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§17 Produkte und Quotienten von Vektorräumen
(17.1) Satz-Definition: U und V seien K-Vektorräume. Das
mengentheoretische Produkt
U  V  {( u, v ) : u  U, v  V }

besitzt in natürlicher Weise eine K-Vektorraumstruktur durch: Für
alle (u,v), (x,y) aus U  V und t aus K sei
(u,v) + (x,y) := (u+x,v+y) und t(u,v) := (tu,tv) .
W : U  V mit dieser Struktur heißt das (Vektorraum-) Produkt der
Vektorräume u und V .
(17.2) Bemerkungen:
1o K  K ist uns bekannt und isomorph zu K2 .
2o Ebenso K  K , isomorph zu Kn+m.
3o In W : U  V hat man die Untervektorräume W : U  {0}
und W : {0}  V mit den bemerkenswerten Eigenschaften:
n

m

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Kapitel III, §17
i. W = W1 + W2 und W  W  {0} und
ii. jeder Vektor w aus W hat die eindeutige Darstellung
w = w1 + w2 mit w1 aus W1 und w2 aus W2 .
4o Analog definiert man das (K-Vektorraum-) Produkt von
endlich vielen K-Vektorräumen V1, V2, ... , Vn oder auch von beliebig
vielen K-Vektorräumen.
(17.3) Definition: Sei V ein K-Vektorraum mit Untervektorräumen
V1 und V2 . V heißt dann die direkte Summe der V1 und V2 , wenn
V = V1 + V2 und V  V  {0} .
Wenn U Untervektorraum von V ist, so heißt ein weiterer Untervektorraum W von V ein Komplement von U (oder Komplementärraum),
wenn V die direkte Summe von U und W ist.
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(17.4) Beispiele:
1o Zu einem Vektor x aus V = K2\{0} und U = Kx ist W = Ky
genau dann Komplement, wenn {x,y} linear unabhängig ist.
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Kapitel III, §17
2o {0} ist immer Komplement von V in V und vice versa.
3o Das Produkt W  U  V ist die direkte Summe von
W : U  {0} und W : {0}  V (vgl. 17.2.3o).
4o U sei Untervektorraum eines endlichdimensionalen
Vektorraums V. Sei {b1, b2, ... , br} Basis von U, und seien {br+1, ... ,
bn} weitere Vektoren in V, so dass {b1, b2, ... , bn} Basis von V ist.
Dann ist W := Span {br+1, ... , bn} ein Komplement von V.
(17.4) Lemma: Ein Untervektorraum U eines Vektorraums V besitzt
stets ein Komplement (das allerdings nicht eindeutig bestimmt ist).
(17.5) Satz: Für Untervektorräume V1, V2 von V mit V = V1 + V2 sind
die folgenden Aussagen äquivalent:
1o V ist die direkte Summe von V1 und V2 .
2o Jeder Vektor v aus V hat die eindeutige Darstellung
v = v1 + v2 mit v1 aus V1 und v2 aus V2 .
3o Für alle v1 aus V1 und v2 aus V2 folgt aus v1 + v2 = 0
stets v1 = 0 und v2 = 0 .
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Kapitel III, §17
Zur Untersuchung von Quotienten brauchen wir die durch einen
Unterraum gegebene Äquivalenzrelation:
(17.6) Lemma: U sei Untervektorraum von V . Dann gilt für Vektoren
v uns w aus V:
1o Entweder v + U = w + U oder v + U und w + U haben
keine gemeinsamen Elemente.
2o v + U = w + U ist gleichbedeutend mit v  w  U .
(17.7) Bemerkung: Durch v ~ w : v  U  w  U für v und w aus V
wird auf V eine Äquivalenzrelation definiert, d.h. für v,w,z aus V gilt:
1o v ~ v (~ ist reflexiv).
2o Aus v ~ w folgt w ~ v (~ ist symmetrisch).
3o Aus v ~ w und w ~ z folgt v ~ z (~ ist transitiv).
Die Äquivalenzklassen von ~ sind die Mengen v + U , v aus V:
v  U  {w  V : w ~ v }

Die Äquivalenzklassen v + U lassen sich auch verstehen als die
affinen Räume in V mit U als Translationsraum.

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Kapitel III, §17
(17.8) Satz-Definition: U sei Untervektorraum von V. Auf der Menge
der Äquivalenzklassen V / ~ : { v  U : v  V } gibt es eine natürliche
Struktur eines K-Vektorraums: Für v,w aus V und t aus K setze
(v + U) + (w + U) := (v + w) + U ,
t(v + U) := (tv) + U .
Mit dieser Struktur heißt V/~ der Quotientenraum (oder Faktorraum
oder Quotient) von V in Bezug auf U und wird mit V/U bezeichnet.
(17.9) Satz: Die Abbildung p : V  V / U , v  v  U , heißt die
kanonische Projektion. p ist linear und surjektiv.
(17.10) Folgerung: Für einen Untervektorraum U von V gilt:
dim V / U  dim U  dim V

(17.11) Beispiel: V sei der Q-Vektorraum der rationalen Cauchyfolgen (V ist Untervektorraum von QN ), und U sei der Untervektorraum
der rationalen Nullfolgen. Dann ist V/U isomorph zu R .
(17.12) Kanonische Faktorisierung: Sei f eine lineare Abbildung
von V nach W. Dann ist die natürliche Abbildung
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Kapitel III, §17
~
f : V / Ker f  Im f , v  Ker f  f ( v ) ,

ein wohldefinierter Isomorphismus von Vektorräumen.
Mit der Inklusionsabbildung j : Im f  W , w  w , gilt
~
f  j f p .
Durch das folgende Diagramm wird diese Aussage illustriert:
f

p

V

 W





V / Ker f



j

Im f

~
f

(17.12) Folgerungen:
1o Ein Epimorphismus f ist bis auf Isomorphie eine kano~
~
nische Projektion: f  j  f  p  g  p , und g  j  f ist Isomorphismus.
2o Ein Monomorphismus ist bis auf Isomorphie eine
~
~
Inklusion: f  j  f  p  j  g , und g  f  p ist Isomorphismus.
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