Transcript 第六节 高级计数 主要内容 Catalan 数 第一类 Stirling 数 第二类 Stirling 数 讨论要点 定义 递推方程 恒等式 对应的组合问题 生成函数 一、Catalan 数 1．定义：一个凸 n+1 边形，通过不相交于 n 边形内部的对角线把 n 边形拆分成的三角形个数，记作 hn，称为 Catalan 数. 2.

第六节 高级计数
主要内容
Catalan 数
第一类 Stirling 数
第二类 Stirling 数
讨论要点
定义
递推方程
恒等式
对应的组合问题
生成函数
一、Catalan 数
1．定义：一个凸 n+1 边形，通过不相交于 n 边形内部的对角线把 n
边形拆分成的三角形个数，记作 hn，称为 Catalan 数.
2. 递推方程
考虑 n+1 条边的多边形，端点 A1, An+1 的边记为 a, 以 Ak+1（k=1,
2,…, n-1）A1 为边，An+1Ak+1 为另一边，构成三角形 T, T 将多边
形划分成 R1 和 R2 两个部分，
分别为 k+1 边形和 n-k+1 边形.
hn 
n 1
 hk hn k ,
k 1
h1  1
1  2n  2 

hn  
n n1 
n2
3．生成函数
H ( x) 
1  1  4x
2
4．对应的组合问题
（1） 从(0,0)到(n,n)的除了端点以外不接触对角线的非降
2  2n  2 

路径数 
n n1 
（2） a1a2…an, 不改变因子顺序，加括号的方法数 hn
（3） n 片树叶的有序三度根树个数
（4） 2n 个点均匀分布在圆周上，用 n 条不相交的弦配对的
方法数
（5）1,2,…,n 放入堆栈后的不同的输出个数
分析：
1．1 进栈；
2．k 个数（2,…,k+1）任意进栈并且出栈；
3．1 出栈；
4．处理 k+2,…,n 的进栈问题；
步 2：子问题规模 k
步 4：子问题规模 n-k-1
n 1

 T ( n)   T ( k )T ( n  1  k )

k 0
T (1)  1

n 1

T ( n)   T ( k )T ( n  1  k )

k 0
T (0)  1, T (1)  1

G( x ) 

n
,
x
)
n
(
T

n 0


G ( X )  (  T ( k ) x )(  T ( l ) x ) 
2
k 0


 T ( n ) x n 1 
n 1
2
k
l 0
l

x
n 1
n 1
n 1
(  T ( k )T ( n  1  k ))
k 0
G( x )  1
x
xG ( x )  G ( x )  1  0  2 xG( x )  1  1  4 x ,
由 于0G (0)  0, 2 xG( x )  1  1  4 x

1  2n  n
  x
G( x )  
n 0 n  1  n 
二、第一类 Stirling 数
1． 定义：多项式 x(x-1)(x-2)…(x-n+1)的展开式为
n
n-1
n-2
n-1
Snx  Sn-1x + Sn-2x  … + (-1) S1x
n
将 x 的系数的绝对值 Sr 记作   ,
r 
r
称为第一类 Stirling 数
x(x-1)=x2-x
x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x
 2
0  0,
 
 3
   0,
0
 2
1  1,
 
 3
   2,
1
 2
 2  1
 
 3
   3,
 2
 3
  1
 3
2．递推方程
 n
 n  1  n  1
 r   ( n  1) r    r  1
 

 

 n
 n
   0,    ( n  1)!
0
1
n r 1
 n  1 n1  n  1 n 2
x( x  1)...(x  n  2)  
x

x
 ...


 n  1
 n  2
x( x  1)...(x  n  2)( x  n  1)
  n  1 n1  n  1 n 2


 
x

x
 ... x  n  1


 n  2
  n  1

n
 n  1
 n  1
其中 xr 的系数   =(n1) 
 +
.
r 
 r   r  1
3． 恒等式
 n
(1)    1,
 n
 n   n  n( n  1)
( 2) 
    
2
 n  1  2 
 n
  r   n!
r 1  
n
( 3)
证：x 的 n 次方系数为 1；
x 的 n-1 次方系数为 1 + 2 + … + n-1 = n(n-1)/2
(3)式的证明在后面.
4. 生成函数：x(x+1)(x+2)…(x+n-1)
5． 对应的组合问题：n 元对称群 Sn，在表示式中具有 r 个不交轮换
n
的置换个数是  
r
 
证明：设这样的置换为
n
r
个，得到这种置换的方法有两种：
从 Sn-1 的含 r-1 个轮换的置换中加入(n)，方法有
n1
种；
r 1
从 Sn-1 的含有 r 个轮换的置换中加入 n, 加入的方法有 n-1 种，
n
r
n
0
 ( n  1)
 0,
n
1
n1
r

n1
r 1
 ( n  1)!
三、第二类 Stirling 数
1．定义：n 个不同的球恰好放到 r 个相同的盒子里的方法数，
 n
记作  
r 
S(4,2) = 7
a,b,c | d
a,c,d | b
a,b,d | c
b,c,d | a
a,b | c,d
a,c | b,d
a,d | b,c
2． 递推方程
 n
 n  1  n  1
   r


r
r
r

1
 

 

 n
 n

0
,
 
 1
0
1
证明：取球 a1，
 n  1
a1 单独放一个盒子， 

r

1


 n  1
a1 不单独放一个盒子， r 

r


先放 n-1 个球到 r 个盒子里，插入 a1 有 r 种方法
3．恒等式
 n
(1)    2 n1  1
 2
 n   n
( 2) 
   
 n  1  2 
 n
( 3)    1
 n
n


n
  m!  ,
(4)  
m 
 n1 n2 ...nm 
对 满 足 n1  n2  ...  nm  n 的 正 整 数 解 求 和
 m  n
(5)      k !  m n
k 1 k   k 
 n  1 n  n   i 
( 6) 
     

r
i
r

1

 i  0  

m
证明：
 n
 2
（1）    2 n1  1
a1 先放在一个盒子里，
剩下的 n-1 个球每个有 2 种选择，
但是全落入 a1 的盒子的方法不符合要求，减去.
 n   n
（2） 
   
n  1  2 
n 个球放到 n-1 个盒子，必有一个盒子含 2 个球，
其余每个盒子 1 个球.选择两个球有 C(n,2)种方法.
n


n


!
m


 ,


（4）  n1 n2 ...nm 
m 
对 满 足 n1  n2  ...  nm  n 的 正 整 数 解 求 和
对应 n 个不同的球恰好放到 m 个不同盒子的方法数（无空盒）
 m   n
k 1 k   k 
m
（5）    k!  m n
按照含球的盒子数分类，对应了允许存在空盒的方法
n  1 n  n   k 
（6） 

     
1

r
k
r

 k  0  

至多 n 个不同的球放到 r-1 个相同的盒子不存在空盒的方法
按照球数分类
4．生成函数（近似指数生成函数）
2
n

x
x
(e x  1) m  ( x 
 ...)m   a n
2!
n!
n 0
n!
an  
n1 ! n2! ...nm !
n


n
  m!  ,
  
m 
 n1n2 ...nm 
其 中 求 和 是 对 一 切 满方
足程
n1  n2  ...  nm  n 的 正 整 数 解 求 和
5．对应的组合问题
放球问题：n 个球放到 m 个盒子里的方法数.
球标
号
盒子
标号
允许
空盒
放球方法数
对应的组合问题
否
否
否
Pm(n)Pm-1(n)
否
否
是
Pm(n)
否
是
否
C(n1,m1)
x1+x2+…+xm=n 的正整数解
否
是
是
C(n+m1,n)
x1+x2+…+xm=n 的非负整数解
是
否
否
n
 
m 
是
否
是
n
 
k 1 m 
是
是
否
是
是
是
n
m!  
m 
m 
m
 m   n
  k k k!
k 1
将 n 无序拆分成 t 个部分(tm)
第二类 Stirling 数
m
n
将 n 恰好无序拆分成 m 部分
 
第二类 Sirling 数性质
第二类 Stirling 数性质
乘法法则