfiguracijo oglišč in
robov četverca.
• N3: Pokaži, da prva in
zadnja konfiguracija ne
razločujeta.
Miquelova konfiguracija
• Konfiguracija 4 točk
in 6 krožnic na levi se
imenuje Miquelova
konfiguracija. [Tu
pojmujemo tudi
premice za krožnice!]
• Konfiguracija izhaja iz
Miquelovega izreka.
Miquelova konfiguracija nadaljevanje
Naloge:
• N1: Ali je tudi
konfiguracija na levi
Miquelova? Preveri s
primerjavo
kombinatoričnih
opisov.
• N2: Koliko točk in
koliko krivulj imata
konfiguraciji?
Examples
• 1. Each graph G = (V,E) is an incidence structure:
P = V, L = E, (x,e) 2 I if and only if x is an
endvertex of e.
• 2. Any family of sets F µ P(X) is an incidence
structure. P = X, L = F, I = 2.
• 3. A line arrangement L = {l1, l2, ..., ln} consisting
of a finite number of n distinct lines in Euclidean
plane E2 defines an incidence structure. Let V
denote the set of points from E2 that are contained
in at least two lines from L. Then: P = V, L = L and
I is the point-line incidence in E2.
Exercises
• N1. Draw the Levi graph of the incidence
structure defined by the complete bipartite graph
K3,3.
• N2. Draw the Levi graph of the incidence
structure defined by the powerset P({a,b,c}).
• N3. Determine the Levi graph of the incidence
structure, defined by an arrangemnet of three lines
forming a triangle in E2.
Incidence geometry
• Incidence geometry (G,c)of rank k is a graph G
with a proper vertrex coloring c, where k colors
are used.
• Sometimes we denote the geometry by (G,c,I,~).
Here c:VG ! I is the coloring and |I| = k is the
number of colors, also known as the rank of G.
Also ~ is the incidence.
• I is the set of types. Note that only object of
different types may be incident.
Examples
• 1. Each incidence structure is a rank 2 geometry.
(Actually, look at its Levi graph.)
• 2. Each 3 dimensional polyhedron is a rank 3
geometry. There are three types of objects:
vertices, edges and faces with obvious geometric
incidence.
• 3. Each (abstract) simplicial complex is an
incidence geometry.
• 4. Any complete multipartite graph is a geometry.
Take for instance K2,2,2, K2,2,2,2, K2,2, ..., 2.
Incidence geometries of rank 2
• Incidence geometries of rank 2 are simply
bipartite graphs with a given black and
white vertex coloring.
• Rank 2 geometries that are in addition
connecte: d and the valence of each verteix
is at least 2d(G) >1 Pasini geometries.
Example of Rank 2 Geometry
• Graph H on the left is
known as the
Heawood graph.
• H is connected
• H is trivalent: d(H) =
D(H) = 3.
• H je bipartite.
• H is a Pasini geometry.
Another View
• Geometry of the
Heawood graph H has
another interpretation.
• Rank = 2. There are two
types of objects in
Euclidean plane, say,
points and curves.
• There are 7 points, 7
curves, 3 points on a
curve, 3 curves through a
points.
• The corresponding Levi
graph is H!
In other words ...
• The Heawood graph (with a given black and white
coloring) is the same thing as the Fano plane (73),
the smallest finite projective plane.
• Any incidence geometry can be interpeted in
terms of abstract points, lines.
• If we want to distinguish geometry (geometric
interpretation) from the associated graph
(combinatorial description) we refer to the latter
the Levi graph of the corresponding geometry.
Simlest Rank 2 Geometries
Cycle
(Levi Graph)
Triangle
(Geometry)
• “Simplest”
geometries of rank
2 in the sense of
Pasini are even
cycles. For instance
the Levi graph C6
corresponds to the
triangle.
Rank 3
• Incidence geometries of rank 3 are exactly 3colored graphs.
• Pasini geometries of rank 3 are much more
restricted. Currently we are interested in those
geometries whose residua are even cycels.
• Such geometries correspond to Eulerian surface
triangulations with a given 3-vertex coloring.
Reye Configuration
• Reye Configuration of
points, lines and planes in
the 3-dimensional projective
space consists of
• 8 + 1 + 3 = 12 points (3 at
infinity)
• 12 + 4 = 16 lines
• 6 + 6 = 12 planes.
P=12
L=16 S=12
P=12
-
4
6
L=16
3
-
3
S=12
6
4
-
Theodor Reye
• Theodor Reye (1838 1919), German
Geometer.
• Known for his book
:Geometrie der Lage
(1866 in 1868).
• Published this
configuration in 1878.
• Posed “the problem of
configurations.”
Centers of Similitude
• We are interested in
tangents common to
two circles in the
plane.
• The two intersections
are called the centers
of similitudes of the
two circles. The blue
center is called the
internal (?), the red
one is the external.(?)
• If the radii are the
same, the external
center is at infinity.
Residual geometry
• Each incidence geometry
Gx
x
•
•
•
•
•
G
G =(G, ~, c, I)
(G,~) a simple graph
c, proper vertex coloring,
I collection of colors.
c: VG ! I
• Each element x 2 VG
determines a residual
geometry Gx. defined by
an induced graph defined
on the neighborgood of x
in G.
Reye Configuration -Revisited
• Reye configuration
can be obtained from
centers of similitudes
of .... (check Hilbet ...)
Flags and Residuals
• In an incidence geometry G a clique on m vertices
(complete subgraph) is called a flag of rank m.
• Residuum can be definied for each flag F ½ V(G).
G(F) = Å{G(x) = Gx |x 2 F}.
• A maximal flag (flag of rank |I|} is called a
chamber. A flag of rank |I|-1 is called a wall.
• To each geometry G we can associate the chamber
graph:
• Vertices: chambers
• Two chamber are adjacent if and only if they share a common
wall.
• (See Egon Shulte, ..., Titts systems)
The 4-Dimensional Cube Q4.
0010
0001
0000
0100
1000
The Geometry of Q4.
•
•
•
•
•
•
Vertices (Q0) of Q4: 16
Edges (Q1)of Q4: 32
Squares (Q2) of Q4: 24
Cubes (Q3) of Q4: 8
Total: 80
The Levi graph of Q4 has 80 vertices and is
colored with 4 colors.
Residual geometries of Q4.
V
E
S
Q3.
G(V)
-
4
6
4
G(E)
2
-
3
3
G(S)
4
4
-
2
G(Q3)
8
12
6
-
Exercises
• N1: Determine all residual geometries of Reyeve
configuration
• N2: Determine all residual geometries of Q4.
• N3: Determine all residual geometries of Platonic
solids.
• N4: Determine the Levi graph of the geometry for
the grup Z2 £ Z2 £ Z2, with three cyclic
subgroups, generated by 100, 010, 001,
respectively.
• (Add Exercises for truncations!!!)
COMBINATORIAL
CONFIGURATIONS
(Combinatorial) Configuration
• A (vr,bk) configuration is an incidence structure C
= (P,L,I) of points and lines, such that
• v = |P|
• b = |L|
• Each point lies on r lines.
• Each line contains k points.
• Two lines intersect in at most one point..
• Pozor: Levijev graf je semiregularen z ožino  6
Symmetric configurations
• A (vr,bk) configuration is symmetric, if
• v = b (this is equivalent to r = k).
• A (vk,bk) configuration is usually denoted by (vk)
configuration.
Small Configurations
• Triangle is the only
(32) configuration.
• Pasch configuration
(62,43) and its dual
complete quadrangle
(43,62) share the same
Levi graph S(K4).
Desargues Configuration
and its
Levi Graph G(10,3)
Problem: Find a Model!
• We know that G(10,3)
embeds in double torus.
• Is there a nice model out
there?
• Here are the faces:
•
•
•
•
•
•
•
•
7,
6,
5,
2,
1,
1,
1,
3,
18, 19, 10, 11, 12, 13, 8
15, 14, 13, 12, 17, 18, 7
6, 7, 8, 9, 10, 19, 20
3, 14, 15, 16, 17, 12, 11
2, 11, 10, 9, 4, 5, 20
16, 15, 6, 5, 4, 3, 2
20, 19, 18, 17, 16
4, 9, 8, 13, 14
Exercises
CYCLIC CONFIGURATIONS
AND HAAR GRAPHS
Haarov graf naravnega števila
Naravnemu številu n priredimo graf na naslednji
način: Naj k označuje število števk v dvojiškem
zapisu števila n in naj bodo {bk-1, bk-2, ..., b1, b0}
dvojiške števke števila n. Graf H(n) = H(k; n), ki
mu rečemo Haarov graf števila n, ima vozlišča ui,
vi, i=0,1,...,k-1. Vozlišče ui povežemo z vozliščem
vi+j, če in samo če je bj = 1.
Opomba: Če za k vzamemo število, ki je večje od
števila števk, dobimo v seveda drugačen graf!
Zgled
Poiščimo H(37).
Dvojiški seznam:
• {1,0,0,1,0,1}
Število k = 6.
H(37) = H(6,37) je
graf na levi!
Dipol qn
• Dipol qn ima dve vozlišči,
ki ju povezuje n povezav.
Če želimo vozlišči posebej
označiti, imenujemo prvo
vozlišče črno, drugo pa
belo. Na levi vidimo q5.
• Vsak dipol je dvodelen
graf, zato so tudi krovi nad
dipoli dvodelni. Dipol q3
je kubičen graf, ki mu
nekateri pravijo kar theta
graf q.
Ciklični krov nad dipolom
0 3 5
Z6
• Vsak Haarov graf je tudi ciklični
krov nad dipolom. Na prejšnjem
zgledu se lahko naučimo recept:
• H(37) je določen s številom 37,
oziroma z dvojiškim nizom
• (1 0 0 1 0 1)
• Dolžina niza je k=6, od tod grupa
Z6. Pod niz zapišemo indekse:
• (0 1 2 3 4 5)
• Enice se pojavljajo na mestih 0, 3
in 5. To pa določa napetosti na
levi. Pripadajoči krov je H(37).
Naloge
• Graf na levi strani se
imenuje Heawoodov graf.
Dokaži:
– Je dvodelen
– Je Haarov. (Poišči ustrezno
število n!)
– Zapiši ga v obliki
cikličnega krova nad
dipolom.
– Ne vsebuje nobenega cikla
dolžine < 6.
– Je najmanjši kubični graf
brez ciklov dolžine < 6.
Povezani Haarovi grafi
• Graf G je povezan, če lahko najdemo pot
med poljubnima vozliščema.
• Med Haarovimi grafi obstajajo tudi
nepovezani. Tak je na primer H(10).
• Pravimo, da je število povezano, če je
pripadajoči Haarov graf povezan.
• Primeri majhnih nepovezanih števil:
2,4,8,10,16,32,34,36,40,42,64.
Naloge
• Dokaži, da so vse pozitivne potence števila 2
nepovezana števila.
• Pokaži, da je Möbius-Kantorjev graf G(8,3)
Haarov graf nekega naravnega števila. Katero
število je to?
• Poišči vse posplošene Petersenove grafe, ki so
Haarovi grafi kakšnega števila.
• Pokaži, da obstajajo Haarovi grafi, ki so tudi
cirkulanti.
• Pokaži, da obstajajo Haarovi grafi, ki niso
cirkulanti.
Naloge, nadaljevanje
• Dokaži, da so vsi Haarovi
graf vozliščno tranzitivni.
• Dokaži, da je vsak Haarov
graf Cayleyev graf za
diedrsko grupo.
• Dokaži, da obstajajo
dvodelni Cayleyevi grafi
diedrskih grup, ki niso
Haarovi (npr. graf na levi
je tak).
Naloge, konec
• Števili n in m sta ciklično ekvivalentni, če in samo če
lahko dvojiški niz, ki pripada prvemu prevedemo na
dvojiški niz drugega števila s “cikličnimi” avtomorfizimi.
To pomeni, da lahko nize ciklično permutiramo, zrcalimo
ali pa indekse množimo s številom tujim proti dolžini niza.
• Števili n in m sta Haarovo ekvivalentni, če sta njuna
Haarova grafa izomorfna: H(n) = H(m).
• Dokaži, da ciklična ekvivalenca implicira Haarovo
ekvivalenco.
• Z računalnikom preveri, da sta števili 137331 in 143559
Haarovo ekvivalentni, nista pa ciklično ekvivalentni.
Graf Marka Watkinsa
• Kubični Haarov graf
H(536870930) ima
zanimivo lastnost. Je
najmanjši povezan Haarov
graf, ki med ciklično
ekvivalentnimi nima
nobenega lihega števila.
• Dokaži, da je vsak Haarov
graf lihega števila
H(2n+1) hamiltonski in
zato povezan.
Ožina povezanih Haarovih grafov
• K2 je edini povezani enovalentni Haarov
graf.
• Sodi cikli C2n so povezani dvovalentni
Haarovi grafi.
• Izrek: Naj bo H povezan Haarov graf
valence d > 2. Tedaj je njegova ožina bodisi
4 bodisi 6.
Ciklične konfiguracije
k
k+1
k+3
a b c d
1 2 3 4
e
5
f g
6 0
2 3 4 5
4 5 6 0
6
1
0 1
2 3
• Simetrično (vr)
konfiguracijo, ki jo določa
prvi stolpec s tabele in
dobimo preostale stolpce z
zaporednim prištevanjem
enice (po izbranem
modulu m) imenujemo
ciklična konfiguracija:
Cyc(m;s).
• Na levi sliki je ciklična
Fanova konfiguracija
Cyc(7;1,2,4) = Cyc(7;0,1,3).
Povezava s Haarovimi grafi
• Izrek: Simetrična konfiguracija (vr), r > 2 je
ciklična, če in samo če je njen Levijev graf Haarov
z ožino  4.
• Posledica: Vsaka ciklična konfiguracija je
točkovno in premično tranzitivna ter sebidualna.
• Posledica: Vsaka ciklična konfiguracija (vr), r > 2
vsebuje trikotnik.
• Vprašanje: Ali obstaja ciklična konfiguracija, ki
ni sebi-polarna?
Astralne in stelarne konfiguracije
• Kombinatorna ciklična konfiguracija ima vse
točke (in vse premice) v eni sami orbiti. Ne
moremo pa je narisati v ravnini tako, da bi ohranili
to simetrijo. [Izjema (v2)] .
• Če obstaja geometrijska realizacija konfiguracije s
k enako močnimi orbitami, pravimo, da je
konfiguracija k-stelarna. Če je k = 2, je
konfiguracija astralna. Oba pojma sta povezana s
policikličnimi konfiguracijami.
15. OBSTOJ IN
ENUMERACIJA
KONFIGURACIJ
Obstoj linealnih konfiguracij
• Trditev: za vsako linealno (vr,bk) konfiguracijo (r
¸ k) veljata zvezi:
• v.r = b.k
• b ¸ v ¸ 1 + r(k – 1)
• Posledica: Za simetrične (vk) konfiguracije velja:
•
•
•
•
v ¸ 1 + k(k-1) = 1 –k + k2
Za k = 3 je v ¸ 7,
Za k = 4 je v ¸ 13,
Za k = 5 je v ¸ 21.
Dualnost
Vsaka incidenčna struktura C = (P,L,I)
porodi dualno strukturo Cd = (L,P,Id) pri
kateri je vloga premic in točk zamenjana ob
istih incidencah.
• Strukturi C in Cd delita isti Levijev graf, le
vloga črnih in belih vozlišč se zamenja.
Sebi dualnost in avtomorfizmi
• Če je C izomorfna svojemu dualu Cd , pravimo, da
je sebidualna, pripadajoči izomorfizem pa je
dualitnost.
• Dualnost reda 2 se imenuje polarnost.
• Izomorfizem C nase je avtomorfizem ali
kolinearnost.
Avtomorfizmi in
antiavtomorfizmi
• Avtomorfizmi strukture C oblikujejo grupo, ki jo
označimo z Aut0C.
• Če obravnavamo hkrati avtomorfizme in dualnosti
(anitavtomorfizme) kot premutacije, ki delujejo na
disjunktni uniji P  L, dobimo razširjeno grupo
avtomorfizmov Aut C.
Grafi in konfiguracije
• Konfiguraciji oz. poljubni incidenčni strukturi
lahko priredimo več grafov. Na tem mestu se bom
ukvarjali le z dvema: Levijev graf L in
Mengerjev graf M.
• Levijev graf konfiguracije je dvodelen in nosi
polpolno informacijo o konfiguraciji. Razširjena
grupa avtomorfizmov AutC sovpada z grupo
avtomorfizmov Levijevega grafa L, medtem ko
Aut0C ohranja obe dvodelni množici vozlišč.
“Blocking set”
• Množica točk B konfiguracije je “blocking
set”, če za vsako premico L obstajata točki
x in y na njej, tako da je:
• x 2 B in x I L,
• x  B in y I L.
Pomen oznak
Preštevanje (v3) konfiguracij
Preštevanje (v3) konfiguracij brez
trikotnikov
16. KLASIČNE
KONFIGURACIJE
Predsedniške volitve 1997 in
Möbius-Kantorjeva
konfiguracija


8 kandidatov: Bernik, Cerar, Kovač, Kučan,
Miklavčič, Peršak, Podobnik, Poljšak
Soočenja na TV Slovenija: 8 večerov, vsak večer
po trije kandidati
Predsedniške volitve 1997
Nekega večera v studiu
Čez dolgih sedem dni
Vprašanje
• Ali lahko razvrstimo kandidate v 8 trojic,
tako da se nobena 2 ne bosta srečala več
kot enkrat?
Möbius - Kantorjeva konfiguracija
edina (83) konfiguracija
6
7
3
8
1
5
2
4
124
235
346
457
568
671
782
813
Levijev graf Möbius - Kantorjeve konfiguracije
drugačen pogled na rešitev
8
813
1
782
124
2
7
671
235
6
3
568
346
5
457
4
Abstraktni model z rešitvijo ima lahko
popolnoma drugačne aplikacije
8
813
1
782
124
2
7
671
235
6
3
568
346
5
457
4
Nekoliko spremenjeni pogoji
Denimo, da bi se na predsedniške volitve
letos prijavilo 9 kandidatov.

 Ali
jih lahko razvrstimo v 9 trojic, tako da se
nobena 2 ne srečata več kot enkrat?
Vse (93) konfiguracije
Pappusova konfiguracija
Problem sadovnjaka
Na vrtu v vrstah po tri
devet se dreves zasadi.
Glavni problem
je le v tem,
da naj se deset vrst dobi!
Pappusova konfiguracija
rešitev problema sadovnjaka
Pappusova konfiguracija se edina lahko
vloži v afino ravnino reda 3
Omogoča
razvrstitev
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12 kandidatov
v 9 večerov
Pappusova konfiguracija
• Pappusova (93) konfiguracija
sestoji iz devetih točk in devetih
premic. Točkam lahko
pripišemo homogene
koordinate (a,b,c), pa tudi
premicam lahko pripišemo
homogene koordinate [p,q,r] pri
čemer incidenco določa zveza
ap+bq+cr=0.
• Ta primer lahko interpretiramo
kot zgled ortogonalne
reprezentacije grafov, pri
katerih u~v implicira r(u) ^
r(v).
Möbius-Kantorjeva konfiguracija
– še enkrat
• Möbius-Kantorjeva
konfiguracija je edina (83)
konfiguracija. Njen Levijev
graf je posplošen Petersenov
graf G(8,3).
Mengerjev graf MöbiusKantorjeve konfiguracije
• Kaj pa je Mengerjev graf te
konfiguracije?
• Brez problemov uvidimo, da je
Mengerjev graf te konfiguracije K8
– 4K2
• Na sliki je lepo razvidno, da
vozlišča grafa prestavljajo točke,
trikotniki v grafu pa premice
konfiguracije.
Clebschev šestkotnik
Clebschev šestkotnik – še enkrat
4
7
15
12
5
8
3
16
2
1
11
14
9
6
10
13
Clebschev graf
Hiperkocka Q4
Clebschev graf – še enkrat
Grayev graf G
• Najmanjši kubični graf, ki je
povezavno tranzitiven in ni
vozliščno tranzitiven ima 54
vozlišč in je znan pod
imenom Grayev graf.
Označili ga bomo z G.
• Ker ima ožino 8, je Levijev
graf dveh najmanjših
dualnih, točkovno, premično
in praporno tranzitivnih, ne
sebidualnih (273)konfiguracij.
Grayeva konfiguracija
• Ciklično risanje obeh
konfiguracij, ki izhajata iz
Grayevega grafa.
• Obe risbi prikazujeta probleme
v zvezi z risanjem z ravnimi
črtami. Na obeh opazimo lažne
incidence, ki jih v
kombinatornih konfiguracijah
ni. Če se želimo izogniti lažnim
incidencam bodisi zgubimo 9merno simetrijo bodisi
izgubimo ravne črte.
Grayeva konfiguracija še enkrat
• Slika na levi prikazuje
mnogo boljšo sliko
Grayeve konfiguracije.
Pomaga nam tudi ločiti
med Grayevo
konfiguracijo in dualno
Grayevo konfiguracijo.
• Risba na levi pokaže, da je
Mengerjev graf M
Grayeve konfiguracije
izomorfen kartezičnemu
produktu treh trikotnikov:
K3  K3  K3 .
Mengerjev in dualni Mengerjev
graf
• Lepa reprezentacija iz
prejšnje prosojnice
olajša izbiro med
Grayevo konfiguracijo
in njenim dualom (ter
med Mengerjevim
grafom M = K33 in
dualnim Mengerjevim
grafom D.)
Rod produkta K3  K3  K3
a
c
'
a
b
'
c
'
b
c
+
c
b
a
a
'
b
'
c
c
'
a
b
c
b
'
a
'
a
'
b
'
b
'
a
'
c
'
b
• Pred leti so dokazali,
da je g(K3  K3  K3 )
= 7. Optimalno
vložitev so konstruirali
Mohar, Pisanski,
Škoviera in White.
Shematično je
prikazana na levi.
Optimalna vložitev
• Optimalna vložitev s prejšnje prosojnice ima nekaj
zelo lepih lastnosti:
– Njen dual je dvodelni.
– Vložitev uporabi vseh 27 trikotnikov grafa za lica
– Če pobarvamo lica z dvema barvama, je vseh 27
trikotnikov pobarvanih z isto barvo.
• Od tod pa sledi zelo pomembna ugotovitev: Točke
Grayeve konfiguracije ustrezajo vozliščem,
premice pa trikotnikom vložitve. Incidenca je
seveda določena s povezavami.
Grayev graf lahko vložimo v
sklenjeno orientabilno ploskev
roda 7
• Če obržimo originalna
vozlišča in vpeljemo nova
vozlišča v težiščih
trikotnikov in povežemo
vsako težišče z oglišči,
dobimo na ta način ravno
Grayev graf.
• Posledica: Grayev graf je
mogoče vložiti v isto
ploskev!
Grayev graf lahko vložimo v
sklenjeno orientabilno ploskev
roda 7
• Če obržimo originalna
vozlišča in vpeljemo nova
vozlišča v težiščih
trikotnikov in povežemo
vsako težišče z oglišči,
dobimo na ta način ravno
Grayev graf.
• Posledica: Grayev graf je
mogoče vložiti v isto
ploskev!
Spodnja meja
• Zgornja meja je potemtakem 7.
Da je tudi spodnja meja 7, sledi
iz naslednjega rezultata:
• Trditev: Naj bo L Levijev in M
Mengerjev graf neke (v3)
konfiguracije C, tedaj velja
ocena g(M)  g(L).
• Dokaz: Začnemo z optimalno
vložitvijo grafa L. Že opisani
proces lahko obrnemo (in
vpeljemo trikotnike). Tako
dobimo vložitev grafa M v isto
ploskev.
Dualni Mengerjev graf D
19
4
7
5
20
6
24
2
3
27
17
8
23
12
16
18
9
21
26
22
1
10
13
25
14
11
15
• Še na nekaj moramo
opozoriti, namreč na dualni
Mengerjev graf D, gi se ga da
po isti logiki vložiti v
sklenjeno ploskev roda 7. Ni
težko videti, da je tudi ta graf
s slike na levi zanimiv. Je
namreč Cayleyev graf
poldirektnega produkta
cikličnih grup Z3 ⋉ Z9.
• Lahko ga tudi opišemo kot Z9krovni graf nad bazičnim
grafom z naslednje prosojnice.
Napetostni graf
+2
-4
-1
+4 +1
+2
+1
-2
• Dualni Mengerjev graf
je Z9 krovni graf nad
napetostnim grafom na
levi. Napetosti so
seveda iz grupe Z9.
• Lahko ga tudi
predstavimo kot
+4
Cayleyev graf z
naslednje prosojnice.
Holtov Graf
• 4-valentni Holtov graph H
je vpet podgraf grafa D na
27 vozliščih in je
najmanjši 1/2-ločno
tranzitivni graf. To
pomeni, da je H najmanjši
vozliščno in povezavno,
ne pa ločno tranzitiven
graf. Prikazuje ga slika na
levi.
Holtov graf - ponovno
+2
-4
+4 +1
+2
+1
-2
• 4-valentni Holovt graf
H je vpet podgraf grafa
D. Iz D ga dobimo z
odtranitvijo 2-faktorja
-1
3C9. Natančneje: H je
Z9-krov nad zelenim
grafov na levi [z
odstranjenimi tremi
+4
rdečimi zankami.]
Nekaj prezentacij grupe Z3 ⋉ Z9
• Grafa H in D sta Cayleyeva grafa grupe Z3
⋉ Z9.
– Z3 ⋉ Z9 = <a, b | a9 = b3 = 1, b-1ab = a2>
– D = <x, y, z | x9 = y9 = z9 = 1, y-1xy = x2,
y-1zy = z2, x-1yx = y2, x-1zx = z2, z-1xz = x2,
z-1yz = y2>
– H dobimo iz D če iz prezentacije odstranimo
kateregakoli od x,y,z.
Nerešeni problemi
• Kolikšen je rod grafa D? Kolikšen je rod grafa H?
Rod grupe Z3 ⋉ Z9 je poznan: g(Z3 ⋉ Z9) = 4.
Po drugi strani smo dokazali, da dopušča D
vložitev v sklenjeno ploskev roda 7. Zato velja:
– 4  g(D)  7
– 4  g(H)  7
• V prvem primeru bo najbrž lažje izboljšati
spodnjo, v drugem pa zgornjo mejo.
Balabanova 10-kletka
• Na levi vidimo Balabanovo 10kletko. To je najmanjši kubični graf
ožine 10. Ima 70 vozlišč, vidimo
tudi očitno simetrijo.
• Kletka poseduje tudi Hamiltonov
cikel. To vidimo npr. iz LCF kode
zanjo:
•
[-9, -25, -19, 29, 13, 35, -13, 29, 19, 25, 9, -29, 29, 17, 33, 21,
9, -13, -31, -9, 25, 17, 9, -31, 27,
-9, 17, -19, -29, 27, -17, -9, -29,
33, -25, 25, -21, 17, -17, 29, 35, 29, 17, -17, 21, -25, 25, -33, 29,
9, 17, -27, 29, 19, -17, 9, -27, 31,
-9, -17, -25, 9, 31, 13, -9, -21, 33, -17, -29, 29]
Preostali 10-kletki
• Ob Balabanovi
obstajata še dve 10kletki. Druga je bolj
simetrična od tretje.
• [(-29, -19, -13, 13,
21, -27, 27, 33, -13,
13, 19, -21, -33,
29)5]
Preostali 10-kletki
• Ob Balabanovi obstajata še dve
10-kletki. Tretja je najman
simetrična.
• [9, 25, 31, -17, 17, 33, 9,
-29, -15, -9, 9, 25, -25,
29, 17, -9, 9, -27, 35, -9,
9, -17, 21, 27, -29, -9, 25, 13, 19, -9, -33, -17,
19, -31, 27, 11, -25, 29, 33, 13, -13, 21, -29, -21,
25, 9, -11, -19, 29, 9, 27, -19, -13, -35, -9, 9,
17, 25, -9, 9, 27, -27, 21, 15, -9, 29, -29, 33, 9, -25].
10-kletke
• Vse tri 10-kletke so hamiltonske, zato smo
jih lahko opisali z LCF kodo.
• Grupe avtomorfizmov imajo rede: 80, 120,
24.
• Literatura: T.P., M. Boben, D. Marušič, A.
Orbanič: The 10-cages and derived
Configurations, Discrete Math. 2003 (v
tisku).
17. (v3) KONFIGURACIJE
Martinettijev izrek
• V. Martinetti je leta 1887 vpeljal pojem redukcije, oz.
pojem ireducibilne konfiguracije. Pri tem je mogoče (v3)
konfiguracijo reducirati na ((v-1)3) konfiguracijo. Določil
je tudi množico vseh ireducibilnih konfiguracij.
• Tako je mogoče vsako (v3) konfiguracijo dobiti iz ene od
ireducibilnih z inverznim zaporedjem redukcij.
• Težava je v tem, da se je pri pregledovanju vseh primerov
zmotil. Zato je treba Martinettijev izrek malo popraviti in
dokazati na podoben način, kot ga je dokazoval Martinetti.
• Martinettijev izrek je popravil Marko Boben.
(v3) grafi in konfiguracije
• Povezan, kubični, dvodelni graf z ožino vsaj
6 poimenujemo krajše kot (v3) graf.
• (v3) graf je Levijev graf neke povezane (v3)
konfiguracije.
Martinettijve redukcija
• Martinettijevo redukcijo
na Levijevem grafu
konfiguracije prikazuje
slika na levi.
• V konfiguraciji zbrišemo
premico in točko na njej.
• Pozor: Martinettijevo
redukcijo lahko izvedemo
na dva načina! Uporabimo
jo lahko le, če ne
ustvarimo štirikotnikov!
Ireducibilne konfiguracije in
grafi.
• (v3) konfiguracija (oz. njen Levijev graf) je
ireducibilna, če ne moremo na njej izvesti
Martinettijeve redukcije. Druge (v3)
konfiguracije oz. (v3) grafi so reducibilne.
Pomožna trditev
• Lema: (v3) graf G je ireducibilen natanko
tedaj, ko za poljubno povezavo e grafa G
velja:
• e je skupaj z eno izmed sosednjih povezav presek
dveh 6-ciklov ali
• e leži na poti efg dolžine 3, ki je presek dveh 6ciklov.
Dokaz leme I. del
e
e
• Naj bo e poljubna
povezava ireducibilnega
G. Če jo reduciramo po
Martinettiju, dobimo graf
ožine 4. Pregled vseh
možnih primerov pokaže,
da sta v G dva 6-cikla, ki
vsebujeta v preseku
povezavo e, presek pa je
pot, dolžine 2 ali 3 [in e
ni vmesna povezava na
tem preseku].
Dokaz leme II. del
e
e
• Naj bo e povezava na
preseku dveh 6-ciklov.
Obravnavati moramo dva
primera: presek je pot
dolžine 2 in pot dolžine 3.
Pokazati moramo, da
povezave e v nobenem
primeru ne moremo
reducirati. V obeh
primerih dobimo po
redukciji štirikotnik.
Dokaz leme II. del
e
e
• Naj bo e povezava na
preseku dveh 6-ciklov.
Obravnavati moramo dva
primera: presek je pot
dolžine 2 in pot dolžine 3.
Pokazati moramo, da
povezave e v nobenem
primeru ne moremo
reducirati. V obeh
primerih dobimo po
redukciji štirikotnik.
Graf t, družini grafov t(n) in T(n)
• Na sliki je graf t na
desetih vozliščih, ki je
osnova za konstrukcijo
družin grafov t(n) in
T(n).
T(2) = t(4)
• T(2) = t(4)
• T(n) ima 20n vozlišč. Od
tega ima le 6 vozlišč
valence 2. Tri zgoraj, tri
spodaj. Če povežemo tri
zgornja vozlišča s tremi
spodnjimi, dobimo
kubičen graf. To lahko
naredimo na 6 načinov,
vendar dobimo le tri
neizomorfne grafe T1(n),
T2(n) in T3(n).
Družina grafov C(m)
a
c
A
b
C(3)
• Graf C(m) ima 6m
vozlišč. Dobimo ga iz
m 6-ciklov s
povezovanjem, ki ga
C
prikazuje slika na levi.
• Iz grafa C(m) dobimo
tri grafe D(3m),
D(3m+1) in D(3m+2).
Pri tem ima graf D(n)
B
ravno 2n vozlišč.
Družina grafov D(3m)
a
• Iz grafa C(m) dobimo
graf D(3m) brez
dodajanja novih
C
vozlišč. Dodamo le tri
povezave, tako, da
dobimo kubičen graf:
A-a,B-b in C-c.
c
A
b
B
D(9)
Družina grafov D(3m+1)
a
c
A
b
D(10)
• Iz grafa C(m) dobimo
graf D(3m+1) z
dodajanjem dveh novih
C
vozlišč: X in x. Dodamo
še povezave, kakor
prikazuje slika,
• Pri grafu D(3m+2)
dodamo 4 nova vozlišča
B
povezana v pot dolžine 3.
Grafi D(n), n ¸ 7.
1 2 4
Zn
• Iz kaže se, da so grafi
D(n), n ¸ 7 ravno Levijevi
grafi cikličnih konfiguracij
z bazno premico {1,2,4}.
To pa pomeni, da jih lahko
predočimo kot Zn krove
nad dipolom q3. To pa so
ravno Haarovi grafi: D(n)
= H(2n-1 + 5). Ni težko
videti, da je njihova LCF
koda LCF = [5,-5]n.
D(7)
• D(7) = Heawoodov
graf.
D(8)
• D(8) = Moebius
Kantorjev graf,
Levijev graf edine (83)
konfiguracije.
D(9)
• D(9) = Levijev graf
edine ciklične (93)
konfiguracije.
D(10)
• D(10) = Levijev graf
edine ciklične (103)
konfiguracije.
Popravljen Martinettijev izrek
• Ireducibilni (v_3) grafi so:
• Graf Papusove konfiguracije.
• Grafi T1(n), T2(n), T3(n), za n ¸ 1
• Grafi D(n), za n ¸ 7.
• Opomba: Martinetti je spregledal primera
T2(n) in T3(n) in ni posebej omenjal D(7) in
D(8).
19. STEINITZOV IZREK
Motivacija
• Fanove konfiguracije ne
moremo narisati s samimi
ravnimi črtami. Nujno
rabimo tudi krive črte.
Skozi tri točke gre natanko
ena krožnica. Zato lahko
vsako (v3) konfiguracijo
narišemo s premicami in
krožnicami.
• Vprašanje: Koliko največ
krožnic rabimo?
Zgodovinsko ozadje
• Ernst Steinitz je svojo kratko disertacijo proti
koncu 19. stoletja namenil oblikovanju in dokazu
izreka, ki daje odgovor na to vprašanje.
• Dokazal je namreč, da je mogoče vsako povezano
(v3) konfiguracijo narisati z največ eno krožnico.
• V disertaciji najdemo tudi prvi dokaz Königovega
izreka.
Povezanost je nujna
• Če bi ne zahtevali
povezanosti
konfiguracij, bi že s
konfiguracijo (143),
sestavljeno iz dveh
Fanovih ravnin dobili
protiprimer, saj bi
zanjo porabili dve
krožnici (krivi črti).
Evklidska : Projektivna ravnina
• Točko i konfiguracije predočimo v Evklidski
ravnini s koordinatami (xi,yi), v projektivni ravnini
pa s homogenimi koordinatami (xi,yi,zi).
• Točke i,j,k so kolinearne, če in samo če je
determinanta [i,j,k] = 0. Pri tem je:
• [i,j,k] = det [(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xk,yk,zk)], v
evklidskem primeru pa je:
• [i,j,k] = det [(xi,yi,-1),(xj,yj,-1),(xk,yk,-1)].
Risanje Fanove ravnine
• Pri Fanovi ravnini imamo 7 točk, torej 14
neznank: xi,yi, 1 · i · 7. Zanje imamo tudi 7
pogojev, določenih s sedmimi ničelnimi
determinantami.
• Koordinate štirih točk (tako, da nobene tri ne
ležijo na skupni premici) si lahko še posebej
izberemo.
• Npr: (0,0), (0,1), (1,0) in (1,1)
• Preostane 14-8 = 6 neznank.
26. DUALNOST IN
POLARNOST
Dualnost
Vsaka incidenčna struktura C = (P,L,I)
porodi dualno strukturo Cd = (L,P,Id) pri
kateri je vloga premic in točk zamenjana ob
istih incidencah.
• Strukturi C in Cd delita isti Levijev graf, le
vloga črnih in belih vozlišč se zamenja.
Sebi dualnost in avtomorfizmi
• Če je C izomorfna svojemu dualu Cd , pravimo, da
je sebidualna, pripadajoči izomorfizem pa je
dualitnost.
• Dualnost reda 2 se imenuje polarnost.
• Izomorfizem C nase je avtomorfizem ali
kolinearnost.
Avtomorfizmi in
antiavtomorfizmi
• Avtomorfizmi strukture C oblikujejo grupo, ki jo
označimo z Aut0C.
• Če obravnavamo hkrati avtomorfizme in dualnosti
(anitavtomorfizme) kot premutacije, ki delujejo na
disjunktni uniji P  L, dobimo razširjeno grupo
avtomorfizmov Aut C.
Grafi in konfiguracije
• Konfiguraciji oz. poljubni incidenčni strukturi
lahko priredimo več grafov. Na tem mestu se bom
ukvarjali le z dvema: Levijev graf L in
Mengerjev graf M.
• Levijev graf konfiguracije je dvodelen in nosi
polpolno informacijo o konfiguraciji. Razširjena
grupa avtomorfizmov AutC sovpada z grupo
avtomorfizmov Levijevega grafa L, medtem ko
Aut0C ohranja obe dvodelni množici vozlišč.
28. PROBLEMI SADOVNJAKA
• Problem sadovnjaka
•
• Na vrtu v vrstah po tri
• devet se dreves zasadi.
• Glavni problem
• je le v tem,
• da naj se deset vrst dobi!
29. Policiklične konfiguracije
Dyckov graf
• Dyckov graf na levi ima 32
vozlišč.
• Naloga: Dokaži, da je
dvodelen in ima ožino 6.
• Naloga: Zapiši njegovo LCF
kodo.
• Lahko ga imamo za Levijev
graf (163) konfiguracije .
• Naloga: Dokaži, da je
konfiguracija sebi-dualna.
• Naloga: Pokaži, da ima grupa
automorfizmov 192
elementov.
Dyckov graf, še enkrat
• Na levi vidimo še en
pogled na Dyckov
graf.
• Naloga: Pokaži, da
Dyckova configuracija
vsebuje trikotnike.
Dyckova konfiguracija
• Če uporabimo teorijo
Bokowskega &
Sturmfelsa tako, kot sta
jo uporabila M. Boben in
T.P. V članku (Europ. J.
Combin. 2003, to
appear) na t.i.
polyciklične konfiguracije,
lahko dokažemo, da je
mogoče Dyckovo
konfiguracijo narisati z
ravnimi črtami v Evllidski
ravnini.
The “theory” behind
1
1
1
1
2
• On the left we see bipartite
quotient graph on 8 vertices.
The Dyck graph is a Z4
regular covering graph. The
non-zero voltages from Z4 are
assigned to arcs in such a way
that the negative voltage is
assigned to the opposite arc.
• There are 4 point orbits and 4
line orbits.
• [Catch: only 3 radii!]
• The voltage graph is selected
by a suitable choice of semiregular automorphism.
The Klein configuration
• The Klein graph is not
bipartite, so there is no
chance of having it as a
Levi graph of a
configuration.
• We can take its canonical
double cover (or
Kronecker cover or the
tensor product with K2).
• It has 112 vertices and
gives rise to a (563)
configuration.
The voltage graph for the Klein
configuration
• We chose a quotient with
14 vertices (hence the
voltages, not shown, are
from Z8).
• The configuration will
reflect an 8-fold rotational
symmetry.
The Klein configuration
33
51
34
9
3
52
10
16
2
29
30
50
40
4
18
35
28
17
31
19
43
42
44
41
53 11
20
5
1
24
15 49
45
48
46
47
23
27
21
32
39
22
8
36
54
12
6
26
25
14
56
7
13
37
55
38
• On the left we see a
possible drawing of
the Klein (563)
configuration.
• It is possible to choose
a different semiregular automorphism
that would reveal a 7fold symmetry.
The Klein configuration - again
• Here is a drawing that
should arise from a Z7
voltage graph on 16
vertices.
The Dürer configuration
• The well-known
graphics by A. Dürer
depicts the solid
whose skeleton is the
generalized Petersen
graph G(6,2) alias the
Dürer graph.
The Kronecker double cover
• Its girth is 6.
• It turns out that the
corresponding (123)
configuration is cyclic.
• If we want to draw it with
straight lines, we need a semiregular automorphism.
• The voltage graph is shown at
the bottom.
• There is one class of points that
lies in all three classes of lines
and one class of lines that
contains all three classes of
points.
The Petrie dual
F
Du
E
P
V
• Each map is defined by three involutions on
flags (t0,t1,t2). Now add the product
t3=t0t2, that is another fixedpoint free
involution. This can be viewed as an rank 4
incidence geometry: (t0,t1,t2,t3).
• Orbits for <t1,t2> form the vertex set V.
• Orbits for <t0,t2> form the edge set E.
• Orbits for <t0,t1> form the face set F.
• Orbits for <t0,t3> form the Petrie walks P.
The Petrie hexagon
M
Pe(M)
Du(Pe(M))
Du(M)
Pe(Du(M))
Pe(Du(Pe(M))) = Du(Pe(Du(M)))
•
•
•
•
•
•
M = (t0,t1,t2,t3)
Du(M) = (t2,t1,t0,t3)
Pe(M) = (t0,t1,t3,t2)
Du(Pe(M)) = (t3,t1,t0,t2)
Pe(Du(M)) = (t2,t1,t3,t0)
Pe(Du(Pe(M))) =
Du(Pe(Du(M))) =
(t0,t1,t3,t2)
31. GRÜNBAUMOV
KONFIGURACIJSKI RAČUN