LIMIT FUNGSI Oleh: Dr. RIYADI, M.Si. PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET PERSEKITARAN Diketahui p R dan >0.
Download ReportTranscript LIMIT FUNGSI Oleh: Dr. RIYADI, M.Si. PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET PERSEKITARAN Diketahui p R dan >0.
LIMIT FUNGSI
Oleh: Dr. RIYADI, M.Si.
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET
PERSEKITARAN
Diketahui
p
R
dan >0. Persekitaran p dengan jari-jari , disimbolkan dengan
N
, adalah himpunan bilangan real
x
yang memenuhi |
x
–
p
| < atau dengan notasi himpunan:
N
x
R
:
x
p
Himpunan
N
sebagai berikut: tersebut, apabila dinyatakan dalam garis bilangan (
p -
p
)
p
+
PERSEKITARAN
Contoh 1
Diketahui 4 R , dan 1 . Persekitaran 4 dengan jari-jari 1, yaitu:
N
1
x
: |
x
4 | 1 =
x
: 1
x
4 1 =
x
: 3
x
5 , yang apabila digambarkan dalam garis bilangan sebagai berikut: ( 3 4 ) 5
TITIK LIMIT
Diketahui p
R
dan E
R
. Titik p disebut titik limit (
limit point/cluster point
) himpunan E jika setiap persekitaran p memuat q E dan q p. Atau p titik limit himpunan E jika untuk setiap bilangan
N
E
. > 0 berlaku Himpunan semua titik limit himpunan E dinotasikan dengan
E
.
TITIK LIMIT
Contoh 1 Diketahui interval E = (2, 5). Tentukan semua titik limit E.
Pembahasan: Ambil sebarang bilanga real
x
.
Ada dua kemungkinan yaitu
x
E atau
x
E. Jika
x
E, maka untuk sebarang > 0, berlaku
N
E
.
Dengan demikian
x
adalah titik limit himpunan E.
Jika
x
E, maka ada empat kemungkinan, yaitu
x
< 2,
x
= 2,
x
= 5 atau
x
> 5.
Jika
x
= 2, maka untuk sebarang > 0, berlaku
N
E
.
Dengan demikian 2 adalah titik limit himpunan E.
TITIK LIMIT
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa 5 merupakan titik limit himpunan
E
.
Jika
x
< 2, maka diambil = 2 –
x
dan kemudian dibentuk persekitaran dengan pusat
x
dan jari-jari , yaitu
N
, maka diperoleh
N
E
Jadi
x
bukan titik limit
E
.
Jika
x
> 5, maka ambil =
x
– 5 dan kemudian dibentuk persekitaran dengan pusat
x
dan jari-jari , yaitu
N
, maka diperoleh
N
E
Jadi
x
bukan titik limit
E
.
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa
E
.
Contoh 2
TITIK LIMIT
Diketahui himpunan bilangan asli
E
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . Tentukan himpunan semua titik limit himpunan
E
.
Pembahasan: Ambil sebarang bilangan real
x
.
Ada dua kemungkinan yaitu
x
E atau
x
E. Jika
x
E, ambil = 1 dan kemudian dibentuk persekitaran dengan pusat x dan jari-jari = 1, yaitu
N
x N
x
, maka diperoleh
E
Jadi
x
bukan titik limit
E
.
Jika
x
E
, maka ada dua kemungkinan, yaitu
x
< 1 atau
x
> 1.
TITIK LIMIT
Jika
x
< 1, maka diambil = 1 –
x
, dan kemudian dibentuk persekitaran dengan pusat
x
dan jari-jari , yaitu
N
, maka diperoleh
N
E
Jadi
x
bukan titik limit
E
.
Jika
x
> 1, maka terdapat bilangan asli terbesar
m
dan bilangan asli terkecil
M
sehingga berlaku
m
<
x
<
M
.
Selanjutnya diambil
N
= min
x
persekitaran dengan pusat
x
dan jari-jari
m
,
M
x
, dan kemudian dibentuk , yaitu
E
N
, maka diperoleh Jadi
x
bukan titik limit
E
.
Berdasarkan uraian tersebut di atas nampak bahwa untuk semua kasus tersebut,
x
bukan titik limit E.
Karena
x
sebarang bilangan real berarti
E
tidak mempunyai titik limit atau
E
.
TITIK LIMIT
Contoh 3 Diketahui
E
5 , 7
. Tentukan semua titik limit himpunan E. Pembahasan: a). Setiap titik pada interval (5, 7) merupakan titik limit E.
b). 5 merupakan titik limit himpunan E dan 5 E.
c). 7 merupakan titik himpunan E tetapi 7 E.
d). Sedangkan 9 bukan titik limit himpunan E sebab terdapat = 1, sehingga
N
1
E
.
TITIK LIMIT
Contoh 4
E
1
n
:
n
N
titik limit E.
dengan
N
himpunan semua bilangan asli. Tentukan semua Pembahasan: a). 0 merupakan titik himpunan E tetapi 0 E.
b). 0 merupakan satu-satunya titik limit himpunan E, untuk sebarang bilangan real
x
dengan
x
0 dan
x
E dapat ditunjukkan bahwa
x
bukan titik limit E.
Sedangkan jika
x
E, maka
x
= 1 juga bukan merupakan titik limit
n
himpunan E untuk setiap
n
N
.
Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Untuk setiap
n
2, didefinisikan bilangan min 1
n
n
1 1 ,
n
1 1 1
n
, maka diperoleh
N
1
n
1
n
Jadi Jadi
E
1
n
bukan titik limit himpunan E untuk setiap n
N
.
.
E
.
TITIK TERASING
Diketahui p
R
dan E
R
. Jika p E dan p bukan titik limit, maka p disebut titik terasing (
isolated point
). Contoh 3
E
1
n
:
n
N
dengan
N
himpunan semua bilangan asli. Semua titik-titik anggota E merupakan titik terasing, sebab menurut Contoh 2, setiap titik anggota E bukan titik limit .
Teorema
Diketahui p
R
dan E
R
. Bilangan p merupakan titik limit himpunan E jika dan hanya jika terdapat barisan
n
E
dengan
p n
p
untuk setiap n sehingga
n
lim
p n
p
.
Bukti:
( ) Menurut hipotesis p merupakan titik limit himpunan E, oleh karena itu untuk setiap n
N
terdapat
p n
E
dengan
p n
p
sehingga
p n
p
1
n
. Jadi terdapat barisan
n
E
dengan
p n
p
untuk setiap n.
Selanjutnya diambil sebarang bilangan 0 . Dipilih
n o
N
sehingga untuk setiap n
n o
berlaku 1
n
1
n o
Jadi untuk setiap n
n o
berlaku .
p n
p
1
n
. Dengan kata lain
p n
p
.
( ) Menurut hipotesis terdapat barisan
n
setiap n sehingga
n
lim
p n
p
.
E
dengan
p n
p
untuk Diambil sebarang bilangan 0 , terdapat bilangan asli
n o
N
sehingga untuk setiap n
n o
berlaku
p n
p
. Jadi persekitaran p dengan jari-jari , yaitu
N
(
p
) , memuat titik
p n
untuk setiap n
n o
dengan
p n
E
.
p
Dengan kata lain setiap persekitaran
p
memuat titik
p n
p
dengan
p n
E
. Jadi
p
titik limit himpunan
E
.