Transcript sistem koordinat

SISTEM KOORDINAT
KOORDINAT CARTESIUS




Terdapat dua garis riil, yaitu garis mendatar dan lainnya tegak,
dimana keduanya saling berpotongan pada titik-titik nol dari
kedua garis tersebut.
Dua garis itu dinamakan sumbu-sumbu koordinat.
Garis yang mendatar dinamakan sumbu x dan garis yang
tegak dinamakan sumbu y.
Setengah bagian positif dari sumbu x adalah ke kanan dan
setengah bagian positif dari sumbu y adalah ke atas.
Pada gambar titik P dapat dinyatakan dengan sepasang bilangan, yang dinamakan
koordinat-koordinat Cartesiusnya.
Apabila garis mendatar dan tegak yang melalui P masing- masing memotong sumbu x
dan sumbu y di a dan b maka P mempunyai koordinat (a,b).
Kita sebut (a,b) suatu pasangan terurut bilangan-bilangan karena akan berbeda jika
urutannya dibalik.
Dimana bilangan a adalah koordinat x (absis) sedangkan bilangan b adalah koordinat
y (ordinat).
RUMUS JARAK

Dengan menggunakan koordinat, kita dapat
memperkenalkan sebuah rumus sederhana untuk jarak
antara dua titik pada bidang. Ini didasarkan pada teorema
phytagoras, yang menyatakan jika a dan b merupakan
ukuran dua kali suatu segitiga siku-siku dan c merupakan
ukuran sisi miringnya maka
a2 + b2 = c2
Penjelasan Gambar




Sebaliknya, hubungan antara tiga sisi segitiga ini hanya
berlaku untuk segitiga siku-siku.
Dua titik P dan Q, masing-masing dengan koordinatkoordinat (x1, y1) dan (x2, y2), bersama dengan R titik
dengan koordinat (x2, y1) P dan Q adalah titik-titik sudut
sebuah segitiga siku-siku.
Panjang PR dan RQ masing-masing | x2 – x1 | dan |y2 – y1|,
Bilamana teorema Phytagoras diterapkan dan diambil
akar kuadrat utama dari kedua ruas maka diperoleh d
(P,Q) jarak (tak berarah) antara P dan Q.
d (P, Q) =
Ini disebut rumus jarak
CONTOH 1.
Carilah jarak antara
a. P (-2, 3) dan Q (4, -1)
b. P (√2, √3) dan Q (π, π)
Penyelesaian
a. d (P, Q) =
b. d(P, Q) =
( 4  (  2 ))  (  1  3 ) 
2
( 
2 )  ( 
2
2
3) 
2
36  16 
4 ,971  2 , 23
52  7 , 21

Rumus tetap berlaku walaupun dua titik tersebut terletak
pada garis mendatar atau garis tegak yang sama. Jadi, jarak
antara P (-2, 2) dan Q (6, 2) adalah
=
=8
RUMUS LINGKARAN



Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu
jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).
Misalnya, lingkaran dengan jari-jari 3 berpusat di (-1, 2).
Andaikan (x, y) menyatakan titik sebarang pada lingkaran ini,
Menurut rumus jarak
=3


Bilamana kedua ruas dikuadratkan, kita peroleh
(x + 1)2 + (y – 2)2 = 9
yang disebut persamaan dari lingkaran ini.
Secara lebih umum, lingkaran berjari-jari r dan pusat (h, k)
mempunyai persamaan
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Ini disebut persamaan baku sebuah lingkaran
Contoh 2
Carilah persamaan lingkaran berjari-jari 5 dan pusat (1, -5).
Car juga koordinat-koordinat y dari dua titik pada lingkaran
ini dengan koordinat x adalah 2.
Penyelesaian. Persamaan yang di inginkan adalah
(x - 1)2 + (y + 5)2 = 25
Kita masukkan x = 2 dalam persamaan dan selesaikan untuk
y.
(2 - 1)2 + (y + 5)2 = 25
(y +5)2 = 24
y + 5 = ± √24
y = - 5 ± √24 = - 5 ± 2 √6
RUMUS TITIK TENGAH

Ada dua titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) di mana x1 ≤ x2,

Maka:
x1 
1
2
( x 2  x1 )  x1 

1
2

1
2
x2 
x1 
x1  x 2
2
1
2
1
2
x2
x1

Ini berarti bahwa titik (x1 + x2) / 2 berada ditengah-tengah
antara x1 dan x2 pada sumbu x, dengan demikian titik
tengah M dari potongan garis PQ memiliki absis (x1 + x2) /
2 dan begitu pula sebaliknya (y1 + y2) / 2 adalah
merupakan koordinat dari M juga, maka diperoleh
persamaan :
Contoh 3
Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai potongan
garis dari (1, 3) ke (7, 11) sebagai garis tengahnya.
Penyelesaian. Pusat lingkaran terletak di tengah – tengah
garis tengahnya sehingga titik pusat mempunyai koordinat
(1 + 7) / 2 = 4 dan (3+11) / 2 = 7.
Maka diperoleh rumus panjang garis tengah :
[(7 – 1)2 + (11 – 3)2]1/2 = [36 + 64] ½ = 10
Berarti jari-jari lingkarannya adalah 5, jadi persamaan
lingkaran :
(x – 4)2 + (y – 7)2 = 25
Garis lurus – kemiringan garis

Umumnya gambar berikut untuk sebuah garis yang melalui A
(x1, y1) dan B (x2, y2) dengan x1 ≠ x2 , kemiringan m dari
garis itu didefinisikan oleh:
m 
kenaikan
larian

y 2  y1
x 2  x1
Yang penting adalah bahwa
koordinat-koordinat yang
dikurangkan dalam urutan
sama di pembilang dan
penyebutnya.
BENTUK KEMIRINGAN TITIK

Ambillah sembarang titik pada garis misalnya titik dengan
koordinat (x, y). Jika kita gunakan titik ini dan titik (3, 2) untuk
mengukur kemiringannya, pasti diperoleh 2/5 yaitu :
y2
x3

y2
2
5
2
5
( x  3)


Garis yang melalui titik (tetap) (x1, y1) dengan kemiringan
m mempunyai persamaan :
y – y1 = m (x – x1)
Ini dinamakan kemiringan titik dan sebuah garis.
Contoh 4
Cari persamaan garis yang melalui (- 4, 2) dan (6,-1)
Penyelesaian.
Kemiringan m adalah (- 1 - 2) / (6 + 4) = - 3/10. Sehingga,
dengan menggunakan (-4,2) sebagai titik tetap, maka di
dapatkan persamaan :
y2
x4

y2
3
10
3
10
( x  4)
BENTUK KEMIRINGAN PERPOTONGAN
(intersep)


Persamaan suatu garis dapat dinyatakan bermacam-macam
bentuk. Semisal diberikan slope m untuk suatu garis dan b
perpotongan sumbu y di (0, b). Dengan memilih (0, b)
sebagai (x1, y1) dan menerapkan bentuk kemiringan titik
maka diperoleh :
y – b = m (x – 0) atau y = mx + b
Yang disebut bentuk kemiringan
perpotongan/intersep.

Misal, lihat persamaan ;
3x – 2y + 4 = 0
2y = 3x + 4
y = (3/2)x + 2
ini adalah persamaan garis dengan kemiringan 3/2 dan
intersep y = 2.
PERSAMAAN GARIS VERTIKAL

Persamaan garis tegak bisa dituliskan :
x=k
di mana k adalah suatu konstanta. Patut dicatat bahwa
persamaan suatu garis dapat juga dituliskan y = k.
BENTUK Ax + By +C = 0
Misal :
1. y – 2 = - 4 (x + 2) dengan memindahkan semuanya ke
ruas kiri
4x + y + 6 = 0
2. y = 5x – 3
-5x + y + 3 = 0
3. x = 5
x + 0y + - 5 = 0
 Semuanya berbentuk :
Ax + By + C = 0, A dan B keduanya tidak 0
contoh
Carilah persamaan tiap garis dalam bentuk Ax + By + C = 0
 Melalui (2, 3) dengan kemiringan 4.
Jawab :
2x + 3y + 4 = 0
 Melalui (3, - 4) dengan kemiringan – 2.
Jawab :
3x – 4y – 2 = 0
 Dengan intersep = 4 dan kemiringan – 2.
Jawab :
-4 x + y – 2 = 0
GARIS – GARIS SEJAJAR

Jika dua garis mempunyai kemiringan sama, maka
keduanya sejajar. Jadi, y = 2x + 2 dan y = 2x + 5
merupakan garis sejajar ; keduanya memiliki kemiringan 2.
Garis yang kedua adalah 3 satuan di atas yang pertama
untuk setiap nilai x.

Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa dua garis tak vertikal
adalah sejajar jika dan hanya jika keduanya mempunyai
kemiringan yang sama.
contoh
Carilah persamaan garis yang melalui (6,8), yang sejajar dengan garis
yang mempunyai persamaan 3x – 5y = 11
Penyelesaian.
3x – 5y = 11 untuk y kita peroleh:
y
3
5
x
11
5
di dapat kemiringan garis adalah 3/5, jadi persamaan garis yang di
inginkan yaitu :
y8 
3
( x  6)
5
atau, sama dengan 3x – 5 y + 22 = 0
GARIS – GARIS TEGAK LURUS



Syarat kemiringan sederhana yang mencirikan tegak lurus ialah dua
garis tak vertikal saling tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan
keduanya saling berkebalikan negatif. Andaikan P1 (x1, y1) suatu titik
pada l1 dan P2 (x2, y2) titik pada l2 . Menurut Teorema Pythagoras
dan kebalikannya P1 OP2 merupakan sudut siku-siku jika
[d (P1 , O)]2 + [d (P2, O)]2 = [d (P1, P2)]2
Setelah penguraian dan penyederhanaan, persamaannya menjadi
2x1 x2 + 2y1 y2 = 0 atau
Jadi y1 / x1 adalah kemiringan dari l1, sedangkan y2 / x2 adalah
kemiringan dari l2.
contoh
Carilah persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis
dengan persamaan 3x + 4y = 8 dan 6x – 10y = 7, yang tegak
lurus dengan garis yang pertama
Penyelesaian. Untuk mencari titik potong dua garis ini,
persamaan yang pertama di kalikan – 2 dan hasilnya
ditambahkan pada persamaan yang kedua.
-6x - 8y = -16
6x – 10y = 7
- 18 y = -9
y = 1/2
Dengan mensubstitusikan y = ½ akan dihasilkan x = 2. Titik
potongnya adalah (2, ½). Bilamana persamaan pertama
diselesaikan untuk y, diperoleh y = -3/4x + 2. Garis tegak
lurusnya mempunyai kemiringan 4/3 jadi didapat persamaan
y – ½ = 4/3 (x – 2)
Grafik Persamaan

Grafik persamaan dalam x + y terdiri atas titik-titk
dibidang yang koordinat-koordinatnya (x, y) nya
memenuhi persamaan artinya membuatnya suatu
persamaan yang benar
contoh
Gambar grafik persamaan y = x2 – 3
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
F(x)
6
1
-2
-3
-2
1
6
Jika koordinat dilipat
sepanjang sumbu y, kedua
cabang akan berimpit.
Misalnya (3, 6) dengan (-3 ,
6), (2, 1) dengan (-2, 1)
dan secara lebih umum, (x,
y) berimpit dengan (-x, y).
(lihat Gambar 3) dimana
kedua grafik itu simetris
terhadap sumbu y.
Grafik dari suatu persamaan adalah :
1. Simetris terhadap sumbu y bila penggantian x dengan –x
memberuikan persamaan yang setara (sebagai contoh y =
x2).
2. Simetris terhadap sumbu x bila penggantian y dengan –y
memberikan persamaan yang setara (sebagai contoh y = 1
+ y2).
3. Simetris terhadap titik asal bila penggantian x dengan –x
dan y dengan –y memberikan persamaan yang setara (y =
x3 merupakan contoh yang bagus karena y = (-x)3 setara
dengan y = x3).

contoh
Sketsakan grafik dari y = x3
Penyelesaian. Simetri terhadap titik asal sehingga hanya
perlu memperoleh total nilai untuk x yang tak negatif.
X
Y
0
0
1
1
2
8
3
27
4
64
intersep

Titik-titik pada grafik suatu persamaan memotong kedua
sumbu koordinat
y = 0 bila x = - 2, 1, 3
bilangan = - 2, 1 dan 3 disebut intersep x.
x = 0 bila y = 6
sehingga 6 disebut intersep y.
contoh
Sketsakan grafik dari y2 – x + y – 6 = 0, dengan
memperlihatkan semua intersep dengan jelas.
Penyelesaian. y = 0 dalam persamaan maka diperoleh x = 6, sehingga intersep x = - 6.
Dengan meletakkan x = 0 maka diperoleh y2 + y – 6 = 0,
atau (y + 3) (y – 2) = 0 ; jadi intersep y adalah – 3 dan 2.
Jika suatu persamaan berbentuk : y = ax2 + bx + c atau x =
ay2 + by + c dengan a ≠ 0, grafiknya akan selalu berupa
parabola.
Grafik terbuka ke atas atau kebawah jika a > 0 atau a < 0
Grafik terbuka ke kanan atau kekiri jika a > o atau a < 0
contoh
Cari titik-titik perpotongan garis y = -2x + 2 dan parabola y
= 2x2 – 4x – 2 dan sketsakan kedua grafik tersebut pada
bidang koordinat yang sama.
Penyelesaian. – 2 x + 2 = 2x2 – 4x – 2
0 = 2x2 – 2x – 4
0 = 2 (x – 2) (x + 1)
x = -1 ; x = 2
Melalui substitusi, ditemukan nilai y adalah 4 dan – 2, karena
itu titik-titik perpotongannya adalah (-1, 4) dan (2, -2).