Transcript Vademecum
Slide 1
Gemaakt op basis van
verschillende wiskundesites
Uitgewerkt door Tom Van Daele
Slide 2
Getallenverzamelingen
INHOUDSTAFEL
Meetkundige benamingen
Kenmerken van deelbaarheid (N)
schaal
Priemgetallen
Maten herleiden
Ontbinden in priemfactoren
Merkwaardige lijnen in een driehoek
Rekenregels bewerkingen in (Z)
Merkwaardige lijnen en hoeken in een cirkel
Rekenregels bewerkingen breuken (Q)
Soorten hoeken
Rekenregels bewerkingen decimale getallen (Q)
Buitenhoek van een driehoek
Gemiddelde en mediaan
Hoekensom van veelhoeken
Oplossen van vergelijkingen
Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren
Procentberekening
Eigenschappen (en definities) van vlakke figuren
Rekenregels bewerkingen machten
Oppervlakte en Volume van ruimtefiguren
Eentermen
Transformaties van het vlak
Veeltermen
Congruentie
Merkwaardige producten
Gelijkvormigheden
Ontbinden in factoren
Evenredige grootheden
Slide 3
•
•
•
•
N = {0,1,2,3,...}
Z ={...−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
Q= alle getallen die als breuk kunnen geschreven worden
R= alle getallen die een decimale schrijfwijze hebben
: natuurlijke getallen
: gehele getallen
: rationale getallen
: reële getallen
Opmerkingen
•
a) Elk rationaal getal is eveneens te schrijven als een repeterende decimale vorm en omgekeerd.
Vb.: 11/12 = 0,916666… niet-repeterend deel : 91 en periode : 6
Cijfers nà de komma noemen we decimalen.
Een decimaal getal is een rationaal getal met periode nul.
•
b) Een niet-repeterende decimale vorm noemen we een
irrationaal getal.
Vb.:
π = 3,141592653589793238462643383...
•
c) Met elk reëel getal komt juist één punt van de getallenas overeen en omgekeerd.
•
d) Twee getallen zijn elkaars tegengestelde als hun som nul is.
•
e) Twee getallen zijn elkaars omgekeerde als hun product één is.
•
f) De absolute waarde van een getal is dat getal zonder tekens. Vb.: |-7| = 7 en |+7| = 7 en vandaar : |-13| = |+13| = 13
•
g) Breuken zijn gelijknamig als ze een zelfde noemer hebben.
•
h) Een echte breuk is een breuk waarbij de teller kleiner is dan de noemer.
Een onechte breuk is een breuk waarbij de teller groter is dan of gelijk is aan de noemer.
Slide 4
Een getal is deelbaar door:
2:
is).
als het laatste cijfer van het getal deelbaar is door 2 (of het laatste cijfer 0, 2, 4, 6 of 8
3:
als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 3.
4:
als het getal gevormd door de 2 laatste cijfers deelbaar is door 4.
5:
als het laatste cijfer van het getal deelbaar is door 5 (of het laatste cijfer 0 of 5 is).
8:
als het getal gevormd door de 3 laatste cijfers deelbaar is door 8.
9:
als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 9.
25:
als het getal gevormd door de 2 laatste cijfers deelbaar is door 25
(of het getal eindigt op 00, 25, 50, 75).
125:
als het getal gevormd door de 3 laatste cijfers deelbaar is door 125.
Slide 5
Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee delers heeft.
Voorbeelden: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, …
Ontbinden
in priemfactoren
Grootste
gemeenschappelijke deler (N)
Kleinste
gemeenschappelijk veelvoud
(N)
Slide 6
Werkwijze
•Bepaal het quotiënt van het gegeven getal en
het kleinste priemgetal dat een deler is van het
gegeven getal.
•Schrijf het priemgetal rechts van het gegeven
getal en het quotiënt onder het getal.
•Bepaal op dezelfde wijze het kleinste
priemgetal dat een deler is van het gevonden
quotiënt.
•Herhaal dezelfde werkwijze tot het quotiënt 1
is.
•Noteer het getal als een product van de
priemfactoren.
Vb: Ontbind 150 in
priemfactoren
150
2
75
3
25
5
5
5
1
150 = 2 . 3 . 5²
Slide 7
•Ontbind elk getal in priemfactoren
Vb: Bepaal de ggd van 360 en 84
360
2
84
2
•Maak het product van de gemeenschappelijke
priemfactoren, elk met hun kleinste exponent.
180
2
42
2
90
2
21
3
45
3
7
7
Werkwijze
•Dit product is de grootste gemeenschappelijke
deler van de gegeven getallen.
15
5
1
3
5
1
84 = 2² . 3 . 7
360 = 2³ . 3² . 5
ggd (360, 84) = 2² . 3 = 4 . 3 = 12
Slide 8
Werkwijze
Vb: Bepaal kgv van 90 en 84
• Ontbind elk getal in priemfactoren .
90
2
84
2
• Maak het product van alle verschillende
priemfactoren, elk met hun grootste exponent.
45
3
42
2
15
3
21
3
5
5
7
7
• Dit product is het kleinste gemeenschappelijk
veelvoud van de gegeven getallen.
1
1
90 = 2 . 3² . 5
84 = 2² . 3 . 7
kgv (90,84)
= 2² 3² 5 7
= 4957
= 1 260
Slide 9
Vereenvoudigingregel
Optellen
van 2 gehele getallen
Vermenigvuldigen
Delen
van gehele getallen
van gehele getallen
Machtsverheffing
Haakjesregel
Volgorde
van bewerkingen
Slide 10
+ (+ ) wordt +
+ (- ) wordt -
- (+ ) wordt - (- ) wordt +
Slide 11
De twee termen hebben
hetzelfde toestandsteken
verschillend toestandsteken
- teken behouden
- teken van het getal met de
grootste absolute waarde
- absolute waarden optellen
- absolute waarden aftrekken
(grootste absolute waarde – kleinste abs. waarde)
Vb:
6+3=9
(-6) + (-3) = -9
(-6) + 3 = -3
6 + (-3) = 3
Slide 12
- teken bepalen a.d.h.v. de tekenregel: +)
+)
-)
-)
- absolute waarden vermenigvuldigen
Opmerking
even
product is positief
Vb:
6 3 = 18
(-6) (-3) = 18
(+
((+
(-
=
=
=
=
+
+
aantal negatieve factoren
oneven
product is negatief
(-6) 3 = -18
6 (-3) .(-2) . (-5) = -180
Slide 13
- teken bepalen a.d.h.v. de tekenregel: +)
+)
-)
-)
:
:
:
:
(+ = +
(- = (+ = (- = +
- absolute waarden delen
Vb:
6 :3 = 2
(-6) : (-3) = 2
(-6) : 3 = -2
6 : (-3) = -2
Slide 14
Een macht wordt negatief
Grondtal negatief is
en
Exponent oneven is
Een macht wordt positief: alle andere gevallen
Vb:
24 = 16
(-2)4 = 16
Grondtal
Exponent
Macht
(resultaat)
+
EVEN
+
+
ONEVEN
+
+
EVEN
+
-
ONEVEN
23 = 8
(-2)3 = -8
Slide 15
+ voor de haken: haken en plusteken weglaten (invoeren) en alle tekens van de termen
behouden.
Vb:
+ (a + b) = a + b
+ (-a – b) = -a - b
- voor de haken: haken en minteken weglaten (invoeren) en elke term binnen de haakjes
vervangen door zijn tegengestelde.
Vb:
- (a + b) = -a - b
- (-a – b) = a + b
Slide 16
1.
De bewerkingen binnen de Haken.
2.
Machtsverheffingen
3.
VierkantsWorteltrekkingen
4.
Vermenigvuldigen en Delen van links naar rechts.
5.
Optellen en Aftrekken van links naar rechts.
Slide 17
Breuken
optellen
Breuken
vermenigvuldigen
Breuken
delen
Slide 18
1.
Breuken vereenvoudigen (zowel in getallen als in tekens)
2.
Breuken gelijknamig maken (kgv van de noemers)
3.
Tellers optellen/aftrekken, noemer behouden
4.
Resultaat vereenvoudigen
Vb:
1
2
5
4
9
- + - = - + - = 2
5
10
10
10
Slide 19
1.
Eerst voor het toestandsteken zorgen (zie tekenregel vermenigvuldiging gehele
getallen)
2.
teller x teller
-----------------------------noemer x noemer
en dadelijk vereenvoudigen, niet eerst vermenigvuldigen
Opmerking
Het is nutteloos om de breuken eerst gelijknamig te maken.
VEREENVOUDIGEN: enkel bij maal diagonaal (ook vertikaal)
Vb:
1 x 2
2
- = - =
8 x 3
24
1
12
Slide 20
1.
Eerst voor het toestandsteken zorgen
2.
Eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk
Opmerking
De omgekeerde breuk bekom je door teller en noemer te wisselen.
Vb:
13 6
13
8
13
- : - = - . - = 4
8
4
6
1
2
26
. - = 6
6
13
= 3
Slide 21
Optellen/Aftrekken
Vermenigvuldigen
Delen
Machten
Slide 22
OPTELLEN
AFTREKKEN
1.
Komma’s onder elkaar
1.
Teken bepalen
2.
Optellen
2.
Komma’s onder elkaar
(getal met grootste absolute waarde
bovenaan)
3.
Aftrekken
31,3 + 5,4 = 36,7
5,4 – 36,7 = - 31,3
Slide 23
1.
Werk d vermenigvuldiging uit zonder komma’s
2.
Tel hoeveel cijfers er in totaal na de komma staan bij de factoren
3.
Plaats de komma in het bekomen product.
Slide 24
1.
Deler schrijven zonder komma.
2.
Deeltal evenveel rangen opschuiven als deler
3.
Deling uitwerken.
Vb:
21,7 : 0,07 =
2170 : 7 = 310
21,7 : 0,07 = 310
Slide 25
1.
Bepaal het teken (zie rekenregels machtsverheffing in Z)
2.
Rangen na de komma van het grondtal vermenigvuldigen met de exponent
Vb:
(0,3)³ =
2 (rangen na de komma) . 3 (exponent) = 6 rangen na de komma
3³ = 27
(0,3)³ = 0,000027
Slide 26
Rekenkundig gemiddelde
SOM van alle getallen
Het gemiddelde van enige getallen = --------------------------------aantal getallen
Mediaan
Mediaan van enige getallen:
even
mediaan is het rekenkundig
gemiddelde van de twee
middelste getallen
1) rangschik de getallen van klein naar groot
2) aantal getallen is
oneven
mediaan is het
middelste getal
Slide 27
Onbekende termen overbrengen naar het
ene lid (alles waar x bijstaat)
(+ wordt – en omgekeerd)
Bekende termen naar het andere lid.
(+ wordt – en omgekeerd)
Beide leden uitwerken (=herleiden)
Factor bij x overbrengen
(wordt in andere lid gedeeld)
2de lid uitwerken en/of vereenvoudigen
3x - 8 = 19 – 6x
3x + 6x = 19 + 8
9x = 27
27
x = --- of 27 : 9
9
x=3
Slide 28
Slide 29
Product van gelijksoortige machten
Quotiënt van gelijksoortige machten
Macht tot een macht verheffen
Macht van een product
Macht van een quotiënt
Wetenschappelijke notatie
Slide 30
Om gelijksoortige machten te
vermenigvuldigen:
•Behoud je het grondtal en
•Tel je de exponenten op.
Vb:
26 . 24 = 210
(-3)5 . (-3)7 = (-3)12
am . an = am+n
Slide 31
Om gelijksoortige machten te delen
•Behoud je het grondtal en
•trek je de exponenten van elkaar af. (exponent
deeltal - exponent deler)
Vb:
a³: a = a²
(-5)6
----- = (-5)1 = -5
(-5)5
am : an = am-n
Slide 32
Om een macht tot een macht te verheffen
•Behoud je het grondtal en
•Vermenigvuldig je de exponenten
Vb:
(63)5 = 615
( (-7)5)9 = (-7)45
( am ) n = am . n
Slide 33
( a . b . c )m = am . bm . cm
Om een product tot een macht te verheffen
•Verhef je elke factor tot die macht
Vb:
(4 . 100)3 = 43 . 1003
(-2 . 15)5 = (-2)5 . 155
Slide 34
Om een quotiënt tot een macht te verheffen
•Verhef je teller en noemer tot die macht
Vb:
(3:7)³ = 3³ : 7³
81
812
(----- )2 = -----7
72
a
am
( ----- )m = ----b
bm
Slide 35
Bij een wetenschappelijke notatie van getallen schrijf je het getal als een product van twee
factoren:
•De eerste factor is een decimaal getal met één beduidend cijfer (dit is een cijfer
verschillend van nul) voor de komma,
•De tweede factor is een macht van tien.
Vb:
321 000 = 3,21 . 105
0,00 047= 4,7 . 10-4
Slide 36
Optellen
en aftrekken
Vermenigvuldigen
Delen
Tot
een macht verheffen
Slide 37
Om de som (verschil) van gelijksoortige eentermen te berekenen;
•Bereken je de som (verschil) van de coëfficiënten en
•Behoud je het lettergedeelte.
Vb:
5a + 3ab = niet op te lossen, hebben niet hetzelfde letterdeel (dus niet
gelijksoortig)
5a + 6a = (5 + 6)a
= 11a
18a2 – 11 a2
= (18 – 11) a2
= 7 a2
Slide 38
Om het product van eentermen te berekenen;
•Vermenigvuldig je de coëfficiënten en
•Vermenigvuldig je de letterfactoren. (exponenten optellen)
Vb:
3 . 6 c4 = 18 c4
(-4 c) . 3 c² = -12 c³
(-5 c3) . (-7 c8) = 35c11
Slide 39
Om het quotiënt van eentermen te berekenen;
Deel je de coëfficiënten en
Deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken).
Vb:
27d8 : 3d2 = 9d6
(-35e10) : (-7e7) = 5e3
18d³e : (-6d) = 3d²e
Bij breuken opletten! Rekenregels toepassen!
Slide 40
Om de macht van een eenterm te berekenen;
•Verhef je de coëfficiënt tot die macht en
•Verhef je elke letterfactor tot die macht (exponenten vermenigvuldigen).
Vb:
(5h³)² = 25h6
(-3h4)3 = -27h12
Slide 41
Veeltermen
optellen/aftrekken
Veelterm
. Veelterm
Veelterm
. Eenterm
Veelterm
: Eenterm
Slide 42
Om de som (verschil) van veeltermen te berekenen;
•Werk je de haakjes weg (haakjesregel)
•Herleid je de bekomen veelterm.
Vb:
(3b + 6) – (2b – 3)
= 3b + 6 – 2b + 3
=b+9
Slide 43
Om het product van twee veeltermen te berekenen;
•Vermenigvuldig je elke term van de ene veelterm met elke term van de andere veelterm
(distributiviteit)
•Herleid je de bekomen veelterm.
Vb:
(a+ b) . (c – d)
(2g – 6) . (3g + 1)
= ac – ad +bc – bd
= 6g² + 2g – 18g – 6
= 6g² - 16g – 6
Slide 44
Om het product van een eenterm en een veelterm te berekenen;
•Vermenigvuldig je de eenterm met elke term van de veelterm
(distributiviteit)
•Tel je de bekomen producten op.
Vb:
a . (b – c) = ab - ac
3f . (5 – 4f) = 15f – 12f²
(-2f2) . (-7f3 + 4f8) =14f5 – 8f10
Slide 45
Om het quotiënt van veelterm en eenterm te berekenen;
•Deel je de coëfficiënten
•Deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken).
Vb:
(27d8 + 12d5) : 3d2 = 9d6+ 4d3
(-7e10 + 21e7) : (-7e7) = e3 – 3
(18d3e – 6d) : (-6d) = -3d²e + 1
Slide 46
(a + b)(a – b) = a² - b²
(3 x 5)(3 x 5) (3 x )
2
5
2
9x
(a + b)(a + b) = (a + b)²
= a² + 2.a.b + b²
(a – b)(a3 - b)
3
(a b ) a
(3x 5)
2
=2(a – b)²
2
3
3a b 3ab b
= a² - 2.a.b + b²
2
(3x ) 2.3x.5 5
2
9x
2
25
Indien a en b een
verschillend
toestandsteken
hebben is het
dubbel product
(middelste term)
negatief.
2
30 x 25
Slide 47
TWEETERM
DRIETERM
1) Gemeenschappelijke
factoren afzonderen
1) Gemeenschappelijk
factoren afzonderen
a . b + a . c = a . (b+c)
a . b + a . c -a . d = a . (b + c - d)
Voorbeeld
12x² - 8x = 2x . (6x – 4)
Voorbeeld
6x4 + 12x² - 8x= 2x . (3x3 + 6x – 4)
2) Verschil van twee kwadraten
ontbinden in factoren
2) Volkomen kwadraat ontbinden
in factoren
a² – b² = (a + b) . (a – b)
Voorbeeld
49z² - 25 = (7z + 5) . (7z – 5)
a² – 2 . a . b + b² = (a – b)²
Voorbeeld
4y² - 24y + 9 = (2y – 3)²
Slide 48
Evenredigheden
Definitie : Een evenredigheid is de gelijkheid van twee verhoudingen
3
6
Voorbeeld : ----- = ----4
8
is een evenredigheid
Recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden (klik hier)
Hoofdeigenschap van de evenredigheden
In een evenredigheid is het product van de middelste termen gelijk aan het
product van de uiterste termen.
a
c
Met symbolen : ----- = ----- a.d = b.c
b
d
(a en d: de uiterste termen)
(b en c : de middelste termen)
Slide 49
RECHT EVENREDIG
OMGEKEERD EVENREDIG
Voorbeeld:
X 4 6 8 10 16 20
----------------------------------------------Y 8 12 16 20 32 40
Voorbeeld:
X 1 2 3 4 5 6
---------------------------------------------Y 60 30 20 15 12 10
Het quotiënt is constant
Voorbeeld:
4 6 8 20
-- = -- = -- = -8 12 16 40
Grafiek:
Het product is constant
Voorbeeld:
Grafiek:
rechte door de oorsprong
hyperbool
1 . 60 = 2 . 30 = 3 . 20 = 4 . 15 = 5 . 12
Slide 50
Punt: A (hoofdletter)
Rechte: a (kleine letter) of AB (rechte door punten A en B)
Halfrechte:[AB (grenspunt A)
Lijnstuk: [AB] (grenspunten A en B)
Afstand: |AB| (afstand tussen de punten A en B)
Evenwijdigheid: a // b (de rechten a en b zijn evenwijdig)
Hoeken: Â (hoofdletter met een hoedje erop)
Hoekpunt: A (gewoon een hoofdletter)
Slide 51
Afstand op tekening
= -------------------------------Afstand in werkelijkheid
Verkleinende
schaal
De tekening is kleiner dan de werkelijkheid (landkaart)
Tekening
Werkelijkheid
1
10 000
De tekening is 10 000 keer kleiner dan de werkelijkheid
Vergrotende
schaal
De tekening is groter dan de werkelijkheid (tekening van een luis)
Tekening
50
Werkelijkheid
1
De tekening is 50 keer groter dan de werkelijkheid
Slide 52
Lengtematen
(per 10)
Oppervlaktematen
(per 100)
Volumematen
(per 1000)
Slide 53
- Een middelloodlijn staat loodrecht
op een zijde, in het midden van die
zijde.
- Een zwaartelijn verbindt een
hoekpunt met het midden van de
overstaande zijde.
- Een bissectrice of deellijn verdeelt
een hoek in twee gelijke delen.
- Een hoogtelijn gaat door een
hoekpunt en staat loodrecht op de
overstaande zijde of het verlengde
ervan.
Slide 54
Straal (|MS| is de straal.)
Een straal van een cirkel is de lengte van het lijnstuk bepaald door het middelpunt en een punt van
de cirkel.
Koorde ([CD] is een koorde.)
Een koorde van een cirkel is een lijnstuk bepaald door twee verschillende punten van de cirkel.
Middellijn (m is een middellijn.)
Een middellijn van een cirkel is een rechte
door het middelpunt van de cirkel.
Diameter (|AB| is de diameter.)
De diameter is de lengte van een koorde
door het middelpunt.
Opmerking: de diameter is het dubbele van
de straal.
Middelpuntshoek (Ô is een middelpuntshoek.)
Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt het middelpunt van de cirkel.
Omtrekshoek (Ŷ is een omtrekshoek.)
Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt een punt van de cirkel
en de benen snijden de cirkel.
Slide 55
Hoek (per 1)
Hoeken (per2)
Hoeken bij evenwijdige rechten en snijlijn
Slide 56
Nulhoek: een nulhoek is een hoek van 0°.
Scherpe hoek: een scherpe hoek is een hoek die groter is
dan 0° en kleiner dan 90°.
Rechte hoek: een rechte hoek is een hoek van 90°.
Stompe hoek: een stompe hoek is een hoek
die groter is dan 90° en kleiner dan 180°.
Gestrekte hoek: een gestrekte hoek is een hoek van 180°.
Concave hoek: een concave hoek is een hoek die
groter is dan 180°. Dit noem je ook
een inspringende hoek.
Slide 57
Overstaande hoeken: overstaande hoeken zijn twee hoeken waarvan
de benen in elkaars verlengde liggen.
Opmerking : overstaande hoeken zijn gelijk
Aanliggende hoeken: aanliggende hoeken zijn twee hoeken met een
gemeenschappelijk been (en een gemeenschappelijk
hoekpunt). Het gemeenschappelijk been ligt tussen de twee
andere benen.
Nevenhoeken: nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de som 180° is.
Complementaire hoeken: complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan
de som 90° is.
Supplementaire hoeken: zijn twee hoeken waarvan de som 180° is.
Slide 58
Â4 en Ê4 zijn overeenkomstige hoeken (zijn gelijk)
Â4 en Ê2 zijn verwisselende buitenhoeken (zijn gelijk)
Â1 en Ê4 zijn verwisselende binnenhoeken (zijn gelijk)
Â1 en Ê4 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de
snijlijn (zijn supplementair)
Â4 en Ê1 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de
snijlijn (zijn supplementair)
!!Supplementaire hoeken zijn hoeken die samen 180° zijn!!
Slide 59
Definitie
Een buitenhoek van een driehoek is een nevenhoek van een hoek van die driehoek.
Eigenschap
Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet-aanliggende hoeken van
die driehoek.
Â1 is een buitenhoek van driehoek ABC
Â1 = Ê + Ô
Slide 60
De hoekensom van een n-hoek = (n - 2) . 180°
De hoekensom van een driehoek = (3 - 2) .180°
= 1 . 180°
= 180°
De hoekensom van een vierhoek = (4 - 2) .180°
= 2 . 180°
= 360°
De hoekensom van een tienhoek = (10 - 2) . 180°
= 8 . 180°
= 1 440°
Slide 61
Driehoek
Ruit
Trapezium
Vierkant
Parallellogram
Cirkel
Rechthoek
Slide 62
O = som van de zijden
A = (b . h)
2
Slide 63
O = som van de zijden
A = (b + B) . h = (kleine basis . Grote basis) . hoogte
2
2
Slide 64
O = som van de zijden = 2 . (basis + Schuine zijde)
A = b . h = basis . hoogte
Slide 65
O = som van de zijden = 2 . (l + b)
A = l . b = lengte . breedte
Slide 66
O = som van de zijden = 4 . z
A = (d . D) = (kleine diagonaal . Grote diagonaal)
2
2
Slide 67
O = som van de zijden = 4 . z
A = z . z = z² = zijde . zijde
Slide 68
O = 2 . r . ╥ = 2 . straal . Pi (3,14)
A = r . R . ╥ = straal . straal . Pi
of d . ╥ = diameter . Pi
Slide 69
Definities
Trapezium: een vierhoek met minstens twee evenwijdige zijden.
Parallellogram: een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn.
Rechthoek: een vierhoek met vier gelijke hoeken.
Ruit: een vierhoek met vier even lange zijden.
Vierkant: een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier even lange zijden.
Eigenschappen
•VIERHOEKEN (klik hier)
•DRIEHOEKEN (klik hier)
Slide 70
Slide 71
Slide 72
Kubus
Kegel
Balk
Bol
Prisma
Algemeen
Piramide
Cilinder
Slide 73
A = 6. oppervlakte grondvlak
I = z . z . z = z³ = zijde . zijde . zijde
Slide 74
A = 2 . Oppervlakte grondvlak + 4 . Oppervlakte zijvlak
I = oppervlakte grondvlak . hoogte = l . b . h
Slide 75
A = 2 . Oppervlakte grondvlak + omtrek . hoogte
I = oppervlakte grondvlak . Hoogte
Oppervlakte grondvlak bestaat in voorbeeld uit 5 kleine driehoeken : 5 . z . a
2
Slide 76
A = Oppervlakte grondvlak (Z . Z) + 4 . Oppervlakte driehoek (opstaand vlak)
I = Oppervlakte grondvlak . Hoogte
Slide 77
A=
2 . Oppervlakte grondvlak (cirkel)
2 . (r . r . Pi)
I=
Oppervlakte grondvlak . Hoogte
2.(r . r . PI) . h
+ Oppervlakte mantel
+ (2. r . Pi) . h
Slide 78
A
I=
= oppervlakte grondvlak + oppervlakte zijvlak
= Pi . r² + Pi . r . a
( a² = h² + r² ) Pythagoras
oppervlakte grondvlak . Hoogte
Pi . r² . h
---------------------------------------------------- = ---------------3
3
Slide 79
A = 6. oppervlakte grondvlak
I = z . z . z = z³ = zijde . zijde . zijde
Slide 80
O = 2 . r . ╥ = 2 . straal . Pi (3,14)
A = r . R . ╥ = straal . straal . Pi
of d . ╥ = diameter . Pi
Slide 81
• De oppervlakte van een ruimtelichaam is gelijk aan de som van de oppervlakten
van elk vlak afzonderlijk.
• Is het grondvlak gelijk aan het bovenvlak, dan is de inhoud van een ruimtelichaam
gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak . hoogte.
• is er slechts één hoogste punt, dan moet je delen door drie.
Dus
opp(grondvlak) . Hoogte
------------------------------3
• De formules voor inhoud of volume blijven dezelfde voor een recht of een
scheefgetrokken lichaam. In het laatste geval kies je als hoogte de
(werkelijke) verticale hoogte.
Slide 82
Spiegeling
Verschuiving
Draaiing
Puntspiegeling
Slide 83
De spiegeling sa is bepaald door:
• de spiegelas: a
Eigenschappen:
Elke spiegeling bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte
stand.
Slide 84
De verschuiving tAB is bepaald door
een georiënteerd lijnstuk
• de richting: AB
• de lengte: |AB|
• de zin: van A naar B
Eigenschappen:
Elke verschuiving bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte
stand.
Elke verschuiving beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.
Slide 85
De draaiing is bepaald door :
• het centrum: O
• de hoek:
• de zin: positieve hoekgrootte
negatieve hoekgrootte
tegenwijzerzin
in wijzerzin
Eigenschappen:
Elke draaiing bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte
stand.
Slide 86
De puntspiegeling sA is bepaald door:
• het centrum: A
Eigenschappen:
Elke puntspiegeling bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de
loodrechte stand.
Elke puntspiegeling beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.
Slide 87
Definitie :
Figuren die elkaar volledig bedekken noem je congruente figuren.
Notatie : ΔABC ΔA’B’C’
ΔABC is congruent met ΔA’B’C’
ZZZ :
twee driehoeken zijn congruent als
al hun zijden twee aan twee gelijk zijn.
ZHZ :
twee driehoeken zijn congruent als twee zijden
en de ingesloten hoek twee aan twee gelijk zijn.
HZH :
twee driehoeken zijn congruent als een zijde en
de twee aanliggende hoeken twee aan twee gelijk zijn.
ZHH :
twee driehoeken zijn congruent als een zijde, een
aanliggende hoek en de overstaande hoek twee
aan twee gelijk zijn.
SZRZ90°: twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als ze de
schuine zijde en een paar rechthoekszijden gelijk hebben.
Slide 88
Definitie: Als je een figuur vergroot of verkleint, bekom je een gelijkvormige figuur.
Notatie: ΔABC ~ ΔA’B’C’
ΔABC is gelijkvormig met ΔA’B’C’
Eigenschappen:
Bij twee gelijkvormige figuren:
- zijn de overeenkomstige hoeken gelijk
is de verhouding tussen de lengten van de overeenkomstige zijden constant en
gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor r.
|AB| |AC| |BC|
------ = ------ = -----|EG| |GF| |EF|
Slide 89
Slide 90
Gemaakt op basis van
verschillende wiskundesites
Uitgewerkt door Tom Van Daele
Slide 2
Getallenverzamelingen
INHOUDSTAFEL
Meetkundige benamingen
Kenmerken van deelbaarheid (N)
schaal
Priemgetallen
Maten herleiden
Ontbinden in priemfactoren
Merkwaardige lijnen in een driehoek
Rekenregels bewerkingen in (Z)
Merkwaardige lijnen en hoeken in een cirkel
Rekenregels bewerkingen breuken (Q)
Soorten hoeken
Rekenregels bewerkingen decimale getallen (Q)
Buitenhoek van een driehoek
Gemiddelde en mediaan
Hoekensom van veelhoeken
Oplossen van vergelijkingen
Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren
Procentberekening
Eigenschappen (en definities) van vlakke figuren
Rekenregels bewerkingen machten
Oppervlakte en Volume van ruimtefiguren
Eentermen
Transformaties van het vlak
Veeltermen
Congruentie
Merkwaardige producten
Gelijkvormigheden
Ontbinden in factoren
Evenredige grootheden
Slide 3
•
•
•
•
N = {0,1,2,3,...}
Z ={...−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
Q= alle getallen die als breuk kunnen geschreven worden
R= alle getallen die een decimale schrijfwijze hebben
: natuurlijke getallen
: gehele getallen
: rationale getallen
: reële getallen
Opmerkingen
•
a) Elk rationaal getal is eveneens te schrijven als een repeterende decimale vorm en omgekeerd.
Vb.: 11/12 = 0,916666… niet-repeterend deel : 91 en periode : 6
Cijfers nà de komma noemen we decimalen.
Een decimaal getal is een rationaal getal met periode nul.
•
b) Een niet-repeterende decimale vorm noemen we een
irrationaal getal.
Vb.:
π = 3,141592653589793238462643383...
•
c) Met elk reëel getal komt juist één punt van de getallenas overeen en omgekeerd.
•
d) Twee getallen zijn elkaars tegengestelde als hun som nul is.
•
e) Twee getallen zijn elkaars omgekeerde als hun product één is.
•
f) De absolute waarde van een getal is dat getal zonder tekens. Vb.: |-7| = 7 en |+7| = 7 en vandaar : |-13| = |+13| = 13
•
g) Breuken zijn gelijknamig als ze een zelfde noemer hebben.
•
h) Een echte breuk is een breuk waarbij de teller kleiner is dan de noemer.
Een onechte breuk is een breuk waarbij de teller groter is dan of gelijk is aan de noemer.
Slide 4
Een getal is deelbaar door:
2:
is).
als het laatste cijfer van het getal deelbaar is door 2 (of het laatste cijfer 0, 2, 4, 6 of 8
3:
als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 3.
4:
als het getal gevormd door de 2 laatste cijfers deelbaar is door 4.
5:
als het laatste cijfer van het getal deelbaar is door 5 (of het laatste cijfer 0 of 5 is).
8:
als het getal gevormd door de 3 laatste cijfers deelbaar is door 8.
9:
als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 9.
25:
als het getal gevormd door de 2 laatste cijfers deelbaar is door 25
(of het getal eindigt op 00, 25, 50, 75).
125:
als het getal gevormd door de 3 laatste cijfers deelbaar is door 125.
Slide 5
Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee delers heeft.
Voorbeelden: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, …
Ontbinden
in priemfactoren
Grootste
gemeenschappelijke deler (N)
Kleinste
gemeenschappelijk veelvoud
(N)
Slide 6
Werkwijze
•Bepaal het quotiënt van het gegeven getal en
het kleinste priemgetal dat een deler is van het
gegeven getal.
•Schrijf het priemgetal rechts van het gegeven
getal en het quotiënt onder het getal.
•Bepaal op dezelfde wijze het kleinste
priemgetal dat een deler is van het gevonden
quotiënt.
•Herhaal dezelfde werkwijze tot het quotiënt 1
is.
•Noteer het getal als een product van de
priemfactoren.
Vb: Ontbind 150 in
priemfactoren
150
2
75
3
25
5
5
5
1
150 = 2 . 3 . 5²
Slide 7
•Ontbind elk getal in priemfactoren
Vb: Bepaal de ggd van 360 en 84
360
2
84
2
•Maak het product van de gemeenschappelijke
priemfactoren, elk met hun kleinste exponent.
180
2
42
2
90
2
21
3
45
3
7
7
Werkwijze
•Dit product is de grootste gemeenschappelijke
deler van de gegeven getallen.
15
5
1
3
5
1
84 = 2² . 3 . 7
360 = 2³ . 3² . 5
ggd (360, 84) = 2² . 3 = 4 . 3 = 12
Slide 8
Werkwijze
Vb: Bepaal kgv van 90 en 84
• Ontbind elk getal in priemfactoren .
90
2
84
2
• Maak het product van alle verschillende
priemfactoren, elk met hun grootste exponent.
45
3
42
2
15
3
21
3
5
5
7
7
• Dit product is het kleinste gemeenschappelijk
veelvoud van de gegeven getallen.
1
1
90 = 2 . 3² . 5
84 = 2² . 3 . 7
kgv (90,84)
= 2² 3² 5 7
= 4957
= 1 260
Slide 9
Vereenvoudigingregel
Optellen
van 2 gehele getallen
Vermenigvuldigen
Delen
van gehele getallen
van gehele getallen
Machtsverheffing
Haakjesregel
Volgorde
van bewerkingen
Slide 10
+ (+ ) wordt +
+ (- ) wordt -
- (+ ) wordt - (- ) wordt +
Slide 11
De twee termen hebben
hetzelfde toestandsteken
verschillend toestandsteken
- teken behouden
- teken van het getal met de
grootste absolute waarde
- absolute waarden optellen
- absolute waarden aftrekken
(grootste absolute waarde – kleinste abs. waarde)
Vb:
6+3=9
(-6) + (-3) = -9
(-6) + 3 = -3
6 + (-3) = 3
Slide 12
- teken bepalen a.d.h.v. de tekenregel: +)
+)
-)
-)
- absolute waarden vermenigvuldigen
Opmerking
even
product is positief
Vb:
6 3 = 18
(-6) (-3) = 18
(+
((+
(-
=
=
=
=
+
+
aantal negatieve factoren
oneven
product is negatief
(-6) 3 = -18
6 (-3) .(-2) . (-5) = -180
Slide 13
- teken bepalen a.d.h.v. de tekenregel: +)
+)
-)
-)
:
:
:
:
(+ = +
(- = (+ = (- = +
- absolute waarden delen
Vb:
6 :3 = 2
(-6) : (-3) = 2
(-6) : 3 = -2
6 : (-3) = -2
Slide 14
Een macht wordt negatief
Grondtal negatief is
en
Exponent oneven is
Een macht wordt positief: alle andere gevallen
Vb:
24 = 16
(-2)4 = 16
Grondtal
Exponent
Macht
(resultaat)
+
EVEN
+
+
ONEVEN
+
+
EVEN
+
-
ONEVEN
23 = 8
(-2)3 = -8
Slide 15
+ voor de haken: haken en plusteken weglaten (invoeren) en alle tekens van de termen
behouden.
Vb:
+ (a + b) = a + b
+ (-a – b) = -a - b
- voor de haken: haken en minteken weglaten (invoeren) en elke term binnen de haakjes
vervangen door zijn tegengestelde.
Vb:
- (a + b) = -a - b
- (-a – b) = a + b
Slide 16
1.
De bewerkingen binnen de Haken.
2.
Machtsverheffingen
3.
VierkantsWorteltrekkingen
4.
Vermenigvuldigen en Delen van links naar rechts.
5.
Optellen en Aftrekken van links naar rechts.
Slide 17
Breuken
optellen
Breuken
vermenigvuldigen
Breuken
delen
Slide 18
1.
Breuken vereenvoudigen (zowel in getallen als in tekens)
2.
Breuken gelijknamig maken (kgv van de noemers)
3.
Tellers optellen/aftrekken, noemer behouden
4.
Resultaat vereenvoudigen
Vb:
1
2
5
4
9
- + - = - + - = 2
5
10
10
10
Slide 19
1.
Eerst voor het toestandsteken zorgen (zie tekenregel vermenigvuldiging gehele
getallen)
2.
teller x teller
-----------------------------noemer x noemer
en dadelijk vereenvoudigen, niet eerst vermenigvuldigen
Opmerking
Het is nutteloos om de breuken eerst gelijknamig te maken.
VEREENVOUDIGEN: enkel bij maal diagonaal (ook vertikaal)
Vb:
1 x 2
2
- = - =
8 x 3
24
1
12
Slide 20
1.
Eerst voor het toestandsteken zorgen
2.
Eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk
Opmerking
De omgekeerde breuk bekom je door teller en noemer te wisselen.
Vb:
13 6
13
8
13
- : - = - . - = 4
8
4
6
1
2
26
. - = 6
6
13
= 3
Slide 21
Optellen/Aftrekken
Vermenigvuldigen
Delen
Machten
Slide 22
OPTELLEN
AFTREKKEN
1.
Komma’s onder elkaar
1.
Teken bepalen
2.
Optellen
2.
Komma’s onder elkaar
(getal met grootste absolute waarde
bovenaan)
3.
Aftrekken
31,3 + 5,4 = 36,7
5,4 – 36,7 = - 31,3
Slide 23
1.
Werk d vermenigvuldiging uit zonder komma’s
2.
Tel hoeveel cijfers er in totaal na de komma staan bij de factoren
3.
Plaats de komma in het bekomen product.
Slide 24
1.
Deler schrijven zonder komma.
2.
Deeltal evenveel rangen opschuiven als deler
3.
Deling uitwerken.
Vb:
21,7 : 0,07 =
2170 : 7 = 310
21,7 : 0,07 = 310
Slide 25
1.
Bepaal het teken (zie rekenregels machtsverheffing in Z)
2.
Rangen na de komma van het grondtal vermenigvuldigen met de exponent
Vb:
(0,3)³ =
2 (rangen na de komma) . 3 (exponent) = 6 rangen na de komma
3³ = 27
(0,3)³ = 0,000027
Slide 26
Rekenkundig gemiddelde
SOM van alle getallen
Het gemiddelde van enige getallen = --------------------------------aantal getallen
Mediaan
Mediaan van enige getallen:
even
mediaan is het rekenkundig
gemiddelde van de twee
middelste getallen
1) rangschik de getallen van klein naar groot
2) aantal getallen is
oneven
mediaan is het
middelste getal
Slide 27
Onbekende termen overbrengen naar het
ene lid (alles waar x bijstaat)
(+ wordt – en omgekeerd)
Bekende termen naar het andere lid.
(+ wordt – en omgekeerd)
Beide leden uitwerken (=herleiden)
Factor bij x overbrengen
(wordt in andere lid gedeeld)
2de lid uitwerken en/of vereenvoudigen
3x - 8 = 19 – 6x
3x + 6x = 19 + 8
9x = 27
27
x = --- of 27 : 9
9
x=3
Slide 28
Slide 29
Product van gelijksoortige machten
Quotiënt van gelijksoortige machten
Macht tot een macht verheffen
Macht van een product
Macht van een quotiënt
Wetenschappelijke notatie
Slide 30
Om gelijksoortige machten te
vermenigvuldigen:
•Behoud je het grondtal en
•Tel je de exponenten op.
Vb:
26 . 24 = 210
(-3)5 . (-3)7 = (-3)12
am . an = am+n
Slide 31
Om gelijksoortige machten te delen
•Behoud je het grondtal en
•trek je de exponenten van elkaar af. (exponent
deeltal - exponent deler)
Vb:
a³: a = a²
(-5)6
----- = (-5)1 = -5
(-5)5
am : an = am-n
Slide 32
Om een macht tot een macht te verheffen
•Behoud je het grondtal en
•Vermenigvuldig je de exponenten
Vb:
(63)5 = 615
( (-7)5)9 = (-7)45
( am ) n = am . n
Slide 33
( a . b . c )m = am . bm . cm
Om een product tot een macht te verheffen
•Verhef je elke factor tot die macht
Vb:
(4 . 100)3 = 43 . 1003
(-2 . 15)5 = (-2)5 . 155
Slide 34
Om een quotiënt tot een macht te verheffen
•Verhef je teller en noemer tot die macht
Vb:
(3:7)³ = 3³ : 7³
81
812
(----- )2 = -----7
72
a
am
( ----- )m = ----b
bm
Slide 35
Bij een wetenschappelijke notatie van getallen schrijf je het getal als een product van twee
factoren:
•De eerste factor is een decimaal getal met één beduidend cijfer (dit is een cijfer
verschillend van nul) voor de komma,
•De tweede factor is een macht van tien.
Vb:
321 000 = 3,21 . 105
0,00 047= 4,7 . 10-4
Slide 36
Optellen
en aftrekken
Vermenigvuldigen
Delen
Tot
een macht verheffen
Slide 37
Om de som (verschil) van gelijksoortige eentermen te berekenen;
•Bereken je de som (verschil) van de coëfficiënten en
•Behoud je het lettergedeelte.
Vb:
5a + 3ab = niet op te lossen, hebben niet hetzelfde letterdeel (dus niet
gelijksoortig)
5a + 6a = (5 + 6)a
= 11a
18a2 – 11 a2
= (18 – 11) a2
= 7 a2
Slide 38
Om het product van eentermen te berekenen;
•Vermenigvuldig je de coëfficiënten en
•Vermenigvuldig je de letterfactoren. (exponenten optellen)
Vb:
3 . 6 c4 = 18 c4
(-4 c) . 3 c² = -12 c³
(-5 c3) . (-7 c8) = 35c11
Slide 39
Om het quotiënt van eentermen te berekenen;
Deel je de coëfficiënten en
Deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken).
Vb:
27d8 : 3d2 = 9d6
(-35e10) : (-7e7) = 5e3
18d³e : (-6d) = 3d²e
Bij breuken opletten! Rekenregels toepassen!
Slide 40
Om de macht van een eenterm te berekenen;
•Verhef je de coëfficiënt tot die macht en
•Verhef je elke letterfactor tot die macht (exponenten vermenigvuldigen).
Vb:
(5h³)² = 25h6
(-3h4)3 = -27h12
Slide 41
Veeltermen
optellen/aftrekken
Veelterm
. Veelterm
Veelterm
. Eenterm
Veelterm
: Eenterm
Slide 42
Om de som (verschil) van veeltermen te berekenen;
•Werk je de haakjes weg (haakjesregel)
•Herleid je de bekomen veelterm.
Vb:
(3b + 6) – (2b – 3)
= 3b + 6 – 2b + 3
=b+9
Slide 43
Om het product van twee veeltermen te berekenen;
•Vermenigvuldig je elke term van de ene veelterm met elke term van de andere veelterm
(distributiviteit)
•Herleid je de bekomen veelterm.
Vb:
(a+ b) . (c – d)
(2g – 6) . (3g + 1)
= ac – ad +bc – bd
= 6g² + 2g – 18g – 6
= 6g² - 16g – 6
Slide 44
Om het product van een eenterm en een veelterm te berekenen;
•Vermenigvuldig je de eenterm met elke term van de veelterm
(distributiviteit)
•Tel je de bekomen producten op.
Vb:
a . (b – c) = ab - ac
3f . (5 – 4f) = 15f – 12f²
(-2f2) . (-7f3 + 4f8) =14f5 – 8f10
Slide 45
Om het quotiënt van veelterm en eenterm te berekenen;
•Deel je de coëfficiënten
•Deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken).
Vb:
(27d8 + 12d5) : 3d2 = 9d6+ 4d3
(-7e10 + 21e7) : (-7e7) = e3 – 3
(18d3e – 6d) : (-6d) = -3d²e + 1
Slide 46
(a + b)(a – b) = a² - b²
(3 x 5)(3 x 5) (3 x )
2
5
2
9x
(a + b)(a + b) = (a + b)²
= a² + 2.a.b + b²
(a – b)(a3 - b)
3
(a b ) a
(3x 5)
2
=2(a – b)²
2
3
3a b 3ab b
= a² - 2.a.b + b²
2
(3x ) 2.3x.5 5
2
9x
2
25
Indien a en b een
verschillend
toestandsteken
hebben is het
dubbel product
(middelste term)
negatief.
2
30 x 25
Slide 47
TWEETERM
DRIETERM
1) Gemeenschappelijke
factoren afzonderen
1) Gemeenschappelijk
factoren afzonderen
a . b + a . c = a . (b+c)
a . b + a . c -a . d = a . (b + c - d)
Voorbeeld
12x² - 8x = 2x . (6x – 4)
Voorbeeld
6x4 + 12x² - 8x= 2x . (3x3 + 6x – 4)
2) Verschil van twee kwadraten
ontbinden in factoren
2) Volkomen kwadraat ontbinden
in factoren
a² – b² = (a + b) . (a – b)
Voorbeeld
49z² - 25 = (7z + 5) . (7z – 5)
a² – 2 . a . b + b² = (a – b)²
Voorbeeld
4y² - 24y + 9 = (2y – 3)²
Slide 48
Evenredigheden
Definitie : Een evenredigheid is de gelijkheid van twee verhoudingen
3
6
Voorbeeld : ----- = ----4
8
is een evenredigheid
Recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden (klik hier)
Hoofdeigenschap van de evenredigheden
In een evenredigheid is het product van de middelste termen gelijk aan het
product van de uiterste termen.
a
c
Met symbolen : ----- = ----- a.d = b.c
b
d
(a en d: de uiterste termen)
(b en c : de middelste termen)
Slide 49
RECHT EVENREDIG
OMGEKEERD EVENREDIG
Voorbeeld:
X 4 6 8 10 16 20
----------------------------------------------Y 8 12 16 20 32 40
Voorbeeld:
X 1 2 3 4 5 6
---------------------------------------------Y 60 30 20 15 12 10
Het quotiënt is constant
Voorbeeld:
4 6 8 20
-- = -- = -- = -8 12 16 40
Grafiek:
Het product is constant
Voorbeeld:
Grafiek:
rechte door de oorsprong
hyperbool
1 . 60 = 2 . 30 = 3 . 20 = 4 . 15 = 5 . 12
Slide 50
Punt: A (hoofdletter)
Rechte: a (kleine letter) of AB (rechte door punten A en B)
Halfrechte:[AB (grenspunt A)
Lijnstuk: [AB] (grenspunten A en B)
Afstand: |AB| (afstand tussen de punten A en B)
Evenwijdigheid: a // b (de rechten a en b zijn evenwijdig)
Hoeken: Â (hoofdletter met een hoedje erop)
Hoekpunt: A (gewoon een hoofdletter)
Slide 51
Afstand op tekening
= -------------------------------Afstand in werkelijkheid
Verkleinende
schaal
De tekening is kleiner dan de werkelijkheid (landkaart)
Tekening
Werkelijkheid
1
10 000
De tekening is 10 000 keer kleiner dan de werkelijkheid
Vergrotende
schaal
De tekening is groter dan de werkelijkheid (tekening van een luis)
Tekening
50
Werkelijkheid
1
De tekening is 50 keer groter dan de werkelijkheid
Slide 52
Lengtematen
(per 10)
Oppervlaktematen
(per 100)
Volumematen
(per 1000)
Slide 53
- Een middelloodlijn staat loodrecht
op een zijde, in het midden van die
zijde.
- Een zwaartelijn verbindt een
hoekpunt met het midden van de
overstaande zijde.
- Een bissectrice of deellijn verdeelt
een hoek in twee gelijke delen.
- Een hoogtelijn gaat door een
hoekpunt en staat loodrecht op de
overstaande zijde of het verlengde
ervan.
Slide 54
Straal (|MS| is de straal.)
Een straal van een cirkel is de lengte van het lijnstuk bepaald door het middelpunt en een punt van
de cirkel.
Koorde ([CD] is een koorde.)
Een koorde van een cirkel is een lijnstuk bepaald door twee verschillende punten van de cirkel.
Middellijn (m is een middellijn.)
Een middellijn van een cirkel is een rechte
door het middelpunt van de cirkel.
Diameter (|AB| is de diameter.)
De diameter is de lengte van een koorde
door het middelpunt.
Opmerking: de diameter is het dubbele van
de straal.
Middelpuntshoek (Ô is een middelpuntshoek.)
Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt het middelpunt van de cirkel.
Omtrekshoek (Ŷ is een omtrekshoek.)
Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt een punt van de cirkel
en de benen snijden de cirkel.
Slide 55
Hoek (per 1)
Hoeken (per2)
Hoeken bij evenwijdige rechten en snijlijn
Slide 56
Nulhoek: een nulhoek is een hoek van 0°.
Scherpe hoek: een scherpe hoek is een hoek die groter is
dan 0° en kleiner dan 90°.
Rechte hoek: een rechte hoek is een hoek van 90°.
Stompe hoek: een stompe hoek is een hoek
die groter is dan 90° en kleiner dan 180°.
Gestrekte hoek: een gestrekte hoek is een hoek van 180°.
Concave hoek: een concave hoek is een hoek die
groter is dan 180°. Dit noem je ook
een inspringende hoek.
Slide 57
Overstaande hoeken: overstaande hoeken zijn twee hoeken waarvan
de benen in elkaars verlengde liggen.
Opmerking : overstaande hoeken zijn gelijk
Aanliggende hoeken: aanliggende hoeken zijn twee hoeken met een
gemeenschappelijk been (en een gemeenschappelijk
hoekpunt). Het gemeenschappelijk been ligt tussen de twee
andere benen.
Nevenhoeken: nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de som 180° is.
Complementaire hoeken: complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan
de som 90° is.
Supplementaire hoeken: zijn twee hoeken waarvan de som 180° is.
Slide 58
Â4 en Ê4 zijn overeenkomstige hoeken (zijn gelijk)
Â4 en Ê2 zijn verwisselende buitenhoeken (zijn gelijk)
Â1 en Ê4 zijn verwisselende binnenhoeken (zijn gelijk)
Â1 en Ê4 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de
snijlijn (zijn supplementair)
Â4 en Ê1 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de
snijlijn (zijn supplementair)
!!Supplementaire hoeken zijn hoeken die samen 180° zijn!!
Slide 59
Definitie
Een buitenhoek van een driehoek is een nevenhoek van een hoek van die driehoek.
Eigenschap
Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet-aanliggende hoeken van
die driehoek.
Â1 is een buitenhoek van driehoek ABC
Â1 = Ê + Ô
Slide 60
De hoekensom van een n-hoek = (n - 2) . 180°
De hoekensom van een driehoek = (3 - 2) .180°
= 1 . 180°
= 180°
De hoekensom van een vierhoek = (4 - 2) .180°
= 2 . 180°
= 360°
De hoekensom van een tienhoek = (10 - 2) . 180°
= 8 . 180°
= 1 440°
Slide 61
Driehoek
Ruit
Trapezium
Vierkant
Parallellogram
Cirkel
Rechthoek
Slide 62
O = som van de zijden
A = (b . h)
2
Slide 63
O = som van de zijden
A = (b + B) . h = (kleine basis . Grote basis) . hoogte
2
2
Slide 64
O = som van de zijden = 2 . (basis + Schuine zijde)
A = b . h = basis . hoogte
Slide 65
O = som van de zijden = 2 . (l + b)
A = l . b = lengte . breedte
Slide 66
O = som van de zijden = 4 . z
A = (d . D) = (kleine diagonaal . Grote diagonaal)
2
2
Slide 67
O = som van de zijden = 4 . z
A = z . z = z² = zijde . zijde
Slide 68
O = 2 . r . ╥ = 2 . straal . Pi (3,14)
A = r . R . ╥ = straal . straal . Pi
of d . ╥ = diameter . Pi
Slide 69
Definities
Trapezium: een vierhoek met minstens twee evenwijdige zijden.
Parallellogram: een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn.
Rechthoek: een vierhoek met vier gelijke hoeken.
Ruit: een vierhoek met vier even lange zijden.
Vierkant: een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier even lange zijden.
Eigenschappen
•VIERHOEKEN (klik hier)
•DRIEHOEKEN (klik hier)
Slide 70
Slide 71
Slide 72
Kubus
Kegel
Balk
Bol
Prisma
Algemeen
Piramide
Cilinder
Slide 73
A = 6. oppervlakte grondvlak
I = z . z . z = z³ = zijde . zijde . zijde
Slide 74
A = 2 . Oppervlakte grondvlak + 4 . Oppervlakte zijvlak
I = oppervlakte grondvlak . hoogte = l . b . h
Slide 75
A = 2 . Oppervlakte grondvlak + omtrek . hoogte
I = oppervlakte grondvlak . Hoogte
Oppervlakte grondvlak bestaat in voorbeeld uit 5 kleine driehoeken : 5 . z . a
2
Slide 76
A = Oppervlakte grondvlak (Z . Z) + 4 . Oppervlakte driehoek (opstaand vlak)
I = Oppervlakte grondvlak . Hoogte
Slide 77
A=
2 . Oppervlakte grondvlak (cirkel)
2 . (r . r . Pi)
I=
Oppervlakte grondvlak . Hoogte
2.(r . r . PI) . h
+ Oppervlakte mantel
+ (2. r . Pi) . h
Slide 78
A
I=
= oppervlakte grondvlak + oppervlakte zijvlak
= Pi . r² + Pi . r . a
( a² = h² + r² ) Pythagoras
oppervlakte grondvlak . Hoogte
Pi . r² . h
---------------------------------------------------- = ---------------3
3
Slide 79
A = 6. oppervlakte grondvlak
I = z . z . z = z³ = zijde . zijde . zijde
Slide 80
O = 2 . r . ╥ = 2 . straal . Pi (3,14)
A = r . R . ╥ = straal . straal . Pi
of d . ╥ = diameter . Pi
Slide 81
• De oppervlakte van een ruimtelichaam is gelijk aan de som van de oppervlakten
van elk vlak afzonderlijk.
• Is het grondvlak gelijk aan het bovenvlak, dan is de inhoud van een ruimtelichaam
gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak . hoogte.
• is er slechts één hoogste punt, dan moet je delen door drie.
Dus
opp(grondvlak) . Hoogte
------------------------------3
• De formules voor inhoud of volume blijven dezelfde voor een recht of een
scheefgetrokken lichaam. In het laatste geval kies je als hoogte de
(werkelijke) verticale hoogte.
Slide 82
Spiegeling
Verschuiving
Draaiing
Puntspiegeling
Slide 83
De spiegeling sa is bepaald door:
• de spiegelas: a
Eigenschappen:
Elke spiegeling bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte
stand.
Slide 84
De verschuiving tAB is bepaald door
een georiënteerd lijnstuk
• de richting: AB
• de lengte: |AB|
• de zin: van A naar B
Eigenschappen:
Elke verschuiving bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte
stand.
Elke verschuiving beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.
Slide 85
De draaiing is bepaald door :
• het centrum: O
• de hoek:
• de zin: positieve hoekgrootte
negatieve hoekgrootte
tegenwijzerzin
in wijzerzin
Eigenschappen:
Elke draaiing bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte
stand.
Slide 86
De puntspiegeling sA is bepaald door:
• het centrum: A
Eigenschappen:
Elke puntspiegeling bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de
loodrechte stand.
Elke puntspiegeling beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.
Slide 87
Definitie :
Figuren die elkaar volledig bedekken noem je congruente figuren.
Notatie : ΔABC ΔA’B’C’
ΔABC is congruent met ΔA’B’C’
ZZZ :
twee driehoeken zijn congruent als
al hun zijden twee aan twee gelijk zijn.
ZHZ :
twee driehoeken zijn congruent als twee zijden
en de ingesloten hoek twee aan twee gelijk zijn.
HZH :
twee driehoeken zijn congruent als een zijde en
de twee aanliggende hoeken twee aan twee gelijk zijn.
ZHH :
twee driehoeken zijn congruent als een zijde, een
aanliggende hoek en de overstaande hoek twee
aan twee gelijk zijn.
SZRZ90°: twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als ze de
schuine zijde en een paar rechthoekszijden gelijk hebben.
Slide 88
Definitie: Als je een figuur vergroot of verkleint, bekom je een gelijkvormige figuur.
Notatie: ΔABC ~ ΔA’B’C’
ΔABC is gelijkvormig met ΔA’B’C’
Eigenschappen:
Bij twee gelijkvormige figuren:
- zijn de overeenkomstige hoeken gelijk
is de verhouding tussen de lengten van de overeenkomstige zijden constant en
gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor r.
|AB| |AC| |BC|
------ = ------ = -----|EG| |GF| |EF|
Slide 89
Slide 90