Transcript 1) Un bloque se desplaza 12m sobre la superficie horizontal en que se apoya, al actuar sobre él una fuerza de 250N.

1)
Un bloque se desplaza 12m sobre la superficie
horizontal en que se apoya, al actuar sobre él una fuerza de
250N. Calcula el trabajo realizado por la fuerza:
a)Si tiene la misma dirección y sentido del movimiento.
b)Forma un ángulo de 45º con el desplazamiento.
c)Forma un ángulo de 90º con el desplazamiento.
d)Si el trabajo realizado en el apartado a) se efectúa en 6 s,
¿cuál es la potencia mecánica media en kw y en CV?
•
•
Solución
Cuando la fuerza que actúa sobre un cuerpo tiene la misma dirección y
sentido que el desplazamiento (fig A), el trabajo se define como el producto
de la fuerza que actúa por el desplazamiento producido:
w  F  r  F  s
Sin embargo, en muchos casos, la fuerza aplicada a una cuerpo no tiene la misma
dirección y sentido que el movimiento de éste. En estos casos la fuerza que
debemos considerar para calcular el trabajo es la fuerza efectiva que se realice en
la dirección del desplazamiento, cuyo valor es F  cos 
•Por consiguiente, el trabajo es: W  F  S cos
Que se reduce a la primera cuando  =0, es decir, cuando coinciden en dirección
y sentido producido.
disponemos de los siguientes datos:
•Fuerza que actúa sobre el bloque: F= 250 N.
•Desplazamiento: S =12 m
•Tiempo: t= 6 s
•Ángulos que forman la fuerza aplicada y el desplazamiento:a)0º, b)45º,c)90º.
Las incógnitas son el trabajo realizado y la potencia mecánica.
a)
Coinciden en dirección y sentido la fuerza y el desplazamiento:
W  F  s  250N 12m  3103 j  3kj
b)
No coinciden la dirección de la fuerza con el desplazamiento:
W  F  s cos 450  250N 12m
2
2
 2,1103 j  2,1kj
•
c) La fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, forman un ángulo de 90º,
y como cos 90ºes igual a cero, el trabajo es nulo:
W  F  s cos900  0
d)
En la definición de trabajo no interviene el tiempo, sin embargo, es un
factor muy importante para determinar la eficacia, la potencia, de una máquina.
Un motor es muy potente si es capaz de realizar mucho trabajo en poco tiempo.
Se llama potencia media al cociente entre el trabajo realizado y el tiempo
empleado:
3
pm  w  310 j  500w  0,5kw
t
6s
El vatio es la unidad de potencia en el S.I. El kw es un múltiplo que equivale a
103 w
Otra unidad de potencia muy utilizada en la practica es el CV (caballo de vapor)
que equivale a 735,5 vatios. Por tanto, una potencia de 500w equivale a:
p
500w  0,68cv
735,5 w cv
2) Una grúa levanta 1000 kg de cemento a una altura de 40 m
en un edificio de construcción, y después desplaza la carga
horizontalmente 20 m. ¿Qué trabajo mecánico realiza?
Solución:
Para elevar el cemento, la grúa ejerce verticalmente hacia arriba una fuerza igual
al peso del cemento que eleva:
F
F  P  mg 103kg ·9,8N Kg-1  9,8 ·103 N
El trabajo que realiza en el desplazamiento vertical es:
W  F · h  9,8 ·103 N · 40 m  3,92 ·105 J
En el desplazamiento horizontal, la fuerza es perpendicular al
desplazamiento y el trabajo realizado es nulo.
Por consiguiente, el trabajo mecánico realzado es igual a 3,92 · 105 J.
P = mg
3) Juan, de 70 kg, sube a una altura de 20 m.
a) ¿Qué trabajo mecánico realiza?
b) ¿Efectúa el mismo trabajo si sube por una escalera
inclinada que si lo hace por una escalera vertical?
Solución:
a) La fuerza necesaria es igual al peso de Juan (Fig. 1):
F  P  mg  70 Kg ·9,8 N Kg-1  686 N
El trabajo realiza es :
W  F · h  686 N · 20 m 13720 J
b) El trabajo realizado es el mismo para ambos recorridos (Fig. 2).
A
A
F
F = 686 N
WOA = 0
r
O
Figura 1
P
F
P = 70 Kg · 9,8 N Kg-1 = 686 N
WOB = 0
O
P
B
Figura 2
4) Un cuerpo de 20 N de peso se desplaza desde el punto 0 al
punto C al aplicarle una fuerza vertical F que contrarresta su
peso.
a) Calcula el trabajo que realiza esa fuerza en el recorrido
OABC.
b) Si se llega al punto C por el camino ODEFGHC, ¿qué
trabajo realiza la fuerza en este caso?.
c) ¿Qué potencia debería tener b un pequeño motor para llevar
al cuerpo desde el punto 0 al punto H en 4s?.
Solución:
S (m)
El módulo de la fuerza F es igual a
20N puesto que contrarresta el peso del
cuerpo.
El trabajo mecánico realizado por una
fuerza constante de módulo F que tiene
la misma dirección que el
50
desplazamiento del cuerpo es:
W  F·r  F·s
40
H
G
C
F
E
F
30
20
F
P
B
10 A
0
D
P
10
20
30
40
50
Cuándo la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo realizado por la
fuerza es nulo.
a)En el tramo OA, el trabajo es:
WOA  20N ·(10  0)m  200J
En el tramo AB, el trabajo es nulo porque la fuerza es perpendicular a desplazamiento.
En el tramo BC, el trabajo de elevación es: WBC  20N ·(40 10)m  20N ·30m  600J
El trabajo total realizado en el recorrido OABC es la suma de los trabajos parciales:
WT WOA WAB WBC  200J  0J  600J  800J
Podríamos calcular directamente el trabajo total realizado considerando que el
trabajo mecánico que hay que efectuar al elevar un cuerpo sólo depende de lo que
cambie su altura respecto al suelo:
W  P(hf  hi )  mg(hf  hi )  20N·(40  0)m  800J
b) Calculemos el trabajo realizado en cada tramo.
·Tramo OD: El desplazamiento es horizontal y el trabajo nulo porque la fuerza es
perpendicular al desplazamiento: WOD  0
·Tramo DE: WDE  20N ·(40  0)m  20N ·40m  800J
·Tramo EF: WEF  0
·Tramo FG: WFG  20N ·(50  40)m  20N ·10m  200J
·Tramo GH: WGH  0
·Tramo HC: WHC  20N ·(40  50)m  20N ·(10m)  200J
El trabajo total realizado en el recorrido ODEFGHC es la suma de los trabajos
parciales:
WT WOD WDE WEF WFG WGH WHC  (0  800  0  200  0  200) J  800J
c) El trabajo realizado para desplazar el cuerpo desde el punto O al punto H es:
WOH  20N ·(50  0)m 1000J
La potencia mecánica es el cociente entre el trabajo realizado y el tiempo empleado:
P  W  1000J  250W  0,25kW
t
4s
El valor de la potencia en CV es:
P
250W  0,34 CV
 W 

735,5

 CV 
S (m)
H
G
C
F
50
40
E
F
30
20
F
P
B
10 A
0
D
P
10
20
30
40
50
5)La cabina de un ascensor tiene una masa m = 400 kg y
transporta 4 personas de 75 kg cada una. Si asciende con
velocidad constante hasta una altura de 25 m en 40 s, calcula:
a) El trabajo realizado para subir la cabina y los pasajeros.
b) La potencia media desarrollada en kW y CV.
c) Si el rendimiento total de la instalación del ascensor es del
62 % . ¿Cuál es el coste de cada viaje del ascensor? (El precio
de 1 kW h de origen eléctrico es de 20 pesetas.)
Solución:
a) La masa total es m= 400 kg + 4 · 75 kg = 700 kg
Como el ascensor sube con velocidad constante, la fuerza ejercida contrarresta el
peso del conjunto:
F  P  mg  700 kg · 9,8 N kg-1  6,86 ·103 N
El trabajo realizado es:
W  F · h  6,86 ·103 N · 25 m  1,72 ·105 J
b) La potencia media en kW es la siguiente:
5
Pm  W  1,72·10 J  4,3·103W  4,3kW
t
40s
Como 1 CV equivale a 735,5 W, la potencia media en CV es:
1
Pm  4,3·103W 735,5 W CV  5,8 CV
c) El trabajo total realizado por el motor del ascensor (Wt) es el necesario para subir
la cabina y los viajeros (W) más el trabajo necesario para vencer los rozamientos.
Por tanto, el rendimiento es:
Re n dim iento  Trabajo útil ;   W ; W  W
T 
W
Trabajo Total
T
5
W  1,72·10 J  2,77·105 J
T
0,62
El trabajo realizado por el motor del ascensor en kW h es:
W 
T
2,77·105 J  0,077 kW h

J 
3,6·106 

 kW h 
Coste  0,077 kW h · 20 pesetas kW h  1,54 pesetas
6) La fuerza aplicada de un cuerpo varía de acuerdo con el
gráfico adjunto.
a) ¿Qué trabajo
realiza la
fuerza F en cada
tramo?
b) ¿cuánto vale el
trabajo
total?
F(N)
C
40
D
30
A
20
B
10
0
10
20
30
40 s(m)
Solución.
a) En la gráfica fuerza-desplazamiento, el valor del trabajo viene dado por el área
sombreada de la figura.
· Tramo OA: Se trata de calcular el área de un triángulo de base y altura conocidas:
WOA  1 · base · altura  1 · 20 m · 20 N  200J
2
2
· Tramo AB: El trabajo coincide con el área de un rectángulo de base igual a 10 m y
altura igual a 20 N:
WAB  20N · (30 - 20) m  20 N ·10 m  200J
WBC  0
· Tramo BC: Como no hay desplazamiento el trabajo es nulo:
· Tramo CD: El valor del trabajo viene dado por el área del rectángulo situado
bajo la recta CD:
WCD  40 N · (40 - 30) m  400 J
b) El trabajo total es la suma de los trabajos realizados en cada tramo:
WT  WOA  WAB  WBC  WCD  200 J  400 J  800 J
7. Un camión de 30 t está parado al iniciarse una cuesta.
Arranca y cuando se ha elevado una altura vertical de 50m
sobre el punto de partida alcanza una velocidad de 72 km h-1,
tras permanecer 3 minutos en movimiento. Calcula:
a) La energía mecánica adquirida por el camión.
b) La potencia mecánica del motor necesaria para suministrar
esa energía.
Solución:
a) Si tomamos como plano de referencia para medir la altura la base del plano, el
camión adquiere energía potencial gravitatoria al elevarse 50 m sobre el punto de
partida, y energía cinética al adquirir una velocidad de 72 km h-1, es decir, de 20
m s-1.
Ep  m g  h  3104 kg9,8Nkg1 50m 1,47107 J
h = 50m
Ec  1 mv2  1 3104 kg(20ms1)2  6,0106 J
2
2
v =20ms-1
h0=0
50m
v0= 0
La energía mecánica adquirida es la suma de ambas energías:
Em 1,47107 J  6,0106 J  2,07104 KJ
b) La potencia mecánica medida del motor necesaria para suministrar esta energía
es el cociente entre la energía suministrada y el tiempo invertido:
7J

W
2
,
07

10
P

1,15 105 W 1,15 102 kW
t
180 s
El valor de la potencia en CV es:
1,15 105W
P
 156,4 CV
 W 

735,5 

 CV 
8. Para elevar un cuerpo con una velocidad constante de 1,5 m s-1
se necesita un motor de 2 CV de potencia. ¿Cuál es el peso del
cuerpo?
Solución:
Para elevar un cuerpo es necesario ejercer una fuerza que contrarreste su peso.
La potencia mecánica es:
P  F v
;
F  P  2CV  735,5W / CV  9,8102 N
v
1,5m / s
En consecuencia, el peso del cuerpo es igual a 9,8 · 102 N = 100 kp
9. Un proyectil de 24g de masa atraviesa una plancha metálica
de 2 cm de grosor. Su velocidad a la entrada era de 400m s-1 y a
la salida de 120m s-1. Calcula:
a) El trabajo realizado.
b) La fuerza media que ejerce la plancha sobre el proyectil.
Solución:
a) El trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre el proyectil varía la energía
cinética de este. Por consiguiente, el trabajo es igual a la energía cinética final
menos la energía cinética inicial: W= Ec
Ecf  1 mv2f  1  2410 3 kg(120ms1)2 172,8J
2
2
Eci  1 mvi2  1  2410 3 kg (400ms1) 1920J
2
2
W  Ec 172,8J 1920J  1747,2J
b) La fuerza que ejerce la plancha metálica se obtiene a partir del trabajo realizado:
,2J  8,7 104 N
F  W  1747

2
s 210 m
La fuerza es negativa porque se opone al movimiento, es la resistencia que ejerce la
lámina metálica al movimiento del proyectil.
W  F s
10)Un embalse contiene 80 hm3 de agua a una altura media
de 60 m.Calcula la energía potencial gravitatoria que posee
el agua del embalse en kW h.
Solución:
Como la densidad del agua es 1.000 kg/m3 y el embalse contiene 80 · 106 m3 de
agua, la masa de agua embalsada es:
m  v  p  80106m3 103 Kgm3  80109 Kg
La energía potencial gravitatoria en julios es:
E p  mgh  81010 Kg 9,8 Nkg1 60 m  4,7 1013 J
La equivalencia entre julios y kilovatio·hora es la siguiente:
1 kWh 1 kW 1 h 103 Js13,6103 s  3,6106 J
Por tanto, la energía potencial gravitatoria expresada en kW h es:
Ep 
4,7 1013 J 1,3107 kWh
3,6106 J / kWh
11) El consumo diario de agua de una ciudad es de 8·103 m3,
siendo necesario elevarla a unos depósitos situados a 60 m por
encima del río donde tiene lugar la captación .Sin tener en cuenta
otras consideraciones, calcula:
a) El trabajo diario que hay que realizar.
b) La potencia total de las motobombas que elevan el agua.
Solución:
a)
Tomando como referencia de altura el nivel del río, la energía potencial
gravitatoria inicial del agua es cero.Al elevar el agua aumenta la altura y ,por
tanto, su energía potencial gravitatoria.
b) El trabajo mecánico realizado es igual al aumento experimentado por la energía
potencial gravitatoria: W  E  E  E
pi
pf
pf
La masa de agua consumida por día es: m  v  p  8103 m3 103 kg / m3  8106 Kg
b) El tiempo empleado es:
t 1 día  24 h3600 s / h  86400 s
La potencia es el conciente entre el trabajo realizado y el tiempo empleado.
9
P  W  4,7 10 J  54398 W
t 86400 s
Al considerar que 1 CV es igual a 735,5 W, la potencia en CV es:
P  54398 W  74 CV
735,5 W / CV
12) Al colgar un cuerpo de 10 Kg de un muelle vertical se :
produce un alargamiento de 6,8 cm.Calcula
a) La constante elástica del muelle.
b) La energía potencial elástica almacenada.
6,8 cm
Solución:
a)La fuerza que alarga el muelle es la fuerza del cuerpo:
P  mg 10 Kg 9,8 N Kg 1  98 N
La constante elástica se obtiene a partir de la ley de Hooke:
F  k  x ; k  F  98 N 1,4103 N m1
x 6,8102 m
b) La energía potencial elástica almacena es:
2


1
1
2
3

1

2
E e kx  1,4 10 N m   6,810 m   3,2 J
2
2


13)Entre los días 16 y 22 de julio de 1994, el cometa
Shoemaker-Levy chocó con el planeta Júpiter, entrando en su
atmósfera a una velocidad de 60 km s-1.La masa de los
fragmentos del cometa era comparable a la de una esfera de
27 km de diámetro y una densidad semejante a la del agua,
es decir, de 1000 kg m-3.Calcula:
a)La energía del impacto.
b)El coste de esa energía, tomando como referencia el precio
del kW h origen eléctrico que es de 20 pesetas.
Solución:
a) El volumen del núcleo del cometa es el de una esfera de 13,5 km de radio:
3


4
4
3
3
v    r  3,14  13,510 m   1,03103 m3
3
3


Masa del cometa: m  v  p 1,031013m3 103Kg / m3 1,031016 Kg
La energía del impacto es igual a la energía cinética del cometa:
2


1
1
2
16
3
E  mv  1,0310 Kg   60 10 m / s 
2
2


b) Al expresar la energía en kW h se obtiene:
e
Coste:
1,81025 J  51018kWh
3,6106 J / kWh
51018kWh 20 pesetas / kWh 11020 pesetas
¡Mucho dinero! Los presupuestos Generales del Estado , en España,ascienden a
unas 4·1013 pesetas.
Principio de conservación de la energía mecánica
14) Si desde una terraza de un tercer piso, situado 10 m por encima del suelo,
lanzas verticalmente desde abajo un balón de 400 g con una velocidad de
5 m/s-1.
a) ¿ Cuál es su energía en el punto de lanzamiento?
b) ¿ Cuánto vale su energía cinética y su energía potencial gravitatoria
cuando se encuentra a una altura de 2 m sobre el suelo?
c) ¿Cuál es su energía mecánica al llegar al suelo? ¿ Cuánto vale en ese
instante su velocidad?
Para calcular si nuestros cálculos son correctos, se mide la velocidad del balón al
llegar al suelo utilizando un muelle cuya constante elástica es K= 1,35 · 104
N/m
y se observa que , como consecuencia del impacto del balón, el muelle se
comprime 8 cm.
d) ¿Cuál es el valor real de la velocidad del balón al llegar al suelo?
e) ¿ Qué ha ocurrido con la energía perdida ?
f) Si en lugar de lanzar el balón hacia abajo lo lanzamos hacia arriba o
formando un ángulo de 60º con la horizontal, ¿ cambiaría en algo la
Solución
Se trata de un problema que podemos resolver aplicando el principio de
conservación de la energía mecánica. Si suponemos que no hay rozamientos, la
energía mecánica total permanece constante, se conserva.
Si suponemos que no hay rozamiento, que no se produce fricción con el aire,
el balón conserva su energía mecánica a lo largo de la trayectoria.
Em  Ec  Ep
Recuerda que la energía cinética y la energía potencial gravitatoria las calculamos
así:
2
E p  mgh
;
Ec  mv
2
a)
En el punto de lanzamiento, disponemos de los siguientes datos, en
unidades del SI:
m = 400 g = 0,4 Kg ;
g = 9,8 m/s-2
;
h1 = 10 m
; v1 = 5 m/s -1
En el momento del lanzamiento, el balón posee energía cinética puesto que
se mueve con una velocidad de 5m/s-1 y posee energía potencial gravitatoria
al estar situado a una altura de 10 m sobre el suelo.
mv2 0,4kg·(5m / s1)2
Ec  1 
 5J
2
2
1
;
E p  mgh  0,4kg·9,8m / s 2·10m  39,2 J
1
1
Em  Ec  E p  5J  39,2J  44,2J
1
1
b) Dado que la energía mecánica se conserva, la energía mecánica en cualquier
punto será siempre 44,2J.
La energía potencial gravitatoria a una altura de 2 m sobre el suelo es:
E p  mgh  0,4kg·9,8m / s 2·2m  7,8J
2
2
En consecuencia la energía cinética del balón es ahora:
Ec  Em  E p  44,2 J  7,8J  36,4J
2
2
c)
Puesto que la energía mecánica permanece constante, su valor al llgar al suelo
es 44,2J.
Pero ahora, la altura es cero y, por lo tanto, la energía potencial es nula:
Em  Ec  E p
3
3
;
Ep 0
3
;
mv2
Em  Ec  3
2
3
2E
v2  m  2·44,2J  221m2 / s2
m
3
0,4kg
v  221m2 / s2 14,87m / s1
3
15.- El campeón olímpico de halterofilia en la máxima
categoría, el ruso Andrey Chemerkin, levantó en la modalidad
de dos tiempos 260 kg, elevándolos hasta 2,30 m sobre el suelo.
a.- ¿Qué potencia desarrolló el atleta si invirtió en el
levantamiento un tiempo de 5 s?
b.- Al dejar caer las pesas, ¿qué energía cinética tenían al llegar
al suelo?
• Solución:
a) Como la energía potencial gravitatoria de las pesas en el suelo es cero, el trabajo
mecánico realizado por el atleta es igual a la energía potencial gravitatoria de
las pesas e el punto más alto:
w  Ep f  Ep i  Epf  mgh  260kg ·9,8 N kg1 ·2,30m 5,86 ·103 J
Como el levantador realiza este trabajo en 5 s, la potencia media desarrollada es:
5,86  103 J
P
 1,17  103 W
5s
b) Y, de acuerdo con el principio de conservación...
Ep  Ec  5,8610 J
16) ¿Qué Altura máxima puede alcanzar una pelota de masa
m lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una
velocidad de 12 m/s-1?
Solución
En el suelo, la energía potencial gravitatoria de la pelota es cero. A medida que la
pelota asciende aumenta su altura sobre el suelo, y por tanto, aumenta su energía
potencial gravitatoria, pero disminuye en igual cuantía su energía cinética porque
disminuye su velocidad. Cuando alcanza la altura máxima, la velocidad es nula y
toda su energía cinética se ha transformado en energía potencial gravitatoria.
Ec i  E p f
vi2
1
2
; mv  mghf ; h f 
2
2g
La altura alcanzada es independiente de la masa del cuerpo.
 1)2
(
12
m
/
s
hf 
 7,3m
2·9,8 m / s 2
17.- Un automóvil, cuya masa total es de 1,25 t, se desplaza
con una velocidad de 108 km/h. Si como consecuencia de un
choque cediera toda su energía a un peatón de 75 kg, ¿hasta
qué altura podría elevarse?
Solución:
La velocidad del automóvil en unidades del SI es:
3
v  108·10 m  30 m / s
3600 s
La energía cinética del automóvil es:
1
1
Ec  mv2  ·1,25 ·103 kg ·(30 m / s 1)2  5,62 ·105 J
2
2
Si toda esta energía se transfiere al peatón y se convierte en energía potencial
gravitatoria, la altura alcanzada se obtiene al igualar ambas energías:
5J
Ec
5
,
62
·
10
Ec  E p  mgh ; h 

 765
mg 75kg·9,8 N kg1
No, no hay ningún error. Es necesario conducir con prudencia.
18) Desde una altura de 20m se lanza horizontalmente una
pelota de 80 g de masa con una velocidad de 5 m s-1 ¿Qué
velocidad tendrá cuando se encuentre a 4 m sobre el suelo?
vi= 5 m s-1
vf
hi= 20 m
hf = 4 m
Solución:
Este problema puede resolverse aplicando el
principio de conservación de la energía mecánica.
En efecto, cuando la pelota desciende disminuye
su altura sobre el suelo y, por tanto, disminuye su
energía potencial gravitatoria; pero aumenta su
velocidad y, en consecuencia, aumenta su energía
cinética.
El aumento de la energía cinética de la pelota es igual a la disminución de su energía
potencial gravitatoria. La energía mecánica total permanece constante:
Ei  E f ; E p  Ec  E p  Ec
i
i
f
f
La energía inicial es:
Ec  1 mvi2  1·80·10 3 kg·(5m·s 1) 1J
2
2
i
La energía potencial gravitatoria inicial es:
E p  mghi  80·10 3 kg·9,8NKg 1·20m 15,7 J
i
La energía potencial gravitatoria final de la pelota es la siguiente
E p  mghf  80·10 3 kg·9,8NKg1·4m  3,1J
f
La energía cinética final de la pelota es:
Ec  1 mv2f  1·80·10 3 kg·v2f  0,04v2f
2
2
f
De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, la
energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final:
1J 15,7J  3,1J  0,04v2f
v2f  13,6 J  340m2·s 2; v f  340(m·s  1)2 18,4m·s  1
0,04Kg
19) Un resorte de 62 cm de longitud, cuya constante elástica es
k= 1,5·104N/m , está situado verticalmente. Se comprime hasta que su
longitud es de 38 cm. Calcula:
a)La energía potencial elástica que almacena el resorte comprimido.
b) Si se coloca sobre el muelle comprimido un cuerpo de m=10Kg y se
suelta el muelle, ¿qué altura sobre el suelo alcanza el cuerpo en el punto mas
alto?
h0=0,62m
a)
h
h1=0,38m
Al comprimir el resorte se acorta una distancia x = 0,62m – 0,38m = 0,28m
La energía potencial elástica almacenada es:
2
E p  kx  1·1,5·104 N ·m 1·(0,24m)2  432J
2 2
e
b) La energía mecánica inicial es la suma de la energía potencial elástica
E p  mgh1 10kg·9,8N·kg1·0,38m  37,2J
g
Em  432J  37,2J  469,2J
Toda esta energía se convierte en energía potencial gravitatoria del cuerpo cuando
adquiere la altura h:
Em  mgh;
h
Em
 469,2J 1  4,8m
mg 10kg·9,8kg
20.- En el punto más elevado de un plano inclinado de 3 m de
altura y 20 m de longitud (Fig. A) se sitúa un cuerpo de 10 kg
que se desliza a lo largo del plano. Calcula:
a) La velocidad del cuerpo al pie del plano.
b) Si se mide esta velocidad siempre es menor que la
teóricamente prevista, siendo en este caso de 5,2 m s-1.
¿Cuánto vale el trabajo de rozamiento? ¿Qué valor tiene la
fuerza de rozamiento?
•
a)
Solución:
De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, Si no
existe rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano, la energía potencial
gravitatoria del cuerpo en el punto más alto del plano es igual a su energía
cinética en el punto más bajo, porque inicialmente el cuerpo está en reposo y al
final su energía potencial gravitatoria es cero:
E pt  Ecf
2
mv
mgh 
; v  2 gh
2
v  2·9,8 m / s  2 ·3 m  7,7 m / s
b) La velocidad real es menor, en este caso 5, 2 m s-1, porque la fuerza de
rozamiento, que siempre se opone al movimiento, realiza un trabajo negativo. Al
considerar el trabajo de rozamiento, se cumple:
E pi Wr  Ecf ; Wr  Ecf  E pi
Epi  mgh 10kg ·9,8 N kg1 ·3m  294 J
La energía potencial gravitatoria es:
La energía cinética en el punto más bajo es: Ecf  1 mv2  1 ·10 kg ·(5,2 m s1)2 135J
2
2
Por tanto, el trabajo de rozamiento es:
Wr  Ecf  EPi 135 J  294 J  159 J
Este trabajo se convierte en calor que se dispersa en el aire.
La fuerza de rozamiento se calcula teniendo en cuenta que el trabajo de rozamiento es
igual a la fuerza de rozamiento por el desplazamiento:
Wr  Fr ·s ; Fr 
Wr 159 J

  7,95 N
s
20 m
21) Un cuerpo de masa m = 8 kg inicia el deslizamiento por
un plano desde un punto situado a 5 m de altura sobre el
suelo. Su energía cinética cuando llega al suelo es de 320 J.
a) ¿Se ha conservado su energía mecánica?
b) ¿Cuánto vale el trabajo de rozamiento?
Solución:
a) Cuando se inicia el deslizamiento,
la energía cinética del cuerpo es cero
al ser nula la velocidad. Por
consiguiente, en el instante inicial, la
energía mecánica total es:
E  Ec  E p ; Ec  0
m1
1
1
1
Em1 = 392 J
Wr = -72 J
5m
E  E p  mgh
m1
1
1
Em  8Kg · 9,8 m s-2 · 5 m  392 J
1
Em2 = 320 J
Al llegar al suelo, la energía potencial es cero al ser la altura igual a cero. Por
tanto, se cumple:
Em  Ec  E p ; Ep  0 ; Ec  320J
2
2
2
2
2
En consecuencia, si la energía mecánica inicial es de 392 J y la final es de 320
J, se han transformado en calor: 392 J – 320 J = 72 J.
Debido a la existencia de rozamientos, la energía mecánica no se conserva.
b) El trabajo de rozamiento, que es un trabajo negativo, será:
Wr  Em  Em  320 J  392 J  72 J
2
1
22) Un cuerpo de 20 Kg resbala a lo largo de un plano
inclinado 30º sobre la horizontal. La longitud del plano es de
10 m y el coeficiente de rozamiento 0,3. Calcula:
a) El trabajo de rozamiento.
b) la energía potencial gravitatoria del cuerpo cuando está
situado en lo alto del plano.
c) La energía cinética y la velocidad del cuerpo al final del
plano.
Solución:
a) La fuerza de rozamiento se opone al
movimiento de cuerpo, por lo que el trabajo
de rozamiento es negativo:
Fr  N  mg cos 
Fr  0,3 · 20 Kg ·9,8 m s- 2 · cos 30º  50,9N
Wr  50,9N ·10 m  509J
N
Fr
pn
o

pt
P
b) Para calcular la energía potencial gravitatoria es necesario conocer la altura del
plano:
h 10 m ·sen 30º  5 m
E p  mgh  20 Kg · 9,8 m s-2 · 5 m  980 J
c) De acuerdo con el principio de conservación de la energía, teniendo en
cuenta el trabajo de rozamiento, se cumple:
Ec  E p Wr  980 J  509 J  471 J
La velocidad del cuerpo al final del plano se obtiene a partir de su energía
cinética:
2
Ec  mv
2
; v  2Ec / m ; v  2 · 471 J  6,8 m s 1
20 Kg
23) Un coche de 1,12t se mueve con una aceleración
constante de 1,5 /s2 sobre una superficie horizontal en la que
la fuerza de rozamiento tiene un valor constante de 220
N.¿Qué trabajo realiza el motor del coche al recorrer 400m?
Solución:
La fuerza total ejercida por el motor es la suma de la fuerza necesaria para producir
una aceleración de 1,5 m/s2 más la dedicada a contrarrestar la fuerza de
rozamiento:
F  m·a
;
F - Fr  ma F  ma  Fr  (1,12·103 kg·1,50m·s 2 )  220N 1,9·103 N
El trabajo se obtiene multiplicando la fuerza por el desplazamiento:
W  F ·s 1,9·103 N ·400m  7,6·105 J
24) Se lanza un cuerpo a lo largo de un plano horizontal con
una velocidad inicial de 4m/s. El coeficiente de rozamiento
entre el cuerpo y el plano es   0,2 . ¿Qué distancia recorre
hasta pararse?
Solución:
Como el cuerpo se desplaza sobre una superficie horizontal, su energía potencial
gravitatoria permanece constante, no varía.
Toda la energía cinética del cuerpo se disipa en forma de trabajo de rozamiento:
Ec  1 mv2
2
Ec Wr
; 1 mv2  mgs
2
Wr  Fr ·s  mgs
;
;
2
2
(
4
m
/
s
)
v
s

 4,1m
2g 2·0,2·9,8m / s2
25) Un resorte de constante elástica k 1,2·103 N / m está unido a
un cuerpo de masa m  2kg , como indica la figura. Se
comprime una longitud de 15cm y cuando el objeto vuelve a
pasar por su posición inicial tiene una velocidad de 3,4m/s.
¿Cuánta energía se ha perdido en forma de calor por
rozamiento?
Solución:
Como el desplazamiento se produce sobre una superficie horizontal, la energía
potencial gravitatoria no varía.
Al comprimir el resorte adquiere energía potencial elástica:
Ee  1 k·x2  1·1,2·103 Nm1·(0,15m)2 13,5J
2
2
Al pasar el objeto por la posición inicial posee energía cinética:
Ec  1 mv2  1·2kg·(3,4ms1)2 11,6J
2
2
La energía perdida es la diferencia entre ambas energías:
Wr  Ec  Ee 11,6J 13,5J  1,9J