Transcript Обработка результатов измерний
Slide 1
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ
ВЫПОЛНЕНИИ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Slide 2
Измерить физическую величину означает сравнить ее с эталоном
Измерения
Прямые
Такие измерения, при которых
результат получают путем
непосредственных измерений
одной и той же величины.
Например, время – секундомером,
длину - линейкой
Косвенные
Измерения, которые состоят из
прямых измерений одной или
нескольких величин, связанных с
определяемой величиной
функциональной зависимостью
Например, объем круглого стержня:
V
d
2
l
4
Где диаметр d и длина l,
измеряются непосредственно
Slide 3
Измерения всегда сопровождаются ошибками.
1. Грубые ошибки (промахи)
Например, небрежность, неразборчивость записи, нарушение
условий опыта
В работах грубые ошибки недопустимы. Их следует избегать.
2. Систематические ошибки.
Ошибки, которые сохраняют величину и знак от опыта к опыту.
Являются результатом влияния неучтенных факторов, связанных с
условиями наблюдения (например, не учет каких-либо сил или помех)
или с недостатками измерительных устройств (любой прибор имеет
ограниченную точность)
Систематические ошибки в значительной мере могут быть
обнаружены и устранены как при обработке измерений, так и при
организации измерительного процесса
Slide 4
3. Случайные ошибки.
Ошибки, изменяющие свою величину и знак от опыта к опыту при
измерениях, выполняемых одинаковым образом. Определяются большим
числом случайных причин, действующих в каждом опыте неизвестным
образом.
Исключить случайные ошибки невозможно, но они подчиняются
статистическим закономерностям, поэтому их можно учесть.
Поскольку из-за наличия случайных погрешностей результаты измерений по
своей природе представляют собой тоже случайные величины, истинного
значения xист измеряемой величины получить нельзя.
Однако, ее можно приближенно оценить.
За лучшую оценку истинного значения результата измерений принимают
среднее арифметическое значение
Пусть проведено n измерений величины x. Тогда, среднее арифметическое:
~
x
1
n
n
xi
i 1
xi – результат i-го измерения
Slide 5
Можно установить некоторый интервал значений измеряемой величины
вблизи полученного в результате измерений значения ~x , в котором с
определенной вероятностью содержится xист. Тогда результат измерений
можно представить в следующем виде:
~
x x x ист ~
x x
(1)
x ист
или
~
x x
x - погрешность измерений
Вероятность, с которой истиной значение измеренной величины заключено в
интервале (1), называется доверительной вероятностью .
А сам интервал называется доверительным интервалом
Для оценки случайной погрешности измерения наиболее распространена
оценка с помощью стандартного или среднеквадратичного отклонения ~ x
n
~ x
(~
x xi )
i 1
n ( n 1)
2
xi – результат i-го измерения
n – число измерений
Slide 6
Тогда, случайную ошибку можно найти:
Коэффициенты Стьюдента.
x сл t ,n ~ x
t ,n - коэффициент, зависящий от числа
измерений n и доверительной
вероятности
Коэффициент Стьюдента
Для инженерных расчетов
доверительная вероятность принята
0 ,95
=0,68
=0,95
=0,99
n
t ,n
n
t ,n
n
t ,n
2
2,0
2
12,7
2
63,7
3
1,3
3
4,3
3
9,9
4
1,3
4
3,2
4
5,8
5
1,2
5
2,8
5
4,6
6
1,2
6
2,6
6
4,0
7
1,1
7
2,4
7
3,7
8
1,1
8
2,4
8
3,5
9
1,1
9
2,3
9
3,4
10
1,1
10
2,3
1
0
3,3
15
1,1
15
2,1
1
5
3,0
20
1,1
20
2,1
2
0
2,9
30
1,1
30
2,0
3
0
2,8
2,0
1
0
0
2,6
100
1,0
100
Slide 7
Систематическая погрешность, или так называемая погрешность
однократного измерения xои, как правило, указана в паспорте или на шкале
прибора, а в простейших случаях может быть принята равной половине цены
деления шкалы
Класс точности прибора
x ои
класс точности
максимальн ое значение
100
5x10 А
в данном примере
x ои микрометра
Slide 8
Для цифрового прибора точность указывается в паспорте прибора.
При отсутствии паспорта погрешность можно взять по последней
меняющейся цифре соответствующего диапазона измерений.
Точность: 0,001 В
Slide 9
Обычно полная погрешность определяется как корень квадратный из суммы
квадратов случайной ошибки и ошибки однократных измерений:
x
2
2
x сл x ои
x называется абсолютной погрешностью измерений
Очевидно, что при одном и том же значении x результат может оказаться
достаточно точным при измерении некоторой большой величины, тогда как
при измерении малой величины его точность будет недостаточной.
Например, померить
микрометром диаметр болта
Или толщину листа бумаги
Slide 10
Таким образом, необходимо ввести относительную погрешность измерений,
которая определяется как отношение абсолютной погрешности к самой
измеряемой величине:
x
~ 100 %
x
Класс точности прибора - это выраженная в процентах относительная
погрешность, которую дает данный прибор при измерении им наибольшего
значения измеряемой величины, указанной на шкале прибора.
Slide 11
Погрешность косвенно измеряемой величины.
Пусть y - косвенно измеряемая величина, которая является функцией
некоторого числа N величин, измеряемых непосредственно
y f ( x1 , x 2 ,... x N )
Относительная погрешность для косвенно измеряемой величины y
определяется
y
~
y
N
i 1
ln y
xi
2
x i2
x i - абсолютная погрешность i-ой величины, измеряемой непосредственно
Абсолютная погрешность для косвенно измеряемой величины:
y ~
y
Slide 12
Рассмотрим вычисление погрешности косвенно определяемой
величины на примере объема параллелепипеда
V a b c
Здесь:
a x1 ; b x 2 ; c x 3 ;
Тогда:
ln V ln( a b c ) ln a ln b ln c
ln V
x1
ln V
a
a
( ln a ln b ln c )
( ln a ) a ( ln b ) a ( ln c ) a
ln V
x2
ln V
b
b
ln a
a
1
ln b
a
00
a
( ln a ln b ln c ) 0
1
b
0
ln c
a
Slide 13
ln V
x3
ln V
Поскольку
c
c
( ln a ln b ln c ) 0 0
1
c
~ ~ ~ ~
V a b c
То относительная погрешность измерения объема параллелепипеда:
V
~
V
2
2
2
1
1
1
2
2
2
a
b
c
~
~
~
a
b
c
Slide 14
При обработке результатов измерений рекомендован следующий порядок
операций:
Сначала находят погрешность прямых измерений
1. Вычисляют среднее из n измерений:
~
x
1
n
xi
n
i 1
2. Определяют среднеквадратичное отклонение среднего арифметического:
n
~ x
(~
x xi )
2
i 1
n ( n 1)
3. По доверительной вероятности =0,95 и числу измерений n из таблицы
определяют коэффициент Стьюдента t,n
4. Определяют случайную погрешность:
x сл t ,n ~ x
Slide 15
5. Определяют погрешность однократного измерения xои
6. Определяют погрешность абсолютную ошибку прямого измерения x
2
x
2
x сл x ои
7. Если в искомую величину входят несколько величин, которые измеряются
непосредственно, то пункты 1-6 повторяют для каждой из них
Далее находят погрешность косвенных измерений.
8. Устанавливается формула для расчета относительно погрешности
косвенных измерений из общей формулы :
y
~
y
N
i 1
ln y
xi
2
x i2
Slide 16
9. Находят абсолютную погрешность косвенных измерений:
y ~
y
10. Округлить полученный результат.
11. Окончательный результат записывают в виде:
y~
y y
с =0,95
На примере объема:
~
V V V
с =0,95
Что означает: истинное значение объема с вероятностью 95% лежит в
~
~
интервале от V V до V V
Slide 17
Округление результата
Пусть, например, в работе М-00 получен следующий результат для объема тела:
V 5678 ,5468 64 ,2345
мм
3
Округление начинают с погрешности. Значащей цифрой является самая
левая, если она не единица.
Итак, самой левой в 6 4 ,2345
округляем до десятков
является шестерка, следовательно,
64 ,2345 60
Значит, до десятков следует округлить и сам результат:
5678 ,5468 5680
Окончательно:
V 5680 60 мм
3
c 0 ,95
Slide 18
В случае, если левой цифрой в погрешности является единица, то
значащей будет следующая за ней, и до нее же округляется
результат. Например:
V 5678 ,5468 14 ,2345
мм
3
Тогда ответ:
V 5678 14 мм
3
c 0 ,95
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ
ВЫПОЛНЕНИИ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Slide 2
Измерить физическую величину означает сравнить ее с эталоном
Измерения
Прямые
Такие измерения, при которых
результат получают путем
непосредственных измерений
одной и той же величины.
Например, время – секундомером,
длину - линейкой
Косвенные
Измерения, которые состоят из
прямых измерений одной или
нескольких величин, связанных с
определяемой величиной
функциональной зависимостью
Например, объем круглого стержня:
V
d
2
l
4
Где диаметр d и длина l,
измеряются непосредственно
Slide 3
Измерения всегда сопровождаются ошибками.
1. Грубые ошибки (промахи)
Например, небрежность, неразборчивость записи, нарушение
условий опыта
В работах грубые ошибки недопустимы. Их следует избегать.
2. Систематические ошибки.
Ошибки, которые сохраняют величину и знак от опыта к опыту.
Являются результатом влияния неучтенных факторов, связанных с
условиями наблюдения (например, не учет каких-либо сил или помех)
или с недостатками измерительных устройств (любой прибор имеет
ограниченную точность)
Систематические ошибки в значительной мере могут быть
обнаружены и устранены как при обработке измерений, так и при
организации измерительного процесса
Slide 4
3. Случайные ошибки.
Ошибки, изменяющие свою величину и знак от опыта к опыту при
измерениях, выполняемых одинаковым образом. Определяются большим
числом случайных причин, действующих в каждом опыте неизвестным
образом.
Исключить случайные ошибки невозможно, но они подчиняются
статистическим закономерностям, поэтому их можно учесть.
Поскольку из-за наличия случайных погрешностей результаты измерений по
своей природе представляют собой тоже случайные величины, истинного
значения xист измеряемой величины получить нельзя.
Однако, ее можно приближенно оценить.
За лучшую оценку истинного значения результата измерений принимают
среднее арифметическое значение
Пусть проведено n измерений величины x. Тогда, среднее арифметическое:
~
x
1
n
n
xi
i 1
xi – результат i-го измерения
Slide 5
Можно установить некоторый интервал значений измеряемой величины
вблизи полученного в результате измерений значения ~x , в котором с
определенной вероятностью содержится xист. Тогда результат измерений
можно представить в следующем виде:
~
x x x ист ~
x x
(1)
x ист
или
~
x x
x - погрешность измерений
Вероятность, с которой истиной значение измеренной величины заключено в
интервале (1), называется доверительной вероятностью .
А сам интервал называется доверительным интервалом
Для оценки случайной погрешности измерения наиболее распространена
оценка с помощью стандартного или среднеквадратичного отклонения ~ x
n
~ x
(~
x xi )
i 1
n ( n 1)
2
xi – результат i-го измерения
n – число измерений
Slide 6
Тогда, случайную ошибку можно найти:
Коэффициенты Стьюдента.
x сл t ,n ~ x
t ,n - коэффициент, зависящий от числа
измерений n и доверительной
вероятности
Коэффициент Стьюдента
Для инженерных расчетов
доверительная вероятность принята
0 ,95
=0,68
=0,95
=0,99
n
t ,n
n
t ,n
n
t ,n
2
2,0
2
12,7
2
63,7
3
1,3
3
4,3
3
9,9
4
1,3
4
3,2
4
5,8
5
1,2
5
2,8
5
4,6
6
1,2
6
2,6
6
4,0
7
1,1
7
2,4
7
3,7
8
1,1
8
2,4
8
3,5
9
1,1
9
2,3
9
3,4
10
1,1
10
2,3
1
0
3,3
15
1,1
15
2,1
1
5
3,0
20
1,1
20
2,1
2
0
2,9
30
1,1
30
2,0
3
0
2,8
2,0
1
0
0
2,6
100
1,0
100
Slide 7
Систематическая погрешность, или так называемая погрешность
однократного измерения xои, как правило, указана в паспорте или на шкале
прибора, а в простейших случаях может быть принята равной половине цены
деления шкалы
Класс точности прибора
x ои
класс точности
максимальн ое значение
100
5x10 А
в данном примере
x ои микрометра
Slide 8
Для цифрового прибора точность указывается в паспорте прибора.
При отсутствии паспорта погрешность можно взять по последней
меняющейся цифре соответствующего диапазона измерений.
Точность: 0,001 В
Slide 9
Обычно полная погрешность определяется как корень квадратный из суммы
квадратов случайной ошибки и ошибки однократных измерений:
x
2
2
x сл x ои
x называется абсолютной погрешностью измерений
Очевидно, что при одном и том же значении x результат может оказаться
достаточно точным при измерении некоторой большой величины, тогда как
при измерении малой величины его точность будет недостаточной.
Например, померить
микрометром диаметр болта
Или толщину листа бумаги
Slide 10
Таким образом, необходимо ввести относительную погрешность измерений,
которая определяется как отношение абсолютной погрешности к самой
измеряемой величине:
x
~ 100 %
x
Класс точности прибора - это выраженная в процентах относительная
погрешность, которую дает данный прибор при измерении им наибольшего
значения измеряемой величины, указанной на шкале прибора.
Slide 11
Погрешность косвенно измеряемой величины.
Пусть y - косвенно измеряемая величина, которая является функцией
некоторого числа N величин, измеряемых непосредственно
y f ( x1 , x 2 ,... x N )
Относительная погрешность для косвенно измеряемой величины y
определяется
y
~
y
N
i 1
ln y
xi
2
x i2
x i - абсолютная погрешность i-ой величины, измеряемой непосредственно
Абсолютная погрешность для косвенно измеряемой величины:
y ~
y
Slide 12
Рассмотрим вычисление погрешности косвенно определяемой
величины на примере объема параллелепипеда
V a b c
Здесь:
a x1 ; b x 2 ; c x 3 ;
Тогда:
ln V ln( a b c ) ln a ln b ln c
ln V
x1
ln V
a
a
( ln a ln b ln c )
( ln a ) a ( ln b ) a ( ln c ) a
ln V
x2
ln V
b
b
ln a
a
1
ln b
a
00
a
( ln a ln b ln c ) 0
1
b
0
ln c
a
Slide 13
ln V
x3
ln V
Поскольку
c
c
( ln a ln b ln c ) 0 0
1
c
~ ~ ~ ~
V a b c
То относительная погрешность измерения объема параллелепипеда:
V
~
V
2
2
2
1
1
1
2
2
2
a
b
c
~
~
~
a
b
c
Slide 14
При обработке результатов измерений рекомендован следующий порядок
операций:
Сначала находят погрешность прямых измерений
1. Вычисляют среднее из n измерений:
~
x
1
n
xi
n
i 1
2. Определяют среднеквадратичное отклонение среднего арифметического:
n
~ x
(~
x xi )
2
i 1
n ( n 1)
3. По доверительной вероятности =0,95 и числу измерений n из таблицы
определяют коэффициент Стьюдента t,n
4. Определяют случайную погрешность:
x сл t ,n ~ x
Slide 15
5. Определяют погрешность однократного измерения xои
6. Определяют погрешность абсолютную ошибку прямого измерения x
2
x
2
x сл x ои
7. Если в искомую величину входят несколько величин, которые измеряются
непосредственно, то пункты 1-6 повторяют для каждой из них
Далее находят погрешность косвенных измерений.
8. Устанавливается формула для расчета относительно погрешности
косвенных измерений из общей формулы :
y
~
y
N
i 1
ln y
xi
2
x i2
Slide 16
9. Находят абсолютную погрешность косвенных измерений:
y ~
y
10. Округлить полученный результат.
11. Окончательный результат записывают в виде:
y~
y y
с =0,95
На примере объема:
~
V V V
с =0,95
Что означает: истинное значение объема с вероятностью 95% лежит в
~
~
интервале от V V до V V
Slide 17
Округление результата
Пусть, например, в работе М-00 получен следующий результат для объема тела:
V 5678 ,5468 64 ,2345
мм
3
Округление начинают с погрешности. Значащей цифрой является самая
левая, если она не единица.
Итак, самой левой в 6 4 ,2345
округляем до десятков
является шестерка, следовательно,
64 ,2345 60
Значит, до десятков следует округлить и сам результат:
5678 ,5468 5680
Окончательно:
V 5680 60 мм
3
c 0 ,95
Slide 18
В случае, если левой цифрой в погрешности является единица, то
значащей будет следующая за ней, и до нее же округляется
результат. Например:
V 5678 ,5468 14 ,2345
мм
3
Тогда ответ:
V 5678 14 мм
3
c 0 ,95