Corso di logica matematica Prima lezione Introduzione: Antinomie logiche e semantiche. Antinomia di Russel. A è l’insieme di tutti gli insiemi X che non hanno se.
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Corso di logica
matematica
Prima lezione
Slide 2
Introduzione:
Antinomie logiche e semantiche.
Antinomia di Russel.
A è l’insieme di tutti gli insiemi X che non
hanno se stessi come elemento.
A {X | X X};
se A A allora A A;
se A A allora A A
Slide 3
Antinomia semantica
Un uomo dice
“ IO STO MENTENDO”.
Se egli mente dice la verità;
se dice il vero, mente.
Slide 4
La frase scritta
sulla diapositiva
successiva è falsa
Slide 5
La frase scritta
sulla diapositiva
precedente è vera
Slide 6
Uno dei compiti della
logica matematica
è quello di determinare il corretto
uso dei simboli e delle loro
combinazioni per accertare che
cosa si può dimostrare usando
assiomi e regole di inferenza.
Slide 7
Il calcolo proposizionale:
connettivi proposizionali e
Tavole di verità
• Consideriamo solo
combinazioni vero-funzionali ,
nelle quali la verità o la falsità
della nuova proposizione è
determinata dalla verità o falsità
delle proposizioni che
concorrono a formarla.
Slide 8
Negazione
A A
V
F
F
V
Slide 9
Congiunzione
A
V
V
F
F
B AB
V V
F
F
V
F
F
F
Slide 10
Disgiunzione
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AÚB
V
V
V
F
Slide 11
Condizionale
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AÉB
V
F
V
V
Slide 12
Bicondizionale
A
V
V
B
V
F
A ºB
V
F
F
F
V
F
F
V
Slide 13
Forme enunciative.
• 1)Tutte le lettere enunciative,
eventualmente con indice numerico,
sono forme enunciative (A, B, C, A1,
B2...);
• 2)SE e sono forme enunciative,
allora lo sono anche (), (),
(Ú), (É) e (º).
• Sono forme enunciative solo quelle
espressioni determinate per mezzo
della 1) e della 2).
Slide 14
Ciascuna forma enunciativa
determina una funzione di
verità che può essere
rappresentata graficamente
da una tavola di verità per la
forma enunciativa.
Slide 15
A
V
F
V
F
V
F
V
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
V
V
V
V
F
F
F
F
(A) ((A)ÚB)
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
(((A)ÚB)ÉC)
V
V
V
V
F
F
V
F
Slide 16
Tautologie
• Una forma enunciativa è una
tautologia se e solo se la sua
funzione di verità ha solo il
valore V.
Slide 17
• Se É è una tautologia , si dice che
implica logicamente oppure che è una
conseguenza logica di .
• Se º è una tautologia, si dice che e
sono logicamente equivalenti.
• Le tavole di verità costituiscono una
procedura effettiva che ci permette di
determinare se una forma enunciativa è una
tautologia.
• Una forma enunciativa è una
contraddizione se la sua funzione di verità
ha solo il valore F.
Slide 18
Proposizione 1.1
• Se e (É) sono
tautologie, allora anche
è una tautologia.
Slide 19
Proposizione 1.2
• Se è una tautologia contenente
come lettere enunciative A1,
A2,...,An, e si ottiene da per
sostituzione di A1, A2,...,An con,
rispettivamente, forme enunciative
1, 2,..., n, allora è una
tautologia
Slide 20
Proposizione 1.3
Se 1 deriva da 1 per sostituzione
di a una o più occorrenze di ,
allora ((º) É (1º1)) è una
tautologia . Quindi, se e sono
logicamente equivalenti, lo sono
anche 1 e 1.
Slide 21
Proposizione 1.4
• Ogni funzione di verità è
generata
da
una
forma
enunciativa in cui occorrono i
connettivi , , Ú.
Slide 22
x1
x2
x3
F(x1,x2,x3)
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
ABC
ABC
ABC
ABC
(ABC) Ú (ABC) Ú (ABC) Ú (ABC).
Slide 23
Forma normale disgiuntiva
• Una forma enunciativa scritta come
disgiunzioni di congiunzioni di lettere
enunciative o delle loro negazioni è in
forma normale disgiuntiva.
• Da quanto si è visto, ogni forma
enunciativa può essere scritta in forma
normale disgiuntiva
Corso di logica
matematica
Prima lezione
Slide 2
Introduzione:
Antinomie logiche e semantiche.
Antinomia di Russel.
A è l’insieme di tutti gli insiemi X che non
hanno se stessi come elemento.
A {X | X X};
se A A allora A A;
se A A allora A A
Slide 3
Antinomia semantica
Un uomo dice
“ IO STO MENTENDO”.
Se egli mente dice la verità;
se dice il vero, mente.
Slide 4
La frase scritta
sulla diapositiva
successiva è falsa
Slide 5
La frase scritta
sulla diapositiva
precedente è vera
Slide 6
Uno dei compiti della
logica matematica
è quello di determinare il corretto
uso dei simboli e delle loro
combinazioni per accertare che
cosa si può dimostrare usando
assiomi e regole di inferenza.
Slide 7
Il calcolo proposizionale:
connettivi proposizionali e
Tavole di verità
• Consideriamo solo
combinazioni vero-funzionali ,
nelle quali la verità o la falsità
della nuova proposizione è
determinata dalla verità o falsità
delle proposizioni che
concorrono a formarla.
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Negazione
A A
V
F
F
V
Slide 9
Congiunzione
A
V
V
F
F
B AB
V V
F
F
V
F
F
F
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Disgiunzione
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AÚB
V
V
V
F
Slide 11
Condizionale
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AÉB
V
F
V
V
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Bicondizionale
A
V
V
B
V
F
A ºB
V
F
F
F
V
F
F
V
Slide 13
Forme enunciative.
• 1)Tutte le lettere enunciative,
eventualmente con indice numerico,
sono forme enunciative (A, B, C, A1,
B2...);
• 2)SE e sono forme enunciative,
allora lo sono anche (), (),
(Ú), (É) e (º).
• Sono forme enunciative solo quelle
espressioni determinate per mezzo
della 1) e della 2).
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Ciascuna forma enunciativa
determina una funzione di
verità che può essere
rappresentata graficamente
da una tavola di verità per la
forma enunciativa.
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A
V
F
V
F
V
F
V
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
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F
F
F
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(A) ((A)ÚB)
F
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V
V
F
F
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F
V
V
V
F
F
V
V
(((A)ÚB)ÉC)
V
V
V
V
F
F
V
F
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Tautologie
• Una forma enunciativa è una
tautologia se e solo se la sua
funzione di verità ha solo il
valore V.
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• Se É è una tautologia , si dice che
implica logicamente oppure che è una
conseguenza logica di .
• Se º è una tautologia, si dice che e
sono logicamente equivalenti.
• Le tavole di verità costituiscono una
procedura effettiva che ci permette di
determinare se una forma enunciativa è una
tautologia.
• Una forma enunciativa è una
contraddizione se la sua funzione di verità
ha solo il valore F.
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Proposizione 1.1
• Se e (É) sono
tautologie, allora anche
è una tautologia.
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Proposizione 1.2
• Se è una tautologia contenente
come lettere enunciative A1,
A2,...,An, e si ottiene da per
sostituzione di A1, A2,...,An con,
rispettivamente, forme enunciative
1, 2,..., n, allora è una
tautologia
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Proposizione 1.3
Se 1 deriva da 1 per sostituzione
di a una o più occorrenze di ,
allora ((º) É (1º1)) è una
tautologia . Quindi, se e sono
logicamente equivalenti, lo sono
anche 1 e 1.
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Proposizione 1.4
• Ogni funzione di verità è
generata
da
una
forma
enunciativa in cui occorrono i
connettivi , , Ú.
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x1
x2
x3
F(x1,x2,x3)
V
F
V
F
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V
F
F
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V
F
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F
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V
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F
F
F
V
ABC
ABC
ABC
ABC
(ABC) Ú (ABC) Ú (ABC) Ú (ABC).
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Forma normale disgiuntiva
• Una forma enunciativa scritta come
disgiunzioni di congiunzioni di lettere
enunciative o delle loro negazioni è in
forma normale disgiuntiva.
• Da quanto si è visto, ogni forma
enunciativa può essere scritta in forma
normale disgiuntiva