Transcript DETERMINAN Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008 06/11/2015 design by budi murtiyasa 2008

DETERMINAN
Budi Murtiyasa
Jur. Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Surakarta
Juli 2008
06/11/2015
design by budi murtiyasa 2008
1
DETERMINAN
Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real,
terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut.
Satu nilai real ini disebut determinan.
Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.
A=
 3  4


 2  5
2

1
C= 
0

1

1
1
1
0
Det(A) = -7.
1
2
1
3
3

2
2

1 
Det(C) = 0
Bagaimana menghitung nilai determinan ?
1  2 2 


B =  2 1  1
3 1 4 


|B| = 25
1. Definisi determinan
Cara menghitung determinan :
2. Sifat-sifat determinan
3. Ekspansi minor dan kofaktor
4. Kombinasi cara 2 dan 3
MELALUI DEFINISI DETERMINAN
Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks
sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda,
kemudian hasilnya dijumlahkan.
A=
 a11 a12 


 a21 a22 
Det(A) = a11 a22 – a12 a21
Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?
Urutan natural (asli) : 1
 a11 a12 a13 


A =  a21 a22 a23 
a a a 
 31 32 33 
2 3 4 5 6 ...
|A| = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 + a12 a23 a31 – a12 a21 a33
+ a13 a21 a32 – a13 a22 a31
Produk yg berasal dari baris dan kolom yg berbeda :
a11 a22 a33
Indeks kolom 1 2 3, sudah urut. Tidak ada transposisi.
a11 a23 a32
Indeks kolom 1 3 2, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3
a12 a23 a31
Indeks kolom 2 3 1, belum urut. Dua kali pindah. 1 3 2 dan 1 2 3
a12 a21 a33
Indeks kolom 2 1 3, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3
a13 a21 a32
Indeks kolom 3 1 2, belum urut. Dua kali pindah. 2 1 3 dan 1 2 3
a13 a22 a31
Indeks kolom 3 2 1, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3
Perhatikan, indeks baris sudah dalam urutan natural, indeks kolom
belum. Tanda + atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yg
membawa indeks kolom ke urutan natural. Jika genap +, jika ganjil (-)
negatif; atau tandanya adalah (-1)t, dengan t banyaknya transposisi.
 a11

a
A =  21
a
 31
a
 41
a12
a13
a22 a23
a32 a33
a42 a43
a14 

a24 
a34 

a44 
Det(A) = ? Jumlah dari 4! = 24 suku, dengan tiap suku
terdiri dari empat faktor.
Catatan : Khusus determinan dimensi 3, bisa pakai aturan SARRUS
a12
a13 a11 a12
a21 a22
a31 a32
a23 a21 a22
a33 a31 a32
a11
Det(A) =
–
+
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33
|A| =
7
3
4 2
2
|B| = 1
1
1
1
|C| =
1
1
1
= 26
3
1
0 =–6
1
2
2 1
2 1
0 1
1 1
1
0 =0
0
1
Dengan bantuan sifat determinan,
membantu memudahkan menghitung
nilai determinan.
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |AT| = |A|
|A| =
7
3
4 2
7 4
= 26
|AT| =
3 2
= 26
Akibatnya :
semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.
2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0).
2 1 3
det(B) = 0 0 0 = 0
7 6
5
2 2 0
det(C) = 6
0=0
7 8 0
5
3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom)
dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A
2 1
|A| =
3 4
1
2
Jika baris kedua
dikalikan dengan 7
 21 28
= 35 = 7 |A|
|A| = 5
2 1
Akibat sifat ini :
=7
3 4
 21 28
2
1
= 7 (5) = 35
Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai
faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan.
9 6 12
1 2
1 1
3 2
1 = 3 1 2
2
1 1
4
2
1
1 = 4 3 2 1
1 3 2
1  12 2
2
3
8
1
2 1
4
1
4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan
baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah
menjadi negatip determinan semula.
7 5
2 3
= 31 Baris pertama ditukar baris kedua
2 3
= – 31
7 5
5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom)
yang sama adalah sama dengan 0 (nol).
7 2
7 2
1 1
=0
2
3
1
2 =0
3 0 3
6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)
merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).
1
2 1 1
|B| =  1  4 2  2
Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0
1 6 1 3
1  2 1 1
7. Determinan dari matriks persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke -i
(kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua
suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang
baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama
ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan
suku yang kedua.
8
9
5
6
53
9
4 1
6
53
5
5 4
6
=
=
5
9
5
5
4
6
5
6
+
+
3
4
3
9
1
6
5
6
8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris
(kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.
2 3
1 4
= 11
Jika k2 + 3k1
Jika b1 – b2
2 9
1 1
3
1
1
4
= 11
Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk
menyederhanakan baris (kolom),
sebelum menghitung nilai determinan
= 11
9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali)
elemen-elemen diagonalnya.
3 7 2
0
 1 3 = (3)(-1)(5) = - 15
0
0
5
3 0 0
0 2 0
1 1 4
0
0 3
0
0
= (-3)(-2)(4)(1) = 24
0
1
Gunakan sifat determinan untuk menghitung :
1
2
1 2 2
2
3 5 4
2 1 1
b2 + 3b1
0 1 2
2 1 1
b3 – 2 b1
1 2
2
0 1
2
0
3
3
1 2 2
0 1 2
0
0
= (1)(-1)(3) = - 3
3
Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi
matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9
b3 + 3 b2
Submatriks / matriks bagian :
Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris
dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks
A=
 3 1 2 5 


 6 0 2 1
 3 7 8  5


Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriiks :
 6 0 2 1


 3 7 8  5
Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks :
dan sebagainya.
 3 1 5 


 3 7  5
Minor dan Kofaktor
Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1)
disebut minor.
Mrs : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s.
a11
Andaikan A =
M11 =
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
a22
a23
a32
a33
a11
a13
a21
a23
M32 =
= a22 a33 – a23 a32
= a11a23 – a13a21
Untuk matriks A berdimensi 3
tersebut ada berapa minor ?
Matriks tersebut mempunyai 9 minor
Kofaktor
Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mrs adalah Crs = (-1)r+s Mrs.
A=
C11 =
 2 1  1


 1 3 4
  2 1 1 


(-1)1+1
M11 =
(-1)2
3 4
= 1 (7) = 7
1 1
C23 = - M23 = 0
C31 = M31 = 7
4 = (-1) (9) = -9
C12 =
M12 =
2 1
3 =5
C13 = (-1)4 M13 = M13 = 1
 2 1
(-1)1+2
(-1)3
1
C21 = (-1)3 M21 = - M21 = C22 = M22 = 0
1 = 0
1 1
1
C32 = - M32 = - 9
C33 = M33 = 5
Menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
 a11

A =  a 21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
Ekspansi melalui baris pertama :
Det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
Atau ekspansi melalui baris ketiga :
Det(A) = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
Atau ekspansi melalui kolom ke dua :
Det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32
Dan sebagainya.
Dengan ekspansi kofaktor, hitung determinan :
1  2 1 


B =  3 1  1
1 1 4 


Andaikan dilakukan ekspansi melalui baris kedua :
2 1
Det(B) = b21 C21 + b22 C22 + b23 C23
C21 = - M21 = 1 4
Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3)
C22 = M22 = 3
Det(B) = 33
C23 = - M23 = - 3
Atau jika dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga :
Det(B) = b13 C13 + b23 C23 + b33 C33
C13 = M13 = 2
Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7)
C23 = - M23 = - 3
Det(B) = 33
C33 = M33 = 7
=9
Strategi menghitung determinan :
1. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor).
2. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana.
3. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom
yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol.
4. Ulangai langkah 1, dan seterusnya.
2

Hitung determinan dari : E =  1
5

 3

1 1 
4  2 
1
Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua :
2 1 3
2 3 3
K2 + K1
K3 – K1
|E| = 1  1 1
1 0 1
5 4 2
5 9 2
2
3
5
1
0
0
5
9
7
|E| = e21 C21 + e22 C22 + e23 C23
|E| = e21 C21 + 0 + 0
|E| = (1) (-24) = - 24
C21 = - M21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24
 1 3 2 


Berapakah determinan dari F =  0 4  5 
 1 1 2 


Dipilih ekspansi melalui kolom pertama :
1
|F| = 0
1
3
2
4
5
1
2
B3 + B1
Det(F) = f11 C11 = (1) (6) = 6
1
3
2
0
4
5
0
2
4
1 1 3 
 2

Berapakah determinan dari G = 
1 4
 2 3
 1
2
1 1


 3  2 0  1


Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga :
2 1 1 3
2 1 1 3
2 1 1 3
B2 + B1
B3+B1
Det(G) =  2 3 1 4
0 4 0 7
0 4 0 7
1 2 1 1
1 2 1 1
3 3 0 4
3  2 0 1
3  2 0 1
3  2 0 1
0
4
7 B3 – B2
0 4
7
Det(G) = g13 C13 = g13 M13 = (-1) 3 3
4
(-1) 3 3
4
3  2 1
0 5 5
Det(G) = (-1) g21 C21 = (-1) g21 (- M21) = g21 M21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)}
Det(G) = (3) (15) = 45.
Matriks kofaktor :
Matriks yang anggota-anggotanya berupa kofaktor suatu matriks.
A=
3 2 


 4  5
C11 = M11 = -5
C12 = - M12 = - 4
Jadi matriks kofaktor dari A adalah : K =
Matriks adjoint :
Transpose dari matriks kofaktor.
Adj (A) = KT =
 C11 C21 


 C12 C22 
=
  5  2


 4 3 
C21 = - M21 = - 2
C22 = M22 = 3
 C11 C12 


 C21 C22 
=
  5  4


 2 3 
Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A
1  2 3 


A =  2 1  1
1 0 2 


 C11

T
(a) adj(A) = K =  C21
C
 31
C11 = M11 = 2
C21 = -M21 = 4
C31 = M31 = -1
C12 = -M12 = - 5
C22 = M22 = -1
C32 = -M32 = 7
C13 = M13 = - 1
C23 = -M23 = -2
C33 = M33 = 5
C12
C22
C32
T
C13   C11
 =
C23   C12
C

C33   13
C21
C22
C23
C31 

C32  =
C33 
 2 4  1


  5 1 7 
 1  2 5 


(b) Det(A) = a11 C11 + a12 C12 + a13 c13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9
A adj(A) = ?
9 0 0
 1  2 3   2 4  1
1 0 0



 


 = |A| I
=
9
0
9
0

 2 1  1   5  1 7  = 
0 1 0
0 0 9
0 0 1
 1 0 2   1  2 5 





 

Adj(A) A = ?
1 0 0
 2 4  1  1  2 3   9 0 0 



 
 

  5  1 7   2 1  1 =  0 9 0  = 9  0 1 0  = |A| I
0 0 1
 1  2 5   1 0 2   0 0 9 




 
 
Sifat :
1. A adj(A) = adj(A) A = det(A) I
2. adj(AB) = adj(B) adj(A)