Transcript Le onde sismiche
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Le onde sismiche
Slide 2
Propagazione delle onde sismiche
Ingredienti:
•Sforzo, deformazione
•Legge di Hooke (comportamento elastico)
•Equazione del moto
Ipotesi semplificative:
•gli spostamenti associati alla propagazione delle onde
sono di piccola entità
•Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo
“elastico” (ritorno alla posizione di equilibrio una volta
rimossa la sollecitazione esterna)
Slide 3
Definizione di sforzo
sforzo normale
lim
A 0
sforzo di taglio
f
A
Slide 4
Definizione di deformazione
DEFORMAZIO
NE
Variazione
di lunghezza
lunghezza
ε
ΔL
L
(volume)
(volume)
totale
Slide 5
Relazione sforzo-deformazione
Per un corpo elastico:
rottura
t = m . e
m = rigidità
Legge di Hooke
Slide 6
Onde elastiche (sforzo normale)
n
d n
x
dx
n ( 2 m ) e u
n
σ n Δσ
F ma
d
con
dx
F
d
dx
2
a
d u
dt
2
x A
d
dx
V
eu
n
L
L
2
d u
dt
2
2m d u
2
dx
2
2
d u
dt
Equazione d’onda
2
u
x
du
dx
Slide 7
Onde P
L’equazione
2m d u
2
dx
2
2
d u
dt
2
Descrive un’onda che si propaga con velocità
VP
2m
Con polarizzazione longitudinale
Tali onde sono chiamate Onde P (o di pressione, o primarie)
Slide 8
Soluzione dell’equazione delle
onde e velocità di propagazione
2
V
2
d u
dx
2
2
d u
dt
2
La soluzione generale dell’equazione
delle onde è:
u ( x , t ) f ( x Vt ) f ( x Vt )
viola il
principio di
causalità
x 0 Vt 0 ( x 0 x ) V ( t 0 t )
x Vt
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Onde elastiche (sforzo di taglio)
t
d t
x
dx
t m e v
t
σ t Δσ t
ev
F ma
d
con
dx
F
d
dx
2
a
d v
dt
2
x A
d
dx
V
2
d v
dt
m d v
2
2
dx
2
2
d v
dt
2
Equazione d’onda
v
x
dv
dx
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Onde S
L’equazione
m d v
2
dx
2
2
d v
dt
2
Descrive un’onda che si propaga con velocità
VS
m
Con polarizzazione trasversale
Tali onde sono chiamate Onde S (o di taglio (shear), o secondarie)
Slide 11
Fronte d’onda - Raggio
La soluzione
dell’equazione d’onda è:
u ( x , t ) f ( x Vt )
fase
Le superfici in cui la fase è
costante sono dette fronti d’onda
Le curve punto per punto
ortogonali ai fronti d’onda sono
dette raggi
Slide 12
Onde P e onde S
Polarizzazione onda P
Polarizzazione onda S
v p vs
In un mezzo poissonian
v p vs 3
o
Slide 13
Onde di volume
Onde P (polarizzazione longitudinale)
Onde S (polarizzazione trasversale)
Slide 14
Il sismogramma: fasi P e fasi S
Campi Flegrei 23/02/1984
Slide 15
Attenuazione geometrica delle
onde sferiche
Flusso di energia per unità di superficie
ed unità di tempo:
E cost A
2
Il flusso totale di energia che attraversa
i fronti d’onda ad istanti successivi deve
conservarsi:
E S t t
A(r )
E S t t
0
0
t
1
A ( r1 ) 4 r1 A ( r2 ) 4 r2
r
A ( r1 )
2
2
A ( r2 )
r2
r1
2
2
Slide 16
Propagazione delle onde sismiche
in mezzi complessi
Esempio di traiettoria dei raggi sismici in un modello di
Terra a strati piano-paralleli
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Dromocrone
1
x
t
v1
x
t
v1
v1
1
v2
2
x
v1
h
t 2
x
2
h
2
v1
2h
v1
x
2
x
t2
h
v1
l
v2
xl
2
h
2
v1
l x
l
v2
2
h
v1
x
v2
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Distanza critica
L’onda rifratta non esiste per tutti gli angoli di incidenza, ma a partire dall’angolo critico
xc
v1
h
ic
90°
v2
sin i c
v1
xc 2 h
1
v2
sin i c
cos i c
i c arcsin
2h
v1
v2
v1 /v 2
v1
1
v2
2h
2
v1
v 2 v1
2
2
Slide 19
Onde di superficie
In un mezzo omogeneo e illimitato si generano e propagano solo onde P ed S
(onde di volume)
In un mezzo stratificato l’impatto delle onde di volume con le superfici di
discontinuità genera onde di superficie che si propagano lungo l’interfaccia:
Non si ha trasmissione di onde al di là della superficie libera perché le costanti
elastiche dell’atmosfera sono di alcuni ordini di grandezza inferiori a quelle delle
rocce (o degli oceani)
Slide 20
Onde di superficie
Onde di Rayleigh (moto ellittico retrogrado)
Onde di Love (moto trasversale orizzontale)
Slide 21
Fenomeno della dispersione
Per un’onda di Rayleigh:
ω =2πf=2π
vf
λ
s ω ,z µ A o e
-ω α z
=A o e
|s ,z | è lo spettro di am piezza
-2πf z
z ha le dim ensioni dell'inverso d i una lunghezza
vf velocità di propagazione ne l m ezzo
Si definisce profondità di penetrazione
dell’onda il v alore Z0 della profondità
per il quale l’ampiezza dell’onda si
riduce di 1/e
ω µ z 0 =1 2π
vf
λ
α z 0 =1 zo=
λ
2πfα
Slide 22
Velocità di fase e di gruppo
• Velocità di fase:
Lo spazio percorso da un piano di uguale
fase dell’onda di pulsazione fissata
nell’unità di tempo
ω
vf =
con k=
k
2π
λ
num ero d'onda
• Velocità di gruppo:
Rappresenta la velocità di una superficie
dell’onda di ampiezza fissata
vg =
dω
dk
dalla definizione della velocità di grup p o
e tenendo conto che per le varie fasi:
ω = 2πf= 2π
v g = v+
1
v
λ
= vk
dv
λ d 1/λ
se
dv
dk
< 0 allora v g < v
C aso delle onde superficiali in m ezzo di spersivo
Slide 23
Attenuazione geometrica delle
onde di superficie
E cost A
E S t t
0
2
E S t t
0
t
A ( r1 ) 2 r1 Z A ( r2 ) 2 r2 Z
2
A ( r1 )
A(r )
1
r
A ( r2 )
2
r2
r1
Slide 24
Onde di superficie nella
registrazione di un telesisma
Taiwan 20/9/1999 Ms=7.6 D=10000Km
S
P
Onde di superficie
Slide 25
Attenuazione anelastica delle onde
sismiche
La non perfetta elasticità della Terra produce un’attenuazione nell’ampiezza
delle onde con la distanza.
Per un’onda monocromatica, si ha:
A ( x , Q , ) A0 e
ωx
2 VQ
Q è detto fattore di qualità ed è legato alla quantità di energia dissipata per ciclo
d’onda:
1
Q
E
2 E
Slide 26
Sviluppo in serie di Fourier
È possibile dimostrare che una funzione periodica, di periodo T, che soddisfa
certe condizioni, può essere rappresentata come la sovrapposizione di un numero
(infinito) di funzioni seno e coseno con frequenze 1/T, 2/T, 3/T, …
Sia f(t) una funzione periodica di periodo T
f (t ) a 0
a
n
cos( n t ) b n sin( n t )
n 1
2 n
n
T
a0
an
bn
1
T
1
T
1
T
T
T
f ( t ) dt
0
f ( t ) cos( n T ) dt
0
T
0
f ( t ) sin( n T ) dt
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Slide 28
Sviluppo in serie di Fourier
e e
ix
sin x
ix
2i
e e
ix
cos x
ix
2
f (t )
n
Cn e
i nt
Slide 29
Trasformata di Fourier
Data una funzione continua f(t), la sua trasformata di Fourier è:
F ( )
1
2
f (t ) e
i t
dt
Tale trasformata è reversibile, ovvero esiste un’operazione di
antitrasformata di Fourier:
f (t )
F ( ) e
i t
d
Slide 30
Spettro di ampiezza e spettro di
fase
La trasformata di Fourier è in generale una quantità complessa:
F ( ) A ( ) iB ( )
F ( )
A ( ) B ( ) spettro di ampiezza
2
2
B ( )
spettro di fase
( ) arctan
A ( )
Slide 31
Un esempio
Le onde sismiche
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Propagazione delle onde sismiche
Ingredienti:
•Sforzo, deformazione
•Legge di Hooke (comportamento elastico)
•Equazione del moto
Ipotesi semplificative:
•gli spostamenti associati alla propagazione delle onde
sono di piccola entità
•Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo
“elastico” (ritorno alla posizione di equilibrio una volta
rimossa la sollecitazione esterna)
Slide 3
Definizione di sforzo
sforzo normale
lim
A 0
sforzo di taglio
f
A
Slide 4
Definizione di deformazione
DEFORMAZIO
NE
Variazione
di lunghezza
lunghezza
ε
ΔL
L
(volume)
(volume)
totale
Slide 5
Relazione sforzo-deformazione
Per un corpo elastico:
rottura
t = m . e
m = rigidità
Legge di Hooke
Slide 6
Onde elastiche (sforzo normale)
n
d n
x
dx
n ( 2 m ) e u
n
σ n Δσ
F ma
d
con
dx
F
d
dx
2
a
d u
dt
2
x A
d
dx
V
eu
n
L
L
2
d u
dt
2
2m d u
2
dx
2
2
d u
dt
Equazione d’onda
2
u
x
du
dx
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Onde P
L’equazione
2m d u
2
dx
2
2
d u
dt
2
Descrive un’onda che si propaga con velocità
VP
2m
Con polarizzazione longitudinale
Tali onde sono chiamate Onde P (o di pressione, o primarie)
Slide 8
Soluzione dell’equazione delle
onde e velocità di propagazione
2
V
2
d u
dx
2
2
d u
dt
2
La soluzione generale dell’equazione
delle onde è:
u ( x , t ) f ( x Vt ) f ( x Vt )
viola il
principio di
causalità
x 0 Vt 0 ( x 0 x ) V ( t 0 t )
x Vt
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Onde elastiche (sforzo di taglio)
t
d t
x
dx
t m e v
t
σ t Δσ t
ev
F ma
d
con
dx
F
d
dx
2
a
d v
dt
2
x A
d
dx
V
2
d v
dt
m d v
2
2
dx
2
2
d v
dt
2
Equazione d’onda
v
x
dv
dx
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Onde S
L’equazione
m d v
2
dx
2
2
d v
dt
2
Descrive un’onda che si propaga con velocità
VS
m
Con polarizzazione trasversale
Tali onde sono chiamate Onde S (o di taglio (shear), o secondarie)
Slide 11
Fronte d’onda - Raggio
La soluzione
dell’equazione d’onda è:
u ( x , t ) f ( x Vt )
fase
Le superfici in cui la fase è
costante sono dette fronti d’onda
Le curve punto per punto
ortogonali ai fronti d’onda sono
dette raggi
Slide 12
Onde P e onde S
Polarizzazione onda P
Polarizzazione onda S
v p vs
In un mezzo poissonian
v p vs 3
o
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Onde di volume
Onde P (polarizzazione longitudinale)
Onde S (polarizzazione trasversale)
Slide 14
Il sismogramma: fasi P e fasi S
Campi Flegrei 23/02/1984
Slide 15
Attenuazione geometrica delle
onde sferiche
Flusso di energia per unità di superficie
ed unità di tempo:
E cost A
2
Il flusso totale di energia che attraversa
i fronti d’onda ad istanti successivi deve
conservarsi:
E S t t
A(r )
E S t t
0
0
t
1
A ( r1 ) 4 r1 A ( r2 ) 4 r2
r
A ( r1 )
2
2
A ( r2 )
r2
r1
2
2
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Propagazione delle onde sismiche
in mezzi complessi
Esempio di traiettoria dei raggi sismici in un modello di
Terra a strati piano-paralleli
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Dromocrone
1
x
t
v1
x
t
v1
v1
1
v2
2
x
v1
h
t 2
x
2
h
2
v1
2h
v1
x
2
x
t2
h
v1
l
v2
xl
2
h
2
v1
l x
l
v2
2
h
v1
x
v2
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Distanza critica
L’onda rifratta non esiste per tutti gli angoli di incidenza, ma a partire dall’angolo critico
xc
v1
h
ic
90°
v2
sin i c
v1
xc 2 h
1
v2
sin i c
cos i c
i c arcsin
2h
v1
v2
v1 /v 2
v1
1
v2
2h
2
v1
v 2 v1
2
2
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Onde di superficie
In un mezzo omogeneo e illimitato si generano e propagano solo onde P ed S
(onde di volume)
In un mezzo stratificato l’impatto delle onde di volume con le superfici di
discontinuità genera onde di superficie che si propagano lungo l’interfaccia:
Non si ha trasmissione di onde al di là della superficie libera perché le costanti
elastiche dell’atmosfera sono di alcuni ordini di grandezza inferiori a quelle delle
rocce (o degli oceani)
Slide 20
Onde di superficie
Onde di Rayleigh (moto ellittico retrogrado)
Onde di Love (moto trasversale orizzontale)
Slide 21
Fenomeno della dispersione
Per un’onda di Rayleigh:
ω =2πf=2π
vf
λ
s ω ,z µ A o e
-ω α z
=A o e
|s ,z | è lo spettro di am piezza
-2πf z
z ha le dim ensioni dell'inverso d i una lunghezza
vf velocità di propagazione ne l m ezzo
Si definisce profondità di penetrazione
dell’onda il v alore Z0 della profondità
per il quale l’ampiezza dell’onda si
riduce di 1/e
ω µ z 0 =1 2π
vf
λ
α z 0 =1 zo=
λ
2πfα
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Velocità di fase e di gruppo
• Velocità di fase:
Lo spazio percorso da un piano di uguale
fase dell’onda di pulsazione fissata
nell’unità di tempo
ω
vf =
con k=
k
2π
λ
num ero d'onda
• Velocità di gruppo:
Rappresenta la velocità di una superficie
dell’onda di ampiezza fissata
vg =
dω
dk
dalla definizione della velocità di grup p o
e tenendo conto che per le varie fasi:
ω = 2πf= 2π
v g = v+
1
v
λ
= vk
dv
λ d 1/λ
se
dv
dk
< 0 allora v g < v
C aso delle onde superficiali in m ezzo di spersivo
Slide 23
Attenuazione geometrica delle
onde di superficie
E cost A
E S t t
0
2
E S t t
0
t
A ( r1 ) 2 r1 Z A ( r2 ) 2 r2 Z
2
A ( r1 )
A(r )
1
r
A ( r2 )
2
r2
r1
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Onde di superficie nella
registrazione di un telesisma
Taiwan 20/9/1999 Ms=7.6 D=10000Km
S
P
Onde di superficie
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Attenuazione anelastica delle onde
sismiche
La non perfetta elasticità della Terra produce un’attenuazione nell’ampiezza
delle onde con la distanza.
Per un’onda monocromatica, si ha:
A ( x , Q , ) A0 e
ωx
2 VQ
Q è detto fattore di qualità ed è legato alla quantità di energia dissipata per ciclo
d’onda:
1
Q
E
2 E
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Sviluppo in serie di Fourier
È possibile dimostrare che una funzione periodica, di periodo T, che soddisfa
certe condizioni, può essere rappresentata come la sovrapposizione di un numero
(infinito) di funzioni seno e coseno con frequenze 1/T, 2/T, 3/T, …
Sia f(t) una funzione periodica di periodo T
f (t ) a 0
a
n
cos( n t ) b n sin( n t )
n 1
2 n
n
T
a0
an
bn
1
T
1
T
1
T
T
T
f ( t ) dt
0
f ( t ) cos( n T ) dt
0
T
0
f ( t ) sin( n T ) dt
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Slide 28
Sviluppo in serie di Fourier
e e
ix
sin x
ix
2i
e e
ix
cos x
ix
2
f (t )
n
Cn e
i nt
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Trasformata di Fourier
Data una funzione continua f(t), la sua trasformata di Fourier è:
F ( )
1
2
f (t ) e
i t
dt
Tale trasformata è reversibile, ovvero esiste un’operazione di
antitrasformata di Fourier:
f (t )
F ( ) e
i t
d
Slide 30
Spettro di ampiezza e spettro di
fase
La trasformata di Fourier è in generale una quantità complessa:
F ( ) A ( ) iB ( )
F ( )
A ( ) B ( ) spettro di ampiezza
2
2
B ( )
spettro di fase
( ) arctan
A ( )
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Un esempio