Transcript 第一讲：基础 - 磁学国家重点实验室
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中国科学院物理研究所 通用实验技术公共课程
《磁性测量》
第一讲：磁性测量的基础
赵同云
磁学国家重点实验室
2015年11月1日
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声
明
本讲稿中引用的图、表、数据全部取自
公开发表的书籍、文献、论文，而且仅为教
学使用，任何人不得将其用于商业目的。
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目 录
• 磁性物理
电磁学单位制
磁路（退磁效应及其影响）
镜像效应及其影响
误差分析与测量不确定度的评定
样品的磁中性化和安装
• 标准的使用
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电磁学单位制
几个故事
（计量单位漫谈）
没有单位，就 不可能 比较量值
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单位和单位制的意义
1、习惯
路程：步行大约5分钟 / 约500米
2、约定
光在真空中于1/299 792 458秒的时间间隔内所经过的距离
3、制度
“一法度衡石丈尺，车同轨，书同文。” 《史记·秦始皇本纪》
4、科学
合理性、逻辑性（自洽）、实用性、方便性（简单）
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故事：计量单位
• 权势人物
古典阶段：身体
英寸 inch （in＝2.54 cm）（荷兰语中inch 为大拇指）
10世纪：英王埃德加大拇指的第一个指节的长度。
14世纪：爱德华二世：三个大麦粒的总长度。
英尺 foot（ft＝12 inch＝0.3048 m）
9世纪：英国查理曼大帝的脚板的长度。
16世纪：德国：16个人的左脚板的平均长度。
码 yard（yd＝3 ft＝91.44 cm）
12世纪：英国亨利一世的鼻尖到前伸手臂时中指尖的距离。
丈 ＝ 古代成年男子的身高，大丈夫。
尺 ＝ ……
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故事：计量单位
• 量子（自然）基准（标准）：
现代阶段：量子
迄今为止，国际上已正式确立的量子基准有：
时间单位－秒基准：
微波段铯原子钟：Cs－133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所
对应的辐射的9 192 631 770个周期的持续时间。
光频原子喷泉：激光冷却与原子囚禁
长度单位－米基准：光在真空中1/299 792 458 s的时间间隔内所经过的距离。
电压单位－伏特基准：
Josephson常数：KJ＝483 597.9 (1 0.4 10-6) GHz/V
电阻单位－欧姆基准：
von Klitzing常数： RK＝25 812.807 (1 0.2 10-6)
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小事故：计量单位
• 英国gallon与美国gallon：
U.K. gallon = 4.546 09 L
U.S. gallon = 3.785 41 L
Boeing 757－300
43 400 L
= 9 547 gallon (U.K.)
= 11 466 gallon (U.S.A.)
litre, liter (US)
metre, meter (US)
gram, gramme (UK)
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大事故：计量单位
• 美国火星气候探测器（1998年）：
1999年9月23日：1998年12月美国发射的火星气候探测器与地面失去联系。
火星大气层的最小安全距离：约85 公里～100 公里，预定140 公里～150 公里
实际上，探测器距火星表面最近仅57 公里。
探测器有可能在火星的大气中被“火葬”，
甚至坠毁在火星表面上
低级错误
1999年9月30日的调查报告：
造成飞行高度太低的原因竟然是公制和英制的转换问题。
洛克希德·马丁公司：公制单位（牛·秒）
美国航宇局（NASA）喷推实验室：英制单位（磅·秒）？
这样计算出的冲量值只是实际所需值的22%。
推力器校定表的作用是把遥测到的推力器点火工作次数转换成提供给探测
器的冲量，以消除因推力器点火工作造成的弹道计算中的剩余误差。
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电磁学单位制的历史
相对
单位
无统一单位制
电压、电量、电容、电流
磁场强度、磁感应强度、磁通
以1832年C. F. Gauss引入绝对单位（力学单位）为分界
高斯－韦伯绝对单位：mm-mg-s
Ohmad单位制
CGS单位制
绝对
单位
实用单位制
MKS单位制
MKSA单位制
SI单位制
B. A. 单位制
麦克斯韦“象限制”
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电磁学单位制的历史
• MKSA单位制的采用
1950 年 7 月 IEC大会采 用 Heaviside 的有理化 单位制 ， 引入
Ampere作为第四个基本单位（电流），即MKSA单位制。
• SI单位制（新的国际单位制）的建立
1954年第十届国际计量大会 (CGPM)采用有理化单位制；1960
年 10 月 的 第 十 一 届 CGPM ， 引 入 Kelvin （ 热 力 学 温 度 ） 和
candela（发光强度）；1971年引入Mole（物质的量），至此新
的国际单位制全部建立起来，为了与1893年的第一个国际单位
制相区别，用SI来表示现在的国际单位制。
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参考读物
• 《计量测试技术手册》第7卷 《电磁学》
《计量测试技术手册》编辑委员会，
中国计量出版社，1996年12月
• 《电磁学发展史（修订版）》
宋德生、李国栋著，
广西人民出版社， 1996年12月
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电磁学单位制的现状
• 统一采用SI单位制
电磁学的SI单位制与MKSA单位制一致。
• 谁在使用非SI单位制？
Many U.S. teachers think the answer is “Liberia（利比里亚） and Burma（缅甸）”
(make that Myanmar（缅甸）). Let's give Liberia and Myanmar a break! All
countries have adopted the metric system, including the U.S., and most countries (but
not the U.S.) have taken steps to eliminate most uses of traditional measurements.
However, in nearly all countries people still use traditional units sometimes, at least
in colloquial expressions. Becoming metric is not a one-time event that has either
happened or not. It is a process that happens over time. Every country is somewhere in
this process of going metric, some much further along than others.
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计量在中国
• 1986年以前：“行政计量”
• 1986年－：“法制计量”
• 1987年－：产品质量检验机构的“计量认证”
• 1998年－：引入“实验室认可”机制
• 目前：计量认证/审查认可、实验室认可并行
原则
适用
考核标准
计量认证
法律
中国
专用
实验室认可
互认
国际
实验室
考核内容
“强制” 仪器、环境、人员、
管理制度，等
ISO/IEC 17025 /自愿
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国家法定计量单位
legal unit of measurement
法定计量单位 legal unit of measurement
由国家法律承认、具有法定地位的计量单位。
《中华人民共和国计量法》第一章第三条：
“国家采用国际单位制。
国际单位制计量单位和国家选定的其他计量单位，
为国家法定计量单位。”
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国家法定计量单位
44/20
SI基本单位：7个
SI辅助单位：2个
具有专门名称的SI导出单位：19个
国家选定的非SI单位：16个
SI单位的十进倍数和分数单位的词头：20个
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国际单位制（SI）的维持机构
The international system of units, SI, Le Système International d’Unités
Meter Convention，国际米制公约（La Convention du Mètre）
1875年5月20日共有17个国家在巴黎签署的国际公约（Treaty），成立BIPM
和CGPM，并由CIPM来组织和管理BIPM和CGPM。至2004年1月有51个缔约
国和16个准会员。（中国1977年5月9日宣布，6月16日确认。）
BIPM，国际计量局，总部位于法国巴黎郊区Sèvres的Pavillon de Breteuil。
The International Bureau of Weights and Measures (Bureau International des Poids
et Mesures ) 。
CGPM，国际计量大会，每四年召开一次，为国际计量最高权力机构。
the General Conference on Weights and Measures (Conférence Générale des Poids
et Mesures ) 。
CIPM，国际计量委员会，是CGPM的常设执行结构。
the International Committee for Weights and Measures (Comité International des
Poids et Mesures ) 。
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CGPM会员与准会员(2004年1月29日）
Members (51)
Argentina
Australia
Austria
Belgium
Brazil
Bulgaria
Cameroon
Canada
Chile
China
Czech Republic
Denmark
Dominican Republic
Egypt
Finland
France
Germany
Greece
Hungary
India
Indonesia
Iran, Islamic Republic of
Ireland
Israel
Italy
Japan
Korea, Dem. People's Rep. of
Korea, Republic of
Malaysia
Mexico
Netherlands
New Zealand
Norway
Pakistan
Poland
Portugal
Romania
Russian Federation
Serbia and Montenegro
Singapore
Slovakia
South Africa
Spain
Sweden
Switzerland
Thailand
Turkey
United Kingdom
United States
Uruguay
Venezuela
Associates of the CGPM (16)
Belarus
Chinese Taipei
Costa Rica
Cuba
Ecuador
Hong Kong (China)
Jamaica
Kenya
Latvia
Lithuania
Malta
Panama
Philippines
Slovenia
Ukraine
Viet Nam
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国际单位制（SI）：基本单位
7个
7个基本量
SI
基本
单位
量
长度
质量
时间
热力学温度
电流
物质的量
发光强度
名称
米
千克
秒
开尔文
安培
摩尔
坎德拉
符号
m
kg
s
K
A
mol
cd
基本单位的定义：米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉
国际单位制（SI）：辅助单位
量的名称
2个
SI 导出单位
名称
符号
用SI基本单位和SI导出单位表示
[平面]角
弧度
rad
1 rad=1 m/m=1
立体角
球面度
sr
1 sr=1 m2/m2=1
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国际单位制(SI)：具有专门名称的SI导出单位
前10个，共19个
量的名称
SI 导出单位
名称
符号
用SI基本单位和SI导出单位表示
频率
赫兹
Hz
1 Hz=1 s1
力
牛顿
N
1 N=1 kgms2
压力、压强、应力
帕斯卡
Pa
1 Pa=1 Nm2
能量、功、热量
焦耳
J
1 J=1 Nm
功率、辐射能通量
瓦特
W
1 W=1 Js1
电荷量
库伦
C
1 C=1 As
电压、电动势、电位
伏特
V
1 V=1 WA1
电容
法拉
F
1 F=1 CV1
电阻
欧姆
1 =1 VA1
电导
西门子
S
1 S=1 1
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国际单位制(SI)：具有专门名称的SI导出单位
后9个，共19个
（续前表）
量的名称
SI 导出单位
名称
符号
用SI基本单位和SI导出单位表示
磁通量
韦伯
Wb
磁通量密度、磁感应强度
特斯拉
T
1 T=1 Wbm2
电感
亨利
H
1 H=1 WbA1
摄氏温度
摄氏度
C
1 C=1 K
光通量
流明
lm
1 lm=1 cdsr
光照度
勒克斯
lx
1 lx=1 lmm2
放射性活度
贝可勒尔
Bq
1 Bq=1 s1
吸收剂量
戈瑞
Gy
1 Gy=1 Jkg1
剂量当量
希沃特
Sv
1 Sv=1 Jkg1
1 Wb=1 Vs
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国家选定的其它计量单位
16个
量的名称
单位名称
单位符号
换算关系和说明
时间
分
小时
天（日）
min
h
d
1 min =60 s
1 h=60 min =3600 s
1 d=24 h=1440 min=86400 s
平面角
角秒
角分
度
1= /648000 rad（为圆周率）
1=60= /10800 rad
1=60= /180 rad
旋转速度
转每分
r/min
1 r/min=(1/60) s1
长度
海里
n mile
1 n mile=1852 m
速度
节
kn
1 kn = 1 n mile/h
质量
吨
原子质量单位
t
u
1 t=103 kg
1 u1.6605401027 kg
体积
升
L，l
1 L=1 dm3=103 m3
能
电子伏
eV
1 eV1.6021771019 J
级差
分贝
dB
线密度
特克斯
tex
1 tex=1 g/km
面积
公顷
hm2
1 hm2=10000 m2（国际符号为ha）
只用于航行
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单位的写法与读法
中华人民共和国国家标准：GB 3100系列
GB 3100：国际单位制及其应用
GB 3101：有关量、单位和符号的一般原则
Guó Biāo
单位的读法：单位符号的中文读法
1、依据单位符号的顺序， “ • ”：不读；“ / ”：每
2、指数名称在前
3、面积：平方
体积：立方
单位1 • 单位2 / 单位3 • 单位4
不读
每
不读
质量热容： J/(kg•K)
J/kg/K
焦耳每千克开尔文
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单位的写法与读法
单位的写法：单位符号、单位名称
中文符号：即单位名称的简称。只在有必要时用于中、小学
教材和普通书刊中。除了C外，必须用中文。
中文符号不得与单位符号混用，km/小时
1、单位符号一律用正体：除了来源于人名的单位符号首字母
要大写外，其余均为小写。
2、单位符号在全部数值之后，与数值间留适当的空隙，例外：
角度单位的符号与数值间不留空隙，30，15'，20''。
量的符号：必须用斜体，下标用正体，物理量符号作下标用斜体
作业：量、量的符号；单位、单位名称、单位符号
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规范化
• 纳米微电子学 ？
• 毫微米 ？ mm ？
• 50C
nm ？
摄氏50度 ？ 50 C 50 摄氏度 ？
• 37.0 ± 0.5 C ？
(37.0 ± 0.5) C ？
• 10 ～ 30 nm ？10 nm ～ 30 nm ？ (10 ～ 30) nm ？
• 23,500.674,25 ？ 23 500.674 25 ？
作业题：数的修约规则
修约区间：0.1，1.25＝？ 1.35＝？
1.251＝？1.349＝？
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电磁学计量单位的确定
基本单位
电荷Coulomb定律
磁荷Coulomb定律
Biot－Savart定律
k3
F1
F2
dF3
1
1 q1 q 2
r
2
1 p1 p 2
r
2
1
q1 q 2
k1 0
r
r
2
2
k2 0
r
2
3
有理化：k1=k2=k3=4
2
c0
2
2
1
k3
2
2
c
k
0 0 0
2
c0
2
k1 0 k 2 0
k1 k 2 0 0
k
3 k1 k 2
2
2
p1 p 2
1
p I 1 si n dl
p I 1 sin dl
r
2
2107 N
c0：m/s；＝1；0＝4107 H/m
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电磁学的各种单位制
首先确定导出c0的基本单位；其次确定选取0、0、中哪一个
作为独立量；最后确定k1、k2、k3。以保证公式的系数简化。
单位制
基本单位
独立量
k1、k2、k3
0
0
CGS静电单位
cm g s
0、
1
1
1 / c0
1
CGS电磁单位
cm g s
0、
1
1
1
高斯单位
cm g s
0、0
1
1
1
c0
实用单位
107 m 1011 g s
0、
1
1 / c0
1
1
非有理化
m kg s
0、
1
10 / c 0
107
1
有理化
m kg s
0、
4
4107
1
MKS
2
2
1 / c0
2
7
2
10 / 4 c 0
7
2
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如何确定磁学单位
• 磁学单位是导出单位
由磁学量的定义方程式来确定。
磁矩 m：
T mB
m Is
磁感应强度 B：F q v B
磁场强度 H：
H J
磁通：
D
B dA
t
磁化强度 M： B 0 ( H M ) (1 ) 0 H H
磁化率 ：
M H
磁导率 ：
B H
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常用电磁学单位
量别
力学量
物理量
量的符号
SI单位
换算系数
CGS单位
长度
l
1m
＝
102
cm
质量
m
1 kg
＝
103
g
时间
t
1s
＝
1
s
力
F
1N
＝
105
dyn
功率
P
1W
＝
107
erg/s
功[能]
W
1J
＝
107
erg
moment
1 Am2
＝
103
emu
磁场强度
H
1 A/m
＝
410－3
Oe
磁化强度
M
1 A/m
＝
10－3
G
磁通量
1 Wb
＝
108
Mx
磁通密度
B
1T
＝
104
G
磁极化强度
J
1T
＝
104/ 4
emu (G)
自感、互感
L、M
1H
＝
109
emu
磁导率
1 H/m
＝
107/ 4
emu
磁化率
1 H/m
＝
107/ (4)2
emu
磁能积
BH
1 T·A/m
1 MJ/m3
＝
＝
40
40
GOe
MGOe
磁矩
磁学量
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常用磁学单位的定义
磁通单位：韦[伯]（Wb）
韦伯是只有一匝的环形线圈中的磁通量，它在
1 秒时间间隔内均匀地降到零时，环路内所感
应产生的电动势为 1 伏[特]：
1 Wb
1V
1 Wb = 1 V s = 1 H A
0 Wb
0s
1s
1 亨[利]的电感、通以 1 安[培]电流，电感中的磁通量为 1 韦[伯]。
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常用磁学单位的定义
磁通密度、磁感应强度单位：特[斯拉]（T）
1 平方米面积内，垂直均匀通过 1 韦[伯]磁通
量的磁通密度等于 1 特[斯拉]：
1 T = 1 Wb m
2
= 1 N A
1
m
1
在真空、均匀磁场中，通过电流为 1 安[培]、长度为 1 米的直
导线，所受到的力最大为 1 牛[顿]时，磁通密度为 1 特[斯拉]。
1 T A m = 1 J= 1 N m
2
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常用磁学单位的定义
磁矩单位：安[培]平方米（Am2）
置于磁场中的电流回路所受到的转矩 T 等于回
路的磁矩 m 与磁通密度 B 的矢量积：
T mB
截面积为 1 平方米的电流回路，通过电流为 1 安培时的磁矩。
1 A m = 1 J T
2
1
= 1 N m T
1
Bohr磁子B：927.400 968(20)1026 J T1（2010 CODATA）
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常用磁学单位：磁能积BH
磁能积 BH：
B的单位：1 T(esla)＝1 kg · s－2 ·A－1
H的单位：A · m－1
BH的单位：1 T · A · m－1＝1 m－1 · kg · s－2
能量的单位：1 J(oule)＝1 m2 · kg · s－2
能量密度的单位：1 J · m－3 ＝1 m－1 · kg · s－2
因此， BH的单位为，1 T · A · m－1＝1 J · m－3
1 T · kA · m－1＝1 kJ · m－3
1J·
m3 ＝40
GOe
1 M GOe
1
40
MJ m
3
7.957747.. . k J m
3
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常用磁学单位：磁化强度M
磁化强度 M：单位体积的磁矩
单位：A ·
m－1
比磁化强度：单位质量的磁矩
1 A · m2 ＝103 emu
1 A · m2/kg ＝1 emu/g
单位：A · m2/kg
样品质量
mole比磁化强度：A · m2/mol
mole数：
每分子磁矩：A · m2/formula ？
分子数：mole数NA
mole质量
Avogadro常数NA：6.022 141 29(27) 1023 mol1（2010 CODATA）
N A B 5.584 939 66( 2 8 ) A m m o l
2
n
i 1
1
f 2
2
7
2
1
u x i 2.747 4... 10 A m m ol
x i
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看文献：三个Gs
B J 0 H 0 ( M H ) (1 ) 0 H H
SI
A/m
T=Wb/m2
4104
104
4107 H/m
103/4
103
Gs1 Gs2
Gs3
Oe
Gauss
B J H 4 M H (1 4 ) H H
?
? 4 M 0 M
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看文献：三个Gs
量值和单位
B S I u S I B G auss u G auss
B
B
u S I 10
B
BS I
B G au ss
4
u G auss
B
u GB aus s
4
B
10
uSI
1
Slide 37
看文献：三个Gs
BS I 0 ( M S I H S I )
10 B S I u
4
B
SI
1
10
3
4 M S I u
M
SI
4
10
3
H SI uSI
H
B G auss 4 M G auss H G auss
10 B G auss 10 u G aus s
4
4
B
4
3
10
3 M
H
4 M G auss 1 0 u G a uss
H G au s s
u G a u ss
3
3
10
10
4
1
J SI 0 M SI
SI
10
4
4
J SI u
J
SI
1
10
J G auss 0
M SI uSI
M
3
G auss
M G auss M G auss
1
4 J
3 M
J G auss 4 u G auss
M
1
0
u G aus s
G au s s
3
4
10
10
10
4
Gs
M
em u cm
G s em u cm
J
3
3
G s 4 em u cm
B
3
Slide 38
看文献：三个Gs
BSI J SI 0 H SI
10 B S I u
4
B
SI
10 J S I u
4
J
SI
4
10
3
H SI uSI
H
B G auss 4 J G auss H G auss
3
1
4
4
10
4
B
4
J
H
10 B G aus s 4 u G auss 10 J G auss 4 u G auss
H G auss
u G a us s
3
10
10
10
4
emu emu/g ( = Am2/kg) Gs 4Gs T(esla) ?
样品磁矩（emu） 样品密度（g/cm3）
4
样品质量（g）
104
JGauss、MGauss
4JGauss
4MGauss
BGauss
BSI
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常用磁学单位：磁化率
磁化率 ：磁化强度M与磁场强度H的关系
SI的单位：1（无量纲）
直流磁化率
起始磁化率
最大磁化率
交流磁化率
微分磁化率
Gauss单位制中的磁化率Gauss
G/Oe?
emu/(g Oe)
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如何确定电学单位
• 电学单位与力学单位的关系
绝对单位制：三个基本量
s
m
N
J
kg
kgms2
Nm
J s1
机械功率
kgm2s3
MKSA单位制：四个基本量
A
导
出
顺
序
kgm2s3A2
W
电功率
V kgm2s3A1
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电流单位：安培
定义：
无限长
截面可忽略
安培是一恒定电流，若
保持在处于真空中相距1
米的两无限长、而圆截
面可忽略的平行直导线
内，则在此两导线之间
所产生的力在每米长度
上等于2107牛顿。
1m
2107 N
电流
电流
Slide 42
电学单位的确定
1. 电流单位的确定
核磁共振电流量子标准
p 4
p
h
电流天平法
电动力计法
瓦特绝对测量
p：2.675 222 005(63) x 108 s-1 T-1 （CoDATA 2010）
http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gammap|search_for=proton
Slide 43
电学单位的确定
2. 电压单位的确定
约瑟夫森效应电压量子标准
KJ
2e
h
微分法绝对测量伏特
开尔文绝对静电计
液体静电计
积分法绝对测量伏特
KJ：483 597.870(11) 109 Hz V-1（CoDATA 2010）
http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?kjos|search_for=josephson
Slide 44
电学单位的确定
3. 电阻单位的确定
量子化霍尔效应电阻量子标准
RK
h
e
2
计算电容法绝对测量电阻
计算互感法
RK：25 812.807 4434(84) （CoDATA 2010）
http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rk|search_for=klitzing
Slide 45
电磁学计量单位量纲的确定
基本单位
电荷Coulomb定律
F1
1 q1 q 2
r
2
1
q1 q 2
k1 0
r
2
量纲表示方法：
质量：[Mass]、长度：[Length]、时间：[Time]
电荷的量纲：
电流的量纲：
q 2 M L3 T 2
I
q T 1
I 2 M L3 T 4
Slide 46
电磁学计量单位量纲的确定
基本单位
磁荷Coulomb定律
F2
1 p1 p 2
p
dF3
电流的量纲：
k2 0
r
2
p 2 M L3 T 2
磁荷的量纲：
Biot－Savart定律
r
2
p1 p 2
1
1
1
2
M
1
3
2
L T
2
p I 1 si n dl
r
I
2
1
2
M
1
1
k3
1
1
2
L T
2
1
p I 1 sin dl
r
I 2 2 1 M L T 2
2
Slide 47
电磁学计量单位量纲的确定
基本单位
电流的量纲：
I 2 M L3 T 4
电荷Coulomb定律
I 2 2 1 M L T 2
2 L2
2
T
L
T
2
2
2
2
k3
k3
k1 0 k 2 0 k1 k 2
Ampère定律
速度的量纲
2
2
c
0
0 0
Maxwell
Slide 48
退磁效应
DeMagnetizing Effect
（磁路、几何形状、尺寸、磁导率）
Slide 49
磁 路
磁路1
磁路：磁力线的通路
1、闭合磁路： M 0
材料自身构成
材料与其它软磁轭构成
Epstein square
Slide 50
磁 路
磁路：磁力线的通路
2、开放磁路： M 0
基于电磁铁的各种VSM、AGFM、MB、(S)MOKE；
基于超导磁体的各种磁强计：
ESM、ACMS、MPMS、SVSM、PPMS_VSM
开放磁路带来的问题：
退磁效应
镜像效应
磁路2
Slide 51
磁路3
磁 路
磁路：磁力线的通路
Redge
3、等效电路图：
gap
Rgap
Rsurface
软
铁
R
软
铁
F
r
F r R R gap gap
Slide 52
磁路4
磁 路
标准语言：磁动势、磁链、磁阻、磁导
4、磁路定理：
Gauss定理（磁通连续性定理）
B 0
B dS 0
d 0
S
S
Fi H i li i
Ampère环路定理（磁路Ohm定理）
H J
H dL
L
I
dF
L
I
1
0r
li
Si
Slide 53
正确处理退磁效应
• 退磁效应的起因
• 退磁效应的影响程度
• 如何确定退磁因子
• 退磁因子与退磁场的关系
开放磁路、样品被磁化 退磁效应
1
2
Slide 54
退磁效应的理论处理
退磁效应1
• 静磁学边值问题
设空间充满磁导率为 2 的介质，在此空间存在一均
匀的平行磁场H0 ，将某一磁导率为 1 的任意形状物
体放置在此空间中，求解该物体内部感生的磁化强
度和磁场强度。
Slide 55
退磁效应的理论处理
退磁效应2
• 求解依据：
H
1、Maxwell方程：
D
t
H 0
2、唯一性边界条件：
3、磁化方程：
J
（J＝0，静磁学）
n B1 - B 2 0
B H 0 (H M )
M
0
0
H
Slide 56
退磁效应3
退磁效应的理论处理
• 求解方法： H
0
分离变量法
3
Laplace方程：
2
i 1
2
g
2
u i hi
ui
2
2
x
y
z
h
,
ui
ui
ui
g h1 h 2 h3
2
i
1
磁标势 ( r ) 4
V
M ( r ')
r - r'
均匀磁化：＝0
0
d r'
3
1
4
n M ( r ')
S
2
d r'
r - r'
H r
Slide 57
退磁效应的理论处理
• 求解方法： H
1、引力势：
退磁效应4
0
Poisson：旋转椭球体
2、磁标势级数展开：
R. I. Joseph
M in t ~ H in t
3、电感方法：
4、能量方法：
D. X. Chen
A. S. Arrott
Magnetostatic principles in ferromagnetism
W. F. Brown, Jr.,
1962, North-Holland Publishing Company, Amsterdam
Slide 58
退磁效应的影响
之一：只有旋转椭球体可以被均匀磁化
退磁效应5
作业
之二：只有旋转椭球体的退磁因子有解析解
证明：任何一本《电磁学》，或者
J. A. Osborn,
“Demagnetizing Factors of the General Ellipsoid”
Phys. Rev., 67(11&12) (1945) 351-357.
Slide 59
退磁因子1
旋转椭球体的退磁因子
• 旋转椭球体：精确解（解析解）
c
定义椭率： r
真空中： N
G
a
N
a
G
b
c
b
（绕c轴旋转）
b
N
c
G
c
a
1
扁椭球（oblate spheroid）
Nc
1
2
1 r
a rccos r
2
1 r
1
r
r>1
r<1
1
长椭球（prolate spheroid） N a , b 2 1 N c
Nc 2
r 1
1
G：几何
r
r 1
2
ln r
r 1 1
2
r＝1
Slide 60
等价表达式
arccos r arcsin
ln r
1 r
2
arct an
1 r
e e
x
sh x
, r 0
r
r 1 arc h r ars h
2
2
r 1
2
x
e e
x
, ch x
2
arsh x ln x
x
2
x 1 , arch x ln x
2
x 1
2
Slide 61
r
c
a
c
旋转椭球体的退磁因子
退磁因子2
b
r
Nc
r
Nc
0.0
1.000
0.8
0.3944
0.1
0.8608
0.9
0.3618
0.2
0.7505
1.0
1/3
0.3
0.6614
1.5
0.2330
0.4
0.5882
1.6
0.2187
0.5
0.5272
2.0
0.1736
0.6
0.4758
3.0
0.1087
0.7
0.4321
5.0
0.0558
Slide 62
其它形状的退磁因子
• 均匀磁化假设：
• 均匀退磁场假设：
退磁因子3
H
通量退磁因子Nf（the fluxmetric (ballistic) demagnetizing factor ）
z
Nf
中心截面的平均
磁化强度与平均
退磁场强度之比
y
x
Nm
整个样品的平均
磁化强度与平均
退磁场强度之比
强度退磁因子Nm（the magnetometric demagnetizing factor ）
Slide 63
退磁因子4
圆柱体的退磁因子
• 均匀磁化：（h方向）
h
定义长径比： r
N
K (k f ) E (k f )
1
k
Nm 1
K (k )
E (k )
h
2a
2 r
f
3 r
0
(1 x )(1 k x )
dx
0
2
1 k x
2
1
1 x
2
2
2
4
4r
2
1
2
2
2
1 r r K ( k m ) (1 r ) E ( k m ) 1
dx
2
k
2
f
4
1
2a
2
0
dy
2
0
1 k sin y
2
2
dy 1 k sin y
2
2
1 1
2
F , ;1; k ,
2 2 2
1 1
2
F , ;1; k ,
2 2 2
k 1
k 1
k
2
m
1
1 r
2
1
第1类完全椭圆积分
第2类完全椭圆积分
Slide 64
r
h
2a
圆柱体的退磁因子
退磁因子5
r
Nf
Nm
r
Nf
Nm
0.0
1.000
1.000
0.8
0.2905
0.3619
0.1
0.7845
0.7967
0.9
0.2592
0.3349
0.2
0.6565
0.6802
1.0
0.2322
0.3116
0.3
0.5604
0.5947
1.5
0.1418
0.2301
0.4
0.4842
0.5281
1.6
0.1298
0.2186
0.5
0.4221
0.4745
2.0
0.0935
0.1819
0.6
0.3705
0.4303
3.0
0.0480
0.1278
0.7
0.3273
0.3933
5.0
0.0189
0.0799
Slide 65
退磁因子6
圆柱体的退磁因子
• 简化公式：
当r >20时：
F iorillo
N
2a
f
1
r
1 r
h
2
r >>1（细长圆柱体）时
N
f
1
3
25
1
2
2
4
2r
2r
8r
, r 1
Nm
4
3 r
1
8r
2
, r 1
r <<1（短粗圆柱体）时
N
f
1
2r 8
ln
1
, r 1
r
Nm 1
2r 4 1
ln , r 1
r 2
Slide 66
长方体的退磁因子
退磁因子7
• 均匀磁化假设：
a
沿 c 方向：
c
2
Nm
N
f
arctan
2 abc
c a b c
2
1
2
ab
2
1
3 abc
2
( F2 F3 )
[ Fm ( a , b , c ) Fm ( b , a , c ) F m ( c , a , b ) F m ( c , b , a )]
arctan
4 ab
c 4 a 4b c
2
2
2
c
2 ab
[ F1 F f ( a , b ) F f ( b , a )]
b
Slide 67
F1
4a c
2
4b c
2
2
4 a 4b c c
2
2
2
2
F2 a b 2 c ( a b 2 c ) a b c
3
3
3
2
2
2
2
2
a
F3 (2 c a ) a c (2 c b ) b c
2
2
2
2
2
2
2
c (8 u 4 v c 4 u 4 u 4 v c )
2
F f ( u , v ) u ln
2
2
2
2
2
2
2
(4 v c )(8 u c 4 u 4 u c )
2
2
2
2
2
2
( u w )( u 2 v 2 v u v )
2
Fm ( u , v , w ) u v ln
2
2
2
2
2
2
u (u 2 v w 2 v u v w )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
2
3
Slide 68
退磁因子8
长方体的退磁因子
• 退化情况下：
如果：b
b
r
c
a
沿 c 方向：
Nf
2
arctan
c
2
r
r
2
r 4
2
ln
r
2
, b
ac
a
薄片状
Nm
2
2
1 r
1 r
2
arctan ln r
ln(1 r ) , b
r 2
4r
ac
Slide 69
退磁因子9
a
长方体的退磁因子
a
• 退化情况下：
如果：a ＝ b
r
c
c
a
沿 c 方向：
Nm
2
1 1 r
ln
r
r 2 1
2
r 2 1
2
1
2
2 arctan
1
2
r r 2 3r
N
f
2
r
ln
r 1 1
2
2 1 r ln
四方体
r 1 1
2
2 r (1 r ) r 2 (2 r 1) r 1
2
4
r
2 r 2 4
arctan
2
2
r r 8
3
2
2
r 8 r 2 ln
2
2
r
2
2
2
r 8
r2 42
2
2
r
2
4
2
Slide 70
退磁因子10
四方体的退磁因子
• 简化公式：
a
a
a＝b
Sato
r
Nm
c
a
1
c
1 2r
四方体
F iorillo
Nm
1
arcsin
1 r
2
Slide 71
r
c
a
四方体的退磁因子
退磁因子11
r
Nf
Nm
r
Nf
Nm
0.0
1.000
1.000
0.8
0.3178
0.3843
0.1
0.7933
0.8051
0.9
0.2862
0.3571
0.2
0.6717
0.6942
1.0
0.2587
1/3
0.3
0.5803
0.6124
1.5
0.1639
0.2492
0.4
0.5073
0.5482
1.6
0.1509
0.2371
0.5
0.4473
0.4959
2.0
0.1109
0.1983
0.6
0.3971
0.4525
3.0
0.0586
0.1404
0.7
0.3544
0.4157
5.0
0.0236
0.0883
Slide 72
退磁因子12
退磁因子的实验测定
• 直接测量：
int
10
4
Nd
1
N
Nd
d
1
int
1
N
1
N
d
d
H ext
M
?
其它：磁共振
• 替代测量：有效退磁因子Neff
将M－H曲线与相同材料的N ＝ 0的M－H曲线比较，拟合
闭合磁路
特殊极限形状
H
Slide 73
退磁因子的实验测定
旋转椭球体的一致进动本征频率：
0
仅为教学使用
退磁因子13
Kittel公式
H 0 N x N z M S H 0 N y N z M S
Slide 74
退磁效应6
退磁效应的影响
之三：样品内部磁场强度必须修正
Hint
所有与磁场有关的量
M
样品内部磁场：
H in t H ext H d
样品的磁化率：
Nd
1
N
d
1
int
int
Hext
in t
N
Hd NdM
M
H in t
d
1 N d Nd
N
d
N
d
M
H ext
int
1 N d int
Slide 75
退磁效应对什么量有影响
(Hint , M)
M
(Hext , M)
Hd
Hext
所 有 与 Hint 有 关 的 量！
Slide 76
2
未修正
N
10
10
1
0
-1
10
-2
10
-3
10
0.001
0.010
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
247
248
249
250
251
252
253
243
244
245
246
240
241
242
238
239
236
237
234
235
233
232
230
231
229
228
227
226
IW
IX
IY
IZ
JJB
AJC
JD
JJEJG
FJH
JI
JJ
JK
JJM
LJJNJO
JQ
PJR
JJSJU
TJJW
VJJXJZ
Y
KA
KB
KC
KD
KE
KF
KG
KH
KKJ
KK
I KL
KM
KN
KO
KP
KQ
KR
KS
KT
KU
KV
KW
KX
KY
KZ
LA
LB
LC
LD
LE
LF
LG
LH
LLJ
ILK
LLM
LLN
LO
225
IN
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IV
224
IM
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IG
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222
HZ
221
HX
HY
HW
220
HV
HT
HU
219
HS
HR
jnjojpjqjrjsjtjujvjwjxjyjz
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ylalblcldlelflglhliljlklllm
lnlo
218
HQ
HP
217
HO
HN
iaibicidieifigihiiijikiliminioipiqirisitiuiviwixiyizjajbjcjdjejfjgjhjijjjkjljm
216
HM
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215
HL
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HK
214
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rhhu
HJ
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H
Ihk
213
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HH
212
hm
HG
h
l
211
HF
hj
210
HE
h
i
hh
HD
209
HC
hhg
f
208
HB
he
hd
207
HA
hc
206
GZ
hb
ha
205
GX
204
gy
GW
203
gGY
xgz
GV
gw
202
201
GT
gu
200
GS
gGU
tgv
199
GR
gs
GQ
gr
198
gq
GP
197
gp
GO
196
go
GN
195
gn
GM
194
gm
GL
193
gl
GK
gk
192
GJ
gj
191
GI
gi
190
GH
1
gh
189
GG
gg
188
GF
gf
187
GE
ge
186
GD
gd
185
GC
gc
184
GB
gb
A
183
GA
ga
182
FZ
fz
181
FY
fy
180
FX
fx
179
FW
fw
178
a
FV
fv
177
FU
fu
176
FT
ft
175
FS
fs
174
FR
fr
173
FQ
fq
172
FP
fp
171
FO
fo
170
FN
fn
169
FM
fm
168
FL
fl
167
fk
166
fjFK
165
fiFJ
164
FH
fhFI
163
FG
fg
162
FF
ff
161
FE
fe
160
FD
fd
159
FC
fc
158
FB
fb
157
FA
fa
156
EZ
ez
155
EY
ey
154
EX
ex
153
EW
ew
152
EV
ev
151
EU
eu
150
ET
et
149
ES
es
148
ER
er
147
EQ
eq
146
EP
ep
145
EO
eo
144
EN
en
143
EM
em
142
EL
el
141
EK
ek
140
EJ
ej
139
EI
ei
138
EH
eh
137
EG
eg
136
EF
ef
135
EE
ee
134
ED
ed
133
EC
ec
132
EB
eb
131
EA
ea
130
DZ
dz
129
DY
dy
128
DX
dx
DW
127
dw
126
DV
dv
125
DU
du
124
DT
dt
123
DS
ds
122
DR
dr
121
DQ
dq
120
DP
dp
119
DO
do
118
DN
dn
117
DM
dm
116
DL
dl
115
DK
dk
114
DJ
dj
113
DI
di
112
DH
dh
111
DG
dg
110
DF
df
109
DE
de
108
DD
dd
107
DC
dc
106
DB
db
105
DA
da
104
CZ
cz
103
CY
cy
102
CX
cx
CW
101
cw
100
CV
cv
N =
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
1.000
1 + N
2
0.100
10
3
10
修正
4
10
5
10
6
10
Demagnetization factor ND
3
10
10
影响程度
N = 0.001
N = 0.002
N = 0.003
N = 0.004
N = 0.005
N = 0.006
N = 0.007
N = 0.008
N = 0.009
N = 0.010
N = 0.020
N = 0.030
N = 0.040
N = 0.050
N = 0.060
N = 0.070
N = 0.080
N = 0.090
N = 0.100
N = 0.200
N = 0.293
N = 0.333
N = 0.500
N = 1.000
Slide 77
Demagnetizing factors N (Nf, Nm)
1
0.1
0.01
1E-3
规则形状
N-Ellipsoid(-exact)
Nf-Cylinder(-exact)
Nm-Cylinder(-exact)
Ndf-Cylinder(-Fiorillo)
Nf-Rectangular Prism(-exact)
Nm-Rectangular Prism(-exac)
Ndm-Rectangular Prism(-Fiorillo)
Ndm-Rectangular Prism(-Sato)
1E-4
0.1
1E-5
1E-6
0.01
1E-7
1E-4
1
1E-3
2
0.01
3
4
0.1
5
6 7 8 910
1
10
Aspect Ratio r (c/a or h/2a)
100
1000
Slide 78
非规则形状
• 学习微磁学
W. F. Brown, Jr.,
Magnetostatic principles in ferromagnetism,
1962, North-Holland Publishing Company, Amsterdam
去找张宏伟老师！
• 其它变通方法
Slide 79
退磁效应7
退磁效应的影响
之四：理论上没有影响的量
所有与磁场无关的量
1、M ＝ 0， Hd ＝ 0
内禀矫顽力HCJ
2、 ＝ 0， 饱和磁化！
饱和磁化强度MS
3、与内部磁场强度无关！
少见
之五：理论上可以忽略退磁效应的影响
1、磁化率较低：
0.1
int N
?
2、N ＝ 0
闭合磁路
特殊极限形状
H
Slide 80
退磁效应8
退磁因子－退磁场
• 几何退磁因子：只与样品形状有关！
N
G
a
N
A1
A1
N 0G
A2 A3
abc
2
N
G
b
G
c
ds
( s a ) Rs
2
0
A1 A 2 A3 N 0 G
, A2
0
ds
( s b ) Rs
2
Rs
2
, A3
0
ds
( s c ) Rs
2
( s a )( s b )( s c )
2
2
2
abc
N
G
a
N
G
b
N
G
c
1
( ) R
R
(
)
R
R
(
)
R
R
0
1，Hint
M
Hext
2
Slide 81
退磁效应9
退磁因子－退磁场
• 实际退磁场：还与样品所处环境有关！
Na Nb Nc Na Nb Nc
G
N 0M
0 1 2
2 1 0
KM
G
0
1 0
G
N
KM
0M
1 2
2
如果2 ＝ 0： N N N 1
a
b
c
如果2 ＝ 1： N N N 0
a
b
c
1，Hint
如果2 > 1 ＝ 0 ：?
M
( ) R
R
( ) R
R
( ) R
R
0
Hext
2
Slide 82
课后作业－2
在你的实际测量过程中，
是如何处理退磁效应的影响的？
Slide 83
镜像效应
Image Effect
（磁路、镜像感应、磁导率）
Slide 84
镜像效应－似曾相识
• VSM@EM的磁化曲线
M
O
H
极头饱和；镜像效应！
Slide 85
镜像效应的本质
• 镜像效应的起因和处理
• 镜像效应的影响
• 镜像效应的消除
开放磁路、样品被磁化 镜像效应
P. Weiss and R. Forrer, “Aimantation et phenomene magnetocalorique
du nickel,” Ann. Phys. Paris, 5 (1926) 153-213.
S. R. Hoon and S. N. M. Willcok, “The direct observation of magnetic
images in electromagnet vibrating sample magnetometers,” J. Phys. E:
Sci. Instrum., 21 (1988) 480-487.
Slide 86
镜像效应的起因
1
镜像效应1
2
开放磁路、样品被磁化 镜像效应
Hint
Hext
M
样品内部磁场
退磁效应
a
磁场
M’
a
静磁感应
样品对外部的影响
磁矩
镜像效应
Slide 87
镜像效应的处理
镜像效应2
依据：唯一性定理
在给定的边界条件下，Poisson方程
2
n
或者Laplace方程
0
2
具有唯一解。
虚拟的“镜像”磁矩
给定边界上的或者
n
Slide 88
镜像效应3
镜像效应的处理
虚拟的“镜像”磁矩
m 'k 1 m 'k , k =0, 1, 2, ..., n -1
r
r 1
r 1
r
m '0 m 0
镜像2
镜像1
镜像1
m0
镜像2
n 1
m'
k 0
x
2.0a
1.5a
1.0a
0.5a
0
0.5a
1.0a
1.5a
2.0a
k 1
Slide 89
镜像效应的影响
镜像效应4
没有影响的情况：不存在？
m0 0
r 1
n 1
m'
k 1
0
k 0
影响：所有的未饱和磁化的材料
具体影响之一：实测磁矩的数值
退磁效应不影响实测磁矩的数值
具体影响之二：磁矩的定标
退磁效应也影响磁矩的定标！
Slide 90
镜像效应的影响
镜像效应5
降低镜像效应的影响
电磁铁极头：1、不用极头；2、线圈远离极头；3、修正
磁导率～磁场强度关系已知！
特别提示：超导材料同样存在镜像效应！
文献：RSI，64 (1993) 3357-3375 (Andrzej Zięba)
Image and sample geometry effects in
SQUID magnetometers
Slide 91
误差分析
与
测量不确定度
误差
测量结果减去被测量的真值
测量不确 表征合理地赋予被测量之值的分
定度
散性，与测量结果相联系的参数
Slide 92
通用计量术语：测量与结果
量
测量不确定度
真值
量值
期望值
测量结果
约定真值
最佳估计值
未修正结果
指定值
参考值
已修正结果
修正值＝－系统误差
Slide 93
为什么采用测量不确定度
误差与测量不确定度的比较
误
差
测量不确定度
表示方法
有正号或者负号的量值
无符号的参数，置信区间
定义
测量结果偏离真值的大小
测量结果的分散性
性质
客观存在，与人类的认识程度无关
与人类的认识程度有关
评价方法 真值不可知导致误差不能准确得到 可以进行定量确定，A、B
分类
随机误差、系统误差
一般不必区分其性质
使用规则
必须用系统误差修正测量结果
不能用来修正测量结果
Slide 94
实验中的测量不确定度
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
对被测量的定义不完整或者不完善
实现被测量定义的方法不理想
取样的代表性不够
对测量过程的环境因素的影响认识不足
对模拟式仪器的读数存在人为读数偏差
测量仪器的计量性能的影响
赋予计量标准的值和标准物质的值不准确
引用的数据或者其它参量的不确定度
与测量方法和测量程序有关的近似性和假定性
在表面看来完全相同的条件下，被测量重复观
测值的变化
Slide 95
测量结果表示方法
一般测量
U 2 uc ( y )
第一种表示方法：
表示方法1
不给出置信概率
正态性假设
测量次数很多
X 2.350 m ; U =0.060 m ; k =2
第二种表示方法：
X (2.350 0.060) m ; k =2
k＝2表示大部分，取决于uc(y)的分布及其自由度
如果取k＝3等，需要说明根据。
Slide 96
测量结果表示方法
规定测量
U 95 k 95 u c ( y )
置信概率95％。共有四种表示方法：
表示方法2
给出置信概率
正态性假设
规定测量次数
X 2.350 m ; U 9 5 = 0.084 m ; v ef f = 4
X (2.350 0.08 4) m ; v eff = 4
X 2.350(84) m ; v eff = 4
X 2.350(0.084) m ; v e f f = 4
k95取决于uc(y)的分布及其自由度
如果取p＝99％等，需要说明根据。
Slide 97
测量结果表示方法
计量学测量
表示方法3
U uc ( y )
使用合成标准不确定度。共有四种表示方法：
X 2.350 m ; u c ( X )= 0.030 m
X 2.350(30) m
X 2.350( 0.030) m
X (2.350 0.030) m
基本常数、基本量、SI基本单位的复现
常数
Slide 98
测量结果表示方法
表示方法小结
两种形式
计量学基本常数：（不采用区间形式）
B＝ 927.400 915(23) 10-26 J T-1
其它种类测量结果：（采用区间形式）
X (2.350 0.060) m ; k =2
X (2.350 0.084) m ; v eff =4
Slide 99
备 注
• 剩余的幻灯片将比较详细地解释与
“误差分析与测量不确定度的评定”
相关的内容。
• 已经掌握的，可以略过。
Slide 100
测 量 误 差
误差、真值、测量结果
误差＝测量结果－真值
Slide 101
误 差
• 误差 ＝测量结果减去被测量的真值
测量结果 xp：由测量所得到的赋予被测量的值
x p x
作为测量对象的特定量
真值 x：与给定的特定量的定义一致的值
测量
以确定量值为目的的一组操作
量值
由一个数乘以计量单位所表示的特定量的大小
计量单位 为定量表示同种量的大小而约定地
定义和采用的特定量
Slide 102
真 值
• 真值 x
与给定的特定量的定义一致的值
1、只有通过完善的测量才有可能获得。
真值的本性 2、是不确定的。
3、不一定只有一个。
理论真值
不确定度为零的量值
没有误差的量值
平面三角形内角和；圆周率；电子自旋磁量子数
不可能通过测量获得真值！
Slide 103
误 差 公 理
测量误差是客观存在的
测量误差自始至终存在于一切测量过程中
• 测量误差在本性上是不可知的
• 测量误差不可能完全消除
测量误差是可以被控制的
不可能通过测量确定误差！
Slide 104
约 定 真 值
• 约定真值 xC
conventional true value
对于给定目的、具有适当不确定度的、赋予
特定量的值。有时该值是约定采用的。
计量学约定真值
精确值
SI基本单位：CGPM；
常数：DODATA；
法定计量单位
标准器复现的量值
近似值
已修正的算术平均值
被测量的实际测量值
Slide 105
与误差相关的术语
• 精密度（precision）
随机误差（random error）
• 正确度（trueness）
系统误差（systematic error）
准确度（accuracy）
测量结果与被测量真值之间的一致程度
方差（variance） 标准偏差（standard deviation）
2
1
n
n
i , i xi x
i 1
2
Slide 106
与误差相关的术语
测量仪器的允许误差（permissible error）
绝对误差（absolute error）
x p x x p xC
相对误差（relative error）
a b xp
xf
r a% b%
x
p
r
100 %
1 00%
xC
x
测量仪器的引用误差（fiducial error）
r
100% f r %
xf
xf ＝标称量程
Slide 107
与误差相关的术语
测量仪器的准确度等级（accuracy class）
测量仪器的最大引用误差
rm ax
m ax
x
f
100% f rm ax %
（max：最大允许误差）
准确度的等别、级别
等别：根据扩展不确定度U确定，1等、2等…
级别：根据最大引用误差rmax确定，0.1级、0.2级…
f rm ax
电工仪表：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0
max x f f rmax %
Slide 108
测量不确定度
测量不确定度是一个定量的概念
误差是一个理想化的概念
真值是一个理想化的概念
准确度是一个定性的概念
Slide 109
测量不确定度表示指南（GUM）
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement
• 发布：1993年（ISO/TAG 4/WG 3）
国际标准化组织（ISO）
1995年修订
国际计量局（BIPM）
国际法制计量组织（OIML）
国际电工委员会（IEC）
国际理论物理与应用物理联合会（IUPAP）
国际理论化学与应用化学联合会（IUPAC）
国际临床化学联合会（IFCC）
1963年，Eisenhart（NIST）
1977年，CIPM要求BIPM着手解决表示方法的统一问题
1980年，INC－1（1980）CIPM要求ISO起草指南
Slide 110
测量不确定度在中国
1999年01（05）月01日
中华人民共和国国家计量技术规范
《 JJF 1059－1999 测量不确定度评定与表示》
Evaluation and Expression of Uncertainty in Measurement
代替《JJF 1027－1991 测量误差及数据处理》中的测量误差部分
《测量不确定度评定与表示指南》（中国计量出版社，2000年）
Slide 111
不确定度
Uncertainty
词穷
测量不确定度
Uncertainty of measurement
uncertainty, doubt, dubiety, doubtfulness, dubiousness, suspicion,
mistrust, distrust, misgiving, skepticism,
Slide 112
测量不确定度
合理、分散性
• 定义
表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量
结果相联系的参数。
被测量之值＝真值
测量结果＝被测量之值的最佳估计
参数＝标准偏差或其倍数＝置信区间的半宽度
uncertainty of measurement: （GUM－1995）
parameter, associated with the result of a measurement, that characterizes the
dispersion of the values that could reasonably be attributed to the measurand.
Slide 113
测量不确定度 误差
• 习惯成自然
SI
测量误差
定义
与真值之差
性质
应用
挑战不可知！
没有可操作性！
来源
测量不确定度
与测量结果相关的
分散性参数
反映不可知！
具有可操作性！
随机性、系统性（与被测量的单位相同）
分类
随机误差、系统误差
表示
含有正负号
A类标准不确定度
B类标准不确定度
没有正负号
Slide 114
合理1
最佳估计值 xˆ
随机变量：
测 量 值：xk
估 计 值：xi
评价估计值优劣的依据
1、无偏性：估计值＝之值的数学期望E()
E ( )
E ( xˆ i x ) 0
xp ( x ) d x
2、有效性：方差Var()=极小值的无偏估计值
V a r ( )
2
算术平均值
x E ( ) p ( x ) d x
2
3、一致性：对于任意给定的正数，
lim P xˆ i E ( ) 0
i
N ,
xˆ x
1
n
x
n
k 1
k
Slide 115
算术平均值
1
x
n
x
合理2
n
k
k 1
作为最佳估计值的条件：n
1、重复性条件（复现性条件）下，n次独立测量
2、中心极限定理：均值的分布
N 0,1
lim p
n
n
x x
x
x
1
2
t
e
2
2
dt
3、大数法则：样本代表总体的能力
均值：
方差：
lim p x x 0;
n
1 n
2
lim p x k x
n
n k 1
4、加权平均值：对于不同2
p lim x x 1
n
2
0
n ？
Slide 116
分散性1
分散性的参数：方差
评定依据
1、无偏性：
N ,
2、有效性：
正态分布的
标准方差
2
误差
2
1
n
n
xk x
2
k 1
3、一致性：
n 1
1 n
2
E xk x
n
n
k 1
2
ˆ
1
n
ˆ
2
n
xk x
2
2
n 1
残差
（数学）
k 1
1
x
样本方差
n
xk x s ( xk )
k 1
2
2
实验方差
lim
n
1
n 1
1
n
Slide 117
简单推导
1
n
n
n 1
1 n
2
E xk x
n
n k 1
xk x x x xk x x j x
n k 1
n k 1
n j 1
xk x
1
n
n
1
2
k 1
2
n
1
2
xk x
2
k 1
n
1
n
2 x j x
n j 1
1
n
2
• 数学期望
1 n
1 n
2
E xk x E xk x
n k 1
n k 1
n
1
E xk x
n k 1
2
1
n
n 1
n
2
2
2
2
1
E 2
n
1
n
2
n
x j x
j 1
E x x
n 2 j
j 1
2
2
Slide 118
统计量导出的分布
• 2分布
n
x k ~ N (0,1)
x
2
k
f (x)
~ (n)
2
k 1
n
xk ~ N ( , )
2
k 1
n
x k ~ N (1, 0)
xk
x
2
k 1
n
n
22
2
1
x2 e
x
2
, x 0
2
~ (n)
2
x k x ~ ( n 1)
2
n
1
2
总体方差
样本方差
Slide 119
实验方差、实验标准差
分散性2
实验方差（样本方差）
贝塞耳公式： s ( x k )
均值的方差
n
1
2
n 1
xk x
s (x )
2
2
E s ( x k ) 0
k 1
2
2
2
2
2
E s (x )
0
n
s ( xk )
n
实验标准差（样本标准差）
s ( xk )
1
n 1
n
xk x
2
E s ( xk ) 0
k 1
均值的实验标准差
s( x )
s ( xk )
n
E s(x )
0
n
Slide 120
不确定度的评定方法
评定方法1
评定方法：统计方法与非统计方法结合
A类标准不确定度：统计方法
B类标准不确定度：非统计方法
表示方法
合成标准不确定度u
扩展不确定度U
置信区间的半宽度Up
随机不确定度
系统不确定度
相对不确定度
Slide 121
评定方法2
A类标准不确定度
分散性参数＝标准差
给出结果
A类标准不确定度
实验标准差
xk
u ( xk ) s ( xk )
n 个独立测量值
x
1
n
n
xk
均值实验标准差
u ( x ) s( x )
n
k 1
x ik , x , x
s ( xk )
合并样本标准差
m组，每组ni 个独立测量值
u
Slide 122
合并样本标准差
pooled
m组测量，每组重复次数ni，测量值xik
第i组：
m个组：
s ( xk )
2
i
s ( xk )
2
p
ni
1
ni 1
x ik x i
k 1
m
1
v s
2
i i
m
v
i 1
i
A类
标准不确定度
xi
xik
s p ( xk )
1
ni
vi ni 1
自由度
i 1
测量结果
xk
2
ni
x
ik
k 1
x
m
1
m
ni
ni
x
i 1 k 1
i 1
x
x ni
s p ( xk )
ni
u(x )
s p ( xk )
m
n
i 1
i
ik
Slide 123
B类标准不确定度
分散性参数＝标准差
技术资料来源
评定方法3
技术资料：分布
B类标准不确定度
标准差的k倍
U＝ks(xk)
u(xk)＝ s(xk)＝U/k
置信概率p
Up, p
u(x)＝Up/kp
置信区间半宽度
a, p
u(x)＝a/kp
置信概率＝100％
a
u(x)＝a/k100
数值修约
间隔x
u(x)＝0.29x
重复性限
r
u(xk)＝r/2.83
准确度级别
f rm ax
x f f rm ax %
Slide 124
置信概率＝100％
梯形
k p ( )
分布类型
p(%)
kp
正态
99.73
3
0（三角）
100
6
1 (矩形、均匀)
100
3
0.71
100
2
反正弦
100
2
两点
100
1
6
1
2
u(xk)
a/kp
Slide 125
置信概率＝100％
例子：～均匀分布
B类标准不确定度： u ( x )
x
0.29 x
2 3
1、数值修约：x ＝修约间隔，0.1 0.029
2、数字化（量化）：x ＝分辨力， 0.1 0.029
3、不对称半宽度： x
a a
2
centered
xk
xk
a a
2
x k a , x k a
Slide 126
合成标准不确定度
合成标准不确定度uc(y)
y
1
n
Y f ( X 1 , X 2 ,..., X N )
n
f x1 k , x 2 k ,..., x N k
评定方法4－1
y f
x1 , x 2 , ..., x N
k 1
合成标准不确定度＝合成方差的正平方根
2
f 2
2
u
(
y
)
x u ( x j )
不相关： c
j 1
j
N
协方差
2
N 1 N
f f
f 2
2
相关：u c ( y ) x u ( x j ) 2 x x u ( x i ) u ( x j ) r ( x i , x j )
j 1
j 1 i j 1
j
j
i
N
4
自由度：
v eff
uc ( y )
N
j 1
4
j
u (x j)
vj
N
v
j 1
j
不遗漏、不重复
Slide 127
合成标准不确定度
评定方法4－2
直接测量（x1，x2，…）
u ( x ) u ( x ) u ( x)
2
c
2
A
2
B
y f x1 , x 2 , ..., x N
间接测量
2
N 1 N
f
f f
2
2
uc ( y )
u (x j ) 2
u ( xi )u ( x j ) r ( xi , x j )
j 1 x j
j 1 i j 1 x j xi
N
尽量选择不相关的x1，x2，…
Slide 128
扩展不确定度
评定方法5－1
定义：区间
确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布
的大部分可望含于此区间
两种表示方法：
一般原则（大部分）：U k u c y , k 2 ~ 3
给定概率： U p k p u c y
p 9 5% , 9 9 %
y～正态：U p t p ( v eff ) u c y
Slide 129
评定方法5－2
包含因子k
置信概率p、包含因子kp、置信区间2Up
举例：正态
N ( , )
2
f
50%
[-0.67, 0.67]
– 3 –2 –1
68.27％
95.45％
99.73％
p
N
( x) ~
1
2
e
x
2
2
2
,
x
x
+1 +2 +3
U k
k＝6
p＝99.99999980％
十亿分之二
Slide 130
包含因子k
评定方法5－3
包含因子kp与y的分布有关
k 2~ 3
p 9 5% , 9 9 %
为什么？
y k p uc ( y ) y y k p uc ( y )
N ( , )
2
p
50%
kp
0.674
Up
U50
中心极限定理
测量次数ni>10
68.27%
90%
95%
1.000
1.645
1.960
U90
60次以上
95.45%
99%
99.73%
2.000
2.576
3.000
U95
U99
当uc(y)的自由度
很大时
Slide 131
评定方法5－4
包含因子k
测量次数较少的kp～t 分布
y y
y ~ N ,
~ t ( n 1)
2
中心极限定理
uc ( y )
y y k p uc ( y )
uc ( y )
n
y
n ( n 1)
k
y
k 1
t p ( v eff ) ~ k p
t ( n 1)
1
n
2
( n 1)
2
x
1
n 1
n 1
2
n
2
,
x
2
Slide 132
t分布
n
2
3
4
5
6
n
2
x
1
n 1
n 1
( n 1)
2
t ( n 1)
v
1
2
1
1 1
2
3
2
3
4
5
1
2
2 x2
5 3
2
4
2
,
x
tp
f ( x )dx
arctan t p
2 t
3
2
p
2
t p
2
2 3 t p (3 t p ) arctan
3
3 tp
2
12
t p (6 t p )
2
4 x2
tp
tp
6 3
2
3 x
n
2
2
1 x
p
f(x)
1
2 1
3 2
2
5
200 5
2
3 5 x
3
4 tp
2
3
tp
2
2 2
2 5 t p (25 3 t p ) 3(5 t p ) arctan
5
3 5 t p
2
2
Slide 133
t分布的包含因子
评定方法5－5
tp(veff)
1
2
3
68.27
1.84
1.32
1.20
90
6.31
2.92
2.35
p×100
95
95.45
12.71
13.97
4.30
4.53
3.18
3.31
4
5
10
1.14
1.11
1.05
2.13
2.02
1.81
2.78
2.57
2.23
2.87
2.65
2.28
4.60
4.03
3.17
6.62
5.51
3.96
20
50
1.03
1.01
1.000
1.72
1.68
1.645
2.09
2.01
1.960
2.13
2.05
2.000
2.85
2.68
2.576
3.42
3.16
3.000
veff
99
63.66
9.92
5.84
99.73
235.80
19.21
9.22
Slide 134
举例说明－1
• B类标准不确定度可以忽略
2次测量结果：x1＝ 2.32 m，x2＝2.38 m
算术平均值：
x
2.32 2.38
m 2.35 m
2
实验标准差：
2.32 2.35 2.38 2.35
2
s ( xk )
A类标准不确定度：
2 1
u(x )
s ( xk )
2
m 0.042 m
0.030 m
2
根据t 分布：自由度v＝2－1＝1；t95(1)＝12.71；t99(1)＝63.66
扩展不确定度： U 95
扩展不确定度： U
t 95 (1) u ( x ) 0.38 m
2 u ( x ) 0.060 m
U 99 t 99 (1) u ( x ) 1.9 m
U 3 u ( x ) 0.090 m
Slide 135
举例说明－1
• 没有意义的置信概率！
n＝2，v＝1
t (1)
U u ( x ) 0.030 m
1
1
1 x 2
;
1
1 = 1,
2
x : 2.320 m , 2.380 m p＝50％
U 2 u ( x ) 0.060 m
x : 2 .2 9 0 m , 2 .4 1 0 m p＝70.48％
U 3 u ( x ) 0.090 m
x : 2.260 m , 2.440 m p＝79.52％
大部分
U 95 t 95 (1) u ( x ) 0.39 m
U 99 t 99 (1) u ( x ) 2.0 m
x : 1 .9 6 m , 2 .7 4 m
p＝95％
x : 0 .4 m , 4 .4 m
p＝99％
Slide 136
举例说明－2
• 如果测量次数n＝5
n＝5，v＝4
t (4)
3
8
x 2 .3 5 m
1
1 x 2
;
5
u(x )
s ( xk )
0.030 m
5
5 3
2 =1,
2
4
U u ( x ) 0.030 m
x : 2.320 m , 2.380 m p＝62.61％
U 2 u ( x ) 0.060 m
x : 2 .2 9 0 m , 2 .4 1 0 m p＝88.39％
U 3 u ( x ) 0.090 m
x : 2.260 m , 2.440 m p＝96.01％
大部分
U 95 t 95 (4) u ( x ) 0.084 m
U 99 t 99 (4) u ( x ) 0.14 m
x : 2 .2 6 6 m , 2.4 3 4 m p＝95％
x : 2 .2 1 m , 2 .4 9 m
p＝99％
Slide 137
举例说明－3
• B类标准不确定度占主导地位
3次测量结果：x1＝ 2.3 V，x2＝2.3 V ，x3＝2.3 V
算术平均值：
实验标准差： s ( x k ) 0 V
x 2 .3 V
A类标准不确定度：
uA(x ) 0 V
0.1
B类标准不确定度：
uB (x )
V 0.029 V
合成标准不确定度：
u c ( x ) 0.029 V
2 3
由于B类标准不确定度占主导地位，因此包含因子具有均匀分布
扩展不确定度： k95＝1.65；k99＝1.71
U 95 k 95 u c ( x ) 0.048 V
U 99 k 99 u c ( x ) 0.050 m
Slide 138
置信概率与相应的包含因子
• 必须根据测量结果及其合成标准不确定度
所遵循的具体分布，确定给定置信概率所
对应的包含因子。避免人为夸大或者降低
置信水准。
x x
~ t ( n 1)
t ( n 1)
s( x )
n
xi
x ~ ( n 1)
2
2
i 1
2
1
s ( xk )
2
2
s ( xk )
~ F ( n1 1, n 2 1)
n
2
( n 1)
x
1
n 1
n 1
2
2
n 1
1
( n 1)
2
n 1
2
2
x
n 1
2
v v2
v1
1
v1
2
F ( v1 , v 2 )
v
v
1 2
2
2
2
e
v
n
2
,
x
x
2
, x0
v1
v22
1
1
x2
v1 x v 2
v1 v 2
, x0
Slide 139
测量结果表示方法
一般测量
U 2 uc ( y )
第一种表示方法：
表示方法1
不给出置信概率
正态性假设
测量次数很多
X 2.350 m ; U =0.060 m ; k =2
第二种表示方法：
X (2.350 0.060) m ; k =2
k＝2表示大部分，取决于uc(y)的分布及其自由度
如果取k＝3等，需要说明根据。
Slide 140
测量结果表示方法
规定测量
U 95 k 95 u c ( y )
置信概率95％。共有四种表示方法：
表示方法2
给出置信概率
正态性假设
规定测量次数
X 2.350 m ; U 9 5 = 0.084 m ; v ef f = 4
X (2.350 0.08 4) m ; v eff = 4
X 2.350(84) m ; v eff = 4
X 2.350(0.084) m ; v e f f = 4
k95取决于uc(y)的分布及其自由度
如果取p＝99％等，需要说明根据。
Slide 141
测量结果表示方法
计量学测量
表示方法3
U uc ( y )
使用合成标准不确定度。共有四种表示方法：
X 2.350 m ; u c ( X )= 0.030 m
X 2.350(30) m
X 2.350( 0.030) m
X (2.350 0.030) m
基本常数、基本量、SI基本单位的复现
常数
Slide 142
测量结果表示方法
表示方法小结
两种形式
计量学基本常数：（不采用区间形式）
B＝ 927.400 915(23) 10-26 J T-1
其它种类测量结果：（采用区间形式）
X (2.350 0.060) m ; k =2
X (2.350 0.084) m ; v eff =4
Slide 143
曲线拟合参数的标准不确定度
常用方法
所求解的参数：a、b
可能的函数关系：
y abx
y a x ln y ln a b ln x
b
y a e
bx
ln y ln a b x
y a ( x c ) ln y ln a ln( x c )
b
b
y x x ln y ln( x x )
a
b
a
b
Slide 144
曲线拟合参数的方法
最小二乘法原理
1805年：A.-M. Legendre；1809年：J. C. F. Gauss
n个实测值：(xi, yi）
参数：a、b
yi
a bx i
n
n
i
2
目标：
i 1
n
y
i 1
i
a bx i
s yy
2
2
i
i 1
a
n
0 2 y i a bx i
s xx s yy
a y bx ;
i 1
b
b
n
x
1
n
0 2 y i a bx i x i
i 1
s xy
s xx
n
2
s xy
r ( x, y )
i 1
2
i
y
i 1
m inim um
n
yi
y
1
n
n
xi
s xx
i 1
i 1
x
2
i 1
n
y
n
xi
n
i
s xy
x
i 1
i
x yi y
Slide 145
从原始数据计算
x
1
n
x
n
i
i 1
y
1
n
y
n
i
i 1
n
s xx
x
x
2
i
i 1
y
i 1
n
s xy
i 1
i 1
n
s yy
n
y
2
i
n
i 1
1
x xi
n i 1
n
2
2
i
1
y yi
n i 1
n
2
i
1 n
n
xi y i xi y i
n i 1 i 1
2
Slide 146
曲线拟合参数
参数a、b的标准不确定度
u (a )
u (b )
n
s
x
n s xx
i 1
2
i
r为参数a、b的相关系数。
s为实验标准差（剩余标准差）：
s
s
s xx
n
r (a, b)
x
i
i 1
n
n xi
2
i 1
1
n2
n
i
2
i 1
s yy b s xy
n2
1 r 2 s yy
n2
Slide 147
曲线拟合参数
拟合结果y的标准不确定度
根据测量不确定度的传播定律：
uc ( y )
u ( a ) x u (b ) 2 x r ( a , b ) u ( a ) u (b )
2
2
2
y与x的线性相关系数：
n
r ( x, y )
s xy
s xx s yy
x
i
x yi y
i 1
n
x
i 1
x
2
i
n
y
i 1
i
y
2
Slide 148
有效数字的位数
• 给出结果的有效数字位数
• 不确定度的有效数字位数
• 计算过程中的有效数字位数
• 单位换算时的有效数字确定
Slide 149
给出结果的有效数字位数
• 给出结果
被测量的最终结果
与不确定度的相同单位的末位对齐
与不确定度的修约间隔相同
例子1
m＝100.021 445 50 g；U95＝0.36 mg；
最终给出结果：m＝100.021 45 g；U95＝0.36 mg；
例子2
m＝100.021 g；U95＝0.36 mg；
最终给出结果：m＝100.021 00 g；U95＝0.36 mg；
Slide 150
不确定度的有效数字位数
• 规定（《JJF 1059－1999》/GUM）
通常，最多为2位有效数字
一般，采用进位修约
• 推荐（我的建议－应该加在《指南》里）
第一位数字大于5，保留1位有效数字。
第一位数字小于5，保留2位有效数字。
Slide 151
不确定度的有效数字位数
• 举例
不确定度：0.01（单位：略）
0.005 13，0.014 92
不确定度：0.05（单位：略）
0.045 13，0.054 92
~
1
2
修约导致的
相对不确定度
~
1
10
级别
Slide 152
计算过程中的有效数字位数
• 数据修约：一般规则
测量结果
GB 3101－1993《有关量、单位和符号的一般原则》
提醒－1：修约间隔后面一位数字＝5
修约间隔位为偶数，则舍去；
修约间隔位为奇数，则进位。
修约间隔＝0.01
3.225 3.22
3.235 3.24
提醒－2：一次完成，不能连续修约
15.4546 mm，修约间隔＝1 mm：15 mm
1 5 .4 5 4 6 m m 1 5 .4 5 5 m m 1 5 .4 6 m m 1 5 .5 m m 1 6 m m
Slide 153
计算过程中的有效数字位数
• 数据修约：不确定度
不确定度计算值＝10.47 m
提醒－1：末位后面的数一般进位而不是舍去
提醒－2：也可以根据一般规则
11 m
10 m
《JJF 1059－1999》的例子：
28.05 kHz28 kHz
2位有效数字
Slide 154
计算过程中的有效数字位数
• 数据修约：有效自由度
4
v eff
uc ( y )
N
j 1
4
j
u (x j)
N
v
j
j 1
vj
取整数：小数点后面的数一般舍去而不是进位
veff＝14.87 veff＝14
Slide 155
计算过程中的有效数字位数
• 数据修约：计算过程中
在计算过程中，无论是测量结果本身的计算，还是不确
定度的评定，为了避免修约误差（round-off errors），
一般应该保留更多位数。
在合成标准不确定度的计算中，如果相关系数的绝对值
接近于1，则相关系数应该给出3位有效数字。
极限值：
极大值：只舍不入；极小值：只入不舍
Slide 156
单位换算时的有效数字确定
• 这种情况会越来越少，但会永远存在
• 物理学常数
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/
玻尔磁子B（2006 CODATA）： 927.400 915(23) x 10-26 J T-1
电子磁矩e /B（2006 CODATA）： -1.001 159 652 181 11(74)
真空中光速c0（2006 CODATA）：299 792 458 m s-1
0.6c0 ＝179 875 474.8 m s-1
标准大气压atm（2006 CODATA）：101 325 Pa
10 atm ＝ 1 013.25 kPa
Slide 157
单位换算时的有效数字确定
• 测量结果：与换算前相同的原则
与不确定度的相同单位的末位对齐
与不确定度的修约间隔相同
1 in＝25.4 mm
长度：(7.07 0.05) in＝ (179.6 1.3) mm
1 mmHg ＝ 133.322 4 Pa
血压： (136 0.5) mmHg＝ (18.13 0.07) kPa
《关于血压计量单位使用规定的补充通知》
（质技监局量函【1998】126号）
Slide 158
单位换算时的有效数字确定
• 不规范的近似数
一般原则：有效数字位数相同
建议采用：
换算前：B；前2位数字：B0；有效位数：b
换算后：A；前2位数字：A0；有效位数：a
B0
10 a b 1
A0
A0
B0
大数少一位；其它情况位数相同。
10 a b 1
Slide 159
测量次数
应该测量多少次？
依据：测量的目的及要求
方法：标准、规范、规程的规定方法
无规定时的方法
一次测量结果？
Slide 160
测量次数
依据：测量的目的及要求
1、不包括计量学意义的测量活动
2、以确定量值为目的（独立测量结果）
根据相应的标准、规范、规程的规定进行测量
无规定时：进行重复性测量
3、以确定量值的变化规律为目的（相关测量结果）
最小二乘法中的不确定度
Slide 161
重复性测量
重复性
在相同的测量条件下，对同一被测量进行连续多次
测量所得结果之间的一致性。
相同的测量条件：
相同的测量程序；
相同的观测者；
在相同的条件下使用相同的测量仪器；
相同的地点；
在短时间内重复测量。
Slide 162
重复性测量
重复性标准差sr：重复性测量结果的分散性
即实验标准差： s r2 ( x k )
n
1
xk x
n 1
2
k 1
重复性限r：两次测量结果之间的极差限
合并样本标准差：
s ( xk )
2
p
m
1
vi si
2
m
vi
xk
i 1
i 1
重复性限r：
r 2.83 s r ( x k )
r 2.83 s p ( x k )
Slide 163
测量次数的确定
已知重复性限r
现行有效的国家（推荐）标准：
《GB/T 6379.4－2006 测量方法与结果的准确度（准确度与
精密度）第4部分：确定标准测量方法正确度的基本方法》
被替代的国家（推荐）标准：
《GB/T 11792－1989 测试方法的精密度 在重复性或再现性条
件下所得测试结果可接受性的检查和最终测试结果的确定》
Slide 164
测量次数的确定
已知重复性限r
首先进行两次测量，得到测量结果：x1和x2
1、如果
x1 x 2 r
则，2个结果都可以接受
最终测量结果为：
2、如果
x1 x 2 r
x
x1 x 2
2
则，必须再进行2次测量： x3和x4
将4个测量结果从小到大进行排序：
x (1) x ( 2 ) x ( 3 ) x ( 4 )
Slide 165
测量次数的确定
已知重复性限r
x (1) x ( 2 ) x ( 3 ) x ( 4 )
如果
x ( 4 ) x (1)
3.6
r
2.83
最终测量结果为：
如果
x ( 4 ) x (1)
3.6
r
2.83
最终测量结果为：
则，4个结果都可以接受
x
x1 x 2 x 3 x 4
4
则，取4个结果的中位数
x
x( 2 ) x(3)
2
Slide 166
测量次数的确定
给定置信概率和取值区间d0的要求
区间宽度： d 2U p 2 t p ( n 1)
s ( xk )
n
先进行m次测量，根据测量结果计算：
d n m 2 t p ( m 1)
比较dn＝m与d0，确定测量次数。
s ( xk )
m
m
2 t p ( m 1) s ( x k )
dnm
Slide 167
只进行一次测量
可信性？
测量结果本身不具有统计学意义的可信性！
x
1、无偏性：
1
1
1
x i x1
i 1
s ( xk )
2
2、有效性：
？
3、一致性：
1
11
1
xi x
i 1
( xk )
2
2
1
1
1
xi x
i 1
2
0
?
0
0
1
0?
Slide 168
只进行一次测量
准确性？
测量结果本身不具有统计学意义的可信性！
1、准确性：
x1 x ?
2、分散性（标准不确定度）：
2
u (x )
2
s ( xk )
1
0
0
?
Slide 169
只进行一次测量
可操作性？
测量系统在受控状态下：
仪器受控状态核查：
2
i
s ( xk )
2
i
s ( xk )
2
p
2
p
s ( xk ) : s ( xk )
x ik x i
k 1
m
vi si
2
m
vi
2
xk
i 1
i 1
1、最终测量结果＝单次测量结果
2、分散性＝合并样本标准差
ni 1
1
ni
1
x x1
u ( x1 ) s p ( x k )
2
2
假设：此次测量结果与之前的其它测量结果具有相同的分散性
中国科学院物理研究所 通用实验技术公共课程
《磁性测量》
第一讲：磁性测量的基础
赵同云
磁学国家重点实验室
2015年11月1日
Slide 2
声
明
本讲稿中引用的图、表、数据全部取自
公开发表的书籍、文献、论文，而且仅为教
学使用，任何人不得将其用于商业目的。
Slide 3
目 录
• 磁性物理
电磁学单位制
磁路（退磁效应及其影响）
镜像效应及其影响
误差分析与测量不确定度的评定
样品的磁中性化和安装
• 标准的使用
Slide 4
电磁学单位制
几个故事
（计量单位漫谈）
没有单位，就 不可能 比较量值
Slide 5
单位和单位制的意义
1、习惯
路程：步行大约5分钟 / 约500米
2、约定
光在真空中于1/299 792 458秒的时间间隔内所经过的距离
3、制度
“一法度衡石丈尺，车同轨，书同文。” 《史记·秦始皇本纪》
4、科学
合理性、逻辑性（自洽）、实用性、方便性（简单）
Slide 6
故事：计量单位
• 权势人物
古典阶段：身体
英寸 inch （in＝2.54 cm）（荷兰语中inch 为大拇指）
10世纪：英王埃德加大拇指的第一个指节的长度。
14世纪：爱德华二世：三个大麦粒的总长度。
英尺 foot（ft＝12 inch＝0.3048 m）
9世纪：英国查理曼大帝的脚板的长度。
16世纪：德国：16个人的左脚板的平均长度。
码 yard（yd＝3 ft＝91.44 cm）
12世纪：英国亨利一世的鼻尖到前伸手臂时中指尖的距离。
丈 ＝ 古代成年男子的身高，大丈夫。
尺 ＝ ……
Slide 7
故事：计量单位
• 量子（自然）基准（标准）：
现代阶段：量子
迄今为止，国际上已正式确立的量子基准有：
时间单位－秒基准：
微波段铯原子钟：Cs－133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所
对应的辐射的9 192 631 770个周期的持续时间。
光频原子喷泉：激光冷却与原子囚禁
长度单位－米基准：光在真空中1/299 792 458 s的时间间隔内所经过的距离。
电压单位－伏特基准：
Josephson常数：KJ＝483 597.9 (1 0.4 10-6) GHz/V
电阻单位－欧姆基准：
von Klitzing常数： RK＝25 812.807 (1 0.2 10-6)
Slide 8
小事故：计量单位
• 英国gallon与美国gallon：
U.K. gallon = 4.546 09 L
U.S. gallon = 3.785 41 L
Boeing 757－300
43 400 L
= 9 547 gallon (U.K.)
= 11 466 gallon (U.S.A.)
litre, liter (US)
metre, meter (US)
gram, gramme (UK)
Slide 9
大事故：计量单位
• 美国火星气候探测器（1998年）：
1999年9月23日：1998年12月美国发射的火星气候探测器与地面失去联系。
火星大气层的最小安全距离：约85 公里～100 公里，预定140 公里～150 公里
实际上，探测器距火星表面最近仅57 公里。
探测器有可能在火星的大气中被“火葬”，
甚至坠毁在火星表面上
低级错误
1999年9月30日的调查报告：
造成飞行高度太低的原因竟然是公制和英制的转换问题。
洛克希德·马丁公司：公制单位（牛·秒）
美国航宇局（NASA）喷推实验室：英制单位（磅·秒）？
这样计算出的冲量值只是实际所需值的22%。
推力器校定表的作用是把遥测到的推力器点火工作次数转换成提供给探测
器的冲量，以消除因推力器点火工作造成的弹道计算中的剩余误差。
Slide 10
电磁学单位制的历史
相对
单位
无统一单位制
电压、电量、电容、电流
磁场强度、磁感应强度、磁通
以1832年C. F. Gauss引入绝对单位（力学单位）为分界
高斯－韦伯绝对单位：mm-mg-s
Ohmad单位制
CGS单位制
绝对
单位
实用单位制
MKS单位制
MKSA单位制
SI单位制
B. A. 单位制
麦克斯韦“象限制”
Slide 11
电磁学单位制的历史
• MKSA单位制的采用
1950 年 7 月 IEC大会采 用 Heaviside 的有理化 单位制 ， 引入
Ampere作为第四个基本单位（电流），即MKSA单位制。
• SI单位制（新的国际单位制）的建立
1954年第十届国际计量大会 (CGPM)采用有理化单位制；1960
年 10 月 的 第 十 一 届 CGPM ， 引 入 Kelvin （ 热 力 学 温 度 ） 和
candela（发光强度）；1971年引入Mole（物质的量），至此新
的国际单位制全部建立起来，为了与1893年的第一个国际单位
制相区别，用SI来表示现在的国际单位制。
Slide 12
参考读物
• 《计量测试技术手册》第7卷 《电磁学》
《计量测试技术手册》编辑委员会，
中国计量出版社，1996年12月
• 《电磁学发展史（修订版）》
宋德生、李国栋著，
广西人民出版社， 1996年12月
Slide 13
电磁学单位制的现状
• 统一采用SI单位制
电磁学的SI单位制与MKSA单位制一致。
• 谁在使用非SI单位制？
Many U.S. teachers think the answer is “Liberia（利比里亚） and Burma（缅甸）”
(make that Myanmar（缅甸）). Let's give Liberia and Myanmar a break! All
countries have adopted the metric system, including the U.S., and most countries (but
not the U.S.) have taken steps to eliminate most uses of traditional measurements.
However, in nearly all countries people still use traditional units sometimes, at least
in colloquial expressions. Becoming metric is not a one-time event that has either
happened or not. It is a process that happens over time. Every country is somewhere in
this process of going metric, some much further along than others.
Slide 14
计量在中国
• 1986年以前：“行政计量”
• 1986年－：“法制计量”
• 1987年－：产品质量检验机构的“计量认证”
• 1998年－：引入“实验室认可”机制
• 目前：计量认证/审查认可、实验室认可并行
原则
适用
考核标准
计量认证
法律
中国
专用
实验室认可
互认
国际
实验室
考核内容
“强制” 仪器、环境、人员、
管理制度，等
ISO/IEC 17025 /自愿
Slide 15
国家法定计量单位
legal unit of measurement
法定计量单位 legal unit of measurement
由国家法律承认、具有法定地位的计量单位。
《中华人民共和国计量法》第一章第三条：
“国家采用国际单位制。
国际单位制计量单位和国家选定的其他计量单位，
为国家法定计量单位。”
Slide 16
国家法定计量单位
44/20
SI基本单位：7个
SI辅助单位：2个
具有专门名称的SI导出单位：19个
国家选定的非SI单位：16个
SI单位的十进倍数和分数单位的词头：20个
Slide 17
国际单位制（SI）的维持机构
The international system of units, SI, Le Système International d’Unités
Meter Convention，国际米制公约（La Convention du Mètre）
1875年5月20日共有17个国家在巴黎签署的国际公约（Treaty），成立BIPM
和CGPM，并由CIPM来组织和管理BIPM和CGPM。至2004年1月有51个缔约
国和16个准会员。（中国1977年5月9日宣布，6月16日确认。）
BIPM，国际计量局，总部位于法国巴黎郊区Sèvres的Pavillon de Breteuil。
The International Bureau of Weights and Measures (Bureau International des Poids
et Mesures ) 。
CGPM，国际计量大会，每四年召开一次，为国际计量最高权力机构。
the General Conference on Weights and Measures (Conférence Générale des Poids
et Mesures ) 。
CIPM，国际计量委员会，是CGPM的常设执行结构。
the International Committee for Weights and Measures (Comité International des
Poids et Mesures ) 。
Slide 18
CGPM会员与准会员(2004年1月29日）
Members (51)
Argentina
Australia
Austria
Belgium
Brazil
Bulgaria
Cameroon
Canada
Chile
China
Czech Republic
Denmark
Dominican Republic
Egypt
Finland
France
Germany
Greece
Hungary
India
Indonesia
Iran, Islamic Republic of
Ireland
Israel
Italy
Japan
Korea, Dem. People's Rep. of
Korea, Republic of
Malaysia
Mexico
Netherlands
New Zealand
Norway
Pakistan
Poland
Portugal
Romania
Russian Federation
Serbia and Montenegro
Singapore
Slovakia
South Africa
Spain
Sweden
Switzerland
Thailand
Turkey
United Kingdom
United States
Uruguay
Venezuela
Associates of the CGPM (16)
Belarus
Chinese Taipei
Costa Rica
Cuba
Ecuador
Hong Kong (China)
Jamaica
Kenya
Latvia
Lithuania
Malta
Panama
Philippines
Slovenia
Ukraine
Viet Nam
Slide 19
国际单位制（SI）：基本单位
7个
7个基本量
SI
基本
单位
量
长度
质量
时间
热力学温度
电流
物质的量
发光强度
名称
米
千克
秒
开尔文
安培
摩尔
坎德拉
符号
m
kg
s
K
A
mol
cd
基本单位的定义：米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉
国际单位制（SI）：辅助单位
量的名称
2个
SI 导出单位
名称
符号
用SI基本单位和SI导出单位表示
[平面]角
弧度
rad
1 rad=1 m/m=1
立体角
球面度
sr
1 sr=1 m2/m2=1
Slide 20
国际单位制(SI)：具有专门名称的SI导出单位
前10个，共19个
量的名称
SI 导出单位
名称
符号
用SI基本单位和SI导出单位表示
频率
赫兹
Hz
1 Hz=1 s1
力
牛顿
N
1 N=1 kgms2
压力、压强、应力
帕斯卡
Pa
1 Pa=1 Nm2
能量、功、热量
焦耳
J
1 J=1 Nm
功率、辐射能通量
瓦特
W
1 W=1 Js1
电荷量
库伦
C
1 C=1 As
电压、电动势、电位
伏特
V
1 V=1 WA1
电容
法拉
F
1 F=1 CV1
电阻
欧姆
1 =1 VA1
电导
西门子
S
1 S=1 1
Slide 21
国际单位制(SI)：具有专门名称的SI导出单位
后9个，共19个
（续前表）
量的名称
SI 导出单位
名称
符号
用SI基本单位和SI导出单位表示
磁通量
韦伯
Wb
磁通量密度、磁感应强度
特斯拉
T
1 T=1 Wbm2
电感
亨利
H
1 H=1 WbA1
摄氏温度
摄氏度
C
1 C=1 K
光通量
流明
lm
1 lm=1 cdsr
光照度
勒克斯
lx
1 lx=1 lmm2
放射性活度
贝可勒尔
Bq
1 Bq=1 s1
吸收剂量
戈瑞
Gy
1 Gy=1 Jkg1
剂量当量
希沃特
Sv
1 Sv=1 Jkg1
1 Wb=1 Vs
Slide 22
国家选定的其它计量单位
16个
量的名称
单位名称
单位符号
换算关系和说明
时间
分
小时
天（日）
min
h
d
1 min =60 s
1 h=60 min =3600 s
1 d=24 h=1440 min=86400 s
平面角
角秒
角分
度
1= /648000 rad（为圆周率）
1=60= /10800 rad
1=60= /180 rad
旋转速度
转每分
r/min
1 r/min=(1/60) s1
长度
海里
n mile
1 n mile=1852 m
速度
节
kn
1 kn = 1 n mile/h
质量
吨
原子质量单位
t
u
1 t=103 kg
1 u1.6605401027 kg
体积
升
L，l
1 L=1 dm3=103 m3
能
电子伏
eV
1 eV1.6021771019 J
级差
分贝
dB
线密度
特克斯
tex
1 tex=1 g/km
面积
公顷
hm2
1 hm2=10000 m2（国际符号为ha）
只用于航行
Slide 23
单位的写法与读法
中华人民共和国国家标准：GB 3100系列
GB 3100：国际单位制及其应用
GB 3101：有关量、单位和符号的一般原则
Guó Biāo
单位的读法：单位符号的中文读法
1、依据单位符号的顺序， “ • ”：不读；“ / ”：每
2、指数名称在前
3、面积：平方
体积：立方
单位1 • 单位2 / 单位3 • 单位4
不读
每
不读
质量热容： J/(kg•K)
J/kg/K
焦耳每千克开尔文
Slide 24
单位的写法与读法
单位的写法：单位符号、单位名称
中文符号：即单位名称的简称。只在有必要时用于中、小学
教材和普通书刊中。除了C外，必须用中文。
中文符号不得与单位符号混用，km/小时
1、单位符号一律用正体：除了来源于人名的单位符号首字母
要大写外，其余均为小写。
2、单位符号在全部数值之后，与数值间留适当的空隙，例外：
角度单位的符号与数值间不留空隙，30，15'，20''。
量的符号：必须用斜体，下标用正体，物理量符号作下标用斜体
作业：量、量的符号；单位、单位名称、单位符号
Slide 25
规范化
• 纳米微电子学 ？
• 毫微米 ？ mm ？
• 50C
nm ？
摄氏50度 ？ 50 C 50 摄氏度 ？
• 37.0 ± 0.5 C ？
(37.0 ± 0.5) C ？
• 10 ～ 30 nm ？10 nm ～ 30 nm ？ (10 ～ 30) nm ？
• 23,500.674,25 ？ 23 500.674 25 ？
作业题：数的修约规则
修约区间：0.1，1.25＝？ 1.35＝？
1.251＝？1.349＝？
Slide 26
电磁学计量单位的确定
基本单位
电荷Coulomb定律
磁荷Coulomb定律
Biot－Savart定律
k3
F1
F2
dF3
1
1 q1 q 2
r
2
1 p1 p 2
r
2
1
q1 q 2
k1 0
r
r
2
2
k2 0
r
2
3
有理化：k1=k2=k3=4
2
c0
2
2
1
k3
2
2
c
k
0 0 0
2
c0
2
k1 0 k 2 0
k1 k 2 0 0
k
3 k1 k 2
2
2
p1 p 2
1
p I 1 si n dl
p I 1 sin dl
r
2
2107 N
c0：m/s；＝1；0＝4107 H/m
Slide 27
电磁学的各种单位制
首先确定导出c0的基本单位；其次确定选取0、0、中哪一个
作为独立量；最后确定k1、k2、k3。以保证公式的系数简化。
单位制
基本单位
独立量
k1、k2、k3
0
0
CGS静电单位
cm g s
0、
1
1
1 / c0
1
CGS电磁单位
cm g s
0、
1
1
1
高斯单位
cm g s
0、0
1
1
1
c0
实用单位
107 m 1011 g s
0、
1
1 / c0
1
1
非有理化
m kg s
0、
1
10 / c 0
107
1
有理化
m kg s
0、
4
4107
1
MKS
2
2
1 / c0
2
7
2
10 / 4 c 0
7
2
Slide 28
如何确定磁学单位
• 磁学单位是导出单位
由磁学量的定义方程式来确定。
磁矩 m：
T mB
m Is
磁感应强度 B：F q v B
磁场强度 H：
H J
磁通：
D
B dA
t
磁化强度 M： B 0 ( H M ) (1 ) 0 H H
磁化率 ：
M H
磁导率 ：
B H
Slide 29
常用电磁学单位
量别
力学量
物理量
量的符号
SI单位
换算系数
CGS单位
长度
l
1m
＝
102
cm
质量
m
1 kg
＝
103
g
时间
t
1s
＝
1
s
力
F
1N
＝
105
dyn
功率
P
1W
＝
107
erg/s
功[能]
W
1J
＝
107
erg
moment
1 Am2
＝
103
emu
磁场强度
H
1 A/m
＝
410－3
Oe
磁化强度
M
1 A/m
＝
10－3
G
磁通量
1 Wb
＝
108
Mx
磁通密度
B
1T
＝
104
G
磁极化强度
J
1T
＝
104/ 4
emu (G)
自感、互感
L、M
1H
＝
109
emu
磁导率
1 H/m
＝
107/ 4
emu
磁化率
1 H/m
＝
107/ (4)2
emu
磁能积
BH
1 T·A/m
1 MJ/m3
＝
＝
40
40
GOe
MGOe
磁矩
磁学量
Slide 30
常用磁学单位的定义
磁通单位：韦[伯]（Wb）
韦伯是只有一匝的环形线圈中的磁通量，它在
1 秒时间间隔内均匀地降到零时，环路内所感
应产生的电动势为 1 伏[特]：
1 Wb
1V
1 Wb = 1 V s = 1 H A
0 Wb
0s
1s
1 亨[利]的电感、通以 1 安[培]电流，电感中的磁通量为 1 韦[伯]。
Slide 31
常用磁学单位的定义
磁通密度、磁感应强度单位：特[斯拉]（T）
1 平方米面积内，垂直均匀通过 1 韦[伯]磁通
量的磁通密度等于 1 特[斯拉]：
1 T = 1 Wb m
2
= 1 N A
1
m
1
在真空、均匀磁场中，通过电流为 1 安[培]、长度为 1 米的直
导线，所受到的力最大为 1 牛[顿]时，磁通密度为 1 特[斯拉]。
1 T A m = 1 J= 1 N m
2
Slide 32
常用磁学单位的定义
磁矩单位：安[培]平方米（Am2）
置于磁场中的电流回路所受到的转矩 T 等于回
路的磁矩 m 与磁通密度 B 的矢量积：
T mB
截面积为 1 平方米的电流回路，通过电流为 1 安培时的磁矩。
1 A m = 1 J T
2
1
= 1 N m T
1
Bohr磁子B：927.400 968(20)1026 J T1（2010 CODATA）
Slide 33
常用磁学单位：磁能积BH
磁能积 BH：
B的单位：1 T(esla)＝1 kg · s－2 ·A－1
H的单位：A · m－1
BH的单位：1 T · A · m－1＝1 m－1 · kg · s－2
能量的单位：1 J(oule)＝1 m2 · kg · s－2
能量密度的单位：1 J · m－3 ＝1 m－1 · kg · s－2
因此， BH的单位为，1 T · A · m－1＝1 J · m－3
1 T · kA · m－1＝1 kJ · m－3
1J·
m3 ＝40
GOe
1 M GOe
1
40
MJ m
3
7.957747.. . k J m
3
Slide 34
常用磁学单位：磁化强度M
磁化强度 M：单位体积的磁矩
单位：A ·
m－1
比磁化强度：单位质量的磁矩
1 A · m2 ＝103 emu
1 A · m2/kg ＝1 emu/g
单位：A · m2/kg
样品质量
mole比磁化强度：A · m2/mol
mole数：
每分子磁矩：A · m2/formula ？
分子数：mole数NA
mole质量
Avogadro常数NA：6.022 141 29(27) 1023 mol1（2010 CODATA）
N A B 5.584 939 66( 2 8 ) A m m o l
2
n
i 1
1
f 2
2
7
2
1
u x i 2.747 4... 10 A m m ol
x i
Slide 35
看文献：三个Gs
B J 0 H 0 ( M H ) (1 ) 0 H H
SI
A/m
T=Wb/m2
4104
104
4107 H/m
103/4
103
Gs1 Gs2
Gs3
Oe
Gauss
B J H 4 M H (1 4 ) H H
?
? 4 M 0 M
Slide 36
看文献：三个Gs
量值和单位
B S I u S I B G auss u G auss
B
B
u S I 10
B
BS I
B G au ss
4
u G auss
B
u GB aus s
4
B
10
uSI
1
Slide 37
看文献：三个Gs
BS I 0 ( M S I H S I )
10 B S I u
4
B
SI
1
10
3
4 M S I u
M
SI
4
10
3
H SI uSI
H
B G auss 4 M G auss H G auss
10 B G auss 10 u G aus s
4
4
B
4
3
10
3 M
H
4 M G auss 1 0 u G a uss
H G au s s
u G a u ss
3
3
10
10
4
1
J SI 0 M SI
SI
10
4
4
J SI u
J
SI
1
10
J G auss 0
M SI uSI
M
3
G auss
M G auss M G auss
1
4 J
3 M
J G auss 4 u G auss
M
1
0
u G aus s
G au s s
3
4
10
10
10
4
Gs
M
em u cm
G s em u cm
J
3
3
G s 4 em u cm
B
3
Slide 38
看文献：三个Gs
BSI J SI 0 H SI
10 B S I u
4
B
SI
10 J S I u
4
J
SI
4
10
3
H SI uSI
H
B G auss 4 J G auss H G auss
3
1
4
4
10
4
B
4
J
H
10 B G aus s 4 u G auss 10 J G auss 4 u G auss
H G auss
u G a us s
3
10
10
10
4
emu emu/g ( = Am2/kg) Gs 4Gs T(esla) ?
样品磁矩（emu） 样品密度（g/cm3）
4
样品质量（g）
104
JGauss、MGauss
4JGauss
4MGauss
BGauss
BSI
Slide 39
常用磁学单位：磁化率
磁化率 ：磁化强度M与磁场强度H的关系
SI的单位：1（无量纲）
直流磁化率
起始磁化率
最大磁化率
交流磁化率
微分磁化率
Gauss单位制中的磁化率Gauss
G/Oe?
emu/(g Oe)
Slide 40
如何确定电学单位
• 电学单位与力学单位的关系
绝对单位制：三个基本量
s
m
N
J
kg
kgms2
Nm
J s1
机械功率
kgm2s3
MKSA单位制：四个基本量
A
导
出
顺
序
kgm2s3A2
W
电功率
V kgm2s3A1
Slide 41
电流单位：安培
定义：
无限长
截面可忽略
安培是一恒定电流，若
保持在处于真空中相距1
米的两无限长、而圆截
面可忽略的平行直导线
内，则在此两导线之间
所产生的力在每米长度
上等于2107牛顿。
1m
2107 N
电流
电流
Slide 42
电学单位的确定
1. 电流单位的确定
核磁共振电流量子标准
p 4
p
h
电流天平法
电动力计法
瓦特绝对测量
p：2.675 222 005(63) x 108 s-1 T-1 （CoDATA 2010）
http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gammap|search_for=proton
Slide 43
电学单位的确定
2. 电压单位的确定
约瑟夫森效应电压量子标准
KJ
2e
h
微分法绝对测量伏特
开尔文绝对静电计
液体静电计
积分法绝对测量伏特
KJ：483 597.870(11) 109 Hz V-1（CoDATA 2010）
http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?kjos|search_for=josephson
Slide 44
电学单位的确定
3. 电阻单位的确定
量子化霍尔效应电阻量子标准
RK
h
e
2
计算电容法绝对测量电阻
计算互感法
RK：25 812.807 4434(84) （CoDATA 2010）
http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rk|search_for=klitzing
Slide 45
电磁学计量单位量纲的确定
基本单位
电荷Coulomb定律
F1
1 q1 q 2
r
2
1
q1 q 2
k1 0
r
2
量纲表示方法：
质量：[Mass]、长度：[Length]、时间：[Time]
电荷的量纲：
电流的量纲：
q 2 M L3 T 2
I
q T 1
I 2 M L3 T 4
Slide 46
电磁学计量单位量纲的确定
基本单位
磁荷Coulomb定律
F2
1 p1 p 2
p
dF3
电流的量纲：
k2 0
r
2
p 2 M L3 T 2
磁荷的量纲：
Biot－Savart定律
r
2
p1 p 2
1
1
1
2
M
1
3
2
L T
2
p I 1 si n dl
r
I
2
1
2
M
1
1
k3
1
1
2
L T
2
1
p I 1 sin dl
r
I 2 2 1 M L T 2
2
Slide 47
电磁学计量单位量纲的确定
基本单位
电流的量纲：
I 2 M L3 T 4
电荷Coulomb定律
I 2 2 1 M L T 2
2 L2
2
T
L
T
2
2
2
2
k3
k3
k1 0 k 2 0 k1 k 2
Ampère定律
速度的量纲
2
2
c
0
0 0
Maxwell
Slide 48
退磁效应
DeMagnetizing Effect
（磁路、几何形状、尺寸、磁导率）
Slide 49
磁 路
磁路1
磁路：磁力线的通路
1、闭合磁路： M 0
材料自身构成
材料与其它软磁轭构成
Epstein square
Slide 50
磁 路
磁路：磁力线的通路
2、开放磁路： M 0
基于电磁铁的各种VSM、AGFM、MB、(S)MOKE；
基于超导磁体的各种磁强计：
ESM、ACMS、MPMS、SVSM、PPMS_VSM
开放磁路带来的问题：
退磁效应
镜像效应
磁路2
Slide 51
磁路3
磁 路
磁路：磁力线的通路
Redge
3、等效电路图：
gap
Rgap
Rsurface
软
铁
R
软
铁
F
r
F r R R gap gap
Slide 52
磁路4
磁 路
标准语言：磁动势、磁链、磁阻、磁导
4、磁路定理：
Gauss定理（磁通连续性定理）
B 0
B dS 0
d 0
S
S
Fi H i li i
Ampère环路定理（磁路Ohm定理）
H J
H dL
L
I
dF
L
I
1
0r
li
Si
Slide 53
正确处理退磁效应
• 退磁效应的起因
• 退磁效应的影响程度
• 如何确定退磁因子
• 退磁因子与退磁场的关系
开放磁路、样品被磁化 退磁效应
1
2
Slide 54
退磁效应的理论处理
退磁效应1
• 静磁学边值问题
设空间充满磁导率为 2 的介质，在此空间存在一均
匀的平行磁场H0 ，将某一磁导率为 1 的任意形状物
体放置在此空间中，求解该物体内部感生的磁化强
度和磁场强度。
Slide 55
退磁效应的理论处理
退磁效应2
• 求解依据：
H
1、Maxwell方程：
D
t
H 0
2、唯一性边界条件：
3、磁化方程：
J
（J＝0，静磁学）
n B1 - B 2 0
B H 0 (H M )
M
0
0
H
Slide 56
退磁效应3
退磁效应的理论处理
• 求解方法： H
0
分离变量法
3
Laplace方程：
2
i 1
2
g
2
u i hi
ui
2
2
x
y
z
h
,
ui
ui
ui
g h1 h 2 h3
2
i
1
磁标势 ( r ) 4
V
M ( r ')
r - r'
均匀磁化：＝0
0
d r'
3
1
4
n M ( r ')
S
2
d r'
r - r'
H r
Slide 57
退磁效应的理论处理
• 求解方法： H
1、引力势：
退磁效应4
0
Poisson：旋转椭球体
2、磁标势级数展开：
R. I. Joseph
M in t ~ H in t
3、电感方法：
4、能量方法：
D. X. Chen
A. S. Arrott
Magnetostatic principles in ferromagnetism
W. F. Brown, Jr.,
1962, North-Holland Publishing Company, Amsterdam
Slide 58
退磁效应的影响
之一：只有旋转椭球体可以被均匀磁化
退磁效应5
作业
之二：只有旋转椭球体的退磁因子有解析解
证明：任何一本《电磁学》，或者
J. A. Osborn,
“Demagnetizing Factors of the General Ellipsoid”
Phys. Rev., 67(11&12) (1945) 351-357.
Slide 59
退磁因子1
旋转椭球体的退磁因子
• 旋转椭球体：精确解（解析解）
c
定义椭率： r
真空中： N
G
a
N
a
G
b
c
b
（绕c轴旋转）
b
N
c
G
c
a
1
扁椭球（oblate spheroid）
Nc
1
2
1 r
a rccos r
2
1 r
1
r
r>1
r<1
1
长椭球（prolate spheroid） N a , b 2 1 N c
Nc 2
r 1
1
G：几何
r
r 1
2
ln r
r 1 1
2
r＝1
Slide 60
等价表达式
arccos r arcsin
ln r
1 r
2
arct an
1 r
e e
x
sh x
, r 0
r
r 1 arc h r ars h
2
2
r 1
2
x
e e
x
, ch x
2
arsh x ln x
x
2
x 1 , arch x ln x
2
x 1
2
Slide 61
r
c
a
c
旋转椭球体的退磁因子
退磁因子2
b
r
Nc
r
Nc
0.0
1.000
0.8
0.3944
0.1
0.8608
0.9
0.3618
0.2
0.7505
1.0
1/3
0.3
0.6614
1.5
0.2330
0.4
0.5882
1.6
0.2187
0.5
0.5272
2.0
0.1736
0.6
0.4758
3.0
0.1087
0.7
0.4321
5.0
0.0558
Slide 62
其它形状的退磁因子
• 均匀磁化假设：
• 均匀退磁场假设：
退磁因子3
H
通量退磁因子Nf（the fluxmetric (ballistic) demagnetizing factor ）
z
Nf
中心截面的平均
磁化强度与平均
退磁场强度之比
y
x
Nm
整个样品的平均
磁化强度与平均
退磁场强度之比
强度退磁因子Nm（the magnetometric demagnetizing factor ）
Slide 63
退磁因子4
圆柱体的退磁因子
• 均匀磁化：（h方向）
h
定义长径比： r
N
K (k f ) E (k f )
1
k
Nm 1
K (k )
E (k )
h
2a
2 r
f
3 r
0
(1 x )(1 k x )
dx
0
2
1 k x
2
1
1 x
2
2
2
4
4r
2
1
2
2
2
1 r r K ( k m ) (1 r ) E ( k m ) 1
dx
2
k
2
f
4
1
2a
2
0
dy
2
0
1 k sin y
2
2
dy 1 k sin y
2
2
1 1
2
F , ;1; k ,
2 2 2
1 1
2
F , ;1; k ,
2 2 2
k 1
k 1
k
2
m
1
1 r
2
1
第1类完全椭圆积分
第2类完全椭圆积分
Slide 64
r
h
2a
圆柱体的退磁因子
退磁因子5
r
Nf
Nm
r
Nf
Nm
0.0
1.000
1.000
0.8
0.2905
0.3619
0.1
0.7845
0.7967
0.9
0.2592
0.3349
0.2
0.6565
0.6802
1.0
0.2322
0.3116
0.3
0.5604
0.5947
1.5
0.1418
0.2301
0.4
0.4842
0.5281
1.6
0.1298
0.2186
0.5
0.4221
0.4745
2.0
0.0935
0.1819
0.6
0.3705
0.4303
3.0
0.0480
0.1278
0.7
0.3273
0.3933
5.0
0.0189
0.0799
Slide 65
退磁因子6
圆柱体的退磁因子
• 简化公式：
当r >20时：
F iorillo
N
2a
f
1
r
1 r
h
2
r >>1（细长圆柱体）时
N
f
1
3
25
1
2
2
4
2r
2r
8r
, r 1
Nm
4
3 r
1
8r
2
, r 1
r <<1（短粗圆柱体）时
N
f
1
2r 8
ln
1
, r 1
r
Nm 1
2r 4 1
ln , r 1
r 2
Slide 66
长方体的退磁因子
退磁因子7
• 均匀磁化假设：
a
沿 c 方向：
c
2
Nm
N
f
arctan
2 abc
c a b c
2
1
2
ab
2
1
3 abc
2
( F2 F3 )
[ Fm ( a , b , c ) Fm ( b , a , c ) F m ( c , a , b ) F m ( c , b , a )]
arctan
4 ab
c 4 a 4b c
2
2
2
c
2 ab
[ F1 F f ( a , b ) F f ( b , a )]
b
Slide 67
F1
4a c
2
4b c
2
2
4 a 4b c c
2
2
2
2
F2 a b 2 c ( a b 2 c ) a b c
3
3
3
2
2
2
2
2
a
F3 (2 c a ) a c (2 c b ) b c
2
2
2
2
2
2
2
c (8 u 4 v c 4 u 4 u 4 v c )
2
F f ( u , v ) u ln
2
2
2
2
2
2
2
(4 v c )(8 u c 4 u 4 u c )
2
2
2
2
2
2
( u w )( u 2 v 2 v u v )
2
Fm ( u , v , w ) u v ln
2
2
2
2
2
2
u (u 2 v w 2 v u v w )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
2
3
Slide 68
退磁因子8
长方体的退磁因子
• 退化情况下：
如果：b
b
r
c
a
沿 c 方向：
Nf
2
arctan
c
2
r
r
2
r 4
2
ln
r
2
, b
ac
a
薄片状
Nm
2
2
1 r
1 r
2
arctan ln r
ln(1 r ) , b
r 2
4r
ac
Slide 69
退磁因子9
a
长方体的退磁因子
a
• 退化情况下：
如果：a ＝ b
r
c
c
a
沿 c 方向：
Nm
2
1 1 r
ln
r
r 2 1
2
r 2 1
2
1
2
2 arctan
1
2
r r 2 3r
N
f
2
r
ln
r 1 1
2
2 1 r ln
四方体
r 1 1
2
2 r (1 r ) r 2 (2 r 1) r 1
2
4
r
2 r 2 4
arctan
2
2
r r 8
3
2
2
r 8 r 2 ln
2
2
r
2
2
2
r 8
r2 42
2
2
r
2
4
2
Slide 70
退磁因子10
四方体的退磁因子
• 简化公式：
a
a
a＝b
Sato
r
Nm
c
a
1
c
1 2r
四方体
F iorillo
Nm
1
arcsin
1 r
2
Slide 71
r
c
a
四方体的退磁因子
退磁因子11
r
Nf
Nm
r
Nf
Nm
0.0
1.000
1.000
0.8
0.3178
0.3843
0.1
0.7933
0.8051
0.9
0.2862
0.3571
0.2
0.6717
0.6942
1.0
0.2587
1/3
0.3
0.5803
0.6124
1.5
0.1639
0.2492
0.4
0.5073
0.5482
1.6
0.1509
0.2371
0.5
0.4473
0.4959
2.0
0.1109
0.1983
0.6
0.3971
0.4525
3.0
0.0586
0.1404
0.7
0.3544
0.4157
5.0
0.0236
0.0883
Slide 72
退磁因子12
退磁因子的实验测定
• 直接测量：
int
10
4
Nd
1
N
Nd
d
1
int
1
N
1
N
d
d
H ext
M
?
其它：磁共振
• 替代测量：有效退磁因子Neff
将M－H曲线与相同材料的N ＝ 0的M－H曲线比较，拟合
闭合磁路
特殊极限形状
H
Slide 73
退磁因子的实验测定
旋转椭球体的一致进动本征频率：
0
仅为教学使用
退磁因子13
Kittel公式
H 0 N x N z M S H 0 N y N z M S
Slide 74
退磁效应6
退磁效应的影响
之三：样品内部磁场强度必须修正
Hint
所有与磁场有关的量
M
样品内部磁场：
H in t H ext H d
样品的磁化率：
Nd
1
N
d
1
int
int
Hext
in t
N
Hd NdM
M
H in t
d
1 N d Nd
N
d
N
d
M
H ext
int
1 N d int
Slide 75
退磁效应对什么量有影响
(Hint , M)
M
(Hext , M)
Hd
Hext
所 有 与 Hint 有 关 的 量！
Slide 76
2
未修正
N
10
10
1
0
-1
10
-2
10
-3
10
0.001
0.010
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
247
248
249
250
251
252
253
243
244
245
246
240
241
242
238
239
236
237
234
235
233
232
230
231
229
228
227
226
IW
IX
IY
IZ
JJB
AJC
JD
JJEJG
FJH
JI
JJ
JK
JJM
LJJNJO
JQ
PJR
JJSJU
TJJW
VJJXJZ
Y
KA
KB
KC
KD
KE
KF
KG
KH
KKJ
KK
I KL
KM
KN
KO
KP
KQ
KR
KS
KT
KU
KV
KW
KX
KY
KZ
LA
LB
LC
LD
LE
LF
LG
LH
LLJ
ILK
LLM
LLN
LO
225
IN
IO
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IV
224
IM
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IG
IHIIIJIKIL
223
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IA
IB
222
HZ
221
HX
HY
HW
220
HV
HT
HU
219
HS
HR
jnjojpjqjrjsjtjujvjwjxjyjz
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cke
kkg
fkh
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ikkkkm
lkko
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kq
kks
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kw
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ylalblcldlelflglhliljlklllm
lnlo
218
HQ
HP
217
HO
HN
iaibicidieifigihiiijikiliminioipiqirisitiuiviwixiyizjajbjcjdjejfjgjhjijjjkjljm
216
HM
xhz
215
HL
vhhy
thhw
HK
214
hhs
rhhu
HJ
hq
H
Ihk
213
hho
nhp
HH
212
hm
HG
h
l
211
HF
hj
210
HE
h
i
hh
HD
209
HC
hhg
f
208
HB
he
hd
207
HA
hc
206
GZ
hb
ha
205
GX
204
gy
GW
203
gGY
xgz
GV
gw
202
201
GT
gu
200
GS
gGU
tgv
199
GR
gs
GQ
gr
198
gq
GP
197
gp
GO
196
go
GN
195
gn
GM
194
gm
GL
193
gl
GK
gk
192
GJ
gj
191
GI
gi
190
GH
1
gh
189
GG
gg
188
GF
gf
187
GE
ge
186
GD
gd
185
GC
gc
184
GB
gb
A
183
GA
ga
182
FZ
fz
181
FY
fy
180
FX
fx
179
FW
fw
178
a
FV
fv
177
FU
fu
176
FT
ft
175
FS
fs
174
FR
fr
173
FQ
fq
172
FP
fp
171
FO
fo
170
FN
fn
169
FM
fm
168
FL
fl
167
fk
166
fjFK
165
fiFJ
164
FH
fhFI
163
FG
fg
162
FF
ff
161
FE
fe
160
FD
fd
159
FC
fc
158
FB
fb
157
FA
fa
156
EZ
ez
155
EY
ey
154
EX
ex
153
EW
ew
152
EV
ev
151
EU
eu
150
ET
et
149
ES
es
148
ER
er
147
EQ
eq
146
EP
ep
145
EO
eo
144
EN
en
143
EM
em
142
EL
el
141
EK
ek
140
EJ
ej
139
EI
ei
138
EH
eh
137
EG
eg
136
EF
ef
135
EE
ee
134
ED
ed
133
EC
ec
132
EB
eb
131
EA
ea
130
DZ
dz
129
DY
dy
128
DX
dx
DW
127
dw
126
DV
dv
125
DU
du
124
DT
dt
123
DS
ds
122
DR
dr
121
DQ
dq
120
DP
dp
119
DO
do
118
DN
dn
117
DM
dm
116
DL
dl
115
DK
dk
114
DJ
dj
113
DI
di
112
DH
dh
111
DG
dg
110
DF
df
109
DE
de
108
DD
dd
107
DC
dc
106
DB
db
105
DA
da
104
CZ
cz
103
CY
cy
102
CX
cx
CW
101
cw
100
CV
cv
N =
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
1.000
1 + N
2
0.100
10
3
10
修正
4
10
5
10
6
10
Demagnetization factor ND
3
10
10
影响程度
N = 0.001
N = 0.002
N = 0.003
N = 0.004
N = 0.005
N = 0.006
N = 0.007
N = 0.008
N = 0.009
N = 0.010
N = 0.020
N = 0.030
N = 0.040
N = 0.050
N = 0.060
N = 0.070
N = 0.080
N = 0.090
N = 0.100
N = 0.200
N = 0.293
N = 0.333
N = 0.500
N = 1.000
Slide 77
Demagnetizing factors N (Nf, Nm)
1
0.1
0.01
1E-3
规则形状
N-Ellipsoid(-exact)
Nf-Cylinder(-exact)
Nm-Cylinder(-exact)
Ndf-Cylinder(-Fiorillo)
Nf-Rectangular Prism(-exact)
Nm-Rectangular Prism(-exac)
Ndm-Rectangular Prism(-Fiorillo)
Ndm-Rectangular Prism(-Sato)
1E-4
0.1
1E-5
1E-6
0.01
1E-7
1E-4
1
1E-3
2
0.01
3
4
0.1
5
6 7 8 910
1
10
Aspect Ratio r (c/a or h/2a)
100
1000
Slide 78
非规则形状
• 学习微磁学
W. F. Brown, Jr.,
Magnetostatic principles in ferromagnetism,
1962, North-Holland Publishing Company, Amsterdam
去找张宏伟老师！
• 其它变通方法
Slide 79
退磁效应7
退磁效应的影响
之四：理论上没有影响的量
所有与磁场无关的量
1、M ＝ 0， Hd ＝ 0
内禀矫顽力HCJ
2、 ＝ 0， 饱和磁化！
饱和磁化强度MS
3、与内部磁场强度无关！
少见
之五：理论上可以忽略退磁效应的影响
1、磁化率较低：
0.1
int N
?
2、N ＝ 0
闭合磁路
特殊极限形状
H
Slide 80
退磁效应8
退磁因子－退磁场
• 几何退磁因子：只与样品形状有关！
N
G
a
N
A1
A1
N 0G
A2 A3
abc
2
N
G
b
G
c
ds
( s a ) Rs
2
0
A1 A 2 A3 N 0 G
, A2
0
ds
( s b ) Rs
2
Rs
2
, A3
0
ds
( s c ) Rs
2
( s a )( s b )( s c )
2
2
2
abc
N
G
a
N
G
b
N
G
c
1
( ) R
R
(
)
R
R
(
)
R
R
0
1，Hint
M
Hext
2
Slide 81
退磁效应9
退磁因子－退磁场
• 实际退磁场：还与样品所处环境有关！
Na Nb Nc Na Nb Nc
G
N 0M
0 1 2
2 1 0
KM
G
0
1 0
G
N
KM
0M
1 2
2
如果2 ＝ 0： N N N 1
a
b
c
如果2 ＝ 1： N N N 0
a
b
c
1，Hint
如果2 > 1 ＝ 0 ：?
M
( ) R
R
( ) R
R
( ) R
R
0
Hext
2
Slide 82
课后作业－2
在你的实际测量过程中，
是如何处理退磁效应的影响的？
Slide 83
镜像效应
Image Effect
（磁路、镜像感应、磁导率）
Slide 84
镜像效应－似曾相识
• VSM@EM的磁化曲线
M
O
H
极头饱和；镜像效应！
Slide 85
镜像效应的本质
• 镜像效应的起因和处理
• 镜像效应的影响
• 镜像效应的消除
开放磁路、样品被磁化 镜像效应
P. Weiss and R. Forrer, “Aimantation et phenomene magnetocalorique
du nickel,” Ann. Phys. Paris, 5 (1926) 153-213.
S. R. Hoon and S. N. M. Willcok, “The direct observation of magnetic
images in electromagnet vibrating sample magnetometers,” J. Phys. E:
Sci. Instrum., 21 (1988) 480-487.
Slide 86
镜像效应的起因
1
镜像效应1
2
开放磁路、样品被磁化 镜像效应
Hint
Hext
M
样品内部磁场
退磁效应
a
磁场
M’
a
静磁感应
样品对外部的影响
磁矩
镜像效应
Slide 87
镜像效应的处理
镜像效应2
依据：唯一性定理
在给定的边界条件下，Poisson方程
2
n
或者Laplace方程
0
2
具有唯一解。
虚拟的“镜像”磁矩
给定边界上的或者
n
Slide 88
镜像效应3
镜像效应的处理
虚拟的“镜像”磁矩
m 'k 1 m 'k , k =0, 1, 2, ..., n -1
r
r 1
r 1
r
m '0 m 0
镜像2
镜像1
镜像1
m0
镜像2
n 1
m'
k 0
x
2.0a
1.5a
1.0a
0.5a
0
0.5a
1.0a
1.5a
2.0a
k 1
Slide 89
镜像效应的影响
镜像效应4
没有影响的情况：不存在？
m0 0
r 1
n 1
m'
k 1
0
k 0
影响：所有的未饱和磁化的材料
具体影响之一：实测磁矩的数值
退磁效应不影响实测磁矩的数值
具体影响之二：磁矩的定标
退磁效应也影响磁矩的定标！
Slide 90
镜像效应的影响
镜像效应5
降低镜像效应的影响
电磁铁极头：1、不用极头；2、线圈远离极头；3、修正
磁导率～磁场强度关系已知！
特别提示：超导材料同样存在镜像效应！
文献：RSI，64 (1993) 3357-3375 (Andrzej Zięba)
Image and sample geometry effects in
SQUID magnetometers
Slide 91
误差分析
与
测量不确定度
误差
测量结果减去被测量的真值
测量不确 表征合理地赋予被测量之值的分
定度
散性，与测量结果相联系的参数
Slide 92
通用计量术语：测量与结果
量
测量不确定度
真值
量值
期望值
测量结果
约定真值
最佳估计值
未修正结果
指定值
参考值
已修正结果
修正值＝－系统误差
Slide 93
为什么采用测量不确定度
误差与测量不确定度的比较
误
差
测量不确定度
表示方法
有正号或者负号的量值
无符号的参数，置信区间
定义
测量结果偏离真值的大小
测量结果的分散性
性质
客观存在，与人类的认识程度无关
与人类的认识程度有关
评价方法 真值不可知导致误差不能准确得到 可以进行定量确定，A、B
分类
随机误差、系统误差
一般不必区分其性质
使用规则
必须用系统误差修正测量结果
不能用来修正测量结果
Slide 94
实验中的测量不确定度
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
对被测量的定义不完整或者不完善
实现被测量定义的方法不理想
取样的代表性不够
对测量过程的环境因素的影响认识不足
对模拟式仪器的读数存在人为读数偏差
测量仪器的计量性能的影响
赋予计量标准的值和标准物质的值不准确
引用的数据或者其它参量的不确定度
与测量方法和测量程序有关的近似性和假定性
在表面看来完全相同的条件下，被测量重复观
测值的变化
Slide 95
测量结果表示方法
一般测量
U 2 uc ( y )
第一种表示方法：
表示方法1
不给出置信概率
正态性假设
测量次数很多
X 2.350 m ; U =0.060 m ; k =2
第二种表示方法：
X (2.350 0.060) m ; k =2
k＝2表示大部分，取决于uc(y)的分布及其自由度
如果取k＝3等，需要说明根据。
Slide 96
测量结果表示方法
规定测量
U 95 k 95 u c ( y )
置信概率95％。共有四种表示方法：
表示方法2
给出置信概率
正态性假设
规定测量次数
X 2.350 m ; U 9 5 = 0.084 m ; v ef f = 4
X (2.350 0.08 4) m ; v eff = 4
X 2.350(84) m ; v eff = 4
X 2.350(0.084) m ; v e f f = 4
k95取决于uc(y)的分布及其自由度
如果取p＝99％等，需要说明根据。
Slide 97
测量结果表示方法
计量学测量
表示方法3
U uc ( y )
使用合成标准不确定度。共有四种表示方法：
X 2.350 m ; u c ( X )= 0.030 m
X 2.350(30) m
X 2.350( 0.030) m
X (2.350 0.030) m
基本常数、基本量、SI基本单位的复现
常数
Slide 98
测量结果表示方法
表示方法小结
两种形式
计量学基本常数：（不采用区间形式）
B＝ 927.400 915(23) 10-26 J T-1
其它种类测量结果：（采用区间形式）
X (2.350 0.060) m ; k =2
X (2.350 0.084) m ; v eff =4
Slide 99
备 注
• 剩余的幻灯片将比较详细地解释与
“误差分析与测量不确定度的评定”
相关的内容。
• 已经掌握的，可以略过。
Slide 100
测 量 误 差
误差、真值、测量结果
误差＝测量结果－真值
Slide 101
误 差
• 误差 ＝测量结果减去被测量的真值
测量结果 xp：由测量所得到的赋予被测量的值
x p x
作为测量对象的特定量
真值 x：与给定的特定量的定义一致的值
测量
以确定量值为目的的一组操作
量值
由一个数乘以计量单位所表示的特定量的大小
计量单位 为定量表示同种量的大小而约定地
定义和采用的特定量
Slide 102
真 值
• 真值 x
与给定的特定量的定义一致的值
1、只有通过完善的测量才有可能获得。
真值的本性 2、是不确定的。
3、不一定只有一个。
理论真值
不确定度为零的量值
没有误差的量值
平面三角形内角和；圆周率；电子自旋磁量子数
不可能通过测量获得真值！
Slide 103
误 差 公 理
测量误差是客观存在的
测量误差自始至终存在于一切测量过程中
• 测量误差在本性上是不可知的
• 测量误差不可能完全消除
测量误差是可以被控制的
不可能通过测量确定误差！
Slide 104
约 定 真 值
• 约定真值 xC
conventional true value
对于给定目的、具有适当不确定度的、赋予
特定量的值。有时该值是约定采用的。
计量学约定真值
精确值
SI基本单位：CGPM；
常数：DODATA；
法定计量单位
标准器复现的量值
近似值
已修正的算术平均值
被测量的实际测量值
Slide 105
与误差相关的术语
• 精密度（precision）
随机误差（random error）
• 正确度（trueness）
系统误差（systematic error）
准确度（accuracy）
测量结果与被测量真值之间的一致程度
方差（variance） 标准偏差（standard deviation）
2
1
n
n
i , i xi x
i 1
2
Slide 106
与误差相关的术语
测量仪器的允许误差（permissible error）
绝对误差（absolute error）
x p x x p xC
相对误差（relative error）
a b xp
xf
r a% b%
x
p
r
100 %
1 00%
xC
x
测量仪器的引用误差（fiducial error）
r
100% f r %
xf
xf ＝标称量程
Slide 107
与误差相关的术语
测量仪器的准确度等级（accuracy class）
测量仪器的最大引用误差
rm ax
m ax
x
f
100% f rm ax %
（max：最大允许误差）
准确度的等别、级别
等别：根据扩展不确定度U确定，1等、2等…
级别：根据最大引用误差rmax确定，0.1级、0.2级…
f rm ax
电工仪表：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0
max x f f rmax %
Slide 108
测量不确定度
测量不确定度是一个定量的概念
误差是一个理想化的概念
真值是一个理想化的概念
准确度是一个定性的概念
Slide 109
测量不确定度表示指南（GUM）
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement
• 发布：1993年（ISO/TAG 4/WG 3）
国际标准化组织（ISO）
1995年修订
国际计量局（BIPM）
国际法制计量组织（OIML）
国际电工委员会（IEC）
国际理论物理与应用物理联合会（IUPAP）
国际理论化学与应用化学联合会（IUPAC）
国际临床化学联合会（IFCC）
1963年，Eisenhart（NIST）
1977年，CIPM要求BIPM着手解决表示方法的统一问题
1980年，INC－1（1980）CIPM要求ISO起草指南
Slide 110
测量不确定度在中国
1999年01（05）月01日
中华人民共和国国家计量技术规范
《 JJF 1059－1999 测量不确定度评定与表示》
Evaluation and Expression of Uncertainty in Measurement
代替《JJF 1027－1991 测量误差及数据处理》中的测量误差部分
《测量不确定度评定与表示指南》（中国计量出版社，2000年）
Slide 111
不确定度
Uncertainty
词穷
测量不确定度
Uncertainty of measurement
uncertainty, doubt, dubiety, doubtfulness, dubiousness, suspicion,
mistrust, distrust, misgiving, skepticism,
Slide 112
测量不确定度
合理、分散性
• 定义
表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量
结果相联系的参数。
被测量之值＝真值
测量结果＝被测量之值的最佳估计
参数＝标准偏差或其倍数＝置信区间的半宽度
uncertainty of measurement: （GUM－1995）
parameter, associated with the result of a measurement, that characterizes the
dispersion of the values that could reasonably be attributed to the measurand.
Slide 113
测量不确定度 误差
• 习惯成自然
SI
测量误差
定义
与真值之差
性质
应用
挑战不可知！
没有可操作性！
来源
测量不确定度
与测量结果相关的
分散性参数
反映不可知！
具有可操作性！
随机性、系统性（与被测量的单位相同）
分类
随机误差、系统误差
表示
含有正负号
A类标准不确定度
B类标准不确定度
没有正负号
Slide 114
合理1
最佳估计值 xˆ
随机变量：
测 量 值：xk
估 计 值：xi
评价估计值优劣的依据
1、无偏性：估计值＝之值的数学期望E()
E ( )
E ( xˆ i x ) 0
xp ( x ) d x
2、有效性：方差Var()=极小值的无偏估计值
V a r ( )
2
算术平均值
x E ( ) p ( x ) d x
2
3、一致性：对于任意给定的正数，
lim P xˆ i E ( ) 0
i
N ,
xˆ x
1
n
x
n
k 1
k
Slide 115
算术平均值
1
x
n
x
合理2
n
k
k 1
作为最佳估计值的条件：n
1、重复性条件（复现性条件）下，n次独立测量
2、中心极限定理：均值的分布
N 0,1
lim p
n
n
x x
x
x
1
2
t
e
2
2
dt
3、大数法则：样本代表总体的能力
均值：
方差：
lim p x x 0;
n
1 n
2
lim p x k x
n
n k 1
4、加权平均值：对于不同2
p lim x x 1
n
2
0
n ？
Slide 116
分散性1
分散性的参数：方差
评定依据
1、无偏性：
N ,
2、有效性：
正态分布的
标准方差
2
误差
2
1
n
n
xk x
2
k 1
3、一致性：
n 1
1 n
2
E xk x
n
n
k 1
2
ˆ
1
n
ˆ
2
n
xk x
2
2
n 1
残差
（数学）
k 1
1
x
样本方差
n
xk x s ( xk )
k 1
2
2
实验方差
lim
n
1
n 1
1
n
Slide 117
简单推导
1
n
n
n 1
1 n
2
E xk x
n
n k 1
xk x x x xk x x j x
n k 1
n k 1
n j 1
xk x
1
n
n
1
2
k 1
2
n
1
2
xk x
2
k 1
n
1
n
2 x j x
n j 1
1
n
2
• 数学期望
1 n
1 n
2
E xk x E xk x
n k 1
n k 1
n
1
E xk x
n k 1
2
1
n
n 1
n
2
2
2
2
1
E 2
n
1
n
2
n
x j x
j 1
E x x
n 2 j
j 1
2
2
Slide 118
统计量导出的分布
• 2分布
n
x k ~ N (0,1)
x
2
k
f (x)
~ (n)
2
k 1
n
xk ~ N ( , )
2
k 1
n
x k ~ N (1, 0)
xk
x
2
k 1
n
n
22
2
1
x2 e
x
2
, x 0
2
~ (n)
2
x k x ~ ( n 1)
2
n
1
2
总体方差
样本方差
Slide 119
实验方差、实验标准差
分散性2
实验方差（样本方差）
贝塞耳公式： s ( x k )
均值的方差
n
1
2
n 1
xk x
s (x )
2
2
E s ( x k ) 0
k 1
2
2
2
2
2
E s (x )
0
n
s ( xk )
n
实验标准差（样本标准差）
s ( xk )
1
n 1
n
xk x
2
E s ( xk ) 0
k 1
均值的实验标准差
s( x )
s ( xk )
n
E s(x )
0
n
Slide 120
不确定度的评定方法
评定方法1
评定方法：统计方法与非统计方法结合
A类标准不确定度：统计方法
B类标准不确定度：非统计方法
表示方法
合成标准不确定度u
扩展不确定度U
置信区间的半宽度Up
随机不确定度
系统不确定度
相对不确定度
Slide 121
评定方法2
A类标准不确定度
分散性参数＝标准差
给出结果
A类标准不确定度
实验标准差
xk
u ( xk ) s ( xk )
n 个独立测量值
x
1
n
n
xk
均值实验标准差
u ( x ) s( x )
n
k 1
x ik , x , x
s ( xk )
合并样本标准差
m组，每组ni 个独立测量值
u
Slide 122
合并样本标准差
pooled
m组测量，每组重复次数ni，测量值xik
第i组：
m个组：
s ( xk )
2
i
s ( xk )
2
p
ni
1
ni 1
x ik x i
k 1
m
1
v s
2
i i
m
v
i 1
i
A类
标准不确定度
xi
xik
s p ( xk )
1
ni
vi ni 1
自由度
i 1
测量结果
xk
2
ni
x
ik
k 1
x
m
1
m
ni
ni
x
i 1 k 1
i 1
x
x ni
s p ( xk )
ni
u(x )
s p ( xk )
m
n
i 1
i
ik
Slide 123
B类标准不确定度
分散性参数＝标准差
技术资料来源
评定方法3
技术资料：分布
B类标准不确定度
标准差的k倍
U＝ks(xk)
u(xk)＝ s(xk)＝U/k
置信概率p
Up, p
u(x)＝Up/kp
置信区间半宽度
a, p
u(x)＝a/kp
置信概率＝100％
a
u(x)＝a/k100
数值修约
间隔x
u(x)＝0.29x
重复性限
r
u(xk)＝r/2.83
准确度级别
f rm ax
x f f rm ax %
Slide 124
置信概率＝100％
梯形
k p ( )
分布类型
p(%)
kp
正态
99.73
3
0（三角）
100
6
1 (矩形、均匀)
100
3
0.71
100
2
反正弦
100
2
两点
100
1
6
1
2
u(xk)
a/kp
Slide 125
置信概率＝100％
例子：～均匀分布
B类标准不确定度： u ( x )
x
0.29 x
2 3
1、数值修约：x ＝修约间隔，0.1 0.029
2、数字化（量化）：x ＝分辨力， 0.1 0.029
3、不对称半宽度： x
a a
2
centered
xk
xk
a a
2
x k a , x k a
Slide 126
合成标准不确定度
合成标准不确定度uc(y)
y
1
n
Y f ( X 1 , X 2 ,..., X N )
n
f x1 k , x 2 k ,..., x N k
评定方法4－1
y f
x1 , x 2 , ..., x N
k 1
合成标准不确定度＝合成方差的正平方根
2
f 2
2
u
(
y
)
x u ( x j )
不相关： c
j 1
j
N
协方差
2
N 1 N
f f
f 2
2
相关：u c ( y ) x u ( x j ) 2 x x u ( x i ) u ( x j ) r ( x i , x j )
j 1
j 1 i j 1
j
j
i
N
4
自由度：
v eff
uc ( y )
N
j 1
4
j
u (x j)
vj
N
v
j 1
j
不遗漏、不重复
Slide 127
合成标准不确定度
评定方法4－2
直接测量（x1，x2，…）
u ( x ) u ( x ) u ( x)
2
c
2
A
2
B
y f x1 , x 2 , ..., x N
间接测量
2
N 1 N
f
f f
2
2
uc ( y )
u (x j ) 2
u ( xi )u ( x j ) r ( xi , x j )
j 1 x j
j 1 i j 1 x j xi
N
尽量选择不相关的x1，x2，…
Slide 128
扩展不确定度
评定方法5－1
定义：区间
确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布
的大部分可望含于此区间
两种表示方法：
一般原则（大部分）：U k u c y , k 2 ~ 3
给定概率： U p k p u c y
p 9 5% , 9 9 %
y～正态：U p t p ( v eff ) u c y
Slide 129
评定方法5－2
包含因子k
置信概率p、包含因子kp、置信区间2Up
举例：正态
N ( , )
2
f
50%
[-0.67, 0.67]
– 3 –2 –1
68.27％
95.45％
99.73％
p
N
( x) ~
1
2
e
x
2
2
2
,
x
x
+1 +2 +3
U k
k＝6
p＝99.99999980％
十亿分之二
Slide 130
包含因子k
评定方法5－3
包含因子kp与y的分布有关
k 2~ 3
p 9 5% , 9 9 %
为什么？
y k p uc ( y ) y y k p uc ( y )
N ( , )
2
p
50%
kp
0.674
Up
U50
中心极限定理
测量次数ni>10
68.27%
90%
95%
1.000
1.645
1.960
U90
60次以上
95.45%
99%
99.73%
2.000
2.576
3.000
U95
U99
当uc(y)的自由度
很大时
Slide 131
评定方法5－4
包含因子k
测量次数较少的kp～t 分布
y y
y ~ N ,
~ t ( n 1)
2
中心极限定理
uc ( y )
y y k p uc ( y )
uc ( y )
n
y
n ( n 1)
k
y
k 1
t p ( v eff ) ~ k p
t ( n 1)
1
n
2
( n 1)
2
x
1
n 1
n 1
2
n
2
,
x
2
Slide 132
t分布
n
2
3
4
5
6
n
2
x
1
n 1
n 1
( n 1)
2
t ( n 1)
v
1
2
1
1 1
2
3
2
3
4
5
1
2
2 x2
5 3
2
4
2
,
x
tp
f ( x )dx
arctan t p
2 t
3
2
p
2
t p
2
2 3 t p (3 t p ) arctan
3
3 tp
2
12
t p (6 t p )
2
4 x2
tp
tp
6 3
2
3 x
n
2
2
1 x
p
f(x)
1
2 1
3 2
2
5
200 5
2
3 5 x
3
4 tp
2
3
tp
2
2 2
2 5 t p (25 3 t p ) 3(5 t p ) arctan
5
3 5 t p
2
2
Slide 133
t分布的包含因子
评定方法5－5
tp(veff)
1
2
3
68.27
1.84
1.32
1.20
90
6.31
2.92
2.35
p×100
95
95.45
12.71
13.97
4.30
4.53
3.18
3.31
4
5
10
1.14
1.11
1.05
2.13
2.02
1.81
2.78
2.57
2.23
2.87
2.65
2.28
4.60
4.03
3.17
6.62
5.51
3.96
20
50
1.03
1.01
1.000
1.72
1.68
1.645
2.09
2.01
1.960
2.13
2.05
2.000
2.85
2.68
2.576
3.42
3.16
3.000
veff
99
63.66
9.92
5.84
99.73
235.80
19.21
9.22
Slide 134
举例说明－1
• B类标准不确定度可以忽略
2次测量结果：x1＝ 2.32 m，x2＝2.38 m
算术平均值：
x
2.32 2.38
m 2.35 m
2
实验标准差：
2.32 2.35 2.38 2.35
2
s ( xk )
A类标准不确定度：
2 1
u(x )
s ( xk )
2
m 0.042 m
0.030 m
2
根据t 分布：自由度v＝2－1＝1；t95(1)＝12.71；t99(1)＝63.66
扩展不确定度： U 95
扩展不确定度： U
t 95 (1) u ( x ) 0.38 m
2 u ( x ) 0.060 m
U 99 t 99 (1) u ( x ) 1.9 m
U 3 u ( x ) 0.090 m
Slide 135
举例说明－1
• 没有意义的置信概率！
n＝2，v＝1
t (1)
U u ( x ) 0.030 m
1
1
1 x 2
;
1
1 = 1,
2
x : 2.320 m , 2.380 m p＝50％
U 2 u ( x ) 0.060 m
x : 2 .2 9 0 m , 2 .4 1 0 m p＝70.48％
U 3 u ( x ) 0.090 m
x : 2.260 m , 2.440 m p＝79.52％
大部分
U 95 t 95 (1) u ( x ) 0.39 m
U 99 t 99 (1) u ( x ) 2.0 m
x : 1 .9 6 m , 2 .7 4 m
p＝95％
x : 0 .4 m , 4 .4 m
p＝99％
Slide 136
举例说明－2
• 如果测量次数n＝5
n＝5，v＝4
t (4)
3
8
x 2 .3 5 m
1
1 x 2
;
5
u(x )
s ( xk )
0.030 m
5
5 3
2 =1,
2
4
U u ( x ) 0.030 m
x : 2.320 m , 2.380 m p＝62.61％
U 2 u ( x ) 0.060 m
x : 2 .2 9 0 m , 2 .4 1 0 m p＝88.39％
U 3 u ( x ) 0.090 m
x : 2.260 m , 2.440 m p＝96.01％
大部分
U 95 t 95 (4) u ( x ) 0.084 m
U 99 t 99 (4) u ( x ) 0.14 m
x : 2 .2 6 6 m , 2.4 3 4 m p＝95％
x : 2 .2 1 m , 2 .4 9 m
p＝99％
Slide 137
举例说明－3
• B类标准不确定度占主导地位
3次测量结果：x1＝ 2.3 V，x2＝2.3 V ，x3＝2.3 V
算术平均值：
实验标准差： s ( x k ) 0 V
x 2 .3 V
A类标准不确定度：
uA(x ) 0 V
0.1
B类标准不确定度：
uB (x )
V 0.029 V
合成标准不确定度：
u c ( x ) 0.029 V
2 3
由于B类标准不确定度占主导地位，因此包含因子具有均匀分布
扩展不确定度： k95＝1.65；k99＝1.71
U 95 k 95 u c ( x ) 0.048 V
U 99 k 99 u c ( x ) 0.050 m
Slide 138
置信概率与相应的包含因子
• 必须根据测量结果及其合成标准不确定度
所遵循的具体分布，确定给定置信概率所
对应的包含因子。避免人为夸大或者降低
置信水准。
x x
~ t ( n 1)
t ( n 1)
s( x )
n
xi
x ~ ( n 1)
2
2
i 1
2
1
s ( xk )
2
2
s ( xk )
~ F ( n1 1, n 2 1)
n
2
( n 1)
x
1
n 1
n 1
2
2
n 1
1
( n 1)
2
n 1
2
2
x
n 1
2
v v2
v1
1
v1
2
F ( v1 , v 2 )
v
v
1 2
2
2
2
e
v
n
2
,
x
x
2
, x0
v1
v22
1
1
x2
v1 x v 2
v1 v 2
, x0
Slide 139
测量结果表示方法
一般测量
U 2 uc ( y )
第一种表示方法：
表示方法1
不给出置信概率
正态性假设
测量次数很多
X 2.350 m ; U =0.060 m ; k =2
第二种表示方法：
X (2.350 0.060) m ; k =2
k＝2表示大部分，取决于uc(y)的分布及其自由度
如果取k＝3等，需要说明根据。
Slide 140
测量结果表示方法
规定测量
U 95 k 95 u c ( y )
置信概率95％。共有四种表示方法：
表示方法2
给出置信概率
正态性假设
规定测量次数
X 2.350 m ; U 9 5 = 0.084 m ; v ef f = 4
X (2.350 0.08 4) m ; v eff = 4
X 2.350(84) m ; v eff = 4
X 2.350(0.084) m ; v e f f = 4
k95取决于uc(y)的分布及其自由度
如果取p＝99％等，需要说明根据。
Slide 141
测量结果表示方法
计量学测量
表示方法3
U uc ( y )
使用合成标准不确定度。共有四种表示方法：
X 2.350 m ; u c ( X )= 0.030 m
X 2.350(30) m
X 2.350( 0.030) m
X (2.350 0.030) m
基本常数、基本量、SI基本单位的复现
常数
Slide 142
测量结果表示方法
表示方法小结
两种形式
计量学基本常数：（不采用区间形式）
B＝ 927.400 915(23) 10-26 J T-1
其它种类测量结果：（采用区间形式）
X (2.350 0.060) m ; k =2
X (2.350 0.084) m ; v eff =4
Slide 143
曲线拟合参数的标准不确定度
常用方法
所求解的参数：a、b
可能的函数关系：
y abx
y a x ln y ln a b ln x
b
y a e
bx
ln y ln a b x
y a ( x c ) ln y ln a ln( x c )
b
b
y x x ln y ln( x x )
a
b
a
b
Slide 144
曲线拟合参数的方法
最小二乘法原理
1805年：A.-M. Legendre；1809年：J. C. F. Gauss
n个实测值：(xi, yi）
参数：a、b
yi
a bx i
n
n
i
2
目标：
i 1
n
y
i 1
i
a bx i
s yy
2
2
i
i 1
a
n
0 2 y i a bx i
s xx s yy
a y bx ;
i 1
b
b
n
x
1
n
0 2 y i a bx i x i
i 1
s xy
s xx
n
2
s xy
r ( x, y )
i 1
2
i
y
i 1
m inim um
n
yi
y
1
n
n
xi
s xx
i 1
i 1
x
2
i 1
n
y
n
xi
n
i
s xy
x
i 1
i
x yi y
Slide 145
从原始数据计算
x
1
n
x
n
i
i 1
y
1
n
y
n
i
i 1
n
s xx
x
x
2
i
i 1
y
i 1
n
s xy
i 1
i 1
n
s yy
n
y
2
i
n
i 1
1
x xi
n i 1
n
2
2
i
1
y yi
n i 1
n
2
i
1 n
n
xi y i xi y i
n i 1 i 1
2
Slide 146
曲线拟合参数
参数a、b的标准不确定度
u (a )
u (b )
n
s
x
n s xx
i 1
2
i
r为参数a、b的相关系数。
s为实验标准差（剩余标准差）：
s
s
s xx
n
r (a, b)
x
i
i 1
n
n xi
2
i 1
1
n2
n
i
2
i 1
s yy b s xy
n2
1 r 2 s yy
n2
Slide 147
曲线拟合参数
拟合结果y的标准不确定度
根据测量不确定度的传播定律：
uc ( y )
u ( a ) x u (b ) 2 x r ( a , b ) u ( a ) u (b )
2
2
2
y与x的线性相关系数：
n
r ( x, y )
s xy
s xx s yy
x
i
x yi y
i 1
n
x
i 1
x
2
i
n
y
i 1
i
y
2
Slide 148
有效数字的位数
• 给出结果的有效数字位数
• 不确定度的有效数字位数
• 计算过程中的有效数字位数
• 单位换算时的有效数字确定
Slide 149
给出结果的有效数字位数
• 给出结果
被测量的最终结果
与不确定度的相同单位的末位对齐
与不确定度的修约间隔相同
例子1
m＝100.021 445 50 g；U95＝0.36 mg；
最终给出结果：m＝100.021 45 g；U95＝0.36 mg；
例子2
m＝100.021 g；U95＝0.36 mg；
最终给出结果：m＝100.021 00 g；U95＝0.36 mg；
Slide 150
不确定度的有效数字位数
• 规定（《JJF 1059－1999》/GUM）
通常，最多为2位有效数字
一般，采用进位修约
• 推荐（我的建议－应该加在《指南》里）
第一位数字大于5，保留1位有效数字。
第一位数字小于5，保留2位有效数字。
Slide 151
不确定度的有效数字位数
• 举例
不确定度：0.01（单位：略）
0.005 13，0.014 92
不确定度：0.05（单位：略）
0.045 13，0.054 92
~
1
2
修约导致的
相对不确定度
~
1
10
级别
Slide 152
计算过程中的有效数字位数
• 数据修约：一般规则
测量结果
GB 3101－1993《有关量、单位和符号的一般原则》
提醒－1：修约间隔后面一位数字＝5
修约间隔位为偶数，则舍去；
修约间隔位为奇数，则进位。
修约间隔＝0.01
3.225 3.22
3.235 3.24
提醒－2：一次完成，不能连续修约
15.4546 mm，修约间隔＝1 mm：15 mm
1 5 .4 5 4 6 m m 1 5 .4 5 5 m m 1 5 .4 6 m m 1 5 .5 m m 1 6 m m
Slide 153
计算过程中的有效数字位数
• 数据修约：不确定度
不确定度计算值＝10.47 m
提醒－1：末位后面的数一般进位而不是舍去
提醒－2：也可以根据一般规则
11 m
10 m
《JJF 1059－1999》的例子：
28.05 kHz28 kHz
2位有效数字
Slide 154
计算过程中的有效数字位数
• 数据修约：有效自由度
4
v eff
uc ( y )
N
j 1
4
j
u (x j)
N
v
j
j 1
vj
取整数：小数点后面的数一般舍去而不是进位
veff＝14.87 veff＝14
Slide 155
计算过程中的有效数字位数
• 数据修约：计算过程中
在计算过程中，无论是测量结果本身的计算，还是不确
定度的评定，为了避免修约误差（round-off errors），
一般应该保留更多位数。
在合成标准不确定度的计算中，如果相关系数的绝对值
接近于1，则相关系数应该给出3位有效数字。
极限值：
极大值：只舍不入；极小值：只入不舍
Slide 156
单位换算时的有效数字确定
• 这种情况会越来越少，但会永远存在
• 物理学常数
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/
玻尔磁子B（2006 CODATA）： 927.400 915(23) x 10-26 J T-1
电子磁矩e /B（2006 CODATA）： -1.001 159 652 181 11(74)
真空中光速c0（2006 CODATA）：299 792 458 m s-1
0.6c0 ＝179 875 474.8 m s-1
标准大气压atm（2006 CODATA）：101 325 Pa
10 atm ＝ 1 013.25 kPa
Slide 157
单位换算时的有效数字确定
• 测量结果：与换算前相同的原则
与不确定度的相同单位的末位对齐
与不确定度的修约间隔相同
1 in＝25.4 mm
长度：(7.07 0.05) in＝ (179.6 1.3) mm
1 mmHg ＝ 133.322 4 Pa
血压： (136 0.5) mmHg＝ (18.13 0.07) kPa
《关于血压计量单位使用规定的补充通知》
（质技监局量函【1998】126号）
Slide 158
单位换算时的有效数字确定
• 不规范的近似数
一般原则：有效数字位数相同
建议采用：
换算前：B；前2位数字：B0；有效位数：b
换算后：A；前2位数字：A0；有效位数：a
B0
10 a b 1
A0
A0
B0
大数少一位；其它情况位数相同。
10 a b 1
Slide 159
测量次数
应该测量多少次？
依据：测量的目的及要求
方法：标准、规范、规程的规定方法
无规定时的方法
一次测量结果？
Slide 160
测量次数
依据：测量的目的及要求
1、不包括计量学意义的测量活动
2、以确定量值为目的（独立测量结果）
根据相应的标准、规范、规程的规定进行测量
无规定时：进行重复性测量
3、以确定量值的变化规律为目的（相关测量结果）
最小二乘法中的不确定度
Slide 161
重复性测量
重复性
在相同的测量条件下，对同一被测量进行连续多次
测量所得结果之间的一致性。
相同的测量条件：
相同的测量程序；
相同的观测者；
在相同的条件下使用相同的测量仪器；
相同的地点；
在短时间内重复测量。
Slide 162
重复性测量
重复性标准差sr：重复性测量结果的分散性
即实验标准差： s r2 ( x k )
n
1
xk x
n 1
2
k 1
重复性限r：两次测量结果之间的极差限
合并样本标准差：
s ( xk )
2
p
m
1
vi si
2
m
vi
xk
i 1
i 1
重复性限r：
r 2.83 s r ( x k )
r 2.83 s p ( x k )
Slide 163
测量次数的确定
已知重复性限r
现行有效的国家（推荐）标准：
《GB/T 6379.4－2006 测量方法与结果的准确度（准确度与
精密度）第4部分：确定标准测量方法正确度的基本方法》
被替代的国家（推荐）标准：
《GB/T 11792－1989 测试方法的精密度 在重复性或再现性条
件下所得测试结果可接受性的检查和最终测试结果的确定》
Slide 164
测量次数的确定
已知重复性限r
首先进行两次测量，得到测量结果：x1和x2
1、如果
x1 x 2 r
则，2个结果都可以接受
最终测量结果为：
2、如果
x1 x 2 r
x
x1 x 2
2
则，必须再进行2次测量： x3和x4
将4个测量结果从小到大进行排序：
x (1) x ( 2 ) x ( 3 ) x ( 4 )
Slide 165
测量次数的确定
已知重复性限r
x (1) x ( 2 ) x ( 3 ) x ( 4 )
如果
x ( 4 ) x (1)
3.6
r
2.83
最终测量结果为：
如果
x ( 4 ) x (1)
3.6
r
2.83
最终测量结果为：
则，4个结果都可以接受
x
x1 x 2 x 3 x 4
4
则，取4个结果的中位数
x
x( 2 ) x(3)
2
Slide 166
测量次数的确定
给定置信概率和取值区间d0的要求
区间宽度： d 2U p 2 t p ( n 1)
s ( xk )
n
先进行m次测量，根据测量结果计算：
d n m 2 t p ( m 1)
比较dn＝m与d0，确定测量次数。
s ( xk )
m
m
2 t p ( m 1) s ( x k )
dnm
Slide 167
只进行一次测量
可信性？
测量结果本身不具有统计学意义的可信性！
x
1、无偏性：
1
1
1
x i x1
i 1
s ( xk )
2
2、有效性：
？
3、一致性：
1
11
1
xi x
i 1
( xk )
2
2
1
1
1
xi x
i 1
2
0
?
0
0
1
0?
Slide 168
只进行一次测量
准确性？
测量结果本身不具有统计学意义的可信性！
1、准确性：
x1 x ?
2、分散性（标准不确定度）：
2
u (x )
2
s ( xk )
1
0
0
?
Slide 169
只进行一次测量
可操作性？
测量系统在受控状态下：
仪器受控状态核查：
2
i
s ( xk )
2
i
s ( xk )
2
p
2
p
s ( xk ) : s ( xk )
x ik x i
k 1
m
vi si
2
m
vi
2
xk
i 1
i 1
1、最终测量结果＝单次测量结果
2、分散性＝合并样本标准差
ni 1
1
ni
1
x x1
u ( x1 ) s p ( x k )
2
2
假设：此次测量结果与之前的其它测量结果具有相同的分散性