Transcript TEOREMA LUI THALES O paralelă la latura unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale.

TEOREMA LUI
THALES
O paralelă la latura unui triunghi
determină pe celelalte două laturi
segmente proporţionale
A
M
N
C
B
Segmente pe o latură
AM
BM AB
Segmente pe cealaltă latură AN CN AC
AM AN
AM MB
=
=
BM CN
AN NC
MB NC
=
AB AC
AM AN
AM AB
=
=
AB AC
AN AC
MB AB
=
NC AC
A
B
C
M
Segmente pe o latură
N
AM
BM AB
Segmente pe cealaltă latură AN CN AC
AM AN
AM MB
=
=
BM CN
AN NC
MB NC
=
AB AC
AM AN
AM AB
=
=
AB AC
AN AC
MB AB
=
NC AC
M
N
A
B
Segmente pe o latură
C
AM
BM AB
Segmente pe cealaltă latură AN CN AC
AM AN
AM MB
=
=
BM CN
AN NC
MB NC
=
AB AC
AM AN
AM AB
=
=
AB AC
AN AC
MB AB
=
NC AC
PROBLEMĂ
Pe latura AB sunt segmentele AM, MB şi AB
Pe latura AC sunt segmentele AN, NC şi AC
În total: 6 segmente
Problema este: Se dau trei din cele 6 segmente
Se dau:
Se cer:
Se cer restul de trei segmente
Pe o latură două segmente din cele trei
Pe cealaltă latură un segment din cele trei
Restul de trei segmente
REZOLVARE
1. Pe latura cu două segmente date, se află cel de al treilea, prin
adunare sau scădere
2. Se aplică teorema lui Thales
3. Ultimul segment se află prin adunare sau scădere
A
8
6
AM = 6 cm
12
9
M
N
2
3
B
AB = 8 cm
AC = 12 cm
BM = 2 cm
AN = 9 cm
NC = 3 cm
C
1. Pe latura AB cunoaştem două segmente (AB şi AM) aflăm cel de al treilea prin: scădere
MB = AB - AM = 8 - 6 = 2 cm
trecem pe desen
2. Aplicăm Teorema lui Thales
- pe latura AB cunoaştem toate segmentele dar pe latura AC ştim doar pe AC
- Alegem, din variantele de rapoarte, unele care să conţină AC şi deci pe cealaltă latura pe.... AB
AM AN
=
AB AC
6
AN
=
8
12
AN = 9 cm
trecem pe desen
3. Pe latura AC cunoaştem două segmente (AC şi AN) aflăm cel de al treilea prin: scădere
NC = AC - AN = 12 - 9 = 3 cm
trecem pe desen
A
MB = 4 cm
2
M
6
AB = 6 cm
BN = 6 cm
NC = 3 cm
4
B
AM = 2 cm BC = 9 cm
6
3
N
C
9
1. Pe latura AB cunoaştem două segmente (BM şi AM) aflăm cel de al treilea prin:
AB = BM + AM = 4 + 2 = 6 cm
adunare
trecem pe desen
2. Aplicăm Teorema lui Thales
- pe latura AB cunoaştem toate segmentele dar pe latura BC ştim doar pe BC
- Alegem, din variantele de rapoarte, unele care să conţină BC şi deci pe cealaltă latura pe.... AB
BM BN
=
AB BC
4
BN
=
6
9
BN = 6 cm
trecem pe desen
3. Pe latura BC cunoaştem două segmente (BC şi BN) aflăm cel de al treilea prin: scădere
NC = BC - BN =
12 - 9 = 3 cm
trecem pe desen
A
M
P
MN paralelă cu AC şi MP paralelă cu BC
MB = 4 cm
AM = 2 cm
BC = 9 cm
AB = 6 cm
AP =
BN = 6 cm
PC =
NC = 3 cm
AC =
6
3
Rezolvăm în
două etape:
2
6
4
B
N
9
C
1. Consider paralela MN
2. Consider paralela MP
Etapa 1. Paralela MN (“uităm” de paralela MP)
1. Pe latura AB cunoaştem două segmente (BM şi AM) aflăm cel de al treilea prin:
AB = BM + AM = 4 + 2 = 6 cm
adunare
trecem pe desen
2. Aplicăm Teorema lui Thales
- pe latura AB cunoaştem toate segmentele dar pe latura BC ştim doar pe BC
- Alegem, din variantele de rapoarte, unele care să conţină BC şi deci pe cealaltă latura pe.... AB
BM BN
=
AB BC
4
BN
=
6
9
BN = 6 cm
trecem pe desen
3. Pe latura BC cunoaştem două segmente (BC şi BN) aflăm cel de al treilea prin: scădere
NC = BC - BN =
12 - 9 = 3 cm
trecem pe desen
A
2
4
M
6
P
4
B
MN paralelă cu AC şi MP paralelă cu BC
MB = 4 cm
AM = 2 cm
BC = 9 cm AC = 12 cm
AB = 6 cm
AP = 4 cm
BN = 6 cm
PC = 8 cm
NC = 3 cm
AC = 12 cm
12
8
3
6
N
C
Rezolvăm în
două etape:
1. Consider paralela MN
2. Consider paralela MP
9
Etapa 2. Paralela MP (“uităm” de paralela MN)
1. Pe latura AB cunoaştem toate segmentele, dar pe AC niciunul
Avem nevoie de încă o dată
2. Aplicăm Teorema lui Thales
- pe latura AB cunoaştem toate segmentele dar pe latura AC ştim doar pe AC
- Alegem, din variantele de rapoarte, unele care să conţină AC şi deci pe cealaltă latura pe.... AB
AM AP
=
AB AC
2
AP
=
6
12
AP = 4 cm
trecem pe desen
3. Pe latura AC cunoaştem două segmente (AC şi AP) aflăm cel de al treilea prin: scădere
PC = AC - AP = 12 - 4 = 8 cm
trecem pe desen
APLICAŢIE
AM = 4 cm
A
6
4
M
9
6
MB = 2 cm
AB = 6 cm
AN = 6 cm
NC = 3 cm
N
2
3
B
C
AB = AM + BM = 4 +2 = 6 cm
AM AN
=
AB AC
4
6
AN
=
9
NC = AC - AN = 9 - 6 = 3 cm
AN = 6 cm
AC = 9 cm
APLICAŢIE
AB = 6 cm
A
10
6
B
4
M
12
20
MB = 4 cm
AC = 12 cm
AM = 10 cm
AN = 20 cm
NC = 8 cm
C
8
N
AM = AB + BM = 6 +4 = 10 cm
AB AC
=
AM AN
6
12
=
10
AN
NC = AN - AC = 20 - 12 = 8 cm
AN = 20 cm