Slide 1

Тема 10. Упругие волны
10.1. Общие определения


Slide 2

Вначале – о волнах вообще.


Slide 3

Пример поверхностной волны


Slide 4

Другие виды волновых процессов.
Эффект домино


Slide 5


Slide 6

Виды волновых процессов
(пусковая волна)


Slide 7

Виды волновых процессов
(пусковая волна)

Можно видеть, как в пусковой волне перемещается точка
начала движения – противоположно направлению
движения автомобилей.


Slide 8

Распространение продольного
волнового импульса по упругому
стержню


Slide 9

Поперечные волны


Slide 10

Волна – это процесс распространения
возмущений в окружающей среде.
(Возмущением называют кратковременной отклонение
какого-либо параметра среды воздействием извне.)

Необходимыми условиями для возникновения
волнового процесса являются:
1. Наличие связей между элементами среды
распространения данного типа волн.
2. Сообщение одному из элементов среды
достаточной первоначальной энергии.


Slide 11

часы

t2

t1

t1

P

0

t2

x1

Пусть в какой-то точке

х

x2

x

в результате возмущения среды импульсным

образом изменилось значение её некоторого параметра Р .
Через некоторое время за счет волнового процесса импульс достигнет
точки

х 1 , а затем и х 2.


Slide 12

часы

t2
P

0

t1

t1

t2

x1

Скорость волны:

v

x2
v

x 2  x1
t 2  t1

x


Slide 13

Форма волны
v
- одиночная волна (импульс)

v
- цуг волн

Гармоническая волна:

v


Slide 14

Простейшая одномерная модель
связанной системы


Slide 15

Модель поперечной волны


Slide 16

Модель продольной волны


Slide 17

волновой
фронт

луч
волновые
поверхности

Форма волновой поверхности
определяет тип волны:

Плоская
волна

Сферическая
волна

Цилиндрическая
волна


Slide 18

Плоская
волна

Сферическая
волна

Цилиндрическая
волна

Обратим внимание на то, что вся энергия, создаваемая волновым
генератором, в случае плоской волны всё время проходит через
поверхность одной и той же площади. Т.е. амплитуда волны в
плоской волне не меняется, что не соблюдается в других типах волн.
(Ниже, в §10.4 будет приведено строгое доказательство этого
положения.)
В этой связи плоская волна проще других в математическом
описании, чем мы и воспользуемся при изучении характеристик
упругих волн.


Slide 19

Тема 10. Упругие волны
10.2. Плоская волна.
Уравнение волны.
Параметры волны


Slide 20

А

ξ

 0  A sin  t

v

х

0

х

  A sin[  ( t   )]
 

-А

x
v

Пусть генератор поперечных колебаний, который располагается в начале
координат, рождает волну, распространяющуюся в направлении оси Х.

Процесс колебаний распространяется со скоростью волны V и через
некоторое время

τ

начнётся в точке Х.


Slide 21

А

ξ

 0  A sin  t

v
х

х

0

  A sin[  ( t   )]
 

-А

x
v

2 x 

  A sin   t 

Tv 


2



k

волновое
число

Tv  

 

  A sin(  t 

2
T

2

длина волны



  A sin(  t  kx )
уравнение плоской волны

x)


Slide 22

  A sin(  t  kx )

ξ

x = const

T = 2π /ω
t

  t
x 
  A sin  2    
  T  
Из уравнения следует, что в любой фиксированной точке Х
происходят те же колебания, что и в начале координат, только с
определённой начальной фазой, равной

kx.


Slide 23

  A sin(  t  kx )

x = const

ξ

T = 2π /ω
t

Если теперь зафиксировать
момент времени наблюдения,
то получится своего рода
мгновенная фотография
колебаний (лучше всего
представляется фотография
поверхностной волны в
бассейне с прозрачной
стенкой).

ξ

t = const

v

Вместе с тем, полученная картинка движется, бежит со скорость

х

v.

Поэтому записанное выше уравнение называют уравнением бегущей
волны.


Slide 24

  A sin(  t  kx )

x = const

ξ

T = 2π /ω
t

Рассмотрим теперь расстояние
(разность координат) между
ближайшими точками,
колеблющимися в одинаковой
фазе:

ξ

t = const

v

x1

 x  x 2  x1 ; ( 1   2 )

x2

x2 - x1 = λ

Это условие означает, что фазы колебаний в двух этих точках
разнятся на

2π:

 t  kx 1   t  kx 2  2 

Откуда следует, что расстояние
между ближайшими точками,
колеблющимися в одинаковой фазе
равно длине волны:

x 

2
k



х


Slide 25

  A sin(  t  kx )

x = const

ξ

T = 2π /ω
t

x 

2



k

ξ

Изображение бегущей волны
говорит о том, что со скоростью
волны бежит её фаза. Поэтому:

v  v ф  фазовая

t = const

x1

v
x2

x2 - x1 = λ

скорость

Фазовую скорость не следует путать со скоростью колеблющихся частиц
в волне, которые в данном случае совершают поперечные колебания,
т.е. перпендикулярно направлению фазовой скорости.

х


Slide 26

  A sin(  t  kx )

x = const

ξ

T = 2π /ω
t

x 

2



k
v  vф

ξ

- фазовая скорость

Связь длины волны с фазовой
скоростью и периодом колебаний
частиц среды:

Tv  

1
T



- частота

t = const

x1

v
x2

х

x2 - x1 = λ

Связь основных параметров
бегущей волны:

v  
длина волны


Slide 27

Тема 10. Упругие волны
10.3. Энергия упругой
волны. Вектор Умова


Slide 28

Объемная плотность энергии
ξ

l2

Рассмотрим энергию
малого элемента
массы Δm тела, по
которому идёт
поперечная упругая
волна ( Δx << λ ):

l1>l2
l1

х

Δx

 E   E кин   E пот

Кинетическая энергия при этом
связана с движением частиц
тела, а потенциальная –
с деформацией упругих связей:

 E кин 

m  u
2

2

;

 E пот 

k l

Обратим внимание на то, что деформация связей максимальна при
прохождении частицей положения равновесия, где её скорость
максимальна. И исчезает в точке максимального смещения частицы,
где та останавливается.
Точный расчёт
показывает, что:

 E кин   E пот ,

т.е.:

 E  2  E кин .

2

2

.


Slide 29

Объемная плотность энергии
ξ

l2

l1>l2

 E  2  E кин

l1

х
 E кин 

m  u
2

Δx
Масса элемента определяется его
объёмом и плотностью вещества:

E    V  u ,
2

m    V ;

где u – скорость колеблющихся частиц:

u    A  cos(  t  kx )
Объёмная плотность энергии:

w

E
V

  u   A  cos ( t  kx )
2

2

2

2

w u

2

2


Slide 30

Плотность потока энергии (вектор Умова)
ΔS

Рассмотрим энергию, которая
переносится волной через
площадку ΔS за время Δt.

ΔV

E  wV ,
где

vΔt

w u .
2

Эта энергия заключается в объёме

 V   S  v   t.

Введём понятие плотность потока энергии
как энергию, переносимую в единицу времени
через единичную поверхность:
т.е.:

U 

wV
S t

v

.

Подставив значение
объёма, получаем:

U 

E
S t

U  w v

,


Slide 31

U  w v

w  u

2

ΔS

Плотность потока энергии
имеет направление, которое,
естественно, совпадает
с направлением скорости
волны (фазовой скорости):



U  w v

- вектор Умова
По модулю:

v

vΔt

U   u v   vA  cos ( t  kx )
2

2

2

2

Среднее значение плотности потока энергии (среднего по времени модуля
вектора Умова) определяется средним значением квадрата косинуса.
Если внимательно посмотреть
на график, то можно видеть:

U

t

 cos   0 ,5
2

 U 

1
2

A  v
2

2


Slide 32

Тема 10. Упругие волны
10.4. Поток энергии


Slide 33

Потоком энергии называют энергию, переносимую
в единицу времени через данную поверхность.

S

U

Для плоской волны поток энергии
через плоскую площадку определяется
скалярным произведением вектора
Умова на вектор площадки:

α
n

E

S


n  единичный

  

 U  S ; S  S n;

вектор , нормальный

площадке

S,


n 1

Поле вектора Умова для плоской волны является однородным: в любой
точке площадки он одинаков по величине и направлению:



U  w v
 E  US cos   wvS cos 


Slide 34

Общий случай: произвольная поверхность,
поле неоднородное

dS

U

α
dS
S

В этом случае сначала выбирается столь
малый элемент поверхности, который
можно считать плоским и на котором
вектор Умова можно считать неизменным
по величине и направлению:

d E



 U  d S  U dS cos  ,

а затем полученные элементарные потоки энергии складываются
по всей заданной поверхности, т.е. производится интегрирование:

E



  U  d S   U dS cos 
S

S

E

 
  w v  dS
S


Slide 35

Плоская волна

S┴
U

E

 
 U S

 U 

1

A  v
2

2

2

 Е  0 , 5  A  vS┴  const
2

2

A  const

Сферическая волна (точечный источник)

U
dS
r

Е 

U dS  U 4  r  const



2

S

U ~

1
r

2

; w~

1
r

2

;

A~

1
r


Slide 36

Тема 10. Упругие волны
10.5. Интерференция
встречных волн.
Стоячие волны


Slide 37

ξ

0

х

х

Пусть две одинаковые по частоте
и амплитуде волны встречаются
в некоторой точке х :

 1  A0 cos(  t  kx )
 2  A0 cos(  t  kx )

Результирующее смещение будет складываться
из смещений, вызванных исходными волнами:
Для сложения косинусов воспользуемся известным
из тригонометрии преобразованием:

В результате получим:
т.е. колебания той же частоты, что и
в исходных волнах, но с амплитудой,
зависящей от координаты х :

A ( x )  2 A0 cos kx

или:

  1   2

 
 

cos
 cos   cos   2 cos

2
2 


  2 A0 cos kx  cos  t ,
  A ( x ) cos  t .
A ( x )  2 A0 cos

2 x




Slide 38

 1  A0 cos(  t  kx )

   1   2  A ( x ) cos  t

 2  A0 cos(  t  kx )

пучности

ξ



Таким образом, вместо двух бегущих волн
в результате их интерференции
получаются колебания с разными
значениями амплитуды – стоячая волна.

2A0

х

0

A ( x )  2 A0 cos

2 x

Из последней формулы видно, что
в определённых точках амплитуда
максимальна и равна удвоенной
исходной амплитуде. В таких
точках находятся пучности.
В других точках амплитуда равна
нулю. Здесь находятся узлы.

-2A0

узлы

1. Координаты пучностей (А = 2А0)

cos

2 x пуч



 1

2  x пуч   n 

x пуч   n


2

( n  0 ,1, 2 ,3 ,..)


Slide 39

A ( x )  2 A0 cos

ξ

2 x

2. Координаты узлов



A  0

пучности
2 x уз

2A



х

0

  (n 

x уз   ( n

-2A0
узлы



)

2


2





)

4

ξ
х

стоячая волна

бегущая волна


Slide 40

Тема 10. Упругие волны
10.6. Стоячие волны в замкнутом
пространстве


Slide 41

Пусть вдоль оси х в ограниченном с двух сторон пространстве
распространяется волна

  A0 cos(  t  kx )

х
l

0

В точке х = 0 происходит
наложение волны, идущей слева

 1  A0 cos  t

l
и волны, пришедшей справа после
отражения от правой стенки:

 2  A0 cos(  t  2 kl )
При сложении этих волн будут наблюдаться стоячие волны лишь
при условии, что при встрече они будут находиться в одной фазе:

 t  ( t  2 kl )  2 n


Slide 42

 t  ( t  2 kl )  2 n

х

Поскольку волновое число

l

0

k 

l

х
п=1

0

l

п=3



,

то условием для стоячих волн в
замкнутом пространстве будет
равенство расстояния между
стенками целому числу полуволн:

моды
(типы
волн)

п=2

2

ln


2

, n  1, 2 ,3 ,..


Slide 43

Тема 10. Упругие волны
10.7. Свободные колебания
струны


Slide 44

Образование стоячей волны в струне,
закрепленной на обоих концах
2 kL  2  n
k 

 

2L



, n  1, 2 ,3 ,..

n

n=1 – основная частота,
основной тон
n=2,3,4,.. – обертоны

2

Частота:

 

v





v
2L

n


Slide 45

Первые пять нормальных мод колебаний струны,
закрепленной на обоих концах
- основной тон

- обертоны