Transcript Общее решение
Slide 1
Классификация колебаний
Slide 2
Классификация колебаний
КОЛЕБАНИЯ
нет
СВОБОДНЫЕ
Наличие возмущающей силы
есть
ВЫНУЖДЕННЫЕ
Slide 3
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
нет
Наличие силы сопротивления
ГАРМОНИЧЕСКИЕ
есть
ЗАТУХАЮЩИЕ
Slide 4
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
нет
Наличие силы сопротивления
В СРЕДЕ БЕЗ
СОПРОТИВЛЕНИЯ
есть
В СРЕДЕ С
СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Slide 5
Свободные гармонические колебания точки
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
здесь
k – циклическая или круговая частота колебаний.
Общее решение имеет вид
где
Slide 6
Другой вид записи общего решения
здесь
А – амплитуда колебаний. Определяет максимальное отклонение
точки от положения равновесия.
α – начальная фаза колебаний.
Угол α изменяется в пределах от 0 до 2.
Slide 7
Период колебаний
График свободных колебаний.
Slide 8
Затухающие колебания точки
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
здесь
Характеристическое уравнение имеет вид
r – неизвестное характеристического уравнения.
Slide 9
Общее решение имеет вид (при n < k ):
где
Амплитудный вид записи общего решения
Наличие множителя e-nt указывает на то, что амплитуда
колебаний с течением времени убывает.
n – коэффициент затухания.
Slide 10
График затухающих колебаний.
Slide 11
Движение материальной точки теряет колебательный характер
(становится апериодическим) в случае большого сопротивления.
В этом случае характеристическое уравнение имеет равные
действительные корни и общее решение имеет вид
В этом случае характеристическое уравнение имеет два
действительных корня и общее решение имеет вид
Slide 12
График функции
Slide 13
График функции
Slide 14
Вынужденные колебания точки в среде без сопротивления
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
здесь
Общее решение этого уравнения имеет вид
– общее решение однородного
уравнения второго порядка;
дифференциального
– частное решение неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Slide 15
Однородное уравнение является дифференциальным уравнением
свободных гармонических колебаний.
Его решение имеет вид
или в амплитудной форме
здесь
С1, С2 – произвольные постоянные интегрирования.
А1 – амплитуда собственных колебаний.
α – начальная фаза собственных колебаний.
k – частота собственных колебаний.
Slide 16
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения
зависит от соотношения р и k.
Если р ≠ k, то частное решение ищется в виде
А2 – амплитуда вынужденных колебаний;
p – частота вынужденных колебаний.
Slide 17
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения
(1) имеет вид
(2)
или
(2')
собственные колебания
вынужденные колебания
Движение точки складывается из двух колебательных движений:
собственных и вынужденных колебаний материальной точки.
Slide 18
График вынужденных колебаний.
Исходные данные:
Начальные условия:
Slide 19
Рассмотрим случай когда р = k, то есть частота возмущающей
силы совпадает с частотой собственных колебаний точки.
В этом случае частное решение ищется в виде
где
Это явление называется резонанс.
Резонанс
характеризуется
вынужденных колебаний.
возрастанием
амплитуды
Slide 20
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
(*)
или
(**)
собственные колебания
вынужденные колебания
Движение точки складывается из двух колебательных движений:
собственных и вынужденных колебаний материальной точки.
Произвольные постоянные С1 и С2 или А1 и 𝜑 определяются из
начальных условий, подставляя начальные данные в уравнения
(*) или (**).
Slide 21
График движения точки.
Исходные данные:
Начальные условия:
Slide 22
Вынужденные колебания точки в среде с сопротивления
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
здесь
Общее решение этого уравнения имеет вид
– общее решение однородного
уравнения второго порядка;
дифференциального
– частное решение неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Slide 23
Решение x* определяет собственные колебания материальной
точки и имеет вид
Частное решение x** определяет вынужденные колебания точки
и ищется в виде
здесь
Slide 24
Общее решение этого уравнения имеет вид
Классификация колебаний
Slide 2
Классификация колебаний
КОЛЕБАНИЯ
нет
СВОБОДНЫЕ
Наличие возмущающей силы
есть
ВЫНУЖДЕННЫЕ
Slide 3
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
нет
Наличие силы сопротивления
ГАРМОНИЧЕСКИЕ
есть
ЗАТУХАЮЩИЕ
Slide 4
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
нет
Наличие силы сопротивления
В СРЕДЕ БЕЗ
СОПРОТИВЛЕНИЯ
есть
В СРЕДЕ С
СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Slide 5
Свободные гармонические колебания точки
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
здесь
k – циклическая или круговая частота колебаний.
Общее решение имеет вид
где
Slide 6
Другой вид записи общего решения
здесь
А – амплитуда колебаний. Определяет максимальное отклонение
точки от положения равновесия.
α – начальная фаза колебаний.
Угол α изменяется в пределах от 0 до 2.
Slide 7
Период колебаний
График свободных колебаний.
Slide 8
Затухающие колебания точки
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
здесь
Характеристическое уравнение имеет вид
r – неизвестное характеристического уравнения.
Slide 9
Общее решение имеет вид (при n < k ):
где
Амплитудный вид записи общего решения
Наличие множителя e-nt указывает на то, что амплитуда
колебаний с течением времени убывает.
n – коэффициент затухания.
Slide 10
График затухающих колебаний.
Slide 11
Движение материальной точки теряет колебательный характер
(становится апериодическим) в случае большого сопротивления.
В этом случае характеристическое уравнение имеет равные
действительные корни и общее решение имеет вид
В этом случае характеристическое уравнение имеет два
действительных корня и общее решение имеет вид
Slide 12
График функции
Slide 13
График функции
Slide 14
Вынужденные колебания точки в среде без сопротивления
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
здесь
Общее решение этого уравнения имеет вид
– общее решение однородного
уравнения второго порядка;
дифференциального
– частное решение неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Slide 15
Однородное уравнение является дифференциальным уравнением
свободных гармонических колебаний.
Его решение имеет вид
или в амплитудной форме
здесь
С1, С2 – произвольные постоянные интегрирования.
А1 – амплитуда собственных колебаний.
α – начальная фаза собственных колебаний.
k – частота собственных колебаний.
Slide 16
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения
зависит от соотношения р и k.
Если р ≠ k, то частное решение ищется в виде
А2 – амплитуда вынужденных колебаний;
p – частота вынужденных колебаний.
Slide 17
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения
(1) имеет вид
(2)
или
(2')
собственные колебания
вынужденные колебания
Движение точки складывается из двух колебательных движений:
собственных и вынужденных колебаний материальной точки.
Slide 18
График вынужденных колебаний.
Исходные данные:
Начальные условия:
Slide 19
Рассмотрим случай когда р = k, то есть частота возмущающей
силы совпадает с частотой собственных колебаний точки.
В этом случае частное решение ищется в виде
где
Это явление называется резонанс.
Резонанс
характеризуется
вынужденных колебаний.
возрастанием
амплитуды
Slide 20
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
(*)
или
(**)
собственные колебания
вынужденные колебания
Движение точки складывается из двух колебательных движений:
собственных и вынужденных колебаний материальной точки.
Произвольные постоянные С1 и С2 или А1 и 𝜑 определяются из
начальных условий, подставляя начальные данные в уравнения
(*) или (**).
Slide 21
График движения точки.
Исходные данные:
Начальные условия:
Slide 22
Вынужденные колебания точки в среде с сопротивления
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
здесь
Общее решение этого уравнения имеет вид
– общее решение однородного
уравнения второго порядка;
дифференциального
– частное решение неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Slide 23
Решение x* определяет собственные колебания материальной
точки и имеет вид
Частное решение x** определяет вынужденные колебания точки
и ищется в виде
здесь
Slide 24
Общее решение этого уравнения имеет вид