Transcript 组合数学简介 一、主要内容 研究离散个体满足约束条件下的配置问题  组合存在性：偏序集分解定理、Ramsey 定理、相异  代表系存在定理 组合计数：基本计数公式、计数方法、计数定理   组合枚举：生成算法、组合设计 组合优化：最短路经、最小生成树、网络流 二、重要的组合思想  一一对应  数学归纳法  上下界逼近的处理方法 一一对应: 将待处理的组合问题与已知的组合问题构造对应 例 1 3,3,3 的立方体至少需要切多少次才能切成 27 个小立方体. 切割  中心立方体的面， 次数=面数 6次 例2 n 个选手比赛决出冠军，需要多少次比赛？ 比赛  淘汰，比赛次数=淘汰人数 n-1 次 采用方法：计数模型与实际问题的对应 计数模型：选取问题、不定方程非负整数解问题、 非降路径问题、整数拆分问题、放球问题等等.

组合数学简介
一、主要内容
研究离散个体满足约束条件下的配置问题

组合存在性：偏序集分解定理、Ramsey 定理、相异

代表系存在定理
组合计数：基本计数公式、计数方法、计数定理


组合枚举：生成算法、组合设计
组合优化：最短路经、最小生成树、网络流
二、重要的组合思想

一一对应

数学归纳法

上下界逼近的处理方法
一一对应: 将待处理的组合问题与已知的组合问题构造对应
例 1 3,3,3 的立方体至少需要切多少次才能切成 27 个小立方体.
切割  中心立方体的面， 次数=面数
6次
例2
n 个选手比赛决出冠军，需要多少次比赛？
比赛  淘汰，比赛次数=淘汰人数
n-1 次
采用方法：计数模型与实际问题的对应
计数模型：选取问题、不定方程非负整数解问题、
非降路径问题、整数拆分问题、放球问题等等
数学归纳法
证明思路
描述一个与自然数相关的命题 P(n)，P(n,m)等
证明 归纳基础：例如 P(0)真
归纳步骤：例如 P(n)P(n+1)
（1） 第一数学归纳法：
n=0 为真. 假设对 n 为真，证对 n+1 为真.
（2） 第二数学归纳法：
n=0 为真. 假设对一切小于 n 的 k 为真,证明对 n 为真.
（3） 多参数处理：
m,n 两个自然数，任意给定 m（或 n）对 n(或 m)归纳
（4） 多重归纳：
<0,n’>为真，<m’,0>为真.
假设<m-1,n>,<m,n-1>为真，证<m,n>为真.
上下界逼近的思想
（1）证明这个问题的上界
（2）证明这个问题的下界
（3）如果上界与下界相等，则结束
（4）否则改进上界或者下界，使得它们逐渐逼近
实例：用红、蓝两色任意对 Kn 的边涂色，n 至少是多少才能出
现一个红色的三角形，或者出现一个蓝色的三角形？
（1）上界 n6. n=6，某个顶点至少 3 条同色边（比如红色）
（2）下界 n>5. 反例，n=5 不可能做到.
（3）n=6.
第六章 组合存在性定理
组合学有三大存在性定理
1.
偏序集的分解定理
如果最长链长度为 n, 则偏序集可以分成 n 条反链
注意：n 是反链个数的下界
如果最大反链长度为 n，则偏序集可以分解为 n 条链
2.
Ramsey 定理
鸽巢原理的推广
3.
相异代表系存在定理
Hall 定理的推广----二部图存在完备匹配的条件
本章主要内容
一、 Ramsey 定理
1．鸽巢原理的简单形式
2．鸽巢原理的一般形式
3．Ramsey 定理
简单形式
小 Ramsey 数的相关结果
一般形式
关于 Ramsey 数的若干已知结果
二、相异代表系存在定理
一、鸽巢原理的简单形式
n+1 个物体放到 n 个盒子里，则存在一个盒子至少含有 2 个或者 2
个以上的物体.
应用实例
例 1 边长为 2 的正三角形中 5 个点，则存在 2 个点距离小于 1.
例 2 93 的方格图形用黑、白两色涂色，则存在一列涂色方案相同.
例 3 空间 9 个格点，证明在所有两点连线的中点中有一个是格点.
（x,y,z）与(x’,y’,z’)的奇偶性相同，则连线中点为格点.奇偶模
式为 8 种.
例4
设有 3 个 7 位二进制数
A : a1 , a 2 , a 3 , a4 , a5 , a6 , a7
B : b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , b7
C : c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7
A
0
1
0
1


1
B
0
1


0
1
1
C


0
1
0
1

证明存在整数 i 和 j，1 i < j  7, 使得下列之一必然成立：
ai  a j  bi  b j , ai  a j  ci  c j , bi  b j  ci  c j
证 ai,bi,ci 中 必有两个相同，每个同为 0 或 1，有两种选择. 例如
ai=bi=0，记为 1-2-0，同样 ai=ci=1, 记为 1-3-1，这 6 种选择为：
1-2-0,
1-2-1,
1-3-0,
1-3-1,
2-3-0,
2-3-1
7 列数 6 种选择，由鸽巢原理必有两列相等，这两列中含有一个四
角数字相同的矩形. 这四角的方格数字满足要求.
例 5 从 1 到 2n 的正整数中，任取 n+1 个数，至少有一对数，其中
一个数是另一个数的倍数.
证
ai  2i ri , i  1,2,...,n  1
ri 为奇数，1 到 2n 只有 n 个奇数，
故存在 ri,rj 使得 ri =rj ,i<j.
若 ai>aj，则 ai 是 aj 的倍数.
例6
证
n+1 个小于等于 2n 的正整数中，必有两个数互素.
相邻的数互素，若不然，p 是 k 与 k+1 的公因子，且 1<p<k. 那
么 k=pi, k+1=pj, 因此 pi+1=pj  p(j-i) =1, 矛盾.
构造 n 个组：{1,2}, {3,4},…,{2n-1,2n}
n+1 个数必有 2 个取自同一个组.
例 7 设 a1, a2,…, am 是正整数序列，则至少存在整数 k 和 l 使得
1k<lm, 使得和 ak  ak 1  ... al 是 m 的倍数.
证 设
S1  a1
S 2  a1  a 2
...
S m  a1  a 2 ...  a m
Si 除以 m 的余数为 ri, i = 1, 2, …, m, 若存在 rj =0，则命
题得证；否则由鸽巢原理有 ri = rj, i<j. 因此 Sj-Si 被 m 整
除。取 k =i+1, l = j, 命题得证.
例 8 设 4, 44, …, 44…4, 是 1997 个数的序列，证明存在一个
数被 1996 整除.
证 设这 1997 个数分别为 a1,a2,…,a1997, 除以 1996 的余数依次
为 i1,i2,…,i1997. 由鸽巢原理，必有 ik = ij, k<j. 于是，aj-ak
被 1996 整除，且
aj-ak = 44…400…0 = aj-k  10 .
k
其中含 j-k 个 4，k 个 0.
1996 = 4499
499 为素数，必有 aj-k 被 499 整除，而同时 aj-k 被 4 整除. 因
此 aj-k 被 1996 整除.
小结
鸽巢原理的应用范围：
解决存在性问题
关键：找到鸽子和巢的对应关系
鸽子:
配置
事件
数
余数
鸽巢：
模式
方案
取值
取值
鸽子数大于巢数
二、鸽巢原理的一般形式
1． 设 q1,q2,…,qn 是给定正整数，若把 q1+q2+…+qn-n+1 个物
体放入 n 个盒子里，
则或第一个盒子至少包含了 q1 个物体，
或者第二个盒子至少包含了 q2 个物体，…, 或者第 n 个盒
子至少包含了 qn 个物体.
说明：
 证明是反证法

这是存在这种配置的最小个数

令 q1=q2=…=qn=2, 则变成简单形式
推论 若 n(r-1)+1 个物体放到 n 个盒子里，则存在一个盒
子至少包含了 r 个物体. 令 q1=q2=…=qn=r 即可.
2．算术平均形式：
设 m1,m2,…,mn 是 n 个正整数，如果它们的算术平均
m1  m2  ... mn
 r 1
n
则存在 mi  r
证：令 m1,m2,…,mn 是放入盒子的物体数，则
(m1+m2+…+mn)>(r-1)n
 m1+m2+…+mn(r-1)n+1
满足鸽巢原理条件
关于顶函数（Ceiling fuction）和底函数（Floor fuction）
定义 对于实数 x，
顶函数 x：大于或等于 x 的最小整数
底函数 x：小于或等于 x 的最大整数
有时将底函数记作 [x]
性质 (1) x = n  n  x < n+1，x = n  n1< x  n
(2) x = n  x1 < n  x，x = n  x  n < x+1
(3) x1< x  x  x < x+1
(4) x+m = x + m , x+m = x + m ,
(5) m/2 + m/2 = m ,
m 为整数
m 为整数
3. 函数形式：
设 f:AB, |A|=m, |B|=n, 若 m>n, 则存在至少n/m个
元素 a1,a2,…,an/m 使得
f (a1 )  f (a2 )  ...  f (an  )
m
证：令 B={y1,y2,…,yn}, mi 表示函数值为 yi 的自变量个数，
i=1,2,…,n.
m1  m2  ...  mn m  m 
    1
n n
n
必存在某个 mi  m/n.
例 9 a1 , a2 ,...,an2 1 实数序列，定可以选出 n+1 个数的子序列
ak1 , ak2 ,...,akn1
使得其为递增子序列或递减子序列.
证 假设没有长为 n+1 的递增子序列，下面证明存在长为 n+1 的递减子序列.
设 mk 表示从 ak 开始的最长递增子序列长度， 1  mk  n, m1 , m2 ,...,mn2 1 ,
 n2  1 
必存在 
  n  1 个 mk 取值相等，为 l
n


mk1  mk2  ...  mkn1  l
若 aki  aki 1 , 则从前者开始的递增子序列长度为 l+1, 矛盾. 因此
ak1  ak2  ...  akn1
是长为 n+1 的递减子序列.
三、Ramsey 定理(简单情况)
1．命题：

用红蓝两色涂色 K6 的边，则或有一个红色 K3, 或有一个蓝色 K3
R(3,3)=6

用红蓝两色涂色 K9 的边，则或有一个红色 K4，或有一个蓝色 K3.
证：存在一个顶点关联 4 条蓝边或者 6 条红边. 否则蓝边数<4, 红
3 9
5 9

13
 22 ，
，
红边总数至多



 2 
 2 
边数<6，则蓝边总数至多 
总共 35 条边，与 K9 边数为 36 矛盾.
设 v1 关联 4 条蓝边，若对应 4 个顶点没有蓝边，则构成
红 K4；有 1 条蓝边，则构成兰 K3 .
设 v1 关联 6 条红边，对应 6 个顶点必有蓝 K3 或红 K3.
对于 K8，存在一种涂色方案，
既没有蓝色三角形，也没有
红色完全四边形. R(3,4)=9.
循环图的边长序列：{3,4}
2. 定理
设 p,q 为正整数，p,q2，则存在最小正整数 R(p,q)，
使得当 nR(p,q)时，用红蓝两色涂色 Kn 的边，则或存在一个
蓝色的 Kp，或存在一个红色的 Kq.
证明：R(p,2)p, R(2,q)q,
假设对正整数 p’,q’，p’p, q’q, p’+q’<p+q 为真，则
R(p-1,q), R(q-1,p)存在. 令
nR(p-1,q)+R(q-1,p) ，
用蓝红两色涂色 Kn 的边，则
case1
v1 关联 R(p-1,q)条蓝边，
case2
v1 关联 R(p,q-1)条红边.
若为 case1，蓝色 Kp-1；构成蓝色 Kp. 若为 case2, 红色 Kq.
因此，R(p,q) R(p-1,q)+R(q-1,p)
3. 小 Ramsey 数的值（from MathWorld）
q
p
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
9
14
18
23
28
36
18
25
35
41
58
87
102
165
49
61
80
143
111
298
205
540
56
84
95
216
127
495
216
1031
282
1870
69
115
121
316
153
780
40
43
80
149
46
51
96
191
153
52
59
128
238
181
59
69
133
291
193
66
78
141
349
221
73
88
153
417
242
43
49
442
177
1171
253 262 278 292 374
322 416 511
1713 2826
316
3583 6090
565 580
6588 12677
798
23556
635
703
4．Ramsey 数性质
(1) R(a,b)=R(b,a),
R(a,2) = R(2,a)=a
(2) R(a,b)  R(a-1,b) + R(a,b-1)
性质(2)给出上界
9 = R(3,4)  R(2,4) + R(3,3) = 4 + 6 = 10
18 = R(4,4)  R(3,4) + R(4,3) = 9 + 9 = 18
25 = R(4,5)  R(3,5) + R(4,4) = 14 + 18 = 32
R(3,10) = R(2,10) + R(3,9) = 10 + 36 = 46
R(3,10)  43
简单 Ramsey 定理的推广
(1) R(p,q)的集合表述：
Kn 的顶点集 V
集合 S
Kn 的边集 E
S 的 2 元子集的集合 T
用 2 色涂色 Kn 的边
将 T 划分成 E1,E2
存在蓝色完全 p 边形
存在 S 的 p 子集，其所有 2 元子集E1
存在红色完全 q 边形
存在 S 的 q 子集，其所有 2 元子集E2
集合表述具有更强的表达能力.
(2) 将 2 元子集推广到 r 元子集
(3) 将 T 划分成 E1,E2,…,Ek
四、Ramsey 定理的一般情况
1. 对于任意给定的正整数 p,q,r, (p,qr)存在一个最小的正
整数 R(p,q;r)使得当集合 S 的元素数大于等于 R(p,q;r)时
将 S 的 r 子集族任意划分成 E1,E2，则或者 S 有 p 子集 A，A
的所有 r 元子集属于 E1, 或者存在 q 子集 B，B 的所有 r 元
子集属于 E2.
2. 设 r,k1,qir,i=1,2,…,k,是给定正整数，则存在一个最小
的正整数 R(q1,q2,…,qk;r)，使得当 nR(q1,q2,…,qk;r)时，
当 n 元集 S 的所有 r 元子集划分成 k 个子集族 T1, T2, …,Tk，
那么存在 S 的 q1 元子集 A1, 其所有的 r 元子集属于 T1, 或者
存在 S 的 q2 元子集 A2，A2 的所有 r 元子集属于 T2,…, 或者
存在 S 的 qk 元子集 Ak, 其所有的 r 元子集属于 Tk.
证明 R(p,q;r)存在：多重归纳法
（1）证明归纳基础
R(p,r;r)=p，
R(r,q;r)=q，
R(p,q;1)=p+q1.
（2）归纳步骤
假设 R(p’,q’;r’)存在，
r’=r1, p’=p1, q’=q1, p1,q1 任意
p’=p1, q’=q, r’=r
p’=p, q’=q1, r’=r
令 n = R(p1,q1;r1)+1 = R(R(p1,q;r),R(p,q1,r);r1)+1
说明
一般性的 Ramsey 数: R(q1,q2,…,qk;r)
(1) 条件：r,k1,qir,i=1,2,…,k,都是给定正整数
(2) 当 r=2 时，可以简记为 R(q1,q2,…,qk)
(3) Ramsey 定理断定 Ramsey 数的存在性.
Ramsey 数的确定是一个很困难的问题.
(4) r=1,是鸽巢原理，R(q1,q2,…,qk;1)=q1+q2+…+qk-k+1
r=2,k=2,是简单的 Ramsey 定理.
结果：9 个 Ramsey 数的精确值，部分上界、下界
r=2,k=3,只有一个精确值 R(3,3,3)=17
关于一般性 Ramsey 数的某些上界和下界：
51  R(3,3,3,3)  62
6562
162  R(3,3,3,3,3)  307
322307
538  R(3 3 3 3 3 3)  1838
500538
30  R(3,3,4)  31
3231
45  R(3,3,5)  57
5957
55  R(3,4,4)  79
8179
93  R(3,3,3,4)  153
8493,159153
128  R(4,4,4)  236
242236
Ramsey 定理的应用
+
.例 10 对于任意 m3, mZ , 存在正整数 N(m)，使得当 nN(m)
时，若平面的 n 个点没有三点共线，其中总有 m 个点构
成一个凸 m 边形的顶点
实例： m=3, N(m)=3,
m=4, N(m)=5,
引理 1 平面上任给 5 点, 没有 3 点共线, 则必有 4 点是凸 4 边形
的顶点.
引理 2 平面上 m 个点，若没有 3 点共线且任 4 点都是凸 4 边形的
顶点，则这 m 个点构成凸 m 边形的顶点.
引理 1 平面上任给 5 点, 没有 3 点共线, 则必有 4 点是凸
4 边形的顶点.
证
做最大的凸多边形 T. 如果 T 是 4 边形或 5 边形，则
命题为真. 如果为 3 边形，则 3 边形内存在 2 点，与
过这 2 点的直线一侧的另外 2 点构成凸 4 边形.
引理 2 平面上 m 个点，若没有 3 点共线且任 4 点都是凸 4 边形的顶
点，则这 m 个点构成凸 m 边形的顶点.
证：假设最大的凸多边形是 p 边形，p<m. 则必有点落入这个多边形
内部. 将这个多边形划分成三角形，必有点落入某个三角形，
这个三角形的顶点与内部的点构成凹 4 边形.与已知矛盾.
命题证明：
不妨设 m>3，令 n  R(5,m;4)，S 为 n 个点的集合.
将 S 的所有的 4 元子集划分成两个子集族. 如果构成凹
4 边形，放到 T1, 如果构成凸 4 边形，则放到 T2.
根据 Ramsey 数定义，或有 5 个点，其所有 4 元子集都
构成凹 4 边形；或有 m 个点，其所有的 4 子集都构成凸 4 边
形.
若为前者，与引理 1 矛盾. 若为后者，根据引理 2，这
m 个点构成凸 m 边形的顶点.
使用组合存在性定理解决实际问题
例 11 最少连接缆线问题
条件：15 台工作站和 10 台服务器.
每个工作站可以用一条电缆直接连到某个服务器.
同一时刻每个服务器只能接受一个工作站的访问.
目标：任何时刻,任意选一组工作站 w1,w2,…,wk,k10.
保证这组工作站可以同时访问不同的服务器.
问题：达到这个目标需要的最少缆线数目 N 是多少？
方案 1：每个工作站都连到每个服务器，需要
1015=150
根缆线，N  150.
方案 2
将工作站标记为 W1,W2, …, W15,
服务器标记为 S1,S2, …, S10.
对于 k=1,2,…,10，我们连接 Wk 到 Sk,
剩下 5 个工作站的每一个都连接到 10 个服务器
总共 60 条直接连线.
满足目标要求：
任取 10 个工作站. 如果恰好为 W1,W2,…,W10，Wi 访
问 Si，i=1,…10, 满足要求; 如果 W1-W10 中只选中
k 个工作站，不妨设为 W1--Wk, 剩下的 10-k 个选自
W11-W15. 那么 Wi 访问 Si，i=1,…,k. 还剩下 10-k
个服务器空闲，恰好分配给 10-k 个工作站.
结论：N60.
证明 N60.
假设在工作站和服务器之间缆线至多 59 条.那么某个
服务器将至多连接 59/10 = 5 工作站.如果选择剩
下的 10 个工作站作为一组，那么只有 9 个空闲的服
务器，必有 2 个工作站连接同一服务器. 与题目要求
矛盾.
例 12
通信噪音干扰
混淆图 G=<V,E>，V 为有穷字符集，
{u,v}E  u 和 v 易混淆.
0(G)：点独立数，最大不混淆字符集大小
编码是字符串的集合
xy 与 uv 混淆  x 与 u 混淆且 y 与 v 混淆
 x=u 且 y 与 v 混淆
 x 与 u 混淆且 y=v
V1V2 的混淆图是两个混淆图 G 与 H 的正规集 GH
定理
0(GH)  R(0(G)+1,0(H)+1)1
实例：|G|=5, 0(G)=3,
0(GG)  R(0(G)+1,0(G)+1)1
= R(4,4)1=17
第一节 相异代表系
一、定义
S 为有穷集，A0,A1,…,An-1 为 S 的不同的子集族，一个关于
A0,A1,…,An-1 的相异代表系是由不同的元素构成的有序 n 元
组<a0,a1,…,an-1>，使得 aiAi, i=0,1,…,n-1.
实例：A0={0}, A1={0,1}, A2={1}
不存在
A0={0,1}, A1={0,1,2}, A2={0,1,3},
相异代表系:
<0,1,3>,<0,2,1>,<0,2,3>,<1,0,3>,<1,2,0>,<1,2,3>
1．与二部图的对应关系
给定 S 的子集 A0,A1,…,An-1,
构造二部图<X,Y,E>,
其中
X={x0,x1,…,xn-1}
Y=A0A1…An-1
E={{xj,y}|yAj,
j=0,1,…,n-1}
A0,A1,…,An-1 存在相异代表系
 <X,Y,E>存在完备匹配
2. Hall 定理：设 G 为二部图<X,Y,E>, aX,
(a)={u | uY, {a,u}E}
AX,
( A) 
 (a )
aA
则 G 中存在从 X 到 Y 的完备匹配的充要条件是
AX,有(A)||A|.
3. 相异代表系存在条件
定理 1
S 为有穷集，A0,A1,…,An-1 为 S 的不同的子集族，A0,A1,…,An-1
存在相异代表系当且仅当该子集族的任意 k 个子集的并都至
少含有 k 个元素.
4．推广：部分相异代表系存在条件
定理 2
S 为有穷集，A0,A1,…,An-1 为 S 的不同的子集族，r 为正整
数，rn, 则 A0,A1,…,An-1 中有 r 个子集含有相异代表系当且
仅当k, 1kn, A0,A1,…,An-1 中任意 k 个子集的并都至少含
有 k-(n-r)个元素.
注：r=n 时，变成定理 1.
取集合 B={b1,b2,…,bn-r}, 满足 AjB=, j=0,1,…,n-1.
证
(1) 取集合族：A0B,A1B,…,An-1B，
(2) A0,A1,…,An-1 有 r 个子集具有相异代表系
 A0B,A1B,…,An-1B 具有相异代表系
(3) A0,A1,…,An-1 中任意 k 个子集的并都至少含有 k-(n-r)个元素
 A0B,A1B,…,An-1B 中任意 k 子集的并至少含有 k 个元素
 A0B,A1B,…,An-1B 存在相异代表系
 ai1 , ai2 ,...,air , b1 , b2 ,...,bnr  .
  ai1 , ai2 ,...,air  构成 A0,A1,…,An-1 中 r 个子集的相异代表系