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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 4

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 6

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 8

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 9

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 10

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 12

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 14

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 15

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 16

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 17

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 18

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 21

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 22

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 23

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 24

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 25

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 27

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


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第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.


Slide 29

第八章 假设检验

在本次课中，我们将讨论不同于参数估
计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根
据样本的信息检验关于总体的某个假设是
否正确. 这类问题称作假设检验问题 .



参数假设检验

总体分布已知，
检验关于未知参数
非参数假设检验
的某个假设
总体分布未知时对
分布的假设检验

假设检验

本次课我们主要讨论:
单个正态总体的参数假设检验
这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生 .

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子，各装有100个球.

99个红球
一个白球

99个白球
一个红球

现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子
里是白球99个还是红球99个？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.

我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.

现在我们从中随机摸出一个球，发现是
此时你如何判断这个假设是否成立呢？

小概率事件在一次试验
中基本上不会发生.
假设其中真有99个白球，
摸出红球的概率只有1/100，
这是小概率事件.

小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不
使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
带概率性质的反证法

不妨称为概率反证法.

它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下
导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在
一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否
定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用  表示.

 的选择要根据实际情况而定。
常取   0.1,  0.01,  0.05.

例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度
是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
2
2
从正态分布
未知，现从该厂生产
N (  ,  ), 
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成总体X. 现在要
检验E(X)是否为32.5.

…

已知 X~N (  , ), 2 未知.
2

第一步： 提出原假设和备择假设
 .05
H 0 :   32

 0.5
H1 :   32

第二步：取检验统计量，在H0成立下
明确它的分布
能衡量差距
大小且分布
已知

t

 0.5
X  32
S

6

~ t (5)

第三步：

对给定的显著性水平 =0.01，查表确
定临界值 t 2 (5)  t0.005 (5)  4.0322 ,使
P{| t | t 2 (5)}  

即原假设H0成立的条件下，
“ | t | t 2 (5)”是一个小概率事件 .
得拒绝域

W: |t |>4.0322 小概率事件在一次
试验中基本上不会
发生 .

拒绝域

W: |t |>4.0322

第四步：

t

X  32.5
S

6

将样本值代入算出统计量 t 的值,
| t |=2.997<4.0322
故不能拒绝H0 .

没有落入
拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差距
还不够显著, 不足以否定H0 .

注：
（1）假设检验的两类错误
由于作出结论的依据是下述
小概率原理
小概率事件在一次试验中基本上
不会发生 .
不是一定不发生

如果事实上H0成立，但统计量的值
落入拒绝域，从而作出否定H0的结论，
那就犯了“以真为假”的错误 .
如果事实上H0不成立，但统计
量的值未落入拒绝域，从而没有作
出否定H0的结论，即接受了错误的
H0，那就犯了“以假为真”的错误 .
请看下表

假设检验的两类错误
实际情况
决定

H0为真

拒绝H0 第一类错误
接受H0

正确

H0不真
正确
第二类错误

犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}=  .

显著性水平 为犯第一类错误的概率.

两类错误是互相关联的， 当样本容
量固定时，一类错误概率的减少导致另
一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率 , ，或
者要在  不变的条件下降低  ，需要增
加样本容量.
通常都采用控制第一类错误的方法。

(2) 单、双侧检验
按照对立假设的提法，分为
双侧检验，它的拒绝域取在两侧;
单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧 .
前面一例的检验，拒绝域取在两侧，
称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.

例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正
常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.
随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安
培，标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本,
能否否定厂方的断言?

解 根据题意待检假设可设为
H0 :   0.8 ； H1 :  > 0.8
 未知, 选检验统计量:
拒绝域为W:

T

x  0.8
s/ n

T

X 

~ T (15)

S / 16
 t 0.05 (15)  1.753

将 x  0.92 , s  0.32 , 代入得

T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言.

解二

H0 :   0.8 ；

T

选用统计量

H1 :  < 0.8

X 

~ T (15)

S / 16
拒绝域W:

T

x  0.8
s/ n

  t 0.05 (15)  1.753

现 T  1.5  1.735 , 落在拒绝域W 外
故接受原假设,

即否定厂方断言.

由此可见: 对问题的提法不同(把哪个
假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不
同的结论.
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；

第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

为何用假设检验处理同一问题会得到截
然相反的结果?
这里固然有把哪个假设作为原假设从
而引起检验结果不同这一原因；除此外还有
一个根本的原因，即样本容量不够大．

若样本容量足够大，则不论把哪个假设
作为原假设所得检验结果基本上应该是一样
的．否则假设检验便无意义了！

注：(3) 原假设的一般选取原则
由于假设检验是控制犯第一类错误的
概率,使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较
慎重,也就是 H0 得到特别的保护.因而,通
常把有把握的,经验的结论作为原假设,或
者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0

 < 0

( )

 = 0
( )

 > 0

U 检验法 (2 已知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

U 

X  0



n

拒绝域
U  z

2

U   z

~ N ( 0,1)
U  z

1、关于  的检验
原假设
H0

备择假设
H1

  0

 0

 = 0
( )

 < 0

 = 0

 > 0

( )

T 检验法 (2 未知)
检验统计量及其
H0为真时的分布

T 

X  0
S

n

~ t ( n  1)

拒绝域
T  t

2

T   t
T  t

2、关于2

 检验法 (  已知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
  1  (n)
2

n

 2= 02  2 02
 
2

 2= 02  2< 02

(X

i

)

i 1

2

2

2

或 

2

   ( n)
2

2



2
0

   ( n)
2

~  ( n)

2
1

2



2= 2
0



2> 2
0

    ( n)
2

2

2、关于2

 检验法 (  未知)
2

的检验

原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

拒绝域
 
2

 2= 02  2 02

 2= 02  2< 02


2= 2
0



2>  2
0

 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

2
1 

( n  1)

2

或     ( n  1)
2

2

2

   1 ( n  1)
2

2

    ( n  1)
2

2

例4 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25
个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.
已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.0004.
问进一步改革的方向应如何？

解
一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著
增大, 则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著, 则需试行别的改革方案.
设测量值

X ~ N(  ,  ) ,
2

  0.0004
0
2

2

需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革
前的方差？故待检验假设可设为：

2
2
0
0
H0 :  2 ≤ 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

此时可采用效果相同的单边假设检验
2
2
0
0
H0 :  2 = 0.0004
； H1 :  2 > 0.0004.

 
2

取统计量
拒绝域 W：
0 
2

(n  1) S



2

2
0

~  (n  1)
2

    ( n  1)   0.05 ( 24)  36.415
2

2

24  0.00066
0.00040

2

 39.6  36.415

落在W内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于
改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向
进行.