Transcript Лекция_№1
Slide 1
Дисциплина: Эконометрика
Преподаватель: Кучерова Светлана Викторовна,
доцент кафедры математики и моделирования (ауд.1602)
Литература:
•
Елисеева И.И. Эконометрика: учебник. - М.: Финансы и статистика, 2002.
•
Елисеева И.И. С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др. Практикум по
эконометрике: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2001.
•
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИДАНА, 2002.
•
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс: учебник. – М.: Дело, 2000.
1
Slide 2
• Опр. эконометрика — это наука,
которая дает количественное
выражение взаимосвязей
экономических явлений и
процессов.
2
Slide 3
Центральные проблемы
эконометрики
построение эконометрической модели
определение возможностей ее использования
для описания, анализа и прогнозирования
реальных экономических процессов.
3
Slide 4
• Эконометрическое исследование включает решение
следующих проблем:
• качественный анализ связей экономических переменных —
выделение зависимых (у) и независимых переменных (х);
• подбор данных;
• спецификация формы связи между у и х,
• оценка параметров модели;
• введение фиктивных переменных;
• выявление тренда, циклической и случайной компонент; и
др.
4
Slide 5
этапы эконометрического
исследования:
обработка
результатов
оценка
параметров
спецификация модели
получение данных,
анализ их качества
постановка проблемы
5
Slide 6
проблема точности связана с:
• определением понятия экономической
величины;
• разработкой правил и методов измерений
• выявлением условий сравнимости
экономических величин (показателей);
• разработкой принципов конструирования
измерителей и измерений;
• основанием выбора типа шкал при
конструировании измерителя;
6
Slide 7
• Регрессия в эконометрических
исследованиях.
7
Slide 8
Простая регрессия представляет собой регрессию
между двумя переменными — у и х, т. е. модель вида:
y fˆ ( x ),
где:
у – зависимая переменная (результативный признак);
х – независимая, или объясняющая, переменная
(признак-фактор).
8
Slide 9
Множественная регрессия представляет
собой регрессию результативного признака с
двумя и большим числом факторов, т. е.
модель вида:
y f ( x1 , x 2 ,... x k )
9
Slide 10
ПРИМЕР.
Так, если зависимость спроса у от цены х характеризуется,
например, уравнением:
yˆ x 5000 2 x
10
Slide 11
В парной регрессии выбор вида математической функции
yˆ x f ( x )
может быть осуществлен тремя методами:
• графическим;
• аналитическим, т. е. исходя из теории изучаемой
взаимосвязи;
• экспериментальным.
11
Slide 12
регрессия
линейная
нелинейная
нелинейная по
объясняющим
переменным
нелинейная по
оцениваемым
параметрам
12
Slide 13
Основные типы кривых, используемые при
количественной оценке связей между двумя
переменными
y
a ) y x a b x;
линейная
регрессия
0
a
х
y
2
б) yx a b x c x
полином второй степени
0
б
х
13
Slide 14
y
в ) y x a b / x;
равносторо нняя гипербола
0
в
х
y
2
3
г) yx a b x c x d x
полином третьей степени
0
г
х
14
Slide 15
y
b
д) yx a x ,
степенная
0
д
х
е
х
y
x
е) y x a b ,
показатель ная
0
15
Slide 16
Классический подход к оцениванию параметров линейной
регрессии основан на методе наименьших квадратов
(МНК).
МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b,
при которых сумма квадратов отклонений фактических
значений результативного признака (уi ) от расчетных yˆ x
(теоретических) минимальна:
y
i
yˆ x i
2
min
i
16
Slide 17
• Геометрический смысл МНК: из всего множества линий
линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма
квадратов расстояний по вертикали между точками и этой
линией была бы минимальной
у
0
х
17
Slide 18
Обозначим
i y i y xi
,
n
S
2
i
min
i 1
S
i
y i y xi
2
y a b x
2
i
18
Slide 19
(1)
n
n
dS
2 y i 2 n a 2 b xi 0;
da
i 1
i 1
n
n
n
dS
2
2 yi xi 2 a xi 2 b xi 0 .
db
i 1
i 1
i 1
19
Slide 20
для оценки параметров а и b получим следующую систему
нормальных уравнений
n a b xi
i 1
n
n
2
a
xi b xi
i 1
i 1
n
n
yi
i 1
n
x
i
yi
i 1
20
Slide 21
Формулы расчета параметров a и b:
a y bx
b
yx y x
2
x x
2
b - коэффициент регрессии. Его величина показывает
среднее изменение результата с изменением фактора на одну
единицу.
2
x
2
x x
2
21
Slide 22
Линейный коэффициент корреляции является показателем
тесноты связи:
rxy b
σx
σy
yx y x
σ xσ y
Линейный коэффициент корреляции должен находится в
границах:
1 r xy 1
22
Slide 23
Для характеристики силы связи можно использовать шкалу Чеддока.
Показатель
тесноты
0,1 – 0,3
0,3 – 0,5
0,5 – 0,7
0,7 – 0,9
0,9 – 0,99
связи
Характерист
ика
Весьма
Слабая
Умеренная
Заметная
Высокая
высокая
силы связи
23
Slide 24
2
yx
• Коэффициент детерминации
r
характеризует долю дисперсии результативного
признака :
• Величина 1- r 2 характеризует долю дисперсии
у, вызванную влиянием остальных не учтенных
в модели факторов.
24
Slide 25
• Пример. Предположим по
группе предприятий,
выпускающих один и тот же
вид продукции,
рассматривается зависимость
затрат на производство(у) от
выпуска продукции(х)
Выпуск
продукции,
тыс. ед. (х)
Затраты на
производство,
млн руб. (у)
1
30
2
70
4
150
3
100
5
170
3
100
4
150
25
Slide 26
• Система нормальных уравнений будет
иметь вид
7 a 22 b 770
22 a 80 b 2820
• а = -5,798, b= 36,8443,
• r 2 = 0,982.
•
уравнение регрессии:
y x 5 , 79 36 ,84 x
26
Slide 27
• Вывод:
чем больше доля объясненной вариации, тем
соответственно меньше роль прочих
факторов, и линейная модель хорошо
аппроксимирует исходные данные и ею
можно воспользоваться для прогноза значений
результативного признака.
27
Slide 28
Оценка существенности уравнения
линейной регрессии.
Slide 29
• F критерий Фишера - оценивает качество
уравнения регрессии - состоит в проверке
гипотезы Н0 (о том, что коэффициент
регрессии равен нулю, т.е. b = 0, т.е. фактор
х не оказывает влияния на результат у ).
29
Slide 30
• Расчету F-критерия предшествует анализ
дисперсии.
• Центральное место в нем занимает
разложение общей суммы квадратов
отклонений на две части «объясненную» и
«необъясненную» .
(y y)
• Общая
2
2
ˆ
( yx y )
факторная
(регрессионная)
2
ˆ
( y yx )
остаточная
(необъясненная)
30
Slide 31
• Любая сумма квадратов отклонений связана с
числом степеней свободы – df (degrees of
freedom), т.е. с числом свободы независимого
варьирования признака.
31
Slide 32
• Число степеней свободы остаточной
суммы квадратов при линейной парной
регрессии составляет n - 2 ,
• общей суммы квадратов – n -1 ,
• для факторной суммы квадратов – 1,
Имеем равенство:
n – 1 = 1+ (n – 2).
32
Slide 33
• дисперсии на одну степень свободы
D общ
D ф акт
D ост
(y y)
2
n 1
( yˆ x y )
2
1
2
( y yˆ x )
n2
33
Slide 34
F
D ф акт
D ост
34
Slide 35
( yˆ
x
y)
2
ˆ
( y yх )
Fф акт
r σ n
2
2
2
y
(1 r ) σ n
2
r
2
1 r
2
y
n
2
2
• n - число наблюдений
35
Slide 36
• Значение F-критерия признается
достоверным, если оно больше табличного.
В этом случае гипотеза H0 отклоняется.
36
Slide 37
•Если Fтабл< Fфакт, то Но – гипотеза
о случайной природе оцениваемых характеристик
отклоняется и признается их статистическая значимость
и надежность.
•Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Но
не отклоняется и признается статистическая незначимость
и ненадежность уравнения регрессии.
37
Slide 38
• Таблица значений F-критерия
Фишера при уровне значимости
α =0,05
1
2
3
4
5
6
8
12
24
∞
1
161,45
199,50
215,72
224,57
230,17
233,97
238,89
243,91
249,04
254,32
2
18,51
19,00
19,16
19,25
19,30
19,33
19,37
19,41
19,45
19,50
3
10,13
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,84
8,74
8,64
8,53
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,04
5,91
5,77
5,63
5
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,82
4,68
4,53
4,36
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,15
4,00
3,84
3,67
7
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,73
3,57
3,41
3,23
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,44
3,28
3,12
2,93
k1
k2
38
Slide 39
ПРИМЕР
• Дисперсионный анализ результатов
регрессии
Вариация
результата
y
Общая
Факторная
Остаточная
Число
степеней
свободы
Сумма
квадратов
отклонений
Дисперсия
на одну
степень
свободы,D
df n 1 8
6,316
-
-
-
5,116
?
?
?
1,200
?
-
-
k1
1
k2 ?
F факт
F табл
39
Дисциплина: Эконометрика
Преподаватель: Кучерова Светлана Викторовна,
доцент кафедры математики и моделирования (ауд.1602)
Литература:
•
Елисеева И.И. Эконометрика: учебник. - М.: Финансы и статистика, 2002.
•
Елисеева И.И. С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др. Практикум по
эконометрике: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2001.
•
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИДАНА, 2002.
•
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс: учебник. – М.: Дело, 2000.
1
Slide 2
• Опр. эконометрика — это наука,
которая дает количественное
выражение взаимосвязей
экономических явлений и
процессов.
2
Slide 3
Центральные проблемы
эконометрики
построение эконометрической модели
определение возможностей ее использования
для описания, анализа и прогнозирования
реальных экономических процессов.
3
Slide 4
• Эконометрическое исследование включает решение
следующих проблем:
• качественный анализ связей экономических переменных —
выделение зависимых (у) и независимых переменных (х);
• подбор данных;
• спецификация формы связи между у и х,
• оценка параметров модели;
• введение фиктивных переменных;
• выявление тренда, циклической и случайной компонент; и
др.
4
Slide 5
этапы эконометрического
исследования:
обработка
результатов
оценка
параметров
спецификация модели
получение данных,
анализ их качества
постановка проблемы
5
Slide 6
проблема точности связана с:
• определением понятия экономической
величины;
• разработкой правил и методов измерений
• выявлением условий сравнимости
экономических величин (показателей);
• разработкой принципов конструирования
измерителей и измерений;
• основанием выбора типа шкал при
конструировании измерителя;
6
Slide 7
• Регрессия в эконометрических
исследованиях.
7
Slide 8
Простая регрессия представляет собой регрессию
между двумя переменными — у и х, т. е. модель вида:
y fˆ ( x ),
где:
у – зависимая переменная (результативный признак);
х – независимая, или объясняющая, переменная
(признак-фактор).
8
Slide 9
Множественная регрессия представляет
собой регрессию результативного признака с
двумя и большим числом факторов, т. е.
модель вида:
y f ( x1 , x 2 ,... x k )
9
Slide 10
ПРИМЕР.
Так, если зависимость спроса у от цены х характеризуется,
например, уравнением:
yˆ x 5000 2 x
10
Slide 11
В парной регрессии выбор вида математической функции
yˆ x f ( x )
может быть осуществлен тремя методами:
• графическим;
• аналитическим, т. е. исходя из теории изучаемой
взаимосвязи;
• экспериментальным.
11
Slide 12
регрессия
линейная
нелинейная
нелинейная по
объясняющим
переменным
нелинейная по
оцениваемым
параметрам
12
Slide 13
Основные типы кривых, используемые при
количественной оценке связей между двумя
переменными
y
a ) y x a b x;
линейная
регрессия
0
a
х
y
2
б) yx a b x c x
полином второй степени
0
б
х
13
Slide 14
y
в ) y x a b / x;
равносторо нняя гипербола
0
в
х
y
2
3
г) yx a b x c x d x
полином третьей степени
0
г
х
14
Slide 15
y
b
д) yx a x ,
степенная
0
д
х
е
х
y
x
е) y x a b ,
показатель ная
0
15
Slide 16
Классический подход к оцениванию параметров линейной
регрессии основан на методе наименьших квадратов
(МНК).
МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b,
при которых сумма квадратов отклонений фактических
значений результативного признака (уi ) от расчетных yˆ x
(теоретических) минимальна:
y
i
yˆ x i
2
min
i
16
Slide 17
• Геометрический смысл МНК: из всего множества линий
линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма
квадратов расстояний по вертикали между точками и этой
линией была бы минимальной
у
0
х
17
Slide 18
Обозначим
i y i y xi
,
n
S
2
i
min
i 1
S
i
y i y xi
2
y a b x
2
i
18
Slide 19
(1)
n
n
dS
2 y i 2 n a 2 b xi 0;
da
i 1
i 1
n
n
n
dS
2
2 yi xi 2 a xi 2 b xi 0 .
db
i 1
i 1
i 1
19
Slide 20
для оценки параметров а и b получим следующую систему
нормальных уравнений
n a b xi
i 1
n
n
2
a
xi b xi
i 1
i 1
n
n
yi
i 1
n
x
i
yi
i 1
20
Slide 21
Формулы расчета параметров a и b:
a y bx
b
yx y x
2
x x
2
b - коэффициент регрессии. Его величина показывает
среднее изменение результата с изменением фактора на одну
единицу.
2
x
2
x x
2
21
Slide 22
Линейный коэффициент корреляции является показателем
тесноты связи:
rxy b
σx
σy
yx y x
σ xσ y
Линейный коэффициент корреляции должен находится в
границах:
1 r xy 1
22
Slide 23
Для характеристики силы связи можно использовать шкалу Чеддока.
Показатель
тесноты
0,1 – 0,3
0,3 – 0,5
0,5 – 0,7
0,7 – 0,9
0,9 – 0,99
связи
Характерист
ика
Весьма
Слабая
Умеренная
Заметная
Высокая
высокая
силы связи
23
Slide 24
2
yx
• Коэффициент детерминации
r
характеризует долю дисперсии результативного
признака :
• Величина 1- r 2 характеризует долю дисперсии
у, вызванную влиянием остальных не учтенных
в модели факторов.
24
Slide 25
• Пример. Предположим по
группе предприятий,
выпускающих один и тот же
вид продукции,
рассматривается зависимость
затрат на производство(у) от
выпуска продукции(х)
Выпуск
продукции,
тыс. ед. (х)
Затраты на
производство,
млн руб. (у)
1
30
2
70
4
150
3
100
5
170
3
100
4
150
25
Slide 26
• Система нормальных уравнений будет
иметь вид
7 a 22 b 770
22 a 80 b 2820
• а = -5,798, b= 36,8443,
• r 2 = 0,982.
•
уравнение регрессии:
y x 5 , 79 36 ,84 x
26
Slide 27
• Вывод:
чем больше доля объясненной вариации, тем
соответственно меньше роль прочих
факторов, и линейная модель хорошо
аппроксимирует исходные данные и ею
можно воспользоваться для прогноза значений
результативного признака.
27
Slide 28
Оценка существенности уравнения
линейной регрессии.
Slide 29
• F критерий Фишера - оценивает качество
уравнения регрессии - состоит в проверке
гипотезы Н0 (о том, что коэффициент
регрессии равен нулю, т.е. b = 0, т.е. фактор
х не оказывает влияния на результат у ).
29
Slide 30
• Расчету F-критерия предшествует анализ
дисперсии.
• Центральное место в нем занимает
разложение общей суммы квадратов
отклонений на две части «объясненную» и
«необъясненную» .
(y y)
• Общая
2
2
ˆ
( yx y )
факторная
(регрессионная)
2
ˆ
( y yx )
остаточная
(необъясненная)
30
Slide 31
• Любая сумма квадратов отклонений связана с
числом степеней свободы – df (degrees of
freedom), т.е. с числом свободы независимого
варьирования признака.
31
Slide 32
• Число степеней свободы остаточной
суммы квадратов при линейной парной
регрессии составляет n - 2 ,
• общей суммы квадратов – n -1 ,
• для факторной суммы квадратов – 1,
Имеем равенство:
n – 1 = 1+ (n – 2).
32
Slide 33
• дисперсии на одну степень свободы
D общ
D ф акт
D ост
(y y)
2
n 1
( yˆ x y )
2
1
2
( y yˆ x )
n2
33
Slide 34
F
D ф акт
D ост
34
Slide 35
( yˆ
x
y)
2
ˆ
( y yх )
Fф акт
r σ n
2
2
2
y
(1 r ) σ n
2
r
2
1 r
2
y
n
2
2
• n - число наблюдений
35
Slide 36
• Значение F-критерия признается
достоверным, если оно больше табличного.
В этом случае гипотеза H0 отклоняется.
36
Slide 37
•Если Fтабл< Fфакт, то Но – гипотеза
о случайной природе оцениваемых характеристик
отклоняется и признается их статистическая значимость
и надежность.
•Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Но
не отклоняется и признается статистическая незначимость
и ненадежность уравнения регрессии.
37
Slide 38
• Таблица значений F-критерия
Фишера при уровне значимости
α =0,05
1
2
3
4
5
6
8
12
24
∞
1
161,45
199,50
215,72
224,57
230,17
233,97
238,89
243,91
249,04
254,32
2
18,51
19,00
19,16
19,25
19,30
19,33
19,37
19,41
19,45
19,50
3
10,13
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,84
8,74
8,64
8,53
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,04
5,91
5,77
5,63
5
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,82
4,68
4,53
4,36
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,15
4,00
3,84
3,67
7
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,73
3,57
3,41
3,23
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,44
3,28
3,12
2,93
k1
k2
38
Slide 39
ПРИМЕР
• Дисперсионный анализ результатов
регрессии
Вариация
результата
y
Общая
Факторная
Остаточная
Число
степеней
свободы
Сумма
квадратов
отклонений
Дисперсия
на одну
степень
свободы,D
df n 1 8
6,316
-
-
-
5,116
?
?
?
1,200
?
-
-
k1
1
k2 ?
F факт
F табл
39