Transcript Invariante und Algorithmenentwurf Timm Grams Hochschule Fulda Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik © Timm Grams, Fulda, 07.09.02 (6.5.07)

Invariante und
Algorithmenentwurf
Timm Grams
Hochschule Fulda
Fachbereich Elektrotechnik und
Informationstechnik
© Timm Grams, Fulda, 07.09.02 (6.5.07)
Einführung
Was dem Naturwissenschaftler die Naturgesetze,
das sind dem Informatiker die Invarianten.
Die Invariante erfasst den wesentlichen Kern eines
Algorithmus, sie ist sein „Gesetz“.
Die Invariante ist Grundlage des Algorithmenentwurfs.
Bei einem Algorithmus ist konsequent zu unterscheiden
zwischen der Handlungsanweisung und der Invarianten.
Die Handlungsanweisung erfasst den dynamischen, die
Invariante den statischen Aspekt eines Algorithmus.
Beispiel: Zahlenwandlung
Wandlung der Dezimalzahl 202 in die Darstellung
zur Basis 5
Stufe k
Relation
0
202 = 20250
1
202 = 4051 + 250
2
202 = 852 + 051 + 250
3
202 = 153 + 352 + 051 + 250
Zahlenwandlung - Operatoren
Die Zahlenwandlung basiert auf der ganzzahligen
Division mit Rest
Die dafür nötigen Operatoren in C sind / und %
/ ist der Divisionsoperator
% ist der Modulo-Operator zur Bestimmung des Rests
Beispiele: 202/5 = 40 und 202%5 = 2
Fundamentale Formel der ganzzahligen Arithmetik:
z = (z/b) ·b + z %b
Invariante und Endebedingung
Die Invariante ist eine Aussage, die vor Eintritt in
den Rechenschritt eines Algorithmus erfüllt ist, und
die nach dem Schritt erneut wahr ist.
Der Algorithmus endet, wenn die Endebedingung
erfüllt ist
Grundstruktur von Algorithmen in C
A
while(B)S
A
I
A
Initialisierungs-Anweisungen
B
Schleifenbedingung.
Für B  0 wird S ausgeführt,
für B = 0 (Endebedingung)
nicht
B
S
Schleifenanweisung (meist
eine Verbundanweisung)
S
I
Invariante
I  (B =0)
I  (B 0)
I
Beispiel: Wandlung der Zahl Z
in Darstellung zur Basis B
k=0;
while(z){
r[k++]=z%b;
z=z/b;
}
k=0;
I
I  (z =0)
z
I  (z 0)
r[k++]= z%b;
z= z/b;
Invariante:
b=B
Z = zbk+r[k-1]bk-1+...+r[1]b1+r[0]b0
0 ≤ r[i ] < B für i < k
I
Programmbeweis
mit der symbolischen Methode 1
Kursive Großbuchstaben bezeichnen mathematische Variable.
Programmfragmente werden in Anführungszeichen geschrieben.
Anfangs sei z=Z und durchweg gilt b=B.
Zu zeigen ist zuerst, dass die Initialisierung
„k=0;“
die Invariante wahr macht. Jedenfalls gilt nach der Initialisierung
z=Z und k=0. Also:
Z =z
= zb0
= zbk + r[k-1]bk-1+...+r[1]b1+r[0]b0

Programmbeweis
mit der symbolischen Methode 2
Im zweite Schritt ist zu zeigen, dass die Anweisungsfolge
„r[k++]=z%b; z=z/b;“
die Invariante erhält: Vor der Anweisungsfolge ist k=K und z=A.
Die Invariante wird zu
Z = AbK+r[K-1]bK-1+...+r[1]b1+r[0]b0
Nach der Anweisungsfolge ist r[K]=A%b, k=K+1 und z=A/b
(ganzzahliger Quotient). Wegen A=(A/b)b+A%b gilt
Z = ((A/b)b+A%b)bK+r[K-1]bK-1+...+r[1]b1+r[0]b0
= zbK+1 +r[K]bK+r[K-1]bK-1+...+r[1]b1+r[0]b0
= zbk + r[k-1]bk-1+...+r[1]b1+r[0]b0

Programmbeweis
mit der symbolischen Methode 3
Im dritten und letzten Schritt ist zu zeigen, dass aus der
Bedingung I  (z=0) das gewünschte Resultat folgt.
In der Invarianten
Z = zbk + r[k-1]bk-1+...+r[1]b1+r[0]b0
ist z=0 zu setzen. Damit ergibt sich
Z = r[k-1]bk-1+...+r[1]b1+r[0]b0
Das Array r enthält die Zahlendarstellung der Zahl Z zur Basis B.

Problem
Für Z = 0 ist die Summe
r[k-1]bk-1+...+r[1]b1+r[0]b0
leer. Das ist auch richtig so: Eine leere Summe hat
konventionsgemäß den Wert null.
Aber das Wandlungsprogramm kann mit einer leeren
Summe nichts anfangen.
Was ist zu tun?