Deret Taylor dan Analisis Galat Indriati., ST., MKom Powerpoint Templates Page 1 Deret Taylor • Definisi : Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… menerus di dalam selang.
Download ReportTranscript Deret Taylor dan Analisis Galat Indriati., ST., MKom Powerpoint Templates Page 1 Deret Taylor • Definisi : Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… menerus di dalam selang.
Deret Taylor dan Analisis Galat
Indriati., ST., MKom Powerpoint Templates
Page 1
Deret Taylor
•
Definisi
: Andaikata f dan semua turunannya,
f ’ ,f ’’ ,f ’’’ ,…
menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : x o є[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar x o dan x є[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :
f
(
x
)
f
(
x o
) (
x
x o
) 1 !
f
' (
x
0 ) (
x
x o
) 2 2 !
f
'' (
x o
) ....
(
x
x o
)
m m
!
f
(
m
) (
x o
) ...
Powerpoint Templates
Page 2
• • Jika (x-x o )=h, maka :
f
(
x
)
f
(
x o
)
h
1 !
f
' (
x
0 )
h
2 2 !
Contoh
:
f
'' (
x o
) ....
h m m
!
f
(
m
) (
x o
) ...
Hampiri fungsi di sekitar
x o =1
.
f(x)=sin(x)
ke dalam deret Taylor
Penyelesaian
:
f(x) = sin(x) f ’’’ (x) = - cos(x) f ’ (x) = cos(x) f (4) (x) = sin(x) f ’’ (x) = - sin(x) dst.
Powerpoint Templates
Page 3
maka :
f
(
x
) sin(
x
) sin( 1 )
h
cos( 1 )
h
2 2 sin( 1 )
h
3 6 cos( 1 )
h
4 24 sin( 1 ) ...
f
(
x
) 0 , 8415 0 , 5403
h
0 , 4208
h
2 0 , 0901
h
3 0 , 0351
h
4 ...
• Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar x o =0, maka deretnya dinamakan
deret Maclaurin
yang merupakan deret Taylor baku.
Contoh-1 :
f(x)= sin(x) dimana x o = 0
Powerpoint Templates
Page 4
• •
Penyelesaian
:
f f
(
x
) sin( (
x
) sin(
x
) sin( 0 )
h
cos( 0 )
h
2 2
x
)
x
x
3 6
x
5 120 sin( 0 )
h
3 6 cos( 0 )
Contoh-2
:
f(x)=e x dimana x o =0
Penyelesaian
:
f
(
x
)
e x f
(
x
)
e x
e
0 (
x
0 )
e
0 1 !
(
x
0 ) 2 2 !
1
x
x
2 2 !
e
0
x
3 3 !
x
4 4 !
e
...
0 (
x
0 ) 3 3 !
(
x
0 ) 4 4 !
e
0 ...
Powerpoint Templates
Page 5
• Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan:
f R
(
x
)
n
(
x
)
f
(
x o
( )
x
(
n
(
x
1 !
x o
1 )!
)
x o
)
f f
' (
x
0 ) (
x
x o
) 2 2 !
f
'' (
x o
) ....
(
x
x o
)
n n
!
(
n
1 ) (
c
);
x o
c
x disebut galat f
(
n
) (
x o
)
R n
(
x
) /
sisa
(
residu
) Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :
f
(
x
)
P n
(
x
)
R n
(
x
) Powerpoint Templates
Page 6
dimana
:
P n
(
x
)
R n
(
x
)
k n
1 (
x
x o k
!
(
x
(
n x o
) (
n
1 ) 1 )!
)
k f f k
(
x o
) (
n
1 ) (
c
) Contoh : f(x)=sin(x); x
o =1; utk deret Taylor orde ke-n
Penyelesaian :
P
4 (
x
) sin( 1 ) (
x
1 ) cos( 1 ) 1 !
(
x
1 ) 2 2 !
sin( 1 ) (
x
1 ) 3 3 !
cos( 1 ) (
x
1 ) 4 4 !
sin( 1 )
Galat
R
4 (
x
) (
x
1 ) ( 4 1 ) ( 4 1 )!
f
( 4 1 ) (
c
) Powerpoint Templates (
x
1 ) 5 cos(
c
) 5 !
Page 7
Analisis Galat
• Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu : a. Bagaimana menghitung galat b. Bagaimana galat timbul Powerpoint Templates
Page 8
• • Misalkan : ^
a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a
,
maka
:
a
^
a disebut galat
Contoh
: ^
a
10,5;
a
10 , 45 10 , 45 10 , 5 0 , 05
Galat Mutlak
a
^
a Galat relatif
:
R
a x
100 %
Galat relatif hampiran
:
RA
^
a x
100 % Powerpoint Templates
Page 9
•
Contoh
: Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitung : (a). Galat !
(b). Galat mutlak !
(c). Galat relatif !
(d). Galat relatif hampiran !
Penyelesaian : (a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333 = 10.000/3000 – 9999/3000 = 1/3000 = 0,000333 Powerpoint Templates
Page 10
(b). Galat mutlak : | є|=|a-â) = 0,000333 (c).
Galat relatif :
R
a
x 100% 0,000333 x 100% (10/3) 0,01% (d).
Galat relatif hampiran :
RA
^
a
x 100% 0,000333 x 100% 3,333 1 999 Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan pendekatan lelaran (
iteration
), є RA
RA
a r
1
a r
1
a r
dihitung dengan cara : dimana : a r+1 = nilai hampiran lelaran sekarang a r = nilai hampiran lelaran sebelumnya Powerpoint Templates
Page 11
• Proses lelaran dihentikan bila : | є RA | < є S є S = Toleransi galat yang dispesifikasikan Semakin kecil є S , semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya • Contoh : Diketahui : X r+1 =(-X r+1 3 + 3)/6; r =0,1,2,3 X o = 0,5; є s = 0,00001 Hitung : є RA !
Powerpoint Templates
Page 12
•
Penyelesaian
: X o = 0,5 X 1 = 0,4791667;
RA
( X 1 X o ) X 1 0 , 043478
s
X 2 = 0,4816638;
RA
( X 2 X 2 X 1 ) 0 , 0051843
s
X 3 = 0,4813757;
RA
( X 3 X 2 ) X 3 0 , 0005984
s
X 4 = 0,4814091;
RA
( X 4 X 3 ) X 4 0 , 0000693
s
X 5 = 0,4814052;
RA
( X 5 X 5 X 4 ) 0 , 0000081
s
,
berhenti
!
Powerpoint Templates
Page 13
SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK
• Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu : 1. Galat pemotongan (
truncation error
) 2. Galat pembulatan (
round-off error
) Ada sumber galat lain, yaitu : 1. Galat eksperimental 2. Galat pemrograman Powerpoint Templates
Page 14
(1). Galat Pemotongan (
truncation error
).
Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matema tika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana.
Tipe galat pemotongan bergantung pd metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang di sebut juga
galat metode.
Powerpoint Templates
Page 15
• Misalkan: turunan pertama f(x 1 ), dihampiri dengan formula :
f
' (
x
1 )
f
(
x i
1 )
f
(
x i
)
h
dimana : h = lebar absis x i+1 • Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 !
Penyelesaian : f(x) = cos(x) f ’ (x) = - sin(x) f ’’ (x) = - cos(x) f (4) (x) = sin(x) Powerpoint Templates
Page 16
• Maka :
f
(
x
) cos(
x
) 1
x
2 2 !
x
4 4 !
x
6 6 !
x
8 8 !
x
10 10 !
......
Nilai hampiran
• Galat pemotongan :
R n
(
x
) (
x
(
n x o
) (
n
1 ) 1 )!
R
6 (
x
) (
x
0 ) ( 6 1 ) ( 6 1 )!
f
(
n
1 ) (
c
)
f
( 6 1 ) (
c
)
x
7 7 !
cos(
c
)
Galat pemotongan
Powerpoint Templates
Page 17
• Nilai R n yg tepat hampir tdk pernah dapat kita peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari |R n | untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :
R n
(
x
)
Maks
c
x x o f
(
n
1 ) (
c
) x ) (
n
1 ) (x (
n
x o 1 )!
Powerpoint Templates
Page 18
• Contoh-1 : Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar x o =1 untuk menghampiri ln(0,9) dan beri kan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat !
Penyelesaian : f(x) = ln(x) f’(x) = 1/x f’’(x) = -1/x 2 f’’’(x) = 2/x 3 f (4) (x) = - 6/x 4 f (5) (x) = 24/x 5 f(1) = 0 f ’ (1) = 1 f ’ (1) = -1 f’’’ ’ (1) = 2 f (4) (1) = -6 f (5) (c) = 24/c 5 Powerpoint Templates
Page 19
• Deret Taylor : ln(
x
) (
x
1 ) (
x
1 ) 2 2 (
x
1 ) 3 3 (
x
1 ) 4 4 ln( 0 , 9 ) ln( 0 , 9 ) 0 , 1 ( 0 , 1 ) 2 2 ( 0 , 1 ) 3 3 0 , 1053583
R
4 (
x
) ( 0 , 1 ) 4 4
R
4 (
x
)
R
4 (
x
)
R
5 ( 0 , 9 )
Maks
0 , 9
c
1 24 c 5 x (-0,1) 5 5!
0 , 0000034 • Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemo tongan < 0,0000034.
Powerpoint Templates
Page 20
•
Contoh-2
: 1 0
e x
2
dx
Hampiri nilai secara numerik, yaitu :
f
(
x
)
e x
2 dengan deret Maclaurin orde 8 !
Penyelesaian
:
f
(
x
)
e x
2
e x
2 1
x
2
x
4 2 !
x
6 3 !
x
8 4 !
0 1
e x
2
dx
0 1 ( 1
x
2
x
4 2 !
x
6 3 !
x
x
3 3
x
5 10
x
7 42
x
9 216
x
8 4 !
)
dx x x
1 0 1 1 3 1 10 1 42 1 216 1 , 4617724 Powerpoint Templates
Page 21
GALAT PEMBULATAN
• Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat di dlm komputer. Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut
galat pembulatan.
Powerpoint Templates
Page 22
• Contoh : 1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033.
Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu : (a). Bilangan titik tetap (
fixed point
) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
Powerpoint Templates
Page 23
(b). Bilangan titik kambang (
floating point
) Contoh : 0,6238 x 10 3 atau 0,6238E+03 0,1714 x 10 -13 atau 0,1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “
Angka Bena” (significant figure).
Powerpoint Templates
Page 24
ANGKA BENA
• Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti.
• Contoh : 43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2) 278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0) Powerpoint Templates
Page 25
GALAT TOTAL
• Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.
• Contoh :
Cos
( 0 , 2 ) 1 ( 0 , 2 ) 2 2 ( 0 , 2 ) 4 24 0 , 9800667
Galat pemotongan Galat pembulatan
Powerpoint Templates
Page 26
• Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.
Powerpoint Templates
Page 27
ORDE PENGHAMPIRAN
• Di dalam metode numerik, fungsi f(x) sering diganti dgn fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkap kan tingkat ketelitian penghampiran itu adalah dengan menggunakan notasi : O-Besar (Big-Oh).
Powerpoint Templates
Page 28
•
Misal
: f(h) dihampiri dgn fungsi p(h).
Jika |f(h) p(h)| ≤ M|h n |, yg dlm hal ini M adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h) menghampiri f(h) dengan orde penghampiran O(h n ) dan ditulis dgn : f(h) = p(h) + O(h n ) O(h n ) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti penghampiran fungsinya.
Powerpoint Templates
Page 29
• Metode yg berorde O(h 2 ) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga pada metode yg berorde O(h 2 ), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula.
Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan : x i+1 = x i + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(x i+1 ) dengan deret Taylor di sekitar x i adalah : Powerpoint Templates
Page 30
f
(
x i
1 )
f
(
x i
) (
x i
1
x i
) 1 !
f
' (
x i
) (
x i
1
x i
) 2 2 !
f
'' (
x i
) ....
(
x i
1
x i
)
n n
!
f
(
n
) (
x i
)
R n
(
x i
1 )
f
(
x i
1 )
f
(
x i
)
h
1 !
f
' (
x i
)
h
2 2 !
f
'' (
x i
) ....
h n n
!
f
(
n
) (
x i
)
R n
(
x i
1 ) Dalam hal ini :
R n
(
x i
1 )
h
(
n
1 ) (
n
1 )!
f
(
n
1 ) (
t
)
O
(
h n
1 );
x i
t
x i
1 Jadi, kita dapat menuliskan :
f
(
x i
1 )
k n
0
h k k
!
f k
(
x i
)
O
(
h n
1 ) Powerpoint Templates
Page 31
• Contoh :
f
(
x
)
e x
1
h
h
2 2 !
h
3 3 !
h
4 4 !
O
(
h
5 )
f
(
x
) ln(
x
)
x
x
2 2
x
3 3
x
4 4
x
5 4
O
(
h
5 )
f
(
x
) sin(
h
)
h
h
3 3 !
h
5 5 !
O
(
h
7 )
f
(
x
) cos(
h
) 1
h
2 4 !
h
4 6 !
h
6 6 !
O
(
h
8 ) Powerpoint Templates
Page 32
BILANG TITIK AMBANG
• Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-ambang • Bilangan titik-ambang a ditulis sebagai a = ± m × B p = ± 0.
d1d2d3d4d5d
6 ...
dn
× Bp – m = mantis/mantisa (riil),
d1d2d3d4d5d6 ...dn
adalah digit mantis.
– B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dsb) – p = pangkat(berupabilanganbulat), dari–Pmin sampai+Pmaks • Contoh: 245.7654 = 0.2457654 × 10 3 Powerpoint Templates
Page 33
BILANG TITIK AMBANG
Bilangan Titik-ambang Ternormalisasi
• Syarat: digit yang pertama tidak boleh 0 • a = ± m × B • 1 ≤
d 1
p = ±
0.d
1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ... d n
× B p ≤ B -1 dan 0 ≤
d k
≤ B-1 untuk k > 1. • Pada sistem desimal, 1 ≤ desimal , 1 ≤
d 1 d 1
≤ 9 dan 0 ≤
d k
≤ 9 dan 0 ≤
d k
≤ 9, ≤ 9, Pada sistem • Sedangkan pada sistem biner,
d 1
• Contoh: 0.0563 × 10 -3 =1dan 0 ≤ 0.563 × 10 -4 ,
d k
≤ 1.
0.00023270 × 10 6 0.23270 × 10 3 Powerpoint Templates
Page 34
BILANG TITIK AMBANG
Pembulatan pada Bilangan Titik-ambang
• Bilangan riil di dalam komputer mempunyai rentang nilai yang terbatas.
• Bilangan titik-ambang yang tidak dapat mencocoki satu dari nilai nilai di dalam rentang nilai yang tersedia, dibulatkan kesalah satu nilai di dalam rentang • Galat yang timbul akibat penghampiran tersebut diacu sebagai galat pembulatan.
• Ada dua teknik pembulatan yang lazim dipakai oleh komputer, yaitu pemenggalan (chopping) dan pembulatan ke digit terdekat (in rounding). Powerpoint Templates
Page 35
PEMENGGALAN (CHOPPING)
• Pemenggalan (chopping) Misalkan a = ±
0. d 1 d 2 d 3 ... d n d n
+1 ... × 10 p • fl chop (a) = ±
0. d 1 d 2 d 3 ... D n-1 d n
× 10 p • Contoh: π = 0.314159265358... × 100 p fl chop ( π) = 0.3141592 × 100 p mantis) ( 7 digit • Galat= 0.000000065...
Powerpoint Templates
Page 36
PEMBULATAN
Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding)
• Misalkan a = ±0.
• fl round (a) = ±0.
d 1 d d 2 1 d d 3 2 d 3
...
d
...
d n d n
+1
n
× 10 p ... × 10 p Powerpoint Templates
Page 37
PEMBULATAN
• Contoh: a = 0.5682785715287 × 10 -4 : • Di dalamkomputer 7 digit dibulatkan menjadi • fl round (a) = 0.5682786 × 10 -4 • Di dalam komputer 8 digit dibulatkan menjadi?
• Di dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi • Didalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi?
Powerpoint Templates
Page 38
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG
• Kasus1: Penjumlahan (termasuk pengurangan) bilangan yang sangat kecil ke (atau dari) bilangan yang lebih besar menyebabkan timbulnya galat pembulatan. • Contoh: Misalkan digunakan komputer dengan 4 digit (basis 10). Hitunglah: 1.557 + 0.04381 = 0.1557 × 10 1 + 0.4381 × 10 -1 . Cari Galat dari penyelesaian penjumlahan aritmetika terhadap bilangan pendekatan yang didapat dengan pemotongan dan pembulatan!
Powerpoint Templates
Page 39
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG
• Kasus2: Pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama besar (nearly equal). • Bila dua bilangan titik-ambang dikurangkan, hasilnya mungkin mengandung nol pada posisi digit mantis yang paling berarti (posisi digit paling kiri). • Keadaan ini dinamakan kehilangan angka signifikan (loss of significance). Baik pemenggalan maupun pembulatan ke digit terdekat menghasilkan jawaban yang sama Powerpoint Templates
Page 40
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG
• Contoh: • Kurangi 0.56780 × 10 5 dengan 0.56430 × 10 5 (5 angka signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari pembulatan dan pemenggalan!
• Kurangi 3.1415926536 dengan 3.1415957341 (11 angka signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari pembulatan dan pemenggalan!
Powerpoint Templates
Page 41
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG
• Contoh: • Diberikan.
f
(
x
)
x
(
x
1
x
) hitunglah f(500) dengan menggunakan 6 angka bena dan pembulatan ke digit terdekat!
• Penyelesaian:
f
( 500 ) 500 ( 501 500 ) 500 ( 22 .
3830 22 .
3607 ) 500 * 0 .
223 11 .
15 • (Solusi eksak adalah: 11.174755300747198…)! Kenapa hasil tidak akurat? Apakah ada cara penyelesaian yang lebih baik?
Powerpoint Templates
Page 42
Powerpoint Templates
Page 43