Slide 1

[ массовые явления и закон больших чисел - закон больших чисел в форме Чебышева – пример - теорема
Чебышева - теорема Бернулли - центральная предельная теорема Ляпунова ]

Массовые явления и закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что
эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно
большой конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему – математическому
ожиданию этого распределения.
Общий смысл закона больших чисел — совместное действие
большого числа одинаковых и независимых случайных факторов
приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
В теории вероятностей большое значение имеет установление
закономерностей, происходящих с вероятностями близкими единице. Особую
роль играют закономерности, возникающие в результате наложения большого
числа независимых или слабо зависимых случайных факторов.

Массовые явления и закон больших чисел

Рассмотрим случайные величины xn , являющиеся некоторыми
заданными симметрическими функциями от первых n величин
последовательности zn = fn (1, 2, … , n ) . Если существует
последовательность a1, an, … ,an, .. , такая что при любом e > 0

lim P {|  n  an |  ε }  1

n
то последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными
функциями fn .

Часто эта функция – среднее арифметическое
ai  M  i

.

Слабый закон больших чисел.

1

n

n

i
i 1

величин i ,

Закон больших чисел в форме Чебышева
Для любой случайной величины  , имеющей конечную дисперсию,
при каждом e > 0 имеет место неравенство

P{| ξ  M ξ |  ε} 

Неравенство Чебышева.
Доказательство
P{| ξ  M ξ )  ε} 

f(x)

ε

|x  M ξ |  ε



dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



M

M-e

|x  M ξ |

 dF ξ (x)

M+e

x

1
ε

ε

2

1

2

(x  M ξ ) dF ξ (x)

|x  M ξ |  ε

dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



2

Dξ

1
ε

2





2

(x  M ξ ) dF ξ (x) 



Dξ
ε

2

Пример

@

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,
найти оценку того, что случайная величина не попадет в
интервал ( m - 3s ; m + 3s )
Решение

f(x)

P(|   m |  3s) 

D
e

2



s2
( 3s)

2



1
9

Это самая верхняя граница для оценки
Точное решение
m  3s

P(|   m |  3s)  1 

m

m-3s

m+3s

x

1
2

s

e

m s
3

s



t2
2

dt  1  2( 3 )  0.0027

Теорема Чебышева
Если 1, 2, … , n – последовательность попарно независимых с.в., имеющих
конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной D1 < C, D2 < C ,....,
то каково бы не было постоянное e > 0 , справедливо следующее:



lim P 
n




Доказательство
n

 

 k

k 1

n

n

,

M  

 M k

k 1

P{|   M  |  e } > 1 



k 1

n

k

n





k 1

M k
n




 e  1




На основании неравенства Чебышева

n

n

D
e

P{|   M  |  e } > 1 

n

2

C
Ho
2
ne

D 

 D k

k 1

n

2



C
n

Перейдем к пределу и получим доказательство

Центральная предельная теорема Ляпунова
Центральная предельная теорема Ляпунова относится к законам
распределения случайных величин и устанавливает условия, при которых
возникает нормальный закон распределения.

Пусть 1, 2, .... - независимые и одинаково распределенные случайные
величины с конечной и ненулевой дисперсией 0  D  1   .
Тогда имеет место слабая сходимость:
 1   2  ...   n  nM  1
nD  1

 N ( 0 ,1)

последовательности «центрированных и нормированных» сумм
случайных величин к стандартному нормальному распределению.
Если X представляет собой сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин X1, X2, …., Xn , влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то величина X имеет
распределение вероятности, близкое нормальному.


Slide 2

[ массовые явления и закон больших чисел - закон больших чисел в форме Чебышева – пример - теорема
Чебышева - теорема Бернулли - центральная предельная теорема Ляпунова ]

Массовые явления и закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что
эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно
большой конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему – математическому
ожиданию этого распределения.
Общий смысл закона больших чисел — совместное действие
большого числа одинаковых и независимых случайных факторов
приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
В теории вероятностей большое значение имеет установление
закономерностей, происходящих с вероятностями близкими единице. Особую
роль играют закономерности, возникающие в результате наложения большого
числа независимых или слабо зависимых случайных факторов.

Массовые явления и закон больших чисел

Рассмотрим случайные величины xn , являющиеся некоторыми
заданными симметрическими функциями от первых n величин
последовательности zn = fn (1, 2, … , n ) . Если существует
последовательность a1, an, … ,an, .. , такая что при любом e > 0

lim P {|  n  an |  ε }  1

n
то последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными
функциями fn .

Часто эта функция – среднее арифметическое
ai  M  i

.

Слабый закон больших чисел.

1

n

n

i
i 1

величин i ,

Закон больших чисел в форме Чебышева
Для любой случайной величины  , имеющей конечную дисперсию,
при каждом e > 0 имеет место неравенство

P{| ξ  M ξ |  ε} 

Неравенство Чебышева.
Доказательство
P{| ξ  M ξ )  ε} 

f(x)

ε

|x  M ξ |  ε



dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



M

M-e

|x  M ξ |

 dF ξ (x)

M+e

x

1
ε

ε

2

1

2

(x  M ξ ) dF ξ (x)

|x  M ξ |  ε

dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



2

Dξ

1
ε

2





2

(x  M ξ ) dF ξ (x) 



Dξ
ε

2

Пример

@

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,
найти оценку того, что случайная величина не попадет в
интервал ( m - 3s ; m + 3s )
Решение

f(x)

P(|   m |  3s) 

D
e

2



s2
( 3s)

2



1
9

Это самая верхняя граница для оценки
Точное решение
m  3s

P(|   m |  3s)  1 

m

m-3s

m+3s

x

1
2

s

e

m s
3

s



t2
2

dt  1  2( 3 )  0.0027

Теорема Чебышева
Если 1, 2, … , n – последовательность попарно независимых с.в., имеющих
конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной D1 < C, D2 < C ,....,
то каково бы не было постоянное e > 0 , справедливо следующее:



lim P 
n




Доказательство
n

 

 k

k 1

n

n

,

M  

 M k

k 1

P{|   M  |  e } > 1 



k 1

n

k

n





k 1

M k
n




 e  1




На основании неравенства Чебышева

n

n

D
e

P{|   M  |  e } > 1 

n

2

C
Ho
2
ne

D 

 D k

k 1

n

2



C
n

Перейдем к пределу и получим доказательство

Центральная предельная теорема Ляпунова
Центральная предельная теорема Ляпунова относится к законам
распределения случайных величин и устанавливает условия, при которых
возникает нормальный закон распределения.

Пусть 1, 2, .... - независимые и одинаково распределенные случайные
величины с конечной и ненулевой дисперсией 0  D  1   .
Тогда имеет место слабая сходимость:
 1   2  ...   n  nM  1
nD  1

 N ( 0 ,1)

последовательности «центрированных и нормированных» сумм
случайных величин к стандартному нормальному распределению.
Если X представляет собой сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин X1, X2, …., Xn , влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то величина X имеет
распределение вероятности, близкое нормальному.


Slide 3

[ массовые явления и закон больших чисел - закон больших чисел в форме Чебышева – пример - теорема
Чебышева - теорема Бернулли - центральная предельная теорема Ляпунова ]

Массовые явления и закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что
эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно
большой конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему – математическому
ожиданию этого распределения.
Общий смысл закона больших чисел — совместное действие
большого числа одинаковых и независимых случайных факторов
приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
В теории вероятностей большое значение имеет установление
закономерностей, происходящих с вероятностями близкими единице. Особую
роль играют закономерности, возникающие в результате наложения большого
числа независимых или слабо зависимых случайных факторов.

Массовые явления и закон больших чисел

Рассмотрим случайные величины xn , являющиеся некоторыми
заданными симметрическими функциями от первых n величин
последовательности zn = fn (1, 2, … , n ) . Если существует
последовательность a1, an, … ,an, .. , такая что при любом e > 0

lim P {|  n  an |  ε }  1

n
то последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными
функциями fn .

Часто эта функция – среднее арифметическое
ai  M  i

.

Слабый закон больших чисел.

1

n

n

i
i 1

величин i ,

Закон больших чисел в форме Чебышева
Для любой случайной величины  , имеющей конечную дисперсию,
при каждом e > 0 имеет место неравенство

P{| ξ  M ξ |  ε} 

Неравенство Чебышева.
Доказательство
P{| ξ  M ξ )  ε} 

f(x)

ε

|x  M ξ |  ε



dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



M

M-e

|x  M ξ |

 dF ξ (x)

M+e

x

1
ε

ε

2

1

2

(x  M ξ ) dF ξ (x)

|x  M ξ |  ε

dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



2

Dξ

1
ε

2





2

(x  M ξ ) dF ξ (x) 



Dξ
ε

2

Пример

@

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,
найти оценку того, что случайная величина не попадет в
интервал ( m - 3s ; m + 3s )
Решение

f(x)

P(|   m |  3s) 

D
e

2



s2
( 3s)

2



1
9

Это самая верхняя граница для оценки
Точное решение
m  3s

P(|   m |  3s)  1 

m

m-3s

m+3s

x

1
2

s

e

m s
3

s



t2
2

dt  1  2( 3 )  0.0027

Теорема Чебышева
Если 1, 2, … , n – последовательность попарно независимых с.в., имеющих
конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной D1 < C, D2 < C ,....,
то каково бы не было постоянное e > 0 , справедливо следующее:



lim P 
n




Доказательство
n

 

 k

k 1

n

n

,

M  

 M k

k 1

P{|   M  |  e } > 1 



k 1

n

k

n





k 1

M k
n




 e  1




На основании неравенства Чебышева

n

n

D
e

P{|   M  |  e } > 1 

n

2

C
Ho
2
ne

D 

 D k

k 1

n

2



C
n

Перейдем к пределу и получим доказательство

Центральная предельная теорема Ляпунова
Центральная предельная теорема Ляпунова относится к законам
распределения случайных величин и устанавливает условия, при которых
возникает нормальный закон распределения.

Пусть 1, 2, .... - независимые и одинаково распределенные случайные
величины с конечной и ненулевой дисперсией 0  D  1   .
Тогда имеет место слабая сходимость:
 1   2  ...   n  nM  1
nD  1

 N ( 0 ,1)

последовательности «центрированных и нормированных» сумм
случайных величин к стандартному нормальному распределению.
Если X представляет собой сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин X1, X2, …., Xn , влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то величина X имеет
распределение вероятности, близкое нормальному.


Slide 4

[ массовые явления и закон больших чисел - закон больших чисел в форме Чебышева – пример - теорема
Чебышева - теорема Бернулли - центральная предельная теорема Ляпунова ]

Массовые явления и закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что
эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно
большой конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему – математическому
ожиданию этого распределения.
Общий смысл закона больших чисел — совместное действие
большого числа одинаковых и независимых случайных факторов
приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
В теории вероятностей большое значение имеет установление
закономерностей, происходящих с вероятностями близкими единице. Особую
роль играют закономерности, возникающие в результате наложения большого
числа независимых или слабо зависимых случайных факторов.

Массовые явления и закон больших чисел

Рассмотрим случайные величины xn , являющиеся некоторыми
заданными симметрическими функциями от первых n величин
последовательности zn = fn (1, 2, … , n ) . Если существует
последовательность a1, an, … ,an, .. , такая что при любом e > 0

lim P {|  n  an |  ε }  1

n
то последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными
функциями fn .

Часто эта функция – среднее арифметическое
ai  M  i

.

Слабый закон больших чисел.

1

n

n

i
i 1

величин i ,

Закон больших чисел в форме Чебышева
Для любой случайной величины  , имеющей конечную дисперсию,
при каждом e > 0 имеет место неравенство

P{| ξ  M ξ |  ε} 

Неравенство Чебышева.
Доказательство
P{| ξ  M ξ )  ε} 

f(x)

ε

|x  M ξ |  ε



dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



M

M-e

|x  M ξ |

 dF ξ (x)

M+e

x

1
ε

ε

2

1

2

(x  M ξ ) dF ξ (x)

|x  M ξ |  ε

dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



2

Dξ

1
ε

2





2

(x  M ξ ) dF ξ (x) 



Dξ
ε

2

Пример

@

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,
найти оценку того, что случайная величина не попадет в
интервал ( m - 3s ; m + 3s )
Решение

f(x)

P(|   m |  3s) 

D
e

2



s2
( 3s)

2



1
9

Это самая верхняя граница для оценки
Точное решение
m  3s

P(|   m |  3s)  1 

m

m-3s

m+3s

x

1
2

s

e

m s
3

s



t2
2

dt  1  2( 3 )  0.0027

Теорема Чебышева
Если 1, 2, … , n – последовательность попарно независимых с.в., имеющих
конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной D1 < C, D2 < C ,....,
то каково бы не было постоянное e > 0 , справедливо следующее:



lim P 
n




Доказательство
n

 

 k

k 1

n

n

,

M  

 M k

k 1

P{|   M  |  e } > 1 



k 1

n

k

n





k 1

M k
n




 e  1




На основании неравенства Чебышева

n

n

D
e

P{|   M  |  e } > 1 

n

2

C
Ho
2
ne

D 

 D k

k 1

n

2



C
n

Перейдем к пределу и получим доказательство

Центральная предельная теорема Ляпунова
Центральная предельная теорема Ляпунова относится к законам
распределения случайных величин и устанавливает условия, при которых
возникает нормальный закон распределения.

Пусть 1, 2, .... - независимые и одинаково распределенные случайные
величины с конечной и ненулевой дисперсией 0  D  1   .
Тогда имеет место слабая сходимость:
 1   2  ...   n  nM  1
nD  1

 N ( 0 ,1)

последовательности «центрированных и нормированных» сумм
случайных величин к стандартному нормальному распределению.
Если X представляет собой сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин X1, X2, …., Xn , влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то величина X имеет
распределение вероятности, близкое нормальному.


Slide 5

[ массовые явления и закон больших чисел - закон больших чисел в форме Чебышева – пример - теорема
Чебышева - теорема Бернулли - центральная предельная теорема Ляпунова ]

Массовые явления и закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что
эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно
большой конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему – математическому
ожиданию этого распределения.
Общий смысл закона больших чисел — совместное действие
большого числа одинаковых и независимых случайных факторов
приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
В теории вероятностей большое значение имеет установление
закономерностей, происходящих с вероятностями близкими единице. Особую
роль играют закономерности, возникающие в результате наложения большого
числа независимых или слабо зависимых случайных факторов.

Массовые явления и закон больших чисел

Рассмотрим случайные величины xn , являющиеся некоторыми
заданными симметрическими функциями от первых n величин
последовательности zn = fn (1, 2, … , n ) . Если существует
последовательность a1, an, … ,an, .. , такая что при любом e > 0

lim P {|  n  an |  ε }  1

n
то последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными
функциями fn .

Часто эта функция – среднее арифметическое
ai  M  i

.

Слабый закон больших чисел.

1

n

n

i
i 1

величин i ,

Закон больших чисел в форме Чебышева
Для любой случайной величины  , имеющей конечную дисперсию,
при каждом e > 0 имеет место неравенство

P{| ξ  M ξ |  ε} 

Неравенство Чебышева.
Доказательство
P{| ξ  M ξ )  ε} 

f(x)

ε

|x  M ξ |  ε



dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



M

M-e

|x  M ξ |

 dF ξ (x)

M+e

x

1
ε

ε

2

1

2

(x  M ξ ) dF ξ (x)

|x  M ξ |  ε

dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



2

Dξ

1
ε

2





2

(x  M ξ ) dF ξ (x) 



Dξ
ε

2

Пример

@

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,
найти оценку того, что случайная величина не попадет в
интервал ( m - 3s ; m + 3s )
Решение

f(x)

P(|   m |  3s) 

D
e

2



s2
( 3s)

2



1
9

Это самая верхняя граница для оценки
Точное решение
m  3s

P(|   m |  3s)  1 

m

m-3s

m+3s

x

1
2

s

e

m s
3

s



t2
2

dt  1  2( 3 )  0.0027

Теорема Чебышева
Если 1, 2, … , n – последовательность попарно независимых с.в., имеющих
конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной D1 < C, D2 < C ,....,
то каково бы не было постоянное e > 0 , справедливо следующее:



lim P 
n




Доказательство
n

 

 k

k 1

n

n

,

M  

 M k

k 1

P{|   M  |  e } > 1 



k 1

n

k

n





k 1

M k
n




 e  1




На основании неравенства Чебышева

n

n

D
e

P{|   M  |  e } > 1 

n

2

C
Ho
2
ne

D 

 D k

k 1

n

2



C
n

Перейдем к пределу и получим доказательство

Центральная предельная теорема Ляпунова
Центральная предельная теорема Ляпунова относится к законам
распределения случайных величин и устанавливает условия, при которых
возникает нормальный закон распределения.

Пусть 1, 2, .... - независимые и одинаково распределенные случайные
величины с конечной и ненулевой дисперсией 0  D  1   .
Тогда имеет место слабая сходимость:
 1   2  ...   n  nM  1
nD  1

 N ( 0 ,1)

последовательности «центрированных и нормированных» сумм
случайных величин к стандартному нормальному распределению.
Если X представляет собой сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин X1, X2, …., Xn , влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то величина X имеет
распределение вероятности, близкое нормальному.


Slide 6

[ массовые явления и закон больших чисел - закон больших чисел в форме Чебышева – пример - теорема
Чебышева - теорема Бернулли - центральная предельная теорема Ляпунова ]

Массовые явления и закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что
эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно
большой конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему – математическому
ожиданию этого распределения.
Общий смысл закона больших чисел — совместное действие
большого числа одинаковых и независимых случайных факторов
приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
В теории вероятностей большое значение имеет установление
закономерностей, происходящих с вероятностями близкими единице. Особую
роль играют закономерности, возникающие в результате наложения большого
числа независимых или слабо зависимых случайных факторов.

Массовые явления и закон больших чисел

Рассмотрим случайные величины xn , являющиеся некоторыми
заданными симметрическими функциями от первых n величин
последовательности zn = fn (1, 2, … , n ) . Если существует
последовательность a1, an, … ,an, .. , такая что при любом e > 0

lim P {|  n  an |  ε }  1

n
то последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными
функциями fn .

Часто эта функция – среднее арифметическое
ai  M  i

.

Слабый закон больших чисел.

1

n

n

i
i 1

величин i ,

Закон больших чисел в форме Чебышева
Для любой случайной величины  , имеющей конечную дисперсию,
при каждом e > 0 имеет место неравенство

P{| ξ  M ξ |  ε} 

Неравенство Чебышева.
Доказательство
P{| ξ  M ξ )  ε} 

f(x)

ε

|x  M ξ |  ε



dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



M

M-e

|x  M ξ |

 dF ξ (x)

M+e

x

1
ε

ε

2

1

2

(x  M ξ ) dF ξ (x)

|x  M ξ |  ε

dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



2

Dξ

1
ε

2





2

(x  M ξ ) dF ξ (x) 



Dξ
ε

2

Пример

@

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,
найти оценку того, что случайная величина не попадет в
интервал ( m - 3s ; m + 3s )
Решение

f(x)

P(|   m |  3s) 

D
e

2



s2
( 3s)

2



1
9

Это самая верхняя граница для оценки
Точное решение
m  3s

P(|   m |  3s)  1 

m

m-3s

m+3s

x

1
2

s

e

m s
3

s



t2
2

dt  1  2( 3 )  0.0027

Теорема Чебышева
Если 1, 2, … , n – последовательность попарно независимых с.в., имеющих
конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной D1 < C, D2 < C ,....,
то каково бы не было постоянное e > 0 , справедливо следующее:



lim P 
n




Доказательство
n

 

 k

k 1

n

n

,

M  

 M k

k 1

P{|   M  |  e } > 1 



k 1

n

k

n





k 1

M k
n




 e  1




На основании неравенства Чебышева

n

n

D
e

P{|   M  |  e } > 1 

n

2

C
Ho
2
ne

D 

 D k

k 1

n

2



C
n

Перейдем к пределу и получим доказательство

Центральная предельная теорема Ляпунова
Центральная предельная теорема Ляпунова относится к законам
распределения случайных величин и устанавливает условия, при которых
возникает нормальный закон распределения.

Пусть 1, 2, .... - независимые и одинаково распределенные случайные
величины с конечной и ненулевой дисперсией 0  D  1   .
Тогда имеет место слабая сходимость:
 1   2  ...   n  nM  1
nD  1

 N ( 0 ,1)

последовательности «центрированных и нормированных» сумм
случайных величин к стандартному нормальному распределению.
Если X представляет собой сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин X1, X2, …., Xn , влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то величина X имеет
распределение вероятности, близкое нормальному.


Slide 7

[ массовые явления и закон больших чисел - закон больших чисел в форме Чебышева – пример - теорема
Чебышева - теорема Бернулли - центральная предельная теорема Ляпунова ]

Массовые явления и закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что
эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно
большой конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему – математическому
ожиданию этого распределения.
Общий смысл закона больших чисел — совместное действие
большого числа одинаковых и независимых случайных факторов
приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
В теории вероятностей большое значение имеет установление
закономерностей, происходящих с вероятностями близкими единице. Особую
роль играют закономерности, возникающие в результате наложения большого
числа независимых или слабо зависимых случайных факторов.

Массовые явления и закон больших чисел

Рассмотрим случайные величины xn , являющиеся некоторыми
заданными симметрическими функциями от первых n величин
последовательности zn = fn (1, 2, … , n ) . Если существует
последовательность a1, an, … ,an, .. , такая что при любом e > 0

lim P {|  n  an |  ε }  1

n
то последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными
функциями fn .

Часто эта функция – среднее арифметическое
ai  M  i

.

Слабый закон больших чисел.

1

n

n

i
i 1

величин i ,

Закон больших чисел в форме Чебышева
Для любой случайной величины  , имеющей конечную дисперсию,
при каждом e > 0 имеет место неравенство

P{| ξ  M ξ |  ε} 

Неравенство Чебышева.
Доказательство
P{| ξ  M ξ )  ε} 

f(x)

ε

|x  M ξ |  ε



dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



M

M-e

|x  M ξ |

 dF ξ (x)

M+e

x

1
ε

ε

2

1

2

(x  M ξ ) dF ξ (x)

|x  M ξ |  ε

dF ξ (x) 

|x  M ξ |  ε



2

Dξ

1
ε

2





2

(x  M ξ ) dF ξ (x) 



Dξ
ε

2

Пример

@

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,
найти оценку того, что случайная величина не попадет в
интервал ( m - 3s ; m + 3s )
Решение

f(x)

P(|   m |  3s) 

D
e

2



s2
( 3s)

2



1
9

Это самая верхняя граница для оценки
Точное решение
m  3s

P(|   m |  3s)  1 

m

m-3s

m+3s

x

1
2

s

e

m s
3

s



t2
2

dt  1  2( 3 )  0.0027

Теорема Чебышева
Если 1, 2, … , n – последовательность попарно независимых с.в., имеющих
конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной D1 < C, D2 < C ,....,
то каково бы не было постоянное e > 0 , справедливо следующее:



lim P 
n




Доказательство
n

 

 k

k 1

n

n

,

M  

 M k

k 1

P{|   M  |  e } > 1 



k 1

n

k

n





k 1

M k
n




 e  1




На основании неравенства Чебышева

n

n

D
e

P{|   M  |  e } > 1 

n

2

C
Ho
2
ne

D 

 D k

k 1

n

2



C
n

Перейдем к пределу и получим доказательство

Центральная предельная теорема Ляпунова
Центральная предельная теорема Ляпунова относится к законам
распределения случайных величин и устанавливает условия, при которых
возникает нормальный закон распределения.

Пусть 1, 2, .... - независимые и одинаково распределенные случайные
величины с конечной и ненулевой дисперсией 0  D  1   .
Тогда имеет место слабая сходимость:
 1   2  ...   n  nM  1
nD  1

 N ( 0 ,1)

последовательности «центрированных и нормированных» сумм
случайных величин к стандартному нормальному распределению.
Если X представляет собой сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин X1, X2, …., Xn , влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то величина X имеет
распределение вероятности, близкое нормальному.