Transcript Indici temporali
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Indici temporali di un flusso di
pagamenti
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Indici temporali di un flusso di
pagamenti
• Consideriamo una rendita costituita da n
rate R1, R2, …, Rn non necessariamente
costanti, con valuta t1, t2,…,tn.
• Vogliamo associare ad una rendita un
indice temporale che sintetizzi la
distribuzione delle rate nel tempo.
• Vita a scadenza: tn-t0
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Scadenza media aritmetica
• È la media aritmetica delle scadenze ti
ponderate con pesi dati dagli importi Ri
delle rate
n
Rk tk
t
k 1
n
Rk
k 1
n
Rk
t
n
k 1
Rk
k 1
t
k
La scadenza media aritmetica non dipende né dal
tasso di valutazione né dal regime di attualizzazione.
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ESEMPIO
• La scadenza media aritmetica di una
rendita così costituita:
(10000; 2), (11500; 4), (13000; 6).
t
10000 2 11500 4 13000 6
10000 11500 13000
4 ,174
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Scadenza media
• È definita come la scadenza z di un unico capitale W di
importo pari alla somma delle rate in modo tale che il
valore attuale di W, in un regime di sconto opportuno,
coincida con il valore attuale della rendita.
n
Wg ( z ) R k
k 1
n
g ( z ) Rk g k (tk )
k 1
In particolare, se il regime di sconto è quello composto,
W (1 i )
z
n
Rk
k 1
n
z
k
(
1
i
)
R
(
1
i
)
k
k 1
Passando ai logaritmi otteniamo:
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Scadenza media
n
n
z
k
ln R k ln( 1 i ) ln R k (1 i )
k 1
k 1
n
n
k 1
k 1
ln R k ln R k 1 i
z
ln 1 i
• la scadenza media dipende:
- dal regime di attualizzazione
- dal tasso di valutazione usato.
k
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Scadenza media
• Si dimostra che, per i regimi di sconto fin
qui descritti, la scadenza media esiste
sempre, è unica e risulta compresa tra la
scadenza della prima e dell'ultima rata.
• Si dimostra inoltre che, nel regime a
sconto commerciale, la scadenza media e
la scadenza media aritmetica coincidono
(DIM).
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Proprietà della scadenza media in
regime composto
• La scadenza media è sempre inferiore alla
corrispondente scadenza media aritmetica per
qualunque valore positivo del tasso di interesse
periodale i:
n
n
k 1
k 1
ln R k ln R k 1 i
z
z t
ln 1 i
i 0
k
n
Rk
t
n
k 1
Rk
k 1
t
k
La scadenza media è funzione decrescente
del tasso di interesse periodale i: dz
0
di
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Proprietà della scadenza media in
regime composto
• All’approssimarsi a 0 del tasso di interesse periodale i, la
scadenza media tende a coincidere con la scadenza
media aritmetica:
lim z t
i 0
• All’aumentare del valore del tasso di interesse
periodale i, la scadenza media tende a coincidere
con la scadenza della prima rata:
lim z t1
i
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Esempio
• Si prevede di incassare Euro 500 tra un mese e
Euro 800 tra due mesi. Qual è la scadenza
media in regime composto al tasso annuo i =
8%?
• Il tasso da utilizzare è quello equivalente
mensile i12 = 0.006434.
z
ln 1300 ln( 500 (1 0 . 006434 )
1
800 (1 0 . 006434 )
ln 1 0 . 006434
2
)
z = 1.6146 mesi.
La scadenza media z è un mese e 18 giorni.
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Durata media finanziaria
(duration)
• È una scadenza media aritmetica avente
per pesi i valori attuali delle rate:
k
n
R
v
k
D
n
k
k 1
R
v
k
k 1
t
k
Misura la distanza da t0 del baricentro della distribuzione temporale delle
masse
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ESEMPIO
• La duration di una rendita così costituita:
(10000; 2), (11500; 4), (13000; 6),
tasso interesse annuale 0,1
d
10000 (1,1)
2
2 11500 (1,1)
10000 (1,1)
2
4
11500 (1,1)
4 13000 (1,1)
4
13000 (1,1)
6
6
6
3 ,921
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Duration rendita rata costante
n
D
k 1
k
Rv
tk
n
k
Rv
k 1
• La duration è indipendente dalla rata
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Esempio
• Consideriamo le due rendite finanziariamente
equivalenti (valore attuale = 110) e il fattore di
sconto composto
A 10 ; 0 , 110 ;1
g (t )
B 66 ;1 , 60 ,5 ; 2
1
1 0 . 1 t
D A 0 ,909
z A 0 . 913
t A 0 . 917
D B 1 . 4545
z B 1 . 466
t B 1 . 478
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Scadenza media aritmetica
n
Rk
t
n
k 1
Rk
k 1
t
k
t A 0 * (10 ) / 120 1 * (110 ) / 120 0 , 917
t B 1 * ( 66 ) / 126 , 5 2 * ( 60 , 5 ) / 126 , 5 1, 478
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Scadenza media
n
n
k 1
k 1
ln R k ln R k 1 i
z
k
ln 1 i
1
zA
ln 120 ln(10 110(1 0.1) )
zB
ln 1 0.1
ln 126.5 ln(66(1 0.1)
1
0.913
2
60.5(1 0.1) )
ln 1 0.1
1.466
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duration
k
n
R
v
k
D
n
k
k 1
Rk v
k 1
t
k
1
dA
110 (1,1)
dB
66 (1,1)
1
0 ,909
110
1
1 60 ,5 (1,1)
110
2
2
1, 4545
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Esercizi
• ACD: cap.5 es.5.10, cap. 10 es.10.16
punto a), es.10.18 punto a)
• BC: cap. 2 es.8,
Indici temporali di un flusso di
pagamenti
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Indici temporali di un flusso di
pagamenti
• Consideriamo una rendita costituita da n
rate R1, R2, …, Rn non necessariamente
costanti, con valuta t1, t2,…,tn.
• Vogliamo associare ad una rendita un
indice temporale che sintetizzi la
distribuzione delle rate nel tempo.
• Vita a scadenza: tn-t0
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Scadenza media aritmetica
• È la media aritmetica delle scadenze ti
ponderate con pesi dati dagli importi Ri
delle rate
n
Rk tk
t
k 1
n
Rk
k 1
n
Rk
t
n
k 1
Rk
k 1
t
k
La scadenza media aritmetica non dipende né dal
tasso di valutazione né dal regime di attualizzazione.
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ESEMPIO
• La scadenza media aritmetica di una
rendita così costituita:
(10000; 2), (11500; 4), (13000; 6).
t
10000 2 11500 4 13000 6
10000 11500 13000
4 ,174
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Scadenza media
• È definita come la scadenza z di un unico capitale W di
importo pari alla somma delle rate in modo tale che il
valore attuale di W, in un regime di sconto opportuno,
coincida con il valore attuale della rendita.
n
Wg ( z ) R k
k 1
n
g ( z ) Rk g k (tk )
k 1
In particolare, se il regime di sconto è quello composto,
W (1 i )
z
n
Rk
k 1
n
z
k
(
1
i
)
R
(
1
i
)
k
k 1
Passando ai logaritmi otteniamo:
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Scadenza media
n
n
z
k
ln R k ln( 1 i ) ln R k (1 i )
k 1
k 1
n
n
k 1
k 1
ln R k ln R k 1 i
z
ln 1 i
• la scadenza media dipende:
- dal regime di attualizzazione
- dal tasso di valutazione usato.
k
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Scadenza media
• Si dimostra che, per i regimi di sconto fin
qui descritti, la scadenza media esiste
sempre, è unica e risulta compresa tra la
scadenza della prima e dell'ultima rata.
• Si dimostra inoltre che, nel regime a
sconto commerciale, la scadenza media e
la scadenza media aritmetica coincidono
(DIM).
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Proprietà della scadenza media in
regime composto
• La scadenza media è sempre inferiore alla
corrispondente scadenza media aritmetica per
qualunque valore positivo del tasso di interesse
periodale i:
n
n
k 1
k 1
ln R k ln R k 1 i
z
z t
ln 1 i
i 0
k
n
Rk
t
n
k 1
Rk
k 1
t
k
La scadenza media è funzione decrescente
del tasso di interesse periodale i: dz
0
di
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Proprietà della scadenza media in
regime composto
• All’approssimarsi a 0 del tasso di interesse periodale i, la
scadenza media tende a coincidere con la scadenza
media aritmetica:
lim z t
i 0
• All’aumentare del valore del tasso di interesse
periodale i, la scadenza media tende a coincidere
con la scadenza della prima rata:
lim z t1
i
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Esempio
• Si prevede di incassare Euro 500 tra un mese e
Euro 800 tra due mesi. Qual è la scadenza
media in regime composto al tasso annuo i =
8%?
• Il tasso da utilizzare è quello equivalente
mensile i12 = 0.006434.
z
ln 1300 ln( 500 (1 0 . 006434 )
1
800 (1 0 . 006434 )
ln 1 0 . 006434
2
)
z = 1.6146 mesi.
La scadenza media z è un mese e 18 giorni.
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Durata media finanziaria
(duration)
• È una scadenza media aritmetica avente
per pesi i valori attuali delle rate:
k
n
R
v
k
D
n
k
k 1
R
v
k
k 1
t
k
Misura la distanza da t0 del baricentro della distribuzione temporale delle
masse
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ESEMPIO
• La duration di una rendita così costituita:
(10000; 2), (11500; 4), (13000; 6),
tasso interesse annuale 0,1
d
10000 (1,1)
2
2 11500 (1,1)
10000 (1,1)
2
4
11500 (1,1)
4 13000 (1,1)
4
13000 (1,1)
6
6
6
3 ,921
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Duration rendita rata costante
n
D
k 1
k
Rv
tk
n
k
Rv
k 1
• La duration è indipendente dalla rata
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Esempio
• Consideriamo le due rendite finanziariamente
equivalenti (valore attuale = 110) e il fattore di
sconto composto
A 10 ; 0 , 110 ;1
g (t )
B 66 ;1 , 60 ,5 ; 2
1
1 0 . 1 t
D A 0 ,909
z A 0 . 913
t A 0 . 917
D B 1 . 4545
z B 1 . 466
t B 1 . 478
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Scadenza media aritmetica
n
Rk
t
n
k 1
Rk
k 1
t
k
t A 0 * (10 ) / 120 1 * (110 ) / 120 0 , 917
t B 1 * ( 66 ) / 126 , 5 2 * ( 60 , 5 ) / 126 , 5 1, 478
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Scadenza media
n
n
k 1
k 1
ln R k ln R k 1 i
z
k
ln 1 i
1
zA
ln 120 ln(10 110(1 0.1) )
zB
ln 1 0.1
ln 126.5 ln(66(1 0.1)
1
0.913
2
60.5(1 0.1) )
ln 1 0.1
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duration
k
n
R
v
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D
n
k
k 1
Rk v
k 1
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110 (1,1)
dB
66 (1,1)
1
0 ,909
110
1
1 60 ,5 (1,1)
110
2
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Esercizi
• ACD: cap.5 es.5.10, cap. 10 es.10.16
punto a), es.10.18 punto a)
• BC: cap. 2 es.8,