Halmazműveletek

Komplementer

• •

A komplementer halmaz fogalma

Definíció: Egy H (nem üres) halmaznak legyen egy részhalmaza az A halmaz. Az A halmaz H halmazra vonatkozó komplementerének (komplementerhalmazának) nevezzük a H \ A halmazt. Ennek jele: A¯ (olvasd: „A felülvonás” vagy „A vonás”) vagy AH (olvasd: „az A halmaz H halmazra vonatkozó komplementere”).

• • • • • • • Komplementer halmaz tulajdonságai A definícióból következő tulajdonságok: 1.A

∪ B¯=A¯∩B¯;2.A∩B¯=A¯ ∪ B¯;3.A¯¯=A;4.H¯= ∅ ;5.

∅ ¯=H.

Komplmenter halmaz bevezetése A H halmaz elemei közül mi azoknak a számoknak a halmaza, amelyek 3-mal nem oszthatók?

A fejezet bevezető feladatsorának minden kérdése a H halmaz bizonyos elemeire vonatkozott. A H halmazt alaphalmaznak tekintjük. Az előző kérdéseknél a H halmazzal nem kellett foglalkoznunk, csak az A és B halmazzal. Az eddigi halmazműveleteket a H alaphalmaztól függetlenül definiáltuk.

Most a H alaphalmaz elemeiből kell elvennünk az A halmaz elemeit. A H\A halmaznak az elemei azok a számok, amelyek nem oszthatók 3-mal. Az ilyen különbségre új elnevezést vezetünk be: komplementerhalmaznak nevezzük (komplementer = kiegészítő).

Szimmetrikus differencia

• Szimmetrikus diferencia bevezetése • Általában az az elfogadott, hogy a páros vagy, ... vagy kötőszó, az úgynevezett „kizáró vagy” csak egy lehetőséget enged meg, kettő egyszerre nem teljesülhet. (Az egyetlen „vagy” kötőszóval összekapcsolt két állítás, az úgynevezett „megengedő vagy” három lehetőséget enged meg: az egyik állítás teljesül; a másik állítás teljesül; mindkét állítás teljesül.) • Most a „vagy ... vagy” miatt a 3-mal és 4-gyel osztható számok kizártak. A kapott halmazt az ábra Venn diagramján a vonalkázott rész szemlélteti. Ezt a halmazt a két halmaz szimmetrikus differenciájának nevezzük.

•

A szimmetrikus differencia fogalma

• Definíció: Az A és B halmaz szimmetrikus differenciáján értjük az (A\B) ∪ (B\ A) halmazt. Jelölése: A ΔB. (Olvasd: „A delta B”.) • Ez a definíció ugyanazt fejezi ki, mintha azt mondanánk, hogy x ∈ A ΔB akkor teljesül, ha az x az A és B halmazok közül pontosan egynek az eleme, azaz: • A Δ B= {x| vagy (x ∈ A és x≠B), vagy (x ∉ A és x ∈ B)}.

•

A szimmetrikus differencia tulajdonságai

• 2 halmaz szimmetrikus differenciája Venn-diagram • Adott az A és B halmaz. Mi azoknak a számoknak a halmaza, amelyek vagy 3-mal, vagy 4 gyel oszthatók?

• 1.AΔB=BΔA(kommutatívtulajdonság) 2.(AΔB)ΔC=AΔ(BΔC)=AΔBΔC(asszo ciatívtulajdonság)3.AΔ ∅ = ∅ ΔA=A4.AΔ A= ∅

• • • • • • •

Halmazok metszete

Metszetképzés bevezetése Adott az előző A és B halmaz. Keressük azt a halmazt, amelynek elemei 3-mal és 4-gyel oszthatók.

Az és kötőszó értelme szerint olyan számokat kell keresnünk, amelyek 3-mal is és 4-gyel is, azaz mindkét számmal oszthatók. Azok a számok, amelyeket most keresünk, az A és a B halmazok mindegyikének elemei.

Az ábra szemlélteti az előző A és B halmazt. Azt a halmazt, amelyet most keresünk, vagyis azt, amelynek elemei az A és B halmaz mindegyikének elemei, az ábrán vonalkázással szemléltettük. Úgy fogalmazhatjuk meg, hogy ez a két halmaz közös része, más kifejezéssel: a két halmaz metszete vagy a két halmaz szorzata.

Értelmezhetjük több, például n darab halmaz metszetét is.

Az Ai(i = 1, 2, ..., n) halmazok metszete, az A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek minden Ai halmaznak az elemei. Három halmaz közül kettőnek-kettőnek, valamint mindháromnak a metszetét mutatja az ábra. (Természetes, hogy a három halmaz másféle is lehet, például lehet, hogy az A és a B halmaznak az ábrától eltérően - nincs közös eleme.)

• Definíció: Két halmaz metszetének (közös részének, szorzatának) nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek mindkét halmaznak az elemei. Az A és B halmaz metszetének jele: A ∩ B . (Olvasd: „A metszet B” vagy „A és B metszete”.)

•

Metszetképzés tulajdonságai, diszjunkt halmaz

• • • • • • 3 halmaz metszete- Venn-diagram A metszetképzés definíciójából következnek az alábbi tulajdonságok: 1.A∩B=B∩A(kommunikatívtulajdonság);2.A

∩B∩C=(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(asszociatívtulaj donság);3.A∩ ∅ = ∅ ;4.A∩A=A.

Metszet mint üres halmaz Megjegyzések 1. Ha az A és B olyan halmaz, hogy egyiknek sincs egyetlen olyan eleme sem, amely a másiknak is eleme lenne, akkor A üres halmaz: A.

• A

• • • • • • •

Halmazok egyesítése

Unióképzés bevezetése Adott az előző A és B halmaz. Keressük azt a halmazt, amelynek elemei 3-mal vagy 4 gyel oszthatók. A vagy kötőszó értelme szerint olyan számokat kell keresnünk, amelyek a 3 és 4 közül legalább az egyikkel oszthatók. Azok a számok, amelyeket most keresünk, az A és a B halmazok közül legalább az egyiknek elemei.

Az ábra szemlélteti a 3-mal osztható számok A halmazát, továbbá a 4-gyel osztható számok B halmazát. Azt a halmazt, amelyet most keresünk, vagyis amelynek elemei az A és B halmazok közül legalább az egyiknek elemei, az ábrán vonalkázással szemléltettük. Úgy tűnik, hogy a két halmazt „egyesítettük”, úgy is mondhatjuk, hogy a két halmaz unióját képeztük.

Értelmezhetjük több, például n darab halmaz unióját is. n darab halmaz uniója (az A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An halmaz) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az n halmaz közül legalább egy halmaznak az elemei.

Venn diagrammal három halmaz unióját az ábrán vonalkázással szemléltettük.

•

Unióképzés fogalma

• Definíció: Két halmaz uniójának (egyesítésének, összegének) nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek a két halmaz közül legalább az egyiknek elemei. Az A és B halmaz uniójának jele: A

∪

B. (Olvasd: „A unió B”, vagy „A uniója B-vel”.)

•

Unióképzés tulajdonságai

• • • • • • Az unióképzés definíciójából következnek az alábbi tulajdonságok: 1. A 2. A 3. A ∪ ∪ B = B B ∪∅ ∪ ∪ A (kommutatív tulajdonság); C = (A = A; ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asszociatív tulajdonság); • 4. A ∪ A = A.

Az unióképzés tulajdonságait szemléltethetjük Venn-diagrammal, azonban a tulajdonságokat a Venn-diagram nem bizonyítja. Bizonyítást csak az unióképzés definíciójából kiindulva végezhetünk. Példaként bebizonyítjuk a 2. tulajdonságot.

A definíció szerint A ∪ B azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül legalább az egyiknek az elemei. Az (A legalább az egyiknek elemei. – A definíció szerint B a definíció szerint az A ∪ (B ∪ halmazhoz jutottunk, tehát (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ ∪ ∪ B) ∪ C definíció szerint azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az A és B, valamint a C halmazok közül C azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek a B és C halmazok közül legalább az egyiknek elemei. Ugyancsak C) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az A, valamint a B és C halmazok közül legalább az egyiknek elemei. Ugyanahhoz a C), és ez az A ∪ B ∪ C halmaz.

•

Halmazok különbsége

Különbségképzés bevezetése

• • • • • 2 halmaz különbsége- Venn-diagram Adott az előző A és B halmaz. Keressük azt a halmazt, amelynek elemei oszthatók 3-mal, de nem oszthatók 4-gyel. • Most az A halmaznak azokat az elemeit kell keresnünk, amelyek a B halmaznak nem elemei; tehát az A halmazból el kell vennünk azokat az elemeket, amelyek a B halmaznak elemei. A kapott halmazt az ábra Venn diagramján a vonalkázott rész szemlélteti. Ezt a halmazt az A és B halmaz különbségének nevezzük.

• A most értelmezett műveletek segítségével bevezetjük a következő jelöléseket: N + = N\ {0} = {pozitív egész számok}, Z- = Z\ N = {negatív egész számok}, R\ Q = {irracionális számok}.

•

Különbségképzés tulajdonságai

• Ebből a definícióból következnek az alábbi tulajdonságok: • 1.A\A=

∅

;2.A\

∅

=A;3.

∅

\A=

∅

.

•

Különbségképzés fogalma

• Definíció: Az A és B halmaz (ebben a sorrendben tekintett) különbségének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az A halmaznak és nem elemei a B halmaznak. Az A és B halmaz különbségének jele: A\ B . (Olvasd: „A mínusz B”.)