Transcript MODELLI DI SERIE STORICHE
MODELLI DI SERIE STORICHE Approccio Classico
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Modelli di composizione: componenti trend ciclo stagionalità comp.accidentale
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tipi di composizione : 1) 2) additività moltiplicatività 3) misto 1) ipotesi di indipendenza tra le componenti modello additivo Z t T t C t S t a t 2) non indipendenza tra le componenti modello moltiplicativo Z t T t C t S t a t 1
Il caso 2) si riduce al caso 1) considerando i log , cioè : log Z t log T t log C t log S t log a t 3) modello: Z t T t S t C t a t
pregi
semplicità
difetti
pluralità di soluzioni serie anche corte prima approssimaz.
assunzione modellistica troppo rigida visione settorizzata 2
Modelli stocastici o di Box-Jenkins (approccio moderno post 1925)
1.
2.
3.
Modello autoregressivo (AR) Modello a media mobile (MA) Modello misto (ARMA) 1.
Z t 1 Z t 1 2 Z t 2 ...
p Z t p a t a t residuo o disturbo i ( i 1 , ...
, p ) coefficienti AR(p) - modello autoregressivo di ordine p 2.
Media mobile : è una media aritmetica che si sposta, ad ogni iterazione, dall’inizio alla fine della successione di dati.
3
Esempio: MA a tre termini z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 .
.
.
z n 2 z n 1 z n zˆ 2 z 1 z 2 3 z 3 zˆ 3 z 2 3 z 3 z 4 zˆ 4 z 3 z 4 z 5 3 zˆ n 1 z n 2 z n 1 z n 3 zˆ t z t 1 z t z t 1 3 Può essere: - semplice In generale termini dispari . MA centrata.
- ponderata 4
Modelli a MA: Z t a t 1 a t 1 ...
q a t q i ( i 1 , ...
, q ) costanti Modello MA(q) di ordine q 3.
Modelli misti Z t 1 Z t 1 ...
p Z t p a t 1 a t 1 ...
q a t q Modello ARMA (pq) I modelli Box-Jenkins essendo di tipo stocastico stocastico
processo stocastico
generano un Analizzare una serie empirica con i modelli Box-Jenkins significa scegliere, tra i molti modelli possibili, quello più adatto e stimarne i parametri 2 fasi di analisi: _ identificazione _ stima 5
Operatori, funzioni generatrici, equazioni alle differenze finite
Operatore all’indietro (backward) B Data una sequenza z t 2 , z t 1 , z t , z t 1 , z t 2 l’operatore B serve a trasformare un termine di tale sequenza in uno che lo precede di uno o più posti.
Quindi : B z t z t 1 oppure B j z t z t j Operatore in avanti (forward) F Stessa definizione, salvo che F trasforma in avanti, cioè F z t z t 1 oppure Ovviamente : F B 1 F j z t z t j 6
Operatore alle differenze finite .
j z t z t
z t
z t j
1 1
z t
z t
oppure
z t
j
Ma: z t z t z t 1 z t B z t
1 B
z t cioè : 1 B Poi: 2 z t
z t
z t 2 z t 1 z t 2 7
PROCESSO AUTOREGRESSIVO DI ORDINE p AR(p)
z t 1 z t 1 2 z t 2 ...
p z t p disturbo a t (*) Somma ponderata di valori passati z t cui si aggiunge un disturbo calcolato sul valore attuale a t . Riscrivendo la (*) si ha: z t 1 z t 1 2 z t 2 ...
p z t p a t che diviene, con l’operatore B: 1 1 B 2 B 2 ...
p B p z t a t Ponendo la quantità in parentesi uguale a nota anche come
operatore AR(p)
, si ha:
, z t a t 8
Nella (*) può essere aggiunta una costante che misura il livello del processo che, se il processo è stazionario, è uguale alla sua media, quindi in generale AR(p) ha forma: z t 1 z t 1 ...
p z t p a t Le condizioni di stazionarietà del processo si ottengono dalle radici della sua equazione caratteristica, cioè ponendo
0 , quindi 1 1 B 2 B 2 ...
p B p 0 Si dimostra (Box & Jenkins) che la stazionarietà di AR(p) si ottiene quando le radici della equazione caratteristica sono in modulo > 1, o in altre parole sono esterne al cerchio di raggio unitario 1 9
Media.
Se z t 0 , nel caso del modello completo: E
t ...
E ...
1 z t 1 p z t p p E z t 1 p E
t 1 E
t 2 2 a t z t 2 E
t 2 Siccome E E t 1 t 1 E
t 1 2 E ...
t 2 ....
p e E t 0 Quindi E t 1 1 2 ...
p Ovviamente nel modello ridotto in cui 0 E
t 0 10
Autocovarianza
E k
2
E
z t z t
2
z t z t
k k
E
...
1
E z t
1
p z t
k z t
p
z t
k
E
a t z t
k
Ma per k > 0 E
z t k a k
0 , quindi: k 1 k 1 2 k 2 ...
p k p k = 1,2,..p
Varianza: analogamente si dimostra che var 0 1 1 2 2 ...
p p a 2 Le k di AR(p) sono in numero infinito; per i valori di j > p si può ricorrere alla forma: j 1 j 1 2 j 2 ...
p j p Che è nota come
equazione di Yule-Walker
11
Tale relazione consente di : 1. conosciuto un certo AR(p), cioè una volta noti i i , si possono calcolare le autocov.
teoriche corrispondenti; 2. se non si conoscono i i si possono stimare sostituendo ai valori teorici delle autocov.
k i corrispondenti valori campionari c i ottenuti dalla serie storica osservata.
Autocorrelazione Dividendo k 0 si ha: k 1 k 1 2 k 2 ...
p k p k = 1,2,3,… In cui partendo da 0 1 si ottengono in forma ricorsiva tutti i coefficienti di 12 autocorrelazione teorica.
Ovviamente vale quanto detto in 1. e 2.
Correlogramma Dalla k si vede come il corr. di AR(p) è costituito da infiniti termini.
Si dimostra che tali termini, a seconda dei valori dei parametri, tendono a zero monotonicamente oppure con oscillazioni.
Casi particolari.
AR(1) z t 1 z t 1 a t Il valore della serie al tempo t è pari ad una frazione del valore precedente aumentato (algebricamente) dell’errore a t .
13
Es: supponiamo 1 0 , 5 Allora graficamente: .
z t z 1 z 2 0 , 5 z 1 a 2 a 2 0 , 5 z 1 1 0 , 5 z 2 a 3 2 z 3 0 , 5 z 2 a 3 t 3 a t v .
c .
, E t 0
innovazione
Stazionarietà Dal caso generale, siccome dell’equazione caratteristica, cioè
1 1 0 le radici sono esterne al cerchio unitario, allora : AR(1) è stazionario se e solo se 1 1 14
Media Se E
t 0 allora E
t 0 Varianza Dalle relazioni di k e 0 1 a 2 2 0 di AR(p) si ricava da cui risulta che, siccome 2 1 , cioè 1 0 0 , come rilevato per la condizione di stazionarietà.
allora Autocovarianza Si dimostra (Nelson, Piccolo) che k 1 2 a 2 k 15
che utilizzando la relazione per 0 diviene: k 0 k Autocorrelazione k k 1 Correlogramma A seconda del segno di si ha: 1 0 0 0 1 Autocorrelazione parziale Si dimostra (Kendall) che k k 1 0 1 k k 1 1 16
Non stazionarietà La stazionarietà si ha per Se 1 1 allora z t 1 1 z t 1 a t Random Walk (non stazion. omogenea (*)) Se 1 1 allora il processo assume un andamento esplosivo tipo reazione nucleare.
(*) considerando successivi sostanzialmente uguali.
intervalli temporali questi hanno dei componenti 17
Random walk stazionarietà non omogenea z t t 1 a t z t Stazionario 0 , 35 z t 1 a t z t Esplosivo 1 , 2 z t 1 a t 18
t 0 1 10 20 a t -1 -1,6 -0,4 1,3 -0,4 0,7 1,2 0,4 0,9 -0,1 -0,3 -0,1 0,2 -0,6 -0,4 -0,4 -0,9 0,0 0,3 -1,6 -0,4 -0,8 -0,1 0,0 1,2 -0,1 0,4 -0,8 -0,2 0,8 z t 0,5 -1,4 -0,96 0,92 -0,03 0,68 1,47 0,99 1,29 0,42 -0,13 -0,15 0,14 -0,54 -0,62 -0,64 -1,16 -0,46 0,11 -1,55 -1,02 -1,21 -0,58 -0,23 1,11 0,34 0,54 -0,58 -0,43 0,63 t 30 31 40 50 60 a t -1,2 0,3 0,6 1,5 -0,9 -0,3 -0,4 -1,2 1,0 -1,3 0,4 0,0 0,5 2,1 -0,5 2,1 0,4 0,8 0,6 0,1 0,4 0,5 -0,4 3,3 0,4 -0,1 1,4 1,1 -3,7 -1,1 -0,1 z t -0,95 -0,08 0,57 1,73 -0,21 -0,38 -0,55 -1,42 0,43 -1,13 -0,05 -0,02 0,49 2,29 0,41 2,26 1,30 1,32 1,13 0,55 0,62 0,75 0,1 3,26 1,7 0,58 1,63 1,75 -3,0 -2,3 -1,02 Simula zione AR(1) 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 1 11 21 31 41 51 61
t
19
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k 0,4 0,16 0,064 0,0256 0,01024 0,0041 0,00164 0,0007 0,0003 0,0001 r k 0,486 0,341 0,281 0,029 -0,011 -0,149 -0,002 0,054 0,095 0,066 E
t 0 ; molto vicini z 0 , 17 non vicini oscilla 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r k 20
Processo autoregressivo di 2° ordine
z t 1 z t 1 2 z t 2 a t 1 , 2 parametri , a t N 0 , a 2 su t Stazionarietà Le radici dell’equazione caratteristica devono essere esterne al cerchio unitario.
Equazione caratteristica 1 1 B 2 B 2 0 Si dimostra condizione si che per devono soddisfare verificare, tale come vedremo poco sotto (correlogramma) le seguenti disuguaglianze 1 2 2 1 2 1 1 1 1 21
Le disuguaglianze individuano nel piano 1 , 2 la seguente regione triangolare: 1 0 2 -2 -1 0 1 2 Media Modello completo (con costante E
t E
t 1 1 E
t 1 E
t 1 2 2 E z t 2 E a t E
t 2 ) 1 1 2 Si può facilmente dimostrare che z t * z t siccome: E
t z t * , cioè gli scarti dalla media, z t 1 1 2 Sono anch’essi AR(2), senza costante 22
Varianza Piccolo (1970) ha dimostrato che 0 1 2 1 1 1 1 0 1 2 2 2 2 1 0
a
2 varianza autocov.
lag 1,2 e che…… k > 2 , k è ottenibile dalla usuale relazione di Yule-Walker k 1 k 1 2 k 2 autocov. gen.
Quindi: 1 1 1 2 2 1 1 2 j 1 j 1 2 j 2 autocorr.
23
Correlogramma Essendo l’eq. cartesiana di 2° grado, infatti: 1 1 B 2 B 2 0 Il correlogramma può assumere forme più numerose di AR(1), perché le radici possono essere: • reali e disuguali • reali e coincidenti • complesse e coniugate.
La forma del correlogramma dipende dai valori assunti dalle soluzioni dell’equazione Caratteristica.
Box & Jenkins hanno dimostrato che in caso di radici reali si ha: andamenti smorzati 24
In caso di radici complesse: andamenti sinusoidali smorzati Autocorrelazione parziale Box & Jenkins dimostrano che: 1 1 1 , 2 2 1 2 1 2 1 2 , k k 0 Questi due soli valori hanno andamenti diversi a seconda che le radici siano reali o complesse 25
t 0 1 10 20 a t -1 -1,6 -0,4 1,3 -0,4 0,7 1,2 0,4 0,9 -0,1 -0,3 -0,1 0,2 -0,6 -0,4 -0,4 -0,9 0,0 0,3 -1,6 -0,4 -0,8 -0,1 0,0 1,2 -0,1 0,4 -0,8 -0,2 0,8 z t 0,5 0,5 -0,6 1,76 -1,576 1,998 -0,314 0,988 0,244 -0,048 0,039 -0,133 0,288 -0,799 0,137 -0,642 -0,488 0,164 0,495 0,104 -0,363 -0,561 0,164 -0,211 1,359 -0,957 1,246 -1,738 1,092 -0,203 t 30 31 40 50 60 a t -1,2 0,3 0,6 1,5 -0,9 -0,3 -0,4 -1,2 1,0 -1,3 0,4 0,0 0,5 2,1 -0,5 2,1 0,4 0,8 0,6 0,1 0,4 0,5 -0,4 3,3 0,4 -0,1 1,4 1,1 -3,7 -1,1 -0,1 z t -0,861 0,776 -0,038 1,678 -1,915 1,185 -1,494 -0,067 1,339 -2,116 1,938 -1,586 1,84 -1,329 0,661 1,439 -0,331 1,285 -0,237 0,499 0,054 0,568 -0,73 3,852 -2,057 1,904 -0,154 1,574 -4,675 2,02 -2,247 4 3 2 1 0 -1 1 -2 10 19 28 37 46 55
t
26
Simulazione di un AR(2) z t 0 , 6 z t 1 0 , 2 z t 2 a t partenza z 0 z 1 0 , 5 Condizioni di stazionarietà: 1 2 2 1 1 0 , 2 0 1 0 , 8 , 4 1 1
si si si
z t è quindi stazionario.
Utilizzando scarti normali standardizzati si ottengono i valori tabulati con il relativo andamento grafico.
Poi, utilizzando le relazioni viste per 1 , 2 , k Si calcoli la funzione di autocorrelazione e k dai valori simulati la 27 campionaria.
1 2 3 4 5 k k -0,75 0,65 -0,56 0,45 -0,38 r k -0,68 0,52 -0,24 0,22 -0,15 k 6 7 8 9 10 k 0,32 -0,27 0,22 0,19 0,16 r k 0,01 0,10 -0,17 0,18 -0,15 Correlogrammi k r k Autocorrelazione parziale 1 1 0 , 75 ; 2 2 0 , 2 r 1 1 0 , 674 ; r 2 2 0 , 095 28
PROCESSO A MEDIA MOBILE MA(q) Il processo MA(q) è solamente costituito da un numero finito di q termini, cioè: z t a t 1 a t 1 ...
q a t q Introducendo l’operatore B si ha: z t 1 1 B 2 B 2 ...
q B q a t che diviene: z t
a t Dove 1 1 B 2 B 2 ...
q B q Denota il cosiddetto operatore MA(q).
29
Stazionarietà Siccome l’operatore MA(q) è una serie finita, non esistono particolari restrizioni per assicurare la stazionarietà Invertibilità (vedi dopo per maggior dettaglio) Un MA(q) è invertibile quando le radici dell’equazione caratteristica 1 1 B 2 B 2 ...
q B q 0 sono esterne al cerchio unitario.
Media Se le a t hanno media nulla, è nulla pure la media del processo, quindi: E
t 0 30
Autocovarianza, varianza e autocorrelazione Tenendo conto delle relazioni già viste per il processo lineare si ha: k 0 k 1 k 1 2 k 2 per k ...
q q q k a 2 con k = 1,2,…,q.
Da cui la varianza: 0 1 1 2 2 2 ...
q 2 a 2 e quindi la autocorrelazione: k 0 k 1 1 k 1 2 ...
...
q q 2 q k per ; k 1 , 2 ,..., k q q Se i valori i
i 1 , 2 , ...
k
sono noti, oppure stimati, si possono ricavare i parametri i .
Ovviamente essendo non lineare la relazione
Si noti che siccome indipendenti da k , 0 , k sono t , MA(q), come prima visto, è sempre stazionario.
Invertibilità di AR(p) e invertibilità di MA(q)
Condizione di invertibilità Tale condizione è molto importante soprattutto a proposito dei modelli MA(q), dal momento che questi ultimi, a differenza degli AR(p), sono caratterizzati dal problema della molteplicità dei modelli.
Invertibilità per AR(p)
1 1 B 2 B 2 ...
p B p z t a t Invertendo si ha: z t 1 1 1 B 2 B 2 ...
p B p a t 32
Sviluppando in serie il rapporto evidenziato in rosso si ha: 1 B 2 B 2 ...
per cui: z t 1 B 2 B 2 ...
a t che altro non è (come vedremo fra poco) se non un MA ( .
) Quindi: un AR(p) è sempre trasformabile in un MA ( ) .
Invertibilità di MA(q)
z t
a t Sviluppando in serie Quindi: 1 1 1 1 B 1 B 2 2 B 2 B 2 ...
...
z t a t che è un AR ( ) 33
Il processo MA(q) si dice allora invertibile se i pesi i formano una serie convergente e questo si ottiene se e solo se le radici di sono esterne al cerchio unitario.
La condizione di invertibilità, pertanto, ha per i processi MA(q) la stessa importanza che ha la condizione di stazionarietà per i processi AR(p).
Processo MA(1)
z t a t a t 1 Stazionarietà Media: Varianza se 0 E
t 1 0 2 anche:
a
2 E
t 0 Autocovarianza sempre 1 a 2 ; k 0 , k 1 34
Autocorrelazione 1 1 0 1 2 ;
k
0 ,
k
1 Correlogramma 1 k 1 k k -1 -1 k Una sola ordinata positiva o negativa, a seconda del segno di .
35
Invertibilità Si considerino parametro due MA(1), e un altro con 1 uno , cioè: z t a t a t 1 e z t a t 1 a t 1 Calcoliamo k 1 . Si ha: 1 2 ; 1 1 1 1 2 1 2 con Quindi i due processi, pur diversi, hanno la stessa , k quindi esiste molteplicità di modelli.
un problema di Per risolverlo si consideri: a t z t z t 1 2 z t 2 ...
a t z t 1 z t 1 1 2 z t 2 ...
36
Ricorrendo all’operatore B si ha: a t 1 B 2 B 2 ...
z t a t 1 1 B 1 2 B 2 ...
z t Se 1 la prima serie converge, mentre la seconda no.
Allora se 1 si dice che la prima serie è invertibile, mentre la seconda non lo è.
Quindi la condizione 1 assicura l’esistenza di un unico modello MA(1).
Tale condizione equivale a dire che le radici della equazione caratteristica: 1 B 0 siano esterne al cerchio unitario.
37
Autocorrelazione parziale Box & Jenkins dimostrano che k k 1 k 1 2 k 1 2 , k 1 , 2 , 3 Da cui si vede come i coefficienti di autocorrelazione parziale hanno un andamento smorzato, anche con oscillazioni di segno.
Processo MA(2)
z t a t 1 a t 1 2 a t 2 Stazionarietà Invertibilità sempre stazionario Il processo è invertibile se le radici dell’equazione caratteristica 1 1
B
2
B
2 0 sono in valore assoluto maggiori di uno.
38
Si dimostra che tale condizione si verifica se: 2 2 1 1 1 2 1 1 1 che individuano il seguente triangolo isoscele -2 2 0 -1 1 Media Se E
t 0 anche E
t 0 2 39
Varianza, autocovarianza, autocorrelazione 0 1 1 2 2 2 a 2 1 1 1 2 a 2 2 2 a 2 k 0 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 k 0 Radici reali 1 0 1 0 correlo gramma Radici complesse 1 0 1 0 40
Autocorrelazione parziale formale in Anderson Radici reali: espressione Radici complesse: 41
Principio di dualità tra AR(p) e MA(q)
1) MA AR Stazionarietà incondizionata Le radici dell’eq. 0 devono essere esterne al cerchio unitario invertibilità Le radici dell’eq. 0 devono essere esterne al cerchio unitario incondizionata 2) Un AR(p) può essere sempre espresso come una media mobile di infiniti termini, cioè MA ( ) Un MA(q) può essere espresso, se invertibile, come un processo autoregressivo infinito, cioè AR ( ) .
3) un I coefficienti di autocorrelazione totale k di MA(r ) si comportano analogamente ai coeff. di autocorrelazione parziale k k di un 42 AR(r ).
I coefficienti k k di un MA(r) si comportano in modo analogo ai coefficienti k di un AR(r) Esempi: k AR(1) k MA(1) k k k k k AR(2) k MA(2) k k k k 43
Processo ARMA(pq)
AR ( p ) z t 1 z t 1 ...
p z t p a t (*) residuo o “innovazione” N 0 , 2 , indipend.
Se a t non segue tali ipotesi, ma invece si comporta come una media mobile di ordine q e quindi risulta: a t 1 a t 1 ...
q a t q Sostituendo in (*) si ha: z t 1 z t 1 ...
p z t p ( ) a t 1 a t 1 ...
q a t q che è un processo misto autoregressivo di ordine p, con media mobile di ordine q, cioè un ARMA(pq).
44
Usando l’operatore B si ottiene: z t a t dove 1 1 B 2 B 2 ...
p B p
1 1 B 2 B 2 ...
q B q Stazionarietà Per la condizione di stazionarietà della componente AR(p), le radici dell’equazione
1 1 B ...
p B p 0 devono essere esterne al cerchio unitario.
Invertibilità Analogamente, per MA(q) le radici di
1 1 B ...
q B q 0 devono anch’esse essere esterne al cerchio unitario.
45
Media Se ARMA(pq) è completo, cioè è presente anche una costante : E t 1 E E t t 1 1 E t 1 ...
...
p E q t p E t q da cui: E
t 1 1 ...
p Per cui se 0 , E
t 0 Autocovarianza Si indichi con z a a t , quindi: z a la covarianza tra E
z t k z
a t a
z t e 46
Moltiplicando ( ) per z t k media, si ha: e considerando la k 1 k 1 ...
p k p q z a
k q
z a , 1 z a
k 1 ( )
k q Siccome z t k dipende dai valori fino a j = t-k , segue che: a j generati E a E a t t z t j z t j 0 0 , j 0 , j 0 Quindi se k>q le a z 0 relazione ( ) si riduce a: e allora la k 1 k 1 2 k 2 ...
p k p 47
Varianza per k=0 0 1 1 ...
p p a 2 1 z a q z a Autocorrelazione k 1 k 1 2 k 2 ...
p k p ...
Autocorrelazione parziale Se ARMA(pq) è invertibile, a t
z t Siccome la serie 1
è infinita, anche l’autocorrelazione parziale è infinita, con un andamento simile all’autocorrelazione parziale di un MA(q).
48
Modelli Box & Jenkins per serie non stazionarie in media (modelli ARIMA)
Quando le condizioni di stazionarietà richieste per i modelli BJ non sono presenti si possono avere due forme di non stazionarietà: quella esplosiva quella omogenea Si ha la prima quando almeno una radice dell’equazione caratteristica è in modulo < 1.
Si ha la seconda quando almeno una delle radici dell’equazione caratteristica è unitaria (cioè sul cerchio di raggio unitario).
I fenomeni socio-economici ben difficilmente presentano non stazionarietà esplosiva, limitandosi a forme omogenee, così dette perché a parte variazioni nel livello e/o nell’andamento di fondo (trend), la serie è di tipo stazionario.
49
In altri termini la serie non è temporaneamente costante nel suo livello medio, ma comunque tende a disporsi stabilmente intorno a tale livello medio.
Trasformazioni stazionarizzanti
.
Una serie storica in cui è presente una non stazionarietà omogenea è facilmente trasformabile in una di tipo stazionario prendendo un adeguato differenze successive.
numero di Esempio: z t non stazion.
omogenea z t z t z t 1 stazion.
50
Un possibile modo di rappresentare una serie storica non stazion. omogenea è introdurre in un modello ARMA(pq) un operatore alle differenze finite di ordine opportuno.
Integrando le componenti AR(p) e MA(q) con la componente I(d) si ha il modello ARIMA(p,d,q).
Per definire formalmente tale modello si deve prima definire l’operatore autoregressivo generalizzato 1 1 B 2 B 2 ...
p d B p d che è un polinomiale di grado p+d con d radici uguali ad 1 e le altre p radici maggiori di 1.
Pertanto:
1
1 r 1 r 1 B B
1
1 r 2 r 2 B 2 , 1 B 2 , 1 r p r p d B p d B p
1 B
d 51
Questo perché d radici sono unitarie.
I fattori della parte destra dell’equazione meno l’ultimo sono niente altro che l’operatore di un AR(p) stazionario.
Quindi: 1 B d Cioè:
z t
1 B
d z t d z t a t * che scritto per esteso diviene: z t z t 1 ...
p d z t p d a t a t 1 ...
q a t q 52
Pertanto se w t d z t La * diviene:
w t
a t che altro non è se non un ARMA sulle differenze di ordine d dei valori z t .
Quindi sostituendo d z t con w t il processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile z t riduce ad un ARMA(pq) sulla variabile Allora il processo non stazionario w t .
si esprimibile come combinazione del processo stazionario differenze d
1 e dell’operatore alle B
d .
è Tale combinazione determina il processo integrato ARIMA(p,d,q) che pertanto è parte di una classe di processi più ampia di quelli ARMA che da essa discendono.
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La terminologia “integrato” deriva poi dalla seguente notazione: siccome abbiamo definito w t z t z t 1 ed evidentemente z t z t z t 1 z t 1 z t 2 ...
Allora: z t w t w t 1 w t 2 ...
cioè la serie z t risulta essere la somma di tutte “le variazioni“ del fenomeno fino al tempo t compreso.
Ciò determina, in analogia con le funzioni continue, una sorta di integrazione sulla variabile w t .
Il processo ARIMA(p,d,q) è poi caratterizzato dall’essere di tipo “omogeneo”, indipendente cioè dal livello assunto da z t .
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Si aggiunga infatti nel modello che esprime z t una costante arbitraria a tutti i termini fino a quello di ordine t-1 ; in altri termini: z t
z t p 1 z t p c
c 1
z
z t t 1 2 c c
z
a t t 2 c
...
1 a t 1 ...
q a t q z t che è come dire: z t 1 a t 1 z t 1 z t 2 ...
p z t p 1 a t 1 ...
q a t q z t p 1 c Cioè con l’aumento di tutti i termini della costante c, anche Quindi una z t serie risulta aumentato di c.
non stazionaria ma omogenea si comporta come una serie stazionaria, poiché il suo andamento è indipendente dal livello della serie.
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Casi particolari di ARIMA(p,d,q)
Assegnando valori particolari ai parametri si determinano applicativo.
casi di notevole interesse caso completo ARIMA(1,1,1) Modello:
1 1 B
z t
1 1 B
a t riscrivibile come
1 1 B
w t
1 1 B
a t Il grafico che segue è relativo ad una configurazione simulata con 1 0 , 8 e 1 0 , 4 ; la riproduzione di configurazioni empiriche di carattere socio-economico è abbastanza evidente.
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z t t Caso incompleto ARIMA(1,1,0) ARI Modello
1 1 B
z t a t Una rappresentazione simulata, con 0 , 3 mostra anch’essa l’aderenza a possibili configurazioni empiriche.
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caso incompleto ARIMA(0,1,1) IMA Modello z t
1 1 B
a t 1 0 , 6 caso incompleto con costante Se in un ARIMA(p,d,q) le differenze prime: w t z t z t 1 sono stazionarie, la presenza di una costante in AR provoca una media diversa da 0 data da: E t 1 1 2 ...
p 58
Se 0 ciò significa che la media delle differenze prime tende a crescere o a decrescere.
Quindi la costante introduce un trend crescente o decrescente Modello ARIMA(1,1,1) con parametri 1 1 , 3 1 .
0 , 8 Ponendo nella * : w t d z t w t
a t 0 , 5 e 59
Che è un ARMA applicato alle differenze di ordine d degli z t medesimi.
, invece che ai valori z t In altri termini, sostituendo d z t con w t il processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile z t , si riduce ad un processo ARMA(p,q) applicato alla variabile w t .
In questo modo il processo non stazionario è espresso in funzione stazionario differenze finite d dell’operatore
e dell’operatore alle 1 B .
d Ovviamente la classe di modelli ARIMA(p,d,q), essendo ancor più generale di quella ARMA, include gli stessi.
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