LIMIT FUNGSI ALJABAR Limit fungsi aljabar LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas Hal.: 2 LIMIT FUNGSI Adaptif.
Download
Report
Transcript LIMIT FUNGSI ALJABAR Limit fungsi aljabar LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas Hal.: 2 LIMIT FUNGSI Adaptif.
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit fungsi aljabar
LIMIT FUNGSI:
Mendekati hampir, sedikit lagi,
atau
harga batas
Hal.: 2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan
mendekati a
{f(x) a} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x a}
Dinotasikan
Lim f(x) = a
x a
Hal.: 3
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi
(supaya bentuk tak tentu dapat dihindari)
adalah ….
1. Subtitusi langsung.
2. Faktorisasi.
3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.
4. Membagi dengan variabel pangkat
tertinggi.
Hal.: 4
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x a
x a
Maka
1. Lim [k.f(x)]
x a
= k Lim f(x)
x a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x a
x a
x a
=A+B
Hal.: 5
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
3. Lim {f(x) x g(x)}
x a
x a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x a
x a
=AxB
4.
f ( x)
g ( x)
Lim
xa
Hal.: 6
Lim f ( x)
Lim g ( x)
xa
A
B
xa
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
5.
n
n
f ( x) Lim f ( x) A
Lim
x a
x a
n
6.
n
n
Lim f (x) Lim f ( x)
xa
Hal.: 7
n
A
xa
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Hal.: 8
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan 1:
Lim 3x = 3(2)
x
2
=6
Pembahasan 2:
Lim 3x = 3 Lim X
x
2
x
2
= 3(2) = 6
Hal.: 9
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Jawab:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Hal.: 10
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x 2
a.
b.
c.
d.
e.
Hal.: 11
-2
2
4
6
8
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4
x 2
=4+4
=8
Hal.: 12
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Hal.: 13
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan 1:
Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
X
3
x
3
Pembahasan 2:
Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
X
3
x
3
x
3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
Hal.: 14
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit fungsi bentuk
0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka:
f ( x)
( x a).h( x)
Lim
Lim
g ( x)
x a
x a ( x a ).k ( x)
h( x ) h( a )
Lim
k ( x) k (a)
xa
Hal.: 15
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit Fungsi Bentuk
~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut:
n 1
ax bx ... c
R
Lim
m
m 1
... r
x ~ px qx
n
Maka:
1. R= 0 jika n<m
2. R= a jika n=m
3. R= ~ jika n>m
Hal.: 16
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
a.
Lim
~
ax b
x
px q R
1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a<p
Hal.: 17
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
b.
Lim
~
ax bx c
2
x
px qx r R
2
1. R= ~ jika a>p
2.
bq
R
2 a
jika a=p
3. R= -~ jika a<p
Hal.: 18
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Soal latihan:
4. Nilai dari
x 3x 4 x
Lim
3
2
2
x
x
2x
x0
4
2
adalah….
a. 3
b. 2
c. 1
Hal.: 19
d.
1
2
e. -2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
x 3x 4 x
Lim
3
2
2x x 2x
x 0
4
2
0 3.0 4.0 0
3
2
2.0 0 2.0 0
4
2
Jika 0 didistribusikan menghasilkan ~
(bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan
cara faktorisasi
Hal.: 20
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Maka:
x 3x 4 x
3
2
2x x 2x
4
Lim
x 0
2
Lim
x 0
x x 3 3x 4
x 2x2 x 2
x 3 3x 4
Lim
2
2x x 2
x 0
004
4
2
002
2
Hal.: 21
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Soal latihan:
4. Nilai dari
adalah….
a. 3
b. 2
c. 1
Hal.: 22
x 4 3x 2 4 x
Lim
3
2
2
x
x
2x
x 0
1
d.
2
e. -2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
5. Nilai dari
x2 4
Lim
2
x
x6
x 2
adalah….
a.1
4
b.
5
3
c.
5
Hal.: 23
2
d.
5
e. 1
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
x 4
Lim
2
x x6
x 2
( x 2)(x 2)
Lim
( x 2)(x 3)
x 2
x2 22 4
Lim
x3 23 5
x 2
2
Hal.: 24
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
5. Nilai dari
x 4
Lim
2
x x6
x 2
2
adalah….
a.1
4
b.
5
3
c.
5
Hal.: 25
2
d.
5
e. 1
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
6. Nilai dari
4 x 3x 6
Lim
2
2 x 8x 1
x~
2
adalah ….
a. -6
b. 2
c. 10
Hal.: 26
d. 16
e. 32
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan 1:
4 x 3x 6
Lim
2
2 x 8x 1
x~
2
2
4x
3x
6
3
2 2
4
2
x
x
x
x2
8
2x
8x
1
2
2 2
2
x
x
x
x
Hal.: 27
LIMIT FUNGSI
6
2
x
1
2
x
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan 1:
3
6
4 2
400
~
~
8
1
2
0
0
2 2
~ ~
4
2
2
Hal.: 28
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALBAJAR
Pembahasan 2:
4 x 2 3x 6
Lim
2
2
x
8x 1
x~
Perhatikan bahwa pangkat diatas sama
dengan pangkat bawah sehingga p = q
(p dibagi q)
p 4
L 2
q 2
Hal.: 29
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
6. Nilai dari
4 x 3x 6
Lim
2
2
x
8x 1
x ~
2
adalah ….
a. -6
b. 2
c. 10
Hal.: 30
d. 16
e. 32
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
7. Nilai dari
2
2
{
4
x
2
x
6
4
x
2 x 1}
Lim
x~
adalah….
a. -3
b. -2
c. -1
Hal.: 31
d. 0
e. 1
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
bq 22 4
R
2.2
2 a
2 4
4
1
4
Hal.: 32
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
7. Nilai dari
{
Lim
~
4 x 2 x 6 4 x 2 x 1}
2
2
x
adalah….
a. -3
b. -2
c. -1
Hal.: 33
d. 0
e. 1
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi sljabar
8. Nilai dari
adalah….
a. -4
b. 0
c. 2
Hal.: 34
(8 x 2)
Lim
2
x ~ (4 x 1)
2
d. 4
e. 8
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
(8 x 2)2
64x 2 32x 4
Lim
Lim
2
x ~ 16x 2 8 x 1
(
4
x
1
)
x ~
64
4
16
Hal.: 35
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
8. Nilai dari
(8 x 2) 2
Lim
2
x ~ (4 x 1)
adalah….
a. -4
b. 0
c. 2
Hal.: 36
d. 4
e. 8
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
9. Nilai dari
adalah….
a. -~
b. -2
c.
Hal.: 37
1
2
x x
Lim
2
x o x 2 x
2
d. 0
e.
1
2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
x x
x( x 1)
Lim
Lim
2
x 2x
x( x 2)
x 0
x 0
2
x 1 0 1
1
Lim
02
2
x0 x 2
Hal.: 38
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
x2 x
9. Nilai dari Lim 2
x o x 2 x
adalah….
a. -~
b. -2
d. 0
1
e. 2
1
c.
2
Hal.: 39
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
10. Nilai dari
6x 4x 2x 1
Lim
4
3
x ~ 3x 2 x 5 x 2
2
2
adalah….
a.
b. 0
c.
Hal.: 40
1
2
d. 2
e. 3
1
2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
6x 4x 2x 1
Lim
4
3
x ~ 3x 2 x 5 x 2
2
2
Perhatikan
Pangkat tertinggi diatas 3
Pangkat tertinggi dibawah 4
Jadi n < m
Nilai R = 0
Hal.: 41
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
10. Nilai dari
adalah….
1
a.
2
b. 0
6x 4x 2x 1
Lim
4
3
x ~ 3 x 2 x 5 x 2
2
2
d. 2
e. 3
1
c. 2
Hal.: 42
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
11. Nilai dari
2 x 5 x 12
Lim
2
x 4 3 x 13x 4
2
adalah….
5
a.
13
8
b.
13
11
c.
13
Hal.: 43
12
d.
13
14
e.
13
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
2 x 2 5 x 12
Lim
2
3
x
13x 4
x 4
(2 x 3)(x 4)
Lim
x 4 (3 x 1)( x 4)
2 x 3 2(4) 3
Lim
3(4) 1
x 4 3 x 1
11 11
13 13
Hal.: 44
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
12. Nilai dari
2 x 4 x 10
Lim
2
4x 7
x~
2
adalah….
a.
1
2
b. 0
c.
Hal.: 45
d. -1
e. -6
1
2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
2 x 2 4 x 10
Lim
2
4
x
7
x~
Pangkat diatas = Pangkat dibawah
Maka
2 1
4 2
Hal.: 46
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
12. Nilai dari
adalah….
2 x 4 x 10
Lim
2
4
x
7
x~
2
a. 1
2
b. 0
d. -1
e. -6
c. 1
2
Hal.: 47
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
1. Bentuk lim f(x) = f(a)
x a
Contoh :
Tentukan nilai lim sin 2x.
x
4
Jawab :
Lim sin 2x = sin
x
Hal.: 48
2
4
= sin 2
=1
4
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
f x
, dengan f(a) = 0 dan g(a) = 0
x a g x
2. Bentuk lim
Ingat !!!
Contoh :
Tentukan nilai dari :
sin 2 x
lim
cos x
x
2
Jawab :
sin 2 x 2 sin x cos x
cos2 x 1 2 sin 2 x
sin 2 x
2 sin x cos x
lim
lim 2 sin x 2 sin 2.1 2
cos x
cos x
2
x
x
x
lim
4
Hal.: 49
4
4
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
sin x
3. Bentuk lim tan x atau lim
x0 x
x0
x
Catatan :
sin x
x
lim
1
x0 x
x 0 sin x
1. lim
tan x
x
lim
lim
1
2. x 0 x
tan
x
x0
Secara umum
sin ax a
tan ax a
tan ax a
, lim
, lim
b x 0 bx
b x 0sin ax b
x 0 bx
lim
Hal.: 50
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
Contoh 1 :
Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut!
sin 8 x
a. lim
x 0
2x
tan 3 x
x0 sin 4 x
b. lim
1 cos 2 x
x0
x2
c. lim
Jawab :
a. Lim
x0
sin 8 x
sin 8 x 8
lim
. 1.4 4
x
0
2x
8x 2
tan 3x
tan 3x 4 x 3
lim
.
.
x0 sin 4 x
x0
3x sin 4 x 4
b. lim
3 3
1 .1 .
4 4
Hal.: 51
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
1 cos2 x
1 (1 2 sin 2 x)
c. lim
lim
2
x0
x0
x
x2
2 sin 2 x
lim
x0
x2
sin x
lim 2.
x0
x
sin x
2. lim
x0
x
2
2
2.12 2
Hal.: 52
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
Contoh 2 :
cos 2 x 1
Tentukan nilai dari lim
x
sin x
Jawab :
cos2 x 1
(1 2 sin 2 x) 1
2 sin 2 x
lim
lim
lim
x
x
x
sin x
sin x
sin x
lim(2 sin x) 2 sin 2.0 0
x
Hal.: 53
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Hal.: 54
LIMIT FUNGSI
Adaptif