Transcript RISET OPERASI PROGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEKS PERTEMUAN 3 Metode Simpleks  Masalah program linier yang memuat 3 peubah atau lebih dan tidak dapat disusutkan menjadi masalah.

RISET OPERASI
PROGRAM LINEAR DENGAN
METODE SIMPLEKS
PERTEMUAN 3
Metode Simpleks

Masalah program linier yang memuat 3
peubah atau lebih dan tidak dapat
disusutkan menjadi masalah dengan 2
peubah diselesaikan dengan metode
simpleks.
Model Dasar PL (1)


Maksimumkan atau minimumkan:
Z = c1x1 + c2x2 + ….+ cnxn
(1)
Memenuhi kendala-kendala:
a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn  atau  b1 (2)
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn  atau  b2
.
.
am1x1 + am2x2 + …. + amnxn  atau  bm
dan xj  0 untuk j = 1,2,…,n.
(3)
Model Dasar PL (2)

Maksimumkan atau minimumkan:
n
Z=
c x

j 1

j
j
Memenuhi kendala-kendala:
n
n
atau
 aij x j  bi
 aij x j  bi
j 1
(1)
(2)
j 1
dan xj  0 untuk j = 1,2,…,n.
(3)
Bentuk Soal PL (1)

Kendala yang berbentuk pertidaksamaan
dapat diubah menjadi persamaan sbb:



2x1 –
2x1 –
2x1 –
2x1 –
x2 +
x2 +
x2 +
x2 +
3x3 ≤ 8 dapat diganti
3x3 + t = 8, dengan t≥0
3x3 ≥ 8 dapat diganti
3x3 – t = 8, dengan t≥0
Catt: Ruas kanan harus positif. Jika negatif,
maka harus dipositifkan, dengan cara
mengalikan dengan -1.
Bentuk Soal PL (2)

Secara umum:

n
 aij x j
j 1
 bi
Pada ruas kiri disisipkan si≥0, sehingga dipenuhi
n
 aij x j

n
 aij x j
j 1
j 1
 s i  bi
 bentuk kanonik
 bi
Pada ruas kiri disisipkan ti ≥0, sehingga dipenuhi
n
n
atau
 aij x j  bi  t i
 aij x j  t i  bi
j 1
j 1
Bentuk Soal PL (3)

Sesuai dengan peranannya, si dan ti
disebut peubah pengetat (slack
variable) karena perannya adalah untuk
membuat ruas yang semula longgar
menjadi ketat, sehingga sama nilai
dengan ruas yang lainnya
Bentuk Soal PL (4)


Ex: Diketahui model PL sbb
2x1 – x2 + 3x3 ≤ 8
x1 + x2 – x3 ≥ 10
3x1 – x3 = 7
x1, x2, x3 ≥ 0  x1, x2, x3 disebut peubah asli
Susunan ini diubah menjadi:
2x1 – x2 + 3x3 + s1 = 8
x1 + x2 – x3 – s2 = 10
bentuk kanonik
3x1 – x3 = 7
x1, x2, x3, s1, s2 ≥ 0  s1, s2 disebut peubah pengetat
Bentuk Soal PL (5)


Untuk menyesuaikan dengan bentuk kendala
yang baru, fungsi sasaran juga berubah.
n
Fungsi sasaran semula Z  c x

j 1
j
j
menjadi:
Z 
n p
c j x j
j 1
 c 1x 1  c 2x 2  ... c n x n  0(x n 1  ... x n  p )
Contoh

Ubah menjadi bentuk kanonik
3u + 5v + w ≥ 20
u – 5v + 2w ≤ 50
u + v + w = -25
u, v, w ≥ 0
meminimumkan f = 100 – 3u + v + 5w
Penyelesaian

Bentuk kanonik:
3u + 5v + w – s1 = 20
u – 5v + 2w + s2 = 50
–u – v – w = 25
u, v, w, s1, s2 ≥ 0
meminimumkan
f = 100 – 3u + v + 5w + 0s1 + 0s2
Langkah-langkah Simpleks (1)



Dari bentuk kanonik yang didapat, dibentuk
bentuk siap simpleks.
Bentuk siap simpleks untuk pertidaksamaan
≤ sama dengan bentuk kanoniknya.
Bentuk siap simpleks untuk pertidaksamaan
≥, harus ditambah dengan peubah semu
(artificial variable)  dibahas nanti
Langkah-langkah Simpleks (2)
1.
Buat tabel, dalam pembuatan tabel simpleks yang
perlu dicatat adalah :









xj  peubah-peubah lengkap
aij  koefisien-koefisien pada PL
bi  suku tetap (syarat: tak negatif)
cj  koefisien ongkos pada peubah lengkap
xi  peubah yang menjadi basis dalam tabel
(variabel tambahan yang positif)
ci  koefisien ongkos milik peubah basis xi
zj  jumlahan hasil kali ci dengan kolom aij
Z  jumlahan hasil kali ci dengan bi
zj – cj  selisih zj dengan cj
Tabel simpleks
Langkah-langkah Simpleks (3)
Lakukan perbaikan tabel, dengan ketentuan :
2.


Untuk maksimum : Zj – Cj  0
Untuk minimum : Zj – Cj  0
Jika ketentuan pada langkah ke-2 belum terpenuhi,
kerjakan proses berikut ini :
3.




Dari nilai Zj – Cj pilih nilai Zj – Cj < 0 yang paling kecil
(untuk pola maksimum) atau pilih nilai Zj – Cj > 0 yang
paling besar (untuk pola minimum).
Hitung nilai Ri, diperoleh dari bi dibagi aik dari kolom Zj –
Cj terpilih (Catatan : untuk nilai bi atau aik yang  0, tidak
dihitung nilai Ri-nya)
Dari nilai Ri, pilih nilai Ri yang paling kecil
Perpotongan antara kolom Zj – Cj dengan baris Ri, menjadi
nilai basis.
PL dengan Pola Maksimum
Bentuk Soal PL (6)

Jadi bentuk soal PL yang baru:
Mencari xj, j=1,2,…,n
yang memenuhi n
, i=1,2,…,m
 aij x j  bi
j 1
xj≥0
dan memaksimumkan (atau meminimumkan)
Z 
n
c j x j
j 1