Transcript Ch 3 Dynamic Programming (動態規劃) Dynamic Programming     將問題切成兩個或以上較小的問題來獲 得解答 不像Divide & Conquer去盲目計算 計算小實例的結果並加以儲存 Bottom-up Fibonacci Sequence f0=1 f1=1 fn=fn-1+fn-2 for n>=2 T(n) > 2n/2

Ch 3
Dynamic Programming
(動態規劃)
Dynamic Programming




將問題切成兩個或以上較小的問題來獲
得解答
不像Divide & Conquer去盲目計算
計算小實例的結果並加以儲存
Bottom-up
Fibonacci Sequence
f0=1
f1=1
fn=fn-1+fn-2
for n>=2
T(n) > 2n/2
Fibonacci Sequence

演算法1.6(Divide & Conquer)
Fibonacci Sequence
演算法1.7(Dynamic programming)
Fibonacci Sequence
演算法1.6(Divide and Conquer) vs. 1.7(Dynamic
programming)
Binomial Coefficient
n
n!
  
 k  k!(n  k )!
遞迴表示式
0≦k≦n
 n  1  n  1
  

 n  
    k  1  k 
k  
1
0<k<n
k=0 or k=n
Binomial Coefficient

T(n)=2
驗算法3.1
n
  -1
k 
Binomial Coefficient(DP版)

Pascal’s triangle
Binomial Coefficient(DP版)
Binomial Coefficient(DP版)

演算法3.2
(nk)
Floyd’s shorest length
Weighted graph
Weighted graph
Shortest length
Floyd’s shortest length I

演算法3.3

T(n)=n3
Floyd’s shortest length II
WPD
Floyd’s shortest length II
最佳化原則
最佳化原則(principle of optimality)：
當一個問題存在著最佳解，則表示
其所有的子問題也必存在著最佳解
連鎖矩陣相乘
M:相乘最少次數
P:分割點
連鎖矩陣相乘
矩陣相乘：
•列x行
•與相乘順序無關
•不同順序會影響乘法總次數
目的：
找出最佳順序使得乘法次數最少
連鎖矩陣相乘
標註：
•矩陣Ak的列數為dk-1，行數為dk，維度= dk-1 x dk
•M[i][j]=矩陣Ai乘到Aj所需的最少乘法數
M [ j ][ j ]  min im um( M [i ][k ]  M [k  1][ j ]  d i 1d k d j ), ifi  j
i  k  j 1
M [i ][i ]  0
連鎖矩陣相乘(Pascal’s triangle)
d0=5, d1=2, d4=6
132=0+72+5x2x6
演算法3.6
T(n) (n3)
演算法3.6所產生的陣列P
可以由此陣列得出矩陣相乘
的最佳順序(即乘法次數最少)
演算法3.7
最佳二元搜尋樹
A:平均時間
R:二元樹根節點
最佳二元搜尋樹
二元搜尋樹(binary search tree)定義：
1. 每個節點包含一個key
2. 節點N的左子樹中任一節點的key，必需小於或
等於節點N的key
3. 節點N的右子樹中任一節點的key，必需大於或
等於節點N的key
最佳二元搜尋樹
目的：
從一堆資料建立搜尋時間最短的二元搜尋樹
名詞：
•key
•search key機率pi
•搜尋keyi所需時間ci
演算法3.8
n
平均搜尋時間=
c p
i 1
i
i
Ci=搜尋keyi所需時間(指令數目)
Pi=keyi被當成search key的機率
最佳二元搜尋樹
範例3.7
最佳二元搜尋樹
j

um( A[i ][k  1]  A[k  1][ j ])   pm , i  j
 A[i ][i ]  mini im
k j
m i

 A[i ][ j ]  pi
 A[i  1]  0及A[j 1][i] 0


演算法3.9
T(n) (n3)
最佳二元搜尋樹
演算法3.10
售貨員旅行問題
W, D, P
售貨員旅行問題
有向權重圖
售貨員旅行問題
每個點都需要經過一次，再回到原出發點
旅程：由某頂點出發，經過所有頂點一次，
再回到該點
W:相鄰矩陣
D:最短路徑長度
D[vi][A]=從vi出發經過A所有頂點一次再回到
v1
P:紀錄路徑上的頂點
售貨員旅行問題
V:所有頂點集合
A:V的子集合
D[vi][A]=從vi出發經過A所有頂點一次再回到
v1的最短路徑
P[i][A]:紀錄路徑上的頂點，從vi出發經過所有
頂點一次，回到v1的路徑上，位在vi後面的第
一個頂點
售貨員旅行問題
最佳TOUR長度=min(W[1][j]+D[vj][V-{v1,vj}])
一般式：
D[vi ][ A]  min(W [i][ j ]  D[v j ][ A  {v j }])
j:v j A


D[v ][ ]  W [i][1]
 i
T(n)(n22n)
售貨員旅行問題-演算法3.11