Stranica: II - 1 Nesinusoidalni krugovi u,i u(t) i(t) Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima. Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina. t. ko n s = ) t t. u=f( )=kons t i=f( t Stranica: II - 2 1.
Download ReportTranscript Stranica: II - 1 Nesinusoidalni krugovi u,i u(t) i(t) Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima. Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina. t. ko n s = ) t t. u=f( )=kons t i=f( t Stranica: II - 2 1.
Slide 1
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 2
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 3
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 4
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 5
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 6
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 7
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 8
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 9
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 10
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 11
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 12
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 13
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 14
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 15
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 16
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 17
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 18
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 19
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 20
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 2
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 3
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 4
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 5
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 6
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 7
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 8
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 9
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 10
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 11
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 12
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 13
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 14
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 15
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 16
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 17
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 18
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 19
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica
Slide 20
Stranica: II - 1
Nesinusoidalni krugovi
u,i
u(t)
i(t)
Izmjenični krugovi s nesinusoidalnim izvorima.
Parametarsko karakteriziranje periodičkih električnih veličina.
t.
ko n s
=
)
t
t.
u=f( )=kons
t
i=f(
t
Stranica: II - 2
1. zadatak
U spoju prema slici a) nalazi se idealni strujni izvor. Na slici b) prikazan
je dijagram vremenske ovisnosti struje izvora. Treba odrediti:
a) uR(t), uL(t), u(t) i nacrtati dijagrame tih napona
b) maksimalne vrijednosti napona na priključcima izvora
c) jednadžbu trenutne snage i snagu u trenutku t = 0. 25 [s] i t = 0.75 [s]
Zadano:
R = 2 []
L = 1 [H]
i(t), A
2
R
i(t)
L
t, s
0.5
a)
1
b)
Početna stranica
Stranica: II - 3
Uvodni pojmovi
Strujno-naponske prilike na otporu, induktivitetu
kapacitetu u izmjeničnim strujnim krugovima:
• Otpor (R):
u R (t ) iR (t ) R
• Induktivitet (L):
u L (t ) L
di L ( t )
dt
• Kapacitet (C):
u C (t )
1
C
t
i C ( t ) dt
o
Snaga u izmjeničnim krugovima:
p (t ) u (t ) i (t )
Početna stranica
i
Stranica: II - 4
Rješenje zadatka
Struja koju daje strujni izvor analitički opisana ima sljedeći
oblik:
i(t), A
2
4 t;
i (t )
4 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
t, s
0.5
1
Napon na otporu R:
8 t ;
u R (t ) i (t ) R
8 ( t 1);
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Napon na zavojnici L:
d (4 t )
L
1 4 4 V ;
di
dt
u L (t ) L
dt
L d ( 4 ( t 1)) 1 ( 4 ) 4 V ;
dt
za 0 t 0.5 s
za 0.5 s t 1 s
Početna stranica
Stranica: II - 5
Napon na stezaljkama strujnog izvora:
za 0 t 0.5 s
8 t 4 ;
u (t ) u R (t ) u L (t )
8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
Dijagrami napona:
uL(t), V
uR(t), V
4
4
t, s
0.5
t, s
0.5
-4
u(t), V
8
Maksimalni napon na izvoru:
4
t, s
U max 8 V
0.5
-4
Početna stranica
Stranica: II - 6
Snaga na izvoru:
p (t ) i (t ) u (t )
za 0 t 0.5 s
4 t 8 t 4 ;
p (t )
( 4 ( t 1)) 8 t 4 ;
za 0.5 s t 1 s
za 0 t 0.5 s
32 t 2 16 t ;
p (t )
32 t 2 48 t 16 ;
za 0.5 s t 1 s
Snaga za t = 0. 25 [s]:
p ( t ) 32 t 16 t 32 0 . 25 16 0 . 25 6 W
2
2
Snaga za t = 0. 75 [s]:
p ( t ) 32 t 48 t 16 32 0 . 75 48 0 . 75 16 2 W
2
2
Početna stranica
Stranica: II - 7
Uvodni pojmovi
Perodičke električne veličine
Za svaku perodičku veličinu može se odrediti
analitička funkcija koja opisuje ovisnost prikazane
veličine o vremenu.
i(t)
Imax
i (t ) ; u (t ) f (t )
t
t
T
Osnovni parametri pomoću
periodičke veličine su sljedeći:
kojih
su
opisane
• T je perioda ponavljanja funkcije
• t je vrijeme trajanja impulsa
• Imax, Umax maksimalna vrijednost veličine
Početna stranica
Stranica: II - 8
Uvodni pojmovi
Parametarsko karakteriziranje perodičkih
električnih veličina
Srednja aritmetička vrijednost struje:
I sr
Srednja elektrolitička vrijednost struje:
I el
Efektivna vrijednost struje:
I
1
T
1
T
1
T
Tjemeni faktor:
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
0
T
i ( t ) dt
2
0
I max
I
Faktor oblika:
Srednji faktor:
I
I el
I el
I max
Početna stranica
Stranica: II - 9
2. zadatak
Odredite srednju (aritmetičku) vrijednost i efektivnu vrijednost “pilastog”
napona čija je vremenska promjena prikazana na slikama.
u(t)
u(t)
Um
Um
t
t
t
T
T
a)
b)
Početna stranica
Stranica: II - 10
Rješenje zadatka
Funkcija napona analitički opisana:
u(t)
Um
u (t )
Um
t
T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
1 Um
T T
1
T
T
u ( t ) dt
1
T
0
T
2
Um t
t dt T 2 2
0
U sr
T
0
T
0
Um
t dt
T
2
2
Um T
0
2
2
T
2
Um
2
Početna stranica
Stranica: II - 11
Efektivna vrijednost napona:
U
U
2
ef
2
ef
1 U
T T
1
T
T
2 T
m
2
0
t
1
u ( t ) dt
2
T
0
2
dt
U
T
2
m
3
t
3
3
T
2
Um
T2
t dt
2
0
T
0
2
3
2
Um T
0
3
3
T
3
2
Um
U ef
U ef
3
Um
3
Kao što se može vidjeti iz priloženoga srednja i efektivna
vrijednost napona ne ovisi o vremenu T.
Isti izrazi vrijede i za struje.
Početna stranica
Stranica: II - 12
Istim postupkom određuju se srednja i efektivna vrijednost
napona za prikazani oblik napona:
u(t)
Um
U m
t
u (t ) τ
0
t
za 0 t t
za t t T
t
T
Srednja vrijednost napona:
U sr
U sr
τ
T
1 Um
u(t) dt
t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1 U
m
T
τ
T
τ
t dt
0
Um
T τ
U sr
t
2
2
Um
2
τ
τ 2 02
T τ 2
2
Um
0
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 13
Efektivna vrijednost napona:
2
U ef
U
2
ef
τ
T
2
U
1
2
2
m
u (t) dt 2 t dt 0 dt
T 0
T 0 τ
τ
1
1
T
T
2 τ
Um
2
τ 0
t
2
dt
U
2
m
T τ
2
3
t
3
τ
τ 3 02
2
3
T τ 3
2
Um
0
Um τ
2
U ef
U ef
3 T
Um
3
τ
T
Usporedivši dobivene rezultate, za bilo koji oblik srednja i
efektivna vrijednost impulsa može se izračunati kao:
U sr U srim pulsa
τ
T
U ef U efim pulsa
τ
T
Početna stranica
Stranica: II - 14
3. zadatak
Odredite srednju vrijednost (Isr), srednju elektrolitsku vrijednost (Iel) i
efektivnu vrijednost (I) promjenjive struje prikazane dijagramom na slici.
i(t),A
1
0.5
1
1.5
2
t, s
-0.5
Početna stranica
Stranica: II - 15
Rješenje zadatka
Prikazana struja može se rastaviti na dvije funkcije čije
parametre znamo izračunati:
i ( t ) ia ( t ) i b ( t )
1
ia(t),
A
a)
0.5
1
1.5
2
t, s
1
1.5
2
t, s
ta
T
ib(t),
A
tb
T
0.5
-0.5
b)
Početna stranica
Stranica: II - 16
Srednja vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Pravokutni:
I ma
I sr a
τa
2
T
I sr b I m b
τb
T
Srednja vrijednost struje i(t):
I sr I sr a I sr b
I sr
I ma
2
τa
T
I mb
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
I sr 0
Na sličan način određuje se efektivna vrijednost struje i(t).
Početna stranica
Stranica: II - 17
Efektivna vrijednost pojedinih funkcija.
“Pila”:
Ia
Pravokutni:
I ma
τa
T
3
τb
I b I mb
T
Efektivna vrijednost struje i(t):
I
I
2
I ma
3
2
τa
I mb
T
I
1
6
2
Ia Ib
2
2
2
1
τb
T
3
1
8
7
24
2
1
1
2
2
1
2
A
Početna stranica
2
Stranica: II - 18
Srednja elektrolitska vrijednost definirana je kao:
I el
1
T
T
i(t) dt
0
Apsolutna vrijednost struje i(t) prikazana je na slici.
i(t),A
1
0.5
0.5
1
1.5
2
t, s
Za takav oblik struje srednja vrijednost, odnosno srednja
elektrolitska vrijednost početne struje iznosi:
I el
I ma
2
τa
T
I mb
I el
τb
T
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Početna stranica
Stranica: II - 19
4. zadatak
Kolika je radna snaga otpornika R = 100 [] ako kroz otpornik teče
struja sinusnog valnog oblika prema slici.
2
i(t),A
t,s
-1
-4
Početna stranica
Stranica: II - 20
Efektivna vrijednost struje oblika prema slici određuje se:
i ( t ) 1 3 sin( t )
2
i(t),A
Efektivna vrijednost sinusoide iznosi:
t,s
I
I max
2
Efektivna
vrijednost
sinusoide
pomaknute
za
istosmjernu
komponentu:
-1
-4
I
2
I is I iz 1
2
2
2
3
2
2
Ova formula vrijedi samo za oblike kod kojih je srednja
vrijednost izmjeničnog signala jednaka 0.
Radna snaga koja se disipira na otporniku R iznosi:
P I R
2
2
3
2
P 1
100 550 W
2
Početna stranica