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線性規劃


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考慮一個函數 P：
P = x + y,
其中 x 和 y 必須滿足下列的不等式:
 x  0

 y  0

 3x + 2y  6

每個含 x 和 y 的不等式稱為該函數的約束條件 (即
限制)。因此，P 的值受到限制。


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線性規劃就是要在某些特定的約束條件下，尋找
一個線性函數 P 的最優值 (極大值或極小值)，例
如：

P = ax + by

(其中 a 和 b 都是常數)

被最優化的函數稱為目標函數。


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能滿足所有給定的約束
條件的序偶稱為可行解。

右方所示為在下列約束
條件下的可行解區域：
x  0

y  0

 3x + 2y  6

可行解區
域


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給定可行解的區域和
目標函數 P = x + y，
我們可以繪畫直線
x + y = 0，然後在可行
解區域內平移該直線，
從而找出 P 的最優值。

可行解區
域

x+y=0


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平移一個目標函數 P 的圖像
(a) 在 P 中 x 的係數為正數，如 P = x + y。
P 的值會隨著目標函數的
圖像沿 x 軸的正方向平移
而增加。


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(b) 在 P 中 x 的係數為負數，如
P = –x + y。
P 的值會隨著目標函數
的圖像沿 x 軸的負方
向平移而增加。


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在約束條件下，

(i) P 在 (0, 0) 取得
其極小值。
P 的極小值 = 0
(ii) P 在 (0, 3) 取得
其極大值。

P 的極大值
=0+3
=3


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你可留意到一個目標函數 P 會於可行解區域
的其中一個頂點取得其最優值。


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所以，當要尋找一個目標函數
的最優值時，你可計算它在可
行解區域內的所有頂點的值。


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課堂研習
(a) 把滿足下列約束條件的區域塗上陰影。
y  0

2 x  3 y  0
2 x  y  4  0


(b) 根據 (a) 中的約束條件，求函數 P = x + y
的極大值。


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(a)


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(b) 在同一個坐標平面上，繪畫 x + y = 0 的圖
像。


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隨著把直線 x + y =
0 沿 x 軸的正方向
平移， P 的值會不
斷增加，並在 (3, 2)
取得其極大值。

∴ P 的極大值
 3 2  5