Transcript DETERMINAN MATRIKS Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan  Determinan Matriks  Determinan dengan Ekspansi Kofaktor  Sifat Determinan Aljabar Linear.

DETERMINAN MATRIKS
Determinan Matriks
Sub Pokok Bahasan
 Determinan Matriks
 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
 Sifat Determinan
Aljabar Linear
2
Aplikasi penggunaan determinan
• Beberapa Aplikasi Determinan
–
–
–
–
Solusi SPL
Optimasi
Model Ekonomi
dan lain-lain
Definisi Determinan Matriks
 a11

 a11
A


a
 n1
a11  a1n 

a11  a2 n 
   

an1  ann 
Hasil kali elementer A  hasilkali n buah unsur A tanpa
ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.
Contoh :
 a11

A   a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:
a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 ,
a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31
Aljabar Linear
4
Hasil kali elementer bertanda
a11 a22 a33
Perhatikan…
– a11 a23 a32
Tanda (+/-) muncul sesuai hasil
– a12 a21 a33
klasifikasi permutasi indeks kolom,
a12 a23 a31
yaitu : jika genap  + (positif)
jika ganjil  - (negatif)
a13 a21 a32
– a13 a22 a31
Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A
didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali
elementer bertanda matriks tersebut.
Notasi : Det(A) atau |A|
Aljabar Linear
5
Contoh :
Tentukan Determinan matriks
 a11

A   a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
Jawab :
Menurut definisi :
Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +
a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
atau
a11 a12 a13 a11 a12
A  a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a23
Aljabar Linear
6
Contoh :
Tentukan determinan matriks
2  1
 3


B 1
1
0
 2  2 1 


Jawab :
det B  
3
2
1
1
2 2
1
3
2
0
1
1
1
2 2
 (3)(1)(1)  (2)(0)(2)  (1)(1)(2)  (1)(1)(2)  (3)(0)(2)  (2)(1)(1)
 30 2202
1
Aljabar Linear
7
Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkar
Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau A
 a b  
  ad  bc
det(A)  det 


c
d


Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan
determinan matrik yang berordo yang lebih besar
Aljabar Linear
8
a11
a12
a13
det(A)  a 21
a 31
a 22
a 32
a 23  a11 a 22 a 33  a12 a 23 a 31  a13 a 21 a 32  a13 a 22 a 31  a11 a 23 a 32  a12 a 21 a 33
a 33
det(A)= a11 (1)11 (a22 a33  a23 a32 )  a12 (1)12 (a21a33  a23 a31 )  a13 (1)13 (a21a32  a22 a31 )
det(A)= a11 (1)
11
a 22
a 23
a32
a33
 a12 (1)
1 2
a 21
a 23
a31
a33
 a13 (1)
1 3
a 21
a 22
a31
a32
det(A)= a21 (1) 21 (a12 a33  a13 a32 )  a22 (1) 22 (a11a33  a13 a31 )  a23 (1) 23 (a11a32  a12 a31 )
det(A)= a 21 (1) 21
a12
a13
a32
a33
 a 22 (1) 2 2
a11
a13
a31
a33
 a 23 (1) 23
a11
a12
a31
a32
Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:
Aljabar Linier
9
Determinan dengan ekspansi kofaktor
Misalkan
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A
:
:
: 


 a a ... a 
nn 
 n1 n 2
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
•
Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
Contoh :
2

A1
0

06/11/2015 12:17
1
2
1
0

1 
2 
1
2
maka M 13 
1
0
MA-1223 Aljabar Linear
1
10
•
Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
2

A1
0

0

1 
2 
1
2
1
maka
C21   1
21
1
1
0
2
= (– 1)3 .2
=–2
Aljabar Linear
11
Secara umum, cara menghitung determinan dengan
ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang
baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang
kolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj
Contoh 6 :
Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
2 1 0 


A1 2 1 
0 1 2 


Aljabar Linear
12
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan
ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
2
1
0
A 1
0
2
1
1
2
3
det(A) 
 a3 j c3 j
j 1
= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
 0  1 (1)
3 2
2
0
1
1
 2 (1)
33
2
1
1
2
=0–2+6
=4
Aljabar Linear
13
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang
kolom ke-3
2
1
0
A 1
0
2
1
1
2
3
det(A)   ai 3ci 3
i 1
= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33
 0  1 (1) 23
2
0
1
2
 2 (1)33
1
1
1
2
=0–2+6
=4
Aljabar Linear
14
Misal, diketahui matriks kofaktor dari A :
 -1

C  2
 1

-1
1
1
2 

- 2
- 1 
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
 -1

T
adj( A)  C   - 1
 2

2
1
-2
1

1
- 1 
Aljabar Linear
15
• Invers Matriks dengan menggunakan Adjoin
• Maka, tentukan invers dari matiks A
sebelumnya!
Latihan
1. Tentukan determinan matriks dengan
determinan/cramer dan ekspansi kofaktor
2 1 1


P   1 2 1  dan
1 1 2


 3  2 0


Q   0 1 0
  4 4 1


2. Diketahui :
 2 1 0


A   3 4 0
 0 0 2


dan
 1 1 3 


B  7 1 2
5 0 1


Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
Aljabar Linear
17
3. Diketahui :
 1 5 k


D   1 0 1 
 3 k 4


Tentukan k jika det (D) = 29
4. Diketahui matriks
1

A  2
3

0
1
4
0

0
5 
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A.
Tentukan nilai
x
 
detA t B 
det 2 A2  det5B 
Aljabar Linear
18
Sifat-sifat determinan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
det(AB)=det(A)det(B)
det(AT)=det(A)
Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian
dari semua entri pada diagonal utama}
Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari
semua entri pada diagonal utama}
Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)
det(A-1)=1/det(A)
Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka det(A)=0
Aljaar Linear
19
Sifat-sifat determinan
8.
Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai
berikut:
a.
b.
c.
9.
Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris
dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)
Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris,
maka det(A’) = - det(A)
Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan
satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)
Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang
saling berkelipatan, maka det(A)=0
Aljabar Linear
20