Slide 1

GRÁFELMÉLET
KÉSZÍTETTE:
Takács Sándor


Slide 2

1 feladat
►

Egy társaságban lejátszottak néhány sakkmérkőzést. Bármely két
ember legfeljebb egy mérkőzést játszott egymás ellen. Bizonyítsuk
be, hogy mindenképpen volt két ember, aki ugyanannyi emberrel
mérkőzött meg!

►

n – a társaság tagjainak száma
1 ember játszhatott:
0
1
2
3
…
n-2
n-1
egy időben nem fordulhat elő, hogy van a társaságban olyan aki 0
mérkőzést, és olyan, aki n-1 mérkőzést játszott. (aki n-1 mérkőzést
játszott, mindenkivel játszott)
Tehát a skatulya elv: n-1 skatulya, n db. Elem  legalább egy
skatulyába 2 db. Elem kerül.

►
►
►

►

Készítette: Takács Sándor


Slide 3

Königsbergi séták
►

A város a Pregel nevű folyó két partján terül el, amely azt
4 részre osztja. Az egyes részeket 7 db híd köti össze a
jobb oldali mellékelt ábra szerint. A königsbergiek olyan
útvonalat szerettek volna tervezni, hogy valaki a lakásából
indul el, és minden hídon csak egyszer sétál végig, majd
visszatér a lakásába.

Készítette: Takács Sándor


Slide 4

Euler megoldása
EULER
1707-1789

► Euler

1736-ban szembesült a "königsbergi séta"
problémájával, és bebizonyította, hogy ilyen
útvonal nem lehetséges. Az ábrán látható
modellel dolgozott. Innen számítjuk a
gráfelmélet kezdetét.
Készítette: Takács Sándor


Slide 5

A gráf fogalma
►

Gráf: pontok és élek halmaza, ahol a
pontokat élek kötnek össze, illetve az élekre
pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre
legalább egy, legfeljebb két pont illeszkedik.
 Pontok, csúcsok
 Élek

Véges gráf: pontjainak száma véges
Pont fokszáma: hány él indul ki a pontból?
Pont szomszédai: amely pontokkal össze
van kötve
► Párhuzamos (többszörös) él: ha két pont
között több él húzódik
► Hurokél: ha egy él mindkét végpontja
ugyanaz a pont
►
►
►

►

Feladat: Készítsük el az 1. feladat gráfját 5
sakkjátékosra!

Készítette: Takács Sándor


Slide 6

 Izolált csúcs,
► ahova

nem futnak be és
nem indulnak ki élek






hurok,
üres gráf,
teljes gráf,
terminális csúcsok
► amelyekből

nem vezet
él másik csúcshoz.

a

c
d

b
a

d

a
e

b

b

c

d

c

Izomorf gráfok
b
a
b
d

c

d

c
e

Készítette: Takács Sándor

e

a


Slide 7

tételek
► Egy

véges egyszerű gráfban mindig van két
olyan pont, amelyek fokszáma megegyezik.
► Egy gráfban a fokszámok összege az élek
számának a kétszerese.
► Egy gráfban a páratlan fokszámú pontok
száma páros.

Készítette: Takács Sándor


Slide 8

feladat
► Előfordulhat-e,

hogy egy 9 tagú társaságban
mindenki pontosan 3 embert ismer?
Élek száma 13
Fokszámok összege: 26

Nem fordulhat elő, mert ha minden
csúcs fokszáma 3, akkor 9x3=27 lenne
a fokszámok összege. Ez ellentmond a
tételnek. (az élek számának kétszerese
páros szám)

Készítette: Takács Sándor


Slide 9

►

Séta: a gráf csúcsainak olyan
halmaza, amelyben minden
csúcs éllel van összekötve a
következővel

►

út: a gráf egymáshoz csatlakozó
éleinek olyan sorozata, amely
egyetlen ponton sem megy át
egynél többször.

►

Vonal:a gráf csúcsainak és
éleinek azt a sorát, amelyben az
élek a megfelelő csúcsokat kötik
össze és az élek nem
ismétlődnek.

►

Euler-vonal:az olyan vonalat
nevezzük, amelyben a gráf
minden éle és minden pontja
szerepel.
 Az Euler-vonal mentén
megrajzolhatjuk a gráfot úgy,
hogy a ceruzánkat nem emeljük
fel a papírról, minden élén
pontosan egyszer haladunkKészítette: Takács Sándor
végig.


Slide 10

További fogalmak
►

►

►

Egyszerű gráf: nincs sem
párhuzamos él és nincs
hurokél sem a gráfban.
Teljes gráf: a gráf
minden pontjából a gráf
összes többi pontjába
vezet egy-egy él.
Összefüggő gráf: a gráf
bármely pontjából bármely
pontjába élek mentén el
lehet jutni.

Készítette: Takács Sándor


Slide 11

►

Kör: a kezdőpontjába visszavezető út, azaz olyan
élsorozat, amely a kezdőpontjába tér vissza és benne
minden él csak egyszer szerepel.

►

Euler-kör, vagy zárt Euler-vonal: Olyan Euler-vonal,
ami egyben kör is.
Tétel:Egy összefüggő gráfnak akkor és csak akkor van zárt
Euler-vonala, ha a gráf minden pontjának a fokszáma
páros.

►

 Ha az összefüggő gráfban csak két páratlan fokszámú csúcs van,
akkor a gráfnak van nyitott Euler-vonala
►

Megjegyzés: Az ábrán látható alakzatnak van nyitott Eulervonala, de nincs Euler köre.
Két páratlan fokú csúcsa van
Készítette: Takács Sándor


Slide 12

Újabb fogalmak
► Izolált

pont: amelyből nem indul ki él.
► Irányított gráf: minden élről meg kell mondani,
hogy melyik a kezdőpontja és a végpontja.
 Kifok: hány él indul ki a pontból
 Befok: hány él érkezik be a pontba
► Komplementer

gráf:

 Egy gráf és komplementere ugyanazokat a pontokat
tartalmazza.
 A komplementer gráfban két pont pontosan akkor van
összekötve éllel, ha az eredetiben nincs összekötve.

Készítette: Takács Sándor


Slide 13

Gyakorlat
►

1.Feladat: Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyszerű véges
gráfnak
 páratlan sok pontja van, akkor bármely pont fokszámának paritása
azonos a gráfban és komplementerében.
 Páros sok pontja van, akkor bármely pont fokszáma vagy a
gráfban, vagy komplementerében páratlan.

►

Legyen G n pontú gráfG’ komplementer gráf is n pontot
tartalmaz. Ha x a G egy adott pontja, amelynek foka d,
akkor G’-ben a foka n-d-1. Tehát a pont fokszámának
összege G-ben és G’-ben n-1.
 n páratlan n-1 páros azaz a pont paritása megegyezik a gráfban
és komplementerében
 n párosn-1 páratlan, azaz az egyikben páros fokú, a másikban
páratlan fokú a pont.
Készítette: Takács Sándor


Slide 14

További fogalmak
► Tétel:

n pontú teljes gráf éleinek száma n(n-

1)/2
► 2.Feladat: Lehetséges-e, hogy egy 50 tagú
társaságban mindenki pontosan három
embert ismerjen?
► Hát ha a társaság: 51, 100, 99 tagú?
► Reguláris gráf – d-reguláris
► Tétel: Ha n páros, akkor van 3-reguláris
gráf, ha n páratlan, akkor nincs
Készítette: Takács Sándor


Slide 15

További fogalmak, tételek
►

Definíció: Ha egy gráf összefüggő és nem tartalmaz kört,
akkor azt fának nevezzük.

 Például: a számítógépeknél használatos könyvtár struktúra, vagy az ún.
családfák.

►

Definíció: Egy gráfot ligetnek (erdőnek) nevezünk, ha nem
tartalmaz kört. A liget komponensei (összetevői) fák.

►

Tételek
 A fa bármely két pontját egyetlen út köti össze
 Ha egy fának bármely élét elhagyjuk, akkor a gráf nem összefüggő
 Ha egy fának bármely két olyan pontját összekötjük, amely között eddig
nem volt él, akkor a gráf már tartalmaz kört.
 Az „n” pontú fának n-1 éle van

Készítette: Takács Sándor