Transcript 資源制約スケジューリング問題 ―メタヒューリス
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資源制約スケジューリング問題
―メタヒューリスティクスによるアプ
ローチ
野々部宏司
法政大学デザイン工学部
Slide 2
背景
組合せ（最適化）問題： “離散的”な集合を扱う問題
計算の複雑さの理論： NP困難性
現実には，多くの場合において厳密解を求めることは困難
実用上の要請
解きたい問題（問題例）に対して，一定時間内に実務上許容可能な解が実際
に得られること
比較的良質の解で満足 近似解法，発見的手法
高性能アルゴリズム
問題構造を巧く利用
適用範囲限定
汎用近似アルゴリズム
性能と汎用性のトレードオフ
Slide 3
本研究の目指すところ
実用性の高いスケジューリング・エンジンの開発
適用可能性（汎用性）： 拡張RCPSPモデル
高性能： メタヒューリスティクス
RCPSPに
定式化
スケジュール
汎用モデル
RCPSP
RCPSP
ソルバ
スケジューリング最適化エンジン
理 論 ―――― 応 用 ―――― 実 用
Theory
Application
Practice
Slide 4
モデル
Slide 5
RCPSP
(Resource Constrained Project Scheduling Problem)
資源 r ∈ R
機械，工具，マンパワー，…
各時間 Kr まで利用可能
作業（仕事，工程） i ∈ I
処理時間： di （中断不可）
必要資源量： ki,r
開始時刻（決定変数, 非負整数）： si
r ∈ Ri
先行制約 i → j
for
si + di sj
評価基準
最大完了時刻，フロー時間，最大納期遅れ，…
Slide 6
ガントチャート
ki,r
3
di
4
2
5
1
1
2
3
i
4
5
6
7
8
9 10 11 12
t
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ガントチャート
資源 r
ki,r
6
i
5
3
Kr = 4
di
4
3
2
1
3
2
4
5
4
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
t
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拡張RCPSP
資源供給量が時間の経過とともに変化
資源供給量： Kr Kr,t (t = 1, 2, …)
作業による資源消費量が処理の経過とともに変化
資源消費量： ki,r ki,r,t (t = 1, 2, …, di)
時間制約（一般化先行制約）
Multiple 処理モード
作業の中断，並列処理
Slide 9
時間制約
sj – si dij
dij 0 の場合
最小遅延時間，最早開始時刻
i
dij 0
j
si
sj
t
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時間制約
sj – si dij
dij 0 の場合
最大遅延時間，納期
i
dji < 0
j
si
sj
t
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時間制約
sj – si dij
時間枠の設定なども可能
i
dji < 0
dij 0
j
sj
j の i に対する時間枠
t
Slide 12
時間制約スケジューリング
Activity-on-node project network
作業間の先行関係（時間制約）を表現
1
1
2
–3
4
0
0
1 6
0
0
0
–1
3
2
5
4
–4
0
8
2
3
–5
i
2
j
si + dij sj
6
4
dij
10
dist(0, i): 最早開始時刻
8
i から j への最長路を dist(i, j) とすれば，si + dist(i, j) sj
実行可能スケジュールが存在することは，長さ正の閉路が存在しないこ
とに対応
（全点間）最長路問題： O(n (m + n log n)) 時間
Slide 13
Multiple 処理モード
作業の処理方法（＝処理時間，必要資源量）
処理モードとして，複数の選択肢を設定可能
例
性能の異なる機械
作業量（人×日）一定
特急処理
MRCPSP（Multi-mode RCPSP）
各作業をいつ，どの処理モードで行うかを決定
Slide 14
Multiple 処理モード
作業 i の処理モード集合 Mi
0-1 変数 xi,m を用いて作業 i の処理モードを表現
xi,m =1 ⇔ 作業 i を処理モード m で処理
m∈Mi
xi,m = 1, for all i
処理モード割当て： x = (xi,m | i ∈ I, m ∈ Mi)
非再生資源制約 s ∈ Rnon
スケジュール全体での利用可能量に制限
例： 原材料，予算，...
hm,s xi,m Hs
i
m
処理モードのみに関する制約
Slide 15
作業の中断
作業は中断後, 再処理可能
作業 i （処理時間 d） を d個の小作業 iτ (1 τ d) に分解
d
作業 i
1 2 …
作業 i
t …
it
d
Slide 16
作業の中断
作業は中断後, 再処理可能
作業 i （処理時間 d） を d個の小作業 iτ (1 τ d) に分解
小作業間で中断可能
iτ, iτ+1 間の最大中断時間 b(τ) を設定可能
1 2 …
作業 i
中断
t
it
t+1
it+1
b(t)
dm
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作業の中断
作業は中断後, 再処理可能
作業 i （処理時間 d） を d個の小作業 iτ (1 τ d) に分解
小作業間で中断可能
iτ, iτ+1 間の最大中断時間 b(τ) を設定可能
1 2 …
作業 i
t
it
t+1
it+1
各作業の開始時刻ベクトル si = (sit | 1 t di) を決定
中断中も資源を消費可能
dm
Slide 18
例：勤務時間を考慮した生産スケジュー
リング
ジョブショップ型のスケジューリング問題
各製品は複数の工程を経て生産
工程は，手動処理（前半） + 自動処理（後半）
設備資源は工程全体を通して，作業員資源 は手動処理においてのみ必要
休憩時間，シフト間においては，
手動処理を中断，自動処理は続行
割り込み不可
手動処理
8
12
自動処理
18
24
6
時
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例：勤務時間を考慮した生産スケジュー
リング
ジョブショップ型のスケジューリング問題
各製品は複数の工程を経て生産
工程は，手動処理（前半） + 自動処理（後半）
設備資源は工程全体を通して，作業員資源 は手動処理においてのみ必要
休憩時間，シフト間においては，
手動処理を中断，自動処理は続行
割り込み不可
手動
8
手動
12
手動 自動処理
18
24
割り込み禁止（中断中も設備資源を消費）
6
時
Slide 20
作業の並列処理
小作業を並列処理可能
資源集合 R を，消費のされ方によって Rsum, Rmax に 分割
作業 i
1 2 …t …
i1 i2
it
d
p(t): 最大並列数
it
Slide 21
例： 配員計画を含む生産スケジューリン
グ
大きな構造物が対象
作業： 溶接，研磨，塗装など
資源： 構造物の配置場所，工員
総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし
溶接
研磨
塗装
t
Slide 22
例： 配員計画を含む生産スケジューリン
グ
大きな構造物が対象
作業： 溶接，研磨，塗装など
資源： 構造物の配置場所，工員
総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし
溶接
研磨
塗装
t
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例： 配員計画を含む生産スケジューリン
グ
大きな構造物が対象
作業： 溶接，研磨，塗装など
資源： 構造物の配置場所，工員
総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし
溶接
研磨
作業の並列処理
塗装
t
「工員」資源 ∈ Rsum： 各小作業が消費する資源量の合計が必要
「配置場所」資源 ∈ Rmax： 小作業が消費する資源量の中で最大のものが
必要
Slide 24
アルゴリズム
Slide 25
局所探索法
1. 適当な初期解 x を何らかの方法で生成
2. x に対して，局所的な変更を加えて得られる解の集合（近傍） N(x) の中
に x よりもよい解 x が存在すれば，x := x として
（x から x に移動して）2. に戻る
存在しなければ終了
N(x)
x
x
Slide 26
タブー探索法
局所探索法の拡張
改悪解への移動を許可
近傍内の最良解へ（改悪であっても）移動
過去の探索履歴を基に，近傍を制限
Slide 27
アルゴリズムの概略
基本的枠組みはタブー探索
解 (x, ℓ)
実行可能処理モード割当て x = (xi,m | i∈I, m∈Mi)
非再生可能資源制約をすべて満足
作業リスト （作業の順列） ℓ = (ℓ1, ℓ2,…, ℓ|I|):
リストスケジューリングによって，解 (x, ℓ) からスケジュール (x, s) を
生成
s = (si | i ∈ I )
si = (siτ | 1 τ di,m) : 作業 i の開始時刻ベクトル
リストスケジューリングにより得られるスケジュールで解を評価
Slide 28
リストスケジューリング
入力： 解 (x, ℓ)
出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure”
各作業の開始時刻ベクトル si（各小作業の開始時刻）をリストの順に決
定
si ： すべての制約を満たす最早開始時刻（最小ベクトル）
フォワード・スケジューリング
実行可能な開始時刻ベクトルが存在しない場合は，バックトラック
Slide 29
リストスケジューリング： バッ
クトラック
入力： 解 (x, ℓ)
出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure”
i
4
j
i
...
j
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
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リストスケジューリング： バッ
クトラック
入力： 解 (x, ℓ)
出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure”
i
-4
j
i
...
j
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
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リストスケジューリング： バッ
クトラック
入力： 解 (x, ℓ)
出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure”
バックトラック回数に制限
i
-4
j
i
... j
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Slide 32
解空間の縮小
Activity-on-node project network の利用
以下の条件を満たす解 (x, ℓ) のみ探索
1.
dist(i, j) < , dist( j, i) = リスト ℓ において，i は j に先行
2.
同一強連結成分内の作業はリスト ℓ 中連続して出現
1
0
0
1
0
–1
–3
2
3
5
–5
4
6
4
–4
2
8
2
6
4
2
Slide 33
初期解
初期解 (x0, ℓ0)
初期処理モード割当て x0
実行可能性判定（すべての非再生可能資源制約を満たすことができるかどう
かの判定）がNP困難
制約充足問題に対するメタヒューリスティクス（TabuCSP）
初期リスト ℓ0
ランダムもしくは発見的手法
Slide 34
近傍
近傍 N(x, ℓ)
解 (x, ℓ) に対し, 以下のいずれかひとつの操作を適用することで得られる解
の集合
1. ChangeMode(i, m)
2. ShiftForward(i, j)
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近傍
近傍 N(x, ℓ)
解 (x, ℓ) に対し, 以下のいずれかひとつの操作を適用することで得られる解
の集合
1. ChangeMode(i, m)
作業 i の処理モードを m∈ Mi に変更
その結果，x が非再生可能資源制約に違反するようであれば， x を初期解と
して TabuCSP を実行
TabuCSP は，ある定められた反復回数で打ち切り
2. ShiftForward(i, j)
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近傍
近傍 N(x, ℓ)
解 (x, ℓ) に対し, 以下のいずれかひとつの操作を適用することで得られる解の集合
1. ChangeMode(i, m)
2. ShiftForward(i, j)
作業 i が作業 j に先行し，かつ以下の 2条件を満たすようリスト ℓ を修正
1. dist(i, j) < , dist( j, i) = リスト ℓ において，i は j に先行
2. 同一強連結成分内の作業はリスト ℓ 中連続して出現
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近傍
近傍 N(x, ℓ)
解 (x, ℓ) に対し, 以下のいずれかひとつの操作を適用することで得られる解の集合
1. ChangeMode(i, m)
2. ShiftForward(i, j)
クリティカルパスによる近傍の縮小
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計算実験
Slide 39
ベンチマーク問題： MRCPSP
Multi-mode RCPSP (資源制約,
PSPLIB [Kolisch and Sprecher, 1997]
j20: 554 個の問題例
|R| = |Rnon| = 2, | I | = 20, |Mi| = 3
アルゴリズム
先行制約)
計算時
間
#実行可能
最良値からの
平均誤差
Tabu search1
30 秒
95/270
284.07%
Priority-rule method2
30 秒
270/270
180.05%
Our tabu search3
10 秒
269/270
95.88%
1. [De Reyck and Herroelen, 1999] 333MHz PC 上で実行
2. [Heilmann, 2001] 333MHz PC上で実行
3. 1GHz PC上で実行
Slide 40
ベンチマーク問題：
MRCPSP/max
Multi-mode RCPSP with minimum and maximum time lags
ProGen/max [Schwindt, 1998]
270 個の問題例: |R| = |Rnon| = 3, | I | = 100, |Mi| = 3, 4 or 5
アルゴリズム
計算時
間
#実行可能
最良値からの
平均誤差
Tabu search1
30 秒
95/270
284.07%
Priority-rule method2
30 秒
270/270
180.05%
Our tabu search3
10 秒
269/270
95.88%
1. [De Reyck and Herroelen, 1999] 333MHz PC 上で実行
2. [Heilmann, 2001] 333MHz PC上で実行
3. 1GHz PC上で実行
資源制約スケジューリング問題
―メタヒューリスティクスによるアプ
ローチ
野々部宏司
法政大学デザイン工学部
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背景
組合せ（最適化）問題： “離散的”な集合を扱う問題
計算の複雑さの理論： NP困難性
現実には，多くの場合において厳密解を求めることは困難
実用上の要請
解きたい問題（問題例）に対して，一定時間内に実務上許容可能な解が実際
に得られること
比較的良質の解で満足 近似解法，発見的手法
高性能アルゴリズム
問題構造を巧く利用
適用範囲限定
汎用近似アルゴリズム
性能と汎用性のトレードオフ
Slide 3
本研究の目指すところ
実用性の高いスケジューリング・エンジンの開発
適用可能性（汎用性）： 拡張RCPSPモデル
高性能： メタヒューリスティクス
RCPSPに
定式化
スケジュール
汎用モデル
RCPSP
RCPSP
ソルバ
スケジューリング最適化エンジン
理 論 ―――― 応 用 ―――― 実 用
Theory
Application
Practice
Slide 4
モデル
Slide 5
RCPSP
(Resource Constrained Project Scheduling Problem)
資源 r ∈ R
機械，工具，マンパワー，…
各時間 Kr まで利用可能
作業（仕事，工程） i ∈ I
処理時間： di （中断不可）
必要資源量： ki,r
開始時刻（決定変数, 非負整数）： si
r ∈ Ri
先行制約 i → j
for
si + di sj
評価基準
最大完了時刻，フロー時間，最大納期遅れ，…
Slide 6
ガントチャート
ki,r
3
di
4
2
5
1
1
2
3
i
4
5
6
7
8
9 10 11 12
t
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ガントチャート
資源 r
ki,r
6
i
5
3
Kr = 4
di
4
3
2
1
3
2
4
5
4
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
t
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拡張RCPSP
資源供給量が時間の経過とともに変化
資源供給量： Kr Kr,t (t = 1, 2, …)
作業による資源消費量が処理の経過とともに変化
資源消費量： ki,r ki,r,t (t = 1, 2, …, di)
時間制約（一般化先行制約）
Multiple 処理モード
作業の中断，並列処理
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時間制約
sj – si dij
dij 0 の場合
最小遅延時間，最早開始時刻
i
dij 0
j
si
sj
t
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時間制約
sj – si dij
dij 0 の場合
最大遅延時間，納期
i
dji < 0
j
si
sj
t
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時間制約
sj – si dij
時間枠の設定なども可能
i
dji < 0
dij 0
j
sj
j の i に対する時間枠
t
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時間制約スケジューリング
Activity-on-node project network
作業間の先行関係（時間制約）を表現
1
1
2
–3
4
0
0
1 6
0
0
0
–1
3
2
5
4
–4
0
8
2
3
–5
i
2
j
si + dij sj
6
4
dij
10
dist(0, i): 最早開始時刻
8
i から j への最長路を dist(i, j) とすれば，si + dist(i, j) sj
実行可能スケジュールが存在することは，長さ正の閉路が存在しないこ
とに対応
（全点間）最長路問題： O(n (m + n log n)) 時間
Slide 13
Multiple 処理モード
作業の処理方法（＝処理時間，必要資源量）
処理モードとして，複数の選択肢を設定可能
例
性能の異なる機械
作業量（人×日）一定
特急処理
MRCPSP（Multi-mode RCPSP）
各作業をいつ，どの処理モードで行うかを決定
Slide 14
Multiple 処理モード
作業 i の処理モード集合 Mi
0-1 変数 xi,m を用いて作業 i の処理モードを表現
xi,m =1 ⇔ 作業 i を処理モード m で処理
m∈Mi
xi,m = 1, for all i
処理モード割当て： x = (xi,m | i ∈ I, m ∈ Mi)
非再生資源制約 s ∈ Rnon
スケジュール全体での利用可能量に制限
例： 原材料，予算，...
hm,s xi,m Hs
i
m
処理モードのみに関する制約
Slide 15
作業の中断
作業は中断後, 再処理可能
作業 i （処理時間 d） を d個の小作業 iτ (1 τ d) に分解
d
作業 i
1 2 …
作業 i
t …
it
d
Slide 16
作業の中断
作業は中断後, 再処理可能
作業 i （処理時間 d） を d個の小作業 iτ (1 τ d) に分解
小作業間で中断可能
iτ, iτ+1 間の最大中断時間 b(τ) を設定可能
1 2 …
作業 i
中断
t
it
t+1
it+1
b(t)
dm
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作業の中断
作業は中断後, 再処理可能
作業 i （処理時間 d） を d個の小作業 iτ (1 τ d) に分解
小作業間で中断可能
iτ, iτ+1 間の最大中断時間 b(τ) を設定可能
1 2 …
作業 i
t
it
t+1
it+1
各作業の開始時刻ベクトル si = (sit | 1 t di) を決定
中断中も資源を消費可能
dm
Slide 18
例：勤務時間を考慮した生産スケジュー
リング
ジョブショップ型のスケジューリング問題
各製品は複数の工程を経て生産
工程は，手動処理（前半） + 自動処理（後半）
設備資源は工程全体を通して，作業員資源 は手動処理においてのみ必要
休憩時間，シフト間においては，
手動処理を中断，自動処理は続行
割り込み不可
手動処理
8
12
自動処理
18
24
6
時
Slide 19
例：勤務時間を考慮した生産スケジュー
リング
ジョブショップ型のスケジューリング問題
各製品は複数の工程を経て生産
工程は，手動処理（前半） + 自動処理（後半）
設備資源は工程全体を通して，作業員資源 は手動処理においてのみ必要
休憩時間，シフト間においては，
手動処理を中断，自動処理は続行
割り込み不可
手動
8
手動
12
手動 自動処理
18
24
割り込み禁止（中断中も設備資源を消費）
6
時
Slide 20
作業の並列処理
小作業を並列処理可能
資源集合 R を，消費のされ方によって Rsum, Rmax に 分割
作業 i
1 2 …t …
i1 i2
it
d
p(t): 最大並列数
it
Slide 21
例： 配員計画を含む生産スケジューリン
グ
大きな構造物が対象
作業： 溶接，研磨，塗装など
資源： 構造物の配置場所，工員
総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし
溶接
研磨
塗装
t
Slide 22
例： 配員計画を含む生産スケジューリン
グ
大きな構造物が対象
作業： 溶接，研磨，塗装など
資源： 構造物の配置場所，工員
総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし
溶接
研磨
塗装
t
Slide 23
例： 配員計画を含む生産スケジューリン
グ
大きな構造物が対象
作業： 溶接，研磨，塗装など
資源： 構造物の配置場所，工員
総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし
溶接
研磨
作業の並列処理
塗装
t
「工員」資源 ∈ Rsum： 各小作業が消費する資源量の合計が必要
「配置場所」資源 ∈ Rmax： 小作業が消費する資源量の中で最大のものが
必要
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アルゴリズム
Slide 25
局所探索法
1. 適当な初期解 x を何らかの方法で生成
2. x に対して，局所的な変更を加えて得られる解の集合（近傍） N(x) の中
に x よりもよい解 x が存在すれば，x := x として
（x から x に移動して）2. に戻る
存在しなければ終了
N(x)
x
x
Slide 26
タブー探索法
局所探索法の拡張
改悪解への移動を許可
近傍内の最良解へ（改悪であっても）移動
過去の探索履歴を基に，近傍を制限
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アルゴリズムの概略
基本的枠組みはタブー探索
解 (x, ℓ)
実行可能処理モード割当て x = (xi,m | i∈I, m∈Mi)
非再生可能資源制約をすべて満足
作業リスト （作業の順列） ℓ = (ℓ1, ℓ2,…, ℓ|I|):
リストスケジューリングによって，解 (x, ℓ) からスケジュール (x, s) を
生成
s = (si | i ∈ I )
si = (siτ | 1 τ di,m) : 作業 i の開始時刻ベクトル
リストスケジューリングにより得られるスケジュールで解を評価
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リストスケジューリング
入力： 解 (x, ℓ)
出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure”
各作業の開始時刻ベクトル si（各小作業の開始時刻）をリストの順に決
定
si ： すべての制約を満たす最早開始時刻（最小ベクトル）
フォワード・スケジューリング
実行可能な開始時刻ベクトルが存在しない場合は，バックトラック
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リストスケジューリング： バッ
クトラック
入力： 解 (x, ℓ)
出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure”
i
4
j
i
...
j
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
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リストスケジューリング： バッ
クトラック
入力： 解 (x, ℓ)
出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure”
i
-4
j
i
...
j
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
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リストスケジューリング： バッ
クトラック
入力： 解 (x, ℓ)
出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure”
バックトラック回数に制限
i
-4
j
i
... j
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
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解空間の縮小
Activity-on-node project network の利用
以下の条件を満たす解 (x, ℓ) のみ探索
1.
dist(i, j) < , dist( j, i) = リスト ℓ において，i は j に先行
2.
同一強連結成分内の作業はリスト ℓ 中連続して出現
1
0
0
1
0
–1
–3
2
3
5
–5
4
6
4
–4
2
8
2
6
4
2
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初期解
初期解 (x0, ℓ0)
初期処理モード割当て x0
実行可能性判定（すべての非再生可能資源制約を満たすことができるかどう
かの判定）がNP困難
制約充足問題に対するメタヒューリスティクス（TabuCSP）
初期リスト ℓ0
ランダムもしくは発見的手法
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近傍
近傍 N(x, ℓ)
解 (x, ℓ) に対し, 以下のいずれかひとつの操作を適用することで得られる解
の集合
1. ChangeMode(i, m)
2. ShiftForward(i, j)
Slide 35
近傍
近傍 N(x, ℓ)
解 (x, ℓ) に対し, 以下のいずれかひとつの操作を適用することで得られる解
の集合
1. ChangeMode(i, m)
作業 i の処理モードを m∈ Mi に変更
その結果，x が非再生可能資源制約に違反するようであれば， x を初期解と
して TabuCSP を実行
TabuCSP は，ある定められた反復回数で打ち切り
2. ShiftForward(i, j)
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近傍
近傍 N(x, ℓ)
解 (x, ℓ) に対し, 以下のいずれかひとつの操作を適用することで得られる解の集合
1. ChangeMode(i, m)
2. ShiftForward(i, j)
作業 i が作業 j に先行し，かつ以下の 2条件を満たすようリスト ℓ を修正
1. dist(i, j) < , dist( j, i) = リスト ℓ において，i は j に先行
2. 同一強連結成分内の作業はリスト ℓ 中連続して出現
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近傍
近傍 N(x, ℓ)
解 (x, ℓ) に対し, 以下のいずれかひとつの操作を適用することで得られる解の集合
1. ChangeMode(i, m)
2. ShiftForward(i, j)
クリティカルパスによる近傍の縮小
Slide 38
計算実験
Slide 39
ベンチマーク問題： MRCPSP
Multi-mode RCPSP (資源制約,
PSPLIB [Kolisch and Sprecher, 1997]
j20: 554 個の問題例
|R| = |Rnon| = 2, | I | = 20, |Mi| = 3
アルゴリズム
先行制約)
計算時
間
#実行可能
最良値からの
平均誤差
Tabu search1
30 秒
95/270
284.07%
Priority-rule method2
30 秒
270/270
180.05%
Our tabu search3
10 秒
269/270
95.88%
1. [De Reyck and Herroelen, 1999] 333MHz PC 上で実行
2. [Heilmann, 2001] 333MHz PC上で実行
3. 1GHz PC上で実行
Slide 40
ベンチマーク問題：
MRCPSP/max
Multi-mode RCPSP with minimum and maximum time lags
ProGen/max [Schwindt, 1998]
270 個の問題例: |R| = |Rnon| = 3, | I | = 100, |Mi| = 3, 4 or 5
アルゴリズム
計算時
間
#実行可能
最良値からの
平均誤差
Tabu search1
30 秒
95/270
284.07%
Priority-rule method2
30 秒
270/270
180.05%
Our tabu search3
10 秒
269/270
95.88%
1. [De Reyck and Herroelen, 1999] 333MHz PC 上で実行
2. [Heilmann, 2001] 333MHz PC上で実行
3. 1GHz PC上で実行