Hazırlayan: Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü Serhat YILMAZ [email protected]

1

GİRİŞ

Her birinin matematiksel davranışı biliniyor olan ideal fiziksel elemanlardan oluşan bir fiziksel model ve onun toplam davranışının matematiksel karşılığı

Matematiksel Model

Trigonometrik, diferansiyel vs. matematiksel denklemler (Zaman düzlemi) • Otomatik kontrol sistemlerinin çözümleme ve tasarım süreçlerinde sistemlerin matematiksel modellerine ihtiyaç duyulur.

1. Modelleme Aşaması

Durum Değişkeni Transfer Fonksiyonu Modeli

Modeller arasında • Bu model, sistem değişkenleri arasındaki ilişkileri çözümlememizde bize yol gösterir.

)

Modeli

(Zaman düzlemi) • Mekanik, kimyasal, ısıl, elektriksel ve bunların (

Zaman düzleminde iteratif çözüm)

bileşimi olan (eletromekanik, elektrokimyasal..) pek çok sistem fiziksel olarak modellenebilir.

ℒ -1 veya F -1 dönüşümü 2. Çözüm Aşaması

Çözüm y(t)=…….

Serhat YILMAZ [email protected]

2

• Fiziksel bir sistemi, örneğin endüstriyel bir tesisi, bir uçağı deneme yanılma yoluyla incelemek, bozup tekrar tasarlamak oldukça maliyetli ve uzun bir süreç olurdu.

Bunun yerine sistemin davranışlarını temsil eden denklemlerden oluşan matematiksel bir eşdeğer model üzerinde hesap kitap yapmak işimizi oldukça kolaylaştırır.

• Hızı saatte 90 km olan bir otobüsün 3 saat sonra nerede olacağını tahmin etmek için otobüse binip 3 saat gitmemiz gerekmez. Newton’un hareket yasasına göre alacağımız yolun matematiksel formülü x=v.t’dir. Otobüsün davranışını doğrusal ve zamanla bulunabiliriz.

değişmiyor kabul edersek (hız kesmiyor, mola vermiyor ..gibi) bu matematiksel modeli çözerek aracın 3 saat sonra yaklaşık olarak 270 km ilerdeki bir ilçede olduğu tahmininde Serhat YILMAZ [email protected]

3

Fiziksel bir sistemin çözümleme sürecini ele alalım;

• Fiziksel sistemlerin dinamik karakteristiklerinin incelenmesini mümkün kılmak için bu sistemlere ait fiziksel olayın idealleştirilmesi suretiyle modellerinin kurulması gereklidir.

• Model kurma işleminde genellikle çok karmaşık olan fiziksel sistemin uygun kabullerle basit ve pek çok durumda idealize modeli” elde edilir.

edilmiş elemanlardan oluşacak şekilde tasarlanması suretiyle bir “fiziksel • Fiziksel modeli gerçek fiziksel elemanlarla da kurmak mümkündür ama sadece matematiksel modele geçiş için görsel birer araç olduklarından genelde fiziksel modeli, fiziksel sistemi kağıt üstünde temsil eden şekiller olarak algılamak yanlış olmaz.

Serhat YILMAZ [email protected]

4

Örneğin;

• Çarpışma esnasında bir aracın tamponunun nasıl davranacağını bildiğimiz eleman davranışları cinsinden modellemeye çalışalım.

• Tamponu temsil eden fiziksel model birbirine seri veya paralel bağlanmış fiziksel elemanlardan oluşabilir.

• Örneğin tamponun bir m kütlesine indirgeyebiliriz.

kütlesi vardır.

Bunu, tamponun merkezinde aynı ağırlığa sahip ideal bir • Çarpışma değiştirmesi sırasında suretiyle tamponun darbenin gerilip bir tamponda depolanabilir. Tampon sonra tekrar düzelerek depoladığı enerjiyi boşaltabilir.

davranışı bir yay elemanı ile temsil edebiliriz.

şekil kısmı Bu Serhat YILMAZ [email protected]

5

• Tampon darbenin bir kısmını da sürtünmeyle ısıya dönüştürerek sönümler. Bu davranışı da bir sönümleme elemanı (amortisör) ile temsil edebiliriz.

• Bu bizim, davranışlarını tamponu temsil bildiğimiz etmek için elemanlardan oluşturduğumuz fiziksel modeldir. Yoksa tampon veya tampon sistemi gerçekte de seri veya paralel bağlı bir kütle, bir yay ve bir sönümleme elemanından oluşması gerekmez.

Serhat YILMAZ [email protected]

6

• Fiziksel modelden edilebilirler.

itibaren de temel fizik kanunlarını kullanarak elemanların davranışını ifade eden doğrusal veya doğrusal olmayan denklemlerden oluşan “Matematiksel model” elde edilmiş olur. Örneğin kontrol sistemleri doğası gereği dinamik sistemlerdir. Bu nedenle bu tür sistemleri dinamik davranışları ifade etmek için kullandığımız diferansiyel denklemlerde temsil • Özetle fiziksel model şekil, matematiksel model de onun denklemidir. Bir sistem için uygun bir matematiksel model kurulduktan sonra bilinen analitik çözümleme Birsen Yayınevi, 1995).

yöntemleri veya sayısal çözümleme (hesap makinesi veya bilgisayar) yöntemleriyle çözümü bulmak (dif. denklemleri çözmek) mümkündür (Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Serhat YILMAZ [email protected]

7

• Bütün belirli yapılır.

fiziksel bir sistemler çalışma bölgesi gerçekte doğrusal olmayan bir yapıya sahiptir. Doğrusal olmayan sistemlere ait matematik çözümlerini özellikle analitik çözümleme yöntemlerinde elde etmek oldukça güçtür. Genelde sistem elemanlarının içinde doğrusal oldukları kabul edilir ve çözümler buna göre • Bu yaklaşımın gerçek duruma uyması nisbetinde model mükemmel olur. Böylece sistem için lineer elemanlardan oluşan bir lineer fiziksel model elde edildikten sonra Newton kanunu, Kirchoff kanunu, hidroliğin ve termodinamiğin temel kanunları gibi temel fiziksel kanunlar yardımıyla sistemin davranışını ifade eden doğrusal bir integro-diferansiyel denklem elde edilebilir.

Serhat YILMAZ [email protected]

8

• Bu doğrusal denklemleri çözmek için frekans düzlemi (veya karmaşık düzlem(s düzlemi)) analizi veya zaman (t) düzlemi analizi yöntemleri kullanılabilir. s düzlemi analizi için transfer fonksiyonları kullanırız. t düzlemi analizi için ise durum denklemleri yöntemini kullanırız.

• Lineer olmayan sistemler belirli bir örnekleme zamanı boyunca doğrusal kabul edilip, durum denklemleri yöntemiyle iteratif olarak çözülebilir.

Serhat YILMAZ [email protected]

9

Şekil. Matematiksel modelleme kullanılarak bir sistemin çözümlenmesi

Fiziksel Sistem Uygun kabuller, ideal elemanlar v 2 F Fiziksel Model R i v 2 v 1 v 1 M Fizik kanunları Matematiksel Model (D.D.) F  M d v 2 dt Hesaplama yöntemleri  Analitik çözümleme  Sayısal Çözümleme (hesap makinesi veya bilgisayar simülasyonu) Modelin matematiksel çözümü ve çözümden elde edilen model cevabı Serhat YILMAZ [email protected]

10

Basit sistem elemanları

• Elektriksel, termodinamik elemanların davranışını sonuç mekanik, sistemlere (çıkış) hidrolik, bağıntıları olarak ifade edebiliriz.

ait ve basit sebep (giriş) şeklinde inceleyerek bu bağıntıları matematiksel • Basit elemanların seri veya paralel olarak bağlanması ile ortaya çıkan karmaşık sistemlerin matematiksel modelleri de kolayca elde edilebilmektedir.

Serhat YILMAZ [email protected]

11

Basit elemanlarda İç ve Uç değişken kavramları

• Basit elektriksel gibi) elemanlardır.

elemanlar, direnç ve kondansatörde olduğu gibi iki uçlu (2-1 veya a-b • Bir R direncinin 2-1 uçları arasına bir V

21

farkı uygulanırsa bilinmektedir.

dirençten i potansiyel akımı geçtiği • İki uçlu elemanlarda değişkenlerden biri (örneğin V

21

) davranışın sebebi, diğeri (örneğin i) sonucu olarak kabul edilebilir.

Serhat YILMAZ [email protected]

12

• İki uçlu bir elemanda V bağlanması yeterlidir.

21

’in ölçülebilmesi için bir voltmetrenin devreyi bozmadan 2 ve 1 uçlarına • Voltmetre bu uçlar arasındaki değer farkını ölçer bu nedenle burada ölçülen V

21

değişkeni uç değişkeni olarak adlandırılır.

• i akımını ölçmek için devreyi kesip araya giren bir ampermetre kullanmak gerekir. ölçülen akım değeri eleman içinde her noktada aynıdır. Bu bakımdan akıma iç değişken denir.

Serhat YILMAZ [email protected]

13

• Benzer şekilde, mekanik sistem elemanlarında uç değişken hız, iç değişken ise kuvvettir. Mekanik bir elemanın hızı sabit bir referans sistemine (örneğin dünyaya) göre mekanik elemanın yapısını bozmadan ölçülebilir.

• Örnek olarak takometreyi dönen milin ucuna bağlayarak bir referansa (örneğin sıfıra) göre açısal hızını kolayca ölçebiliriz. İç değişken olan kuvvetin ölçülmesine gelince mekanik bağlantıyı bozup bir dinamometre yerleştirmek gerekir.

Serhat YILMAZ [email protected]

14

Tablo 1. Fiziksel sistemlerde iç ve uç değişkenlerin özeti.

Sistem Elektriksel İç değişken Akım,

i

İç değişkenin integrali Yük,

q

Uç değişken Potansiyel farkı,

v 21

Uç değişkenin integrali Akı geçişi,

λ 21

Mekanik (ötelemeli) Kuvvet,

F

Doğrusal moment,

P

Hız farkı,

v 21

Yerdeğiştirme farkı,

y 21

Mekanik (dönel) Akışkan Tork (Döndürme momenti),

T

Sıvının hacimsel akış hızı,

Q

Açısal moment,

h

Hacim,

V

Isıl Isı akış hızı,

q

Isı enerjisi,

H

Açısal hız farkı,

ω 21

Açısal yerdeğiş. farkı,

θ 21

Basınç Farkı,

P 21

Sıcaklık farkı, T 21 Basınç momenti,

γ 21

Serhat YILMAZ [email protected]

15

Fiziksel Sistemlerin Diferansiyel Denklem Eşdeğerleri

• Fiziksel sistemin dinamik davranışını ifade eden diferansiyel denklemler süreçle ilgili fizik kanunları kullanılarak elde edilir.

• Bu yaklaşım, termodinamik uygulanabilir.

mekanik, sistemlere elektriksel aynı ve başarıyla • Bir çok sistemde basit elemanların değişkenleri arasındaki fiziksel bağıntıların benzer olması, bu elemanlara benzerlikleri ait matematik (analojiyi) modeli açıkça aynı kılmaktadır. Bu durum ise sistemler arasındaki ortaya koymaktadır.

Serhat YILMAZ [email protected]

16

• Tablo.2’de bir fiziksel modeli oluşturan ideal elemanlara ait semboller denklemler verilmiştir.

ve değişkenleri arasındaki bağıntıyı betimleyen matematiksel • Tabloya bir bütün olarak bakıldığında bazı elemanların genelde benzer davranış gösterdikleri, denklemlerin zamanlarda görülmektedir.

bu farklı davranışı kişiler tanımlanmış betimleyen tarafından fizik farklı kanunları olmalarına rağmen (Örneğin 1. denklem Lenz yasasıdır) benzer formüllerle ifade edildikleri • Elemanlar genelde enerjiyi indüktif veya kapasitif olarak depolama ve gücü harcama şeklinde 3 tip davranış göstermektedir. Depolanan enerji daha sonra geri kazanılabilmektedir. Harcanan güç ise genelde ısı şeklinde kaybedilmekte ve geri kazanılamamaktadır.

17

• İndüktif depolayıcılar: L=elektriksel indüktans, 1/k=düzlemsel veya dönel hareketlerde sertlik katsayısı (k:esneklik katsayısı), I = akışkan eylemsizliği • Kapasitif depolayıcı: C=elektriksel kapasite, M=kütle, J=eylemsizlik momenti, C

f

=akışkan kapasitesi, C

t

=ısıl kapasite • Enerji tüketiciler: R=direnç, b=vizkoz sürtünme, R

f

= akışkan direnci, R

t

= ısıl direnç Serhat YILMAZ [email protected]

18

Tablo.2. İdeal Elemanları betimleyen diferansiyel denklemler

Bu elemanların seri-paralel bağlanmasıyla bileşke davranışlar gösteren sistem modelleri elde edilebilir.

Serhat YILMAZ [email protected]

19

Serhat YILMAZ [email protected]

20

Serhat YILMAZ [email protected]

21

Örnek.1. yay - kütle -sönümleme elemanlarından oluşan mekanik model

• Örnek olarak daha önce bir aracın tamponunu modellemek için kullandığımız yay - kütle sönümleme elemanından oluşan sistemin davranışını ele alalım.

• Burada k ideal yayın esneklik katsayısı, b ise sönümleme elemanının sürtünme katsayısıdır.

• Bu denklemde sürtünmeyi vizkoz sürtünme adını verdiğimiz gidiş yönüne ters ve hızla orantılı olarak artan bir sürtünme kuvvetiyle temsil edebiliriz. Bu sürtünmeyi oluşturacak ideal eleman bir sönümleme elemanı ile modellenebilir.

Serhat YILMAZ [email protected]

22

• Bu mekanik modelin davranışı Newton’un 2.

hareket yasası ile ifade edilebilir. M kütlesine ait serbest cisim şeması Şekil.b’de verilmiştir.

• Yasaya göre, yönleri de göz önüne alındığında, bu kütleye etki eden kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır (  F  0 ).

Ters işaretli olan r(t) kuvvetini denklemin sağ tarafına atalım.

M d 2 y dt 2  b dy ( t ) dt  k y ( t )  r ( t ) Serhat YILMAZ [email protected]

23

• Aşağı yönde uyguladığımız r(t) kuvvetinin ky kadarı yayı germeye harcanmış, bu sırada dy ( b dt geri t d 2 y dt 2 ) kadarı sürtünme kuvvetini yenmiş ve kalan M d 2 y   2 kadarı da dt ivmesiyle harekete geçirmiştir.

kütleyi sürtünme

b k

b dy dt ky y

M M

y(t) r(t) r(t) (a) (b) Şekil. (a)Yay-kütle-sönümleyici sistemi, (b) sistemde kütleye etki eden kuvvetleri gösteren serbest cisim şeması Serhat YILMAZ [email protected]

24

• Denklem dereceden doğrusal denklemdir.

şu sabit bir haliyle 2.

katsayılı diferansiyel • Denklemin bulunmasıdır.

çözümü, giriş (r(t)) değerine göre çıkışın • Çıkış, r(t) uygulandığında girişi bizim davranışını gözlemlemek istediğimiz değişkendir.

• Bu v(t) hızı veya y(t) yer değiştirmesi olabilir.

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -0.05

-0.1

-0.15

-0.2

0 1 2 3 4 5 zaman(sn) 6 7 8 9 10 Serhat YILMAZ [email protected]

25

• Örneğin burada kütleye önceden bir r(t) kuvveti uygulanarak düşünelim.

y(t)=y(0)=0.15m

kadar aşağı çekilmiş ve buradan serbest bırakılmış olduğunu • Diferansiyel kere integre denklem ederek, çözülürse yöntemlerini kullanarak bulunabilir.

bu sönümlü sistemin, yer değiştirme (y(t)) cinsinden dinamik yanıtı diferansiyel denklemi klasik yöntemlerle iki Laplace-ters Laplace dönüşümleri yaparak veya sayısal çözümleme

y(t)=

K 1 e   1 t sin   1 t   1  Serhat YILMAZ [email protected]

26

• Çıkış yanıtında eksponansiyel olarak azalan bir işaretle sinüzoidal bir işaretin çarpımı görülmektedir.

• Nitekim yanıtı zamanda grafik olarak çizersek zarfı eksponansiyel olarak azalan bir işaret tarafından sınırlandırılmış, sinüzoidal bir işaret görürüz.

• Geçekten de serbest bırakılan M kütlesi harekete ters yönlerde enerjiyi biriktiren sonra tekrar salan (enerji gösterir.

depolayıcı bir eleman olan yayın davranışı), giderek sönümlenen (enerji tüketici bir eleman olan sönümleyicinin davranışı) ve en son bir denge noktasında sabit kalan bir davranış Serhat YILMAZ [email protected]

27

Örnek.2.

Kondansatör - direnç -indüktans elemanlarından oluşan elektriksel model

• Benzer şekilde olarak ifade edilebilir.

Kirschoff’un akım yasası kullanılarak şekildeki RLC devresi matematiksel v(t) C R L r(t) akım kaynağı C dv    dt 1 R v    1 L t 0  v ( t ) dt  r ( t ) Serhat YILMAZ [email protected]

28

• RLC devresi akımına kaldığında v(t) benzer da gerilimi gösterir.

bir r(t)=I maruz yanıt olarak davranış 1 0.8

0.6

0.4

0.2

• Integro-diferansiyel denklemin çözümü v(t)= K 2 e   2 t cos   2 t  -0.2

-0.4

 2  -0.6

-0.8

0 -1 0 1 • Eksik sönümlü devresinde grafiği gibidir.

RLC gerilim Şekildeki Serhat YILMAZ [email protected]

2 3 4 5 zaman(sn) 6 7 8 9 10 29

Benzer (Analog) Sistemler

• Mekanik ve elektriksel sistemlerdeki benzerliği ortaya çıkarmak için, mekanik sistemin çıkışını yer değiştirme değil, hız cinsinden çözebiliriz.

• Bu değişikliği denklemde yer değiştirmenin türevi dy/dt yerine hız (v) yazarak yapabiliriz.

v(t)= dy ( t ) dt • Bu durumda denklemimiz, elektriksel sisteme ait integro-diferansiyel denkleme benzer.

Serhat YILMAZ [email protected]

30

M dv   dt  bv    k t 0  v ( t ) dt  r ( t ) • Bu iki özdeş denklemde v(t) hızı ve v(t) gerilimi eşdeğer değişkenlerdir ve benzer (analog) değişkenler olarak adlandırılırlar.

• Oluşturdukları adlandırılırlar.

sistemler de benzer sistemler olarak • Genlik ve frekansı elemanların değerlerine bağlı olarak değişmekle birlikte davranış olarak çıkış grafikleri birbirine benzer.

• Benzer sistemler kavramı sistem modellemede oldukça kullanışlı bir yöntemdir.

Serhat YILMAZ [email protected]

31

• Hız-gerilim benzeşimi ya da başka bir deyişle kuvvet-akım benzeşimi elektriksel ve mekanik sistemlerde yaygın olarak kullanılır.

• Benzer akışkan sistemler, pek çok elektriksel, sistemi de genişletebilir, kullanabiliriz.

mekanik, aynı ısıl, diferansiyel denklemle ifade ettikleri ve birbirine yakın çözüm sonuçları elde ettiklerinden dolayı, çözümleme ve tasarım sırasında bunlardan birinin davranışı hakkında ne öğrenirsek bunu diğer sistemler için • Matematiksel modeli aynı olan sistemlerin en elverişli eşdeğerlerinin kolaylıklar sağlamaktadır.

kurulması ve değişik parametrelerin etkilerini belirlemek için bunlar üzerinde deney yapma imkanı sistemlerin dinamik karakteristiklerini inceleme bakımından büyük Serhat YILMAZ [email protected]

32

2.3. Fiziksel Sistemlerin Doğrusal Yaklaşık Eşdeğerleri

• Fiziksel sistemlerin büyük bir çoğunluğu, sisteme ait değişken veya değişkenlerin belirli bir çalışma bölgesi civarında, doğrusal davranış gösterir.

• Ama değişken değerleri bu bölge sınırlarını aştığında doğrusal olmayan davranış kendini göstermeye başlar.

• Örneğin elemanı Şekil.X’deki sistemi, kütle yay-kütle-sönümleme küçük edilebilir. Yayı geren kuvvet idealde f yay ( y(t) y ) yer değiştirmelerine maruz kaldığı sürece doğrusaldır ve denklem 2.1 ile matematiksel olarak ifade =ky’dir.

Serhat YILMAZ [email protected]

33

• Fakat y(t) sürekli arttırılırsa, sonunda yay aşırı gerilecek, yapısı bozulacak ve kopacaktır. Bundan sonra kütle daha aşağı çekilse de yayda bir gerilme kuvveti oluşmayacaktır.

f(y) yay kuvveti kopma noktası • Bu nedenle doğrusallık dikkate almak gerekir.

y sorununu ve uygulanabilirlik sınırlarını her sistem için ayrı ayrı Serhat YILMAZ [email protected]

34

• Bir sistemin, sistem girişine yapılan uyartım ve çıkışından alınan yanıta bakarak doğrusal olup olmadığına karar verebiliriz.

• Örneğin bir elektriksel sistemde, uyartım girişi r(t) akımı, yanıt ise v(t) gerilimi olabilir.

• Genelde, doğrusal bir sistem için gerek koşul, x(t) uyartımı ile y(t) yanıtı arasındaki bağıntı cinsinden tanımlanabilir.

• Sistemin doğrusal olabilmesi için, 1. toplamsallık (süperpozisyon) ve 2. ölçeklenebilirlik (homojenite) ilkelerini aynı anda sağlaması gerekir. Serhat YILMAZ [email protected]

35

• Toplamsallık ilkesine göre bir sistemin girişine X

1

(t) uyartımı verildiğinde Y

1

(t) cevabı, X

2

(t) uyartımı verildiğinde ise Y

2

(t) yanıtı alınıyorsa, X

1

(t) + X

2

(t) şeklindeki bir uyartım girişine sistemden Y

1

(t)+ Y

2

(t) yanıtı alınması beklenir.

x 1 (t) Doğrusal Sistem y 1 (t) x 1 (t)+x 2 (t) Doğrusal Sistem y 1 (t)+ y 2 (t) x 2 (t) Doğrusal Sistem y 2 (t) Şekil.1.1. Toplamsallık ilkesi Serhat YILMAZ [email protected]

36

• Ölçeklenebilirlik ilkesine göre de, bir sistemin girişine X

1

(t) verildiğinde Y

1

(t) yanıtını alıyorsak, girişe X bir katı uygulandığında da çıkışta Y bir cevap almamız beklenir.

1 1

(t)’nin belirli (t)’nin aynı katı kadar x(t) Doğrusal Sistem y(t) k x(t) Doğrusal Sistem k y(t) Şekil.1.1. Ölçeklenebilirlik ilkesi • Bu durumda örneğin y=x² değildir. Çünkü Y

1

= x 2 1 ve Y şeklinde bir bağıntı doğrusal

2

= x 2 2 iken olduğundan toplamsallık özelliği yoktur.

Y

1

+ Y x + x 2 2 Serhat YILMAZ [email protected]

37

• Benzer şekilde y=mx+b şeklinde bir bağıntı da doğrusal değildir. Çünkü ky ≠ m ( kx )  b eşitsizliğinden sağlamaz.

civarında küçük dolayı Fakat  x kabul edilebilir. x’i; bir ve x=x 

0

y ölçeklenebilirlik + x

0

 ,y x

0

çalışma ilkesini bölgesi değişimleri için doğrusal ve y’yi; y=y

0

+  y şeklinde temsil edersek ; y=mx+b dönüşür.

 y

0

+  y = mx

0

+m  x + b haline Serhat YILMAZ [email protected]

38

y b (x 0 , y 0 )  x  y Şekil.(a) y=mx+b y  mx  b  y x (x 0 , y 0 ) fonksiyonu (b) bundan türetilen  y  m  x  y  m  x  x fonksiyonu • Özellikle mekanik ve elektriksel elemanlarda, örneğin transistörlerde nonlineer elemanlar yerine çözüm için elemanın küçük genlikli işaretler için doğrusal eşdeğer modeli kullanılır.

Sistem sadece çalışma (x0,y0) bölgesi sınırları  x  y içinde çalışıyorsa, grafiği bu bölge için yeniden çizebiliriz. Çalışma noktasını başlangıç noktası olarak orijine taşıyalım. Bu durumda çalışma  sınırlarının dışına çıkmamak kaydıyla orijinal fonksiyon yerine y =m  x fonksiyonunu kullanmamız her hangi bir hataya neden olmaz. Serhat YILMAZ [email protected]

39

• Etki (iç) değişkeni x(t), tepki (uç) değişkeni y(t) olan bir fiziksel eleman düşünelim. İki değişken arasındaki bağıntı y(t)=g( x(t) ) şeklinde yazılabilir.

• Burada g( x(t) ) ile, y(t)’nin x(t)’nin bir fonksiyonu olduğunu gösterilmiştir. Fonksiyonu bir x

0

çalışma noktası civarında, Taylor serisi ile temsil edebildiğimizi biliyoruz.

y=g(x) = g(x

0

)+ dg dx x  x 0  x  1 !

x 0   d 2 dx g 2 x  x 0  x  x 2 !

0  2  ....

• Serinin derecesi ne kadar büyürse, Taylor serisi, gerçek fonksiyonu o kadar iyi temsil eder, seri sonsuza kadar açılırsa da eğrinin kendisine eşit olur.

Serhat YILMAZ [email protected]

40

• Çalışma noktasındaki eğim (m) olan bu nokta etrafında edebilir.

(x-x

0

) dg dx x  x 0 gibi küçük bir değişim bölgesi için gerçek eğriyi yaklaşık olarak temsil • Fonksiyonu 1. dereceden kuvvetine kadar seriye açarsak doğrusal olmayan denklemin yaklaşık eşdeğerini temsil eden denklem y= g(x

0

dx x  x 0   1 !

0 

0

+ m (x-x

0

) Buradan y’ı sol tarafa atarsak denklem y- y

0

=m(x-x

0

) veya  y  m  x şeklinde doğrusal bir denkleme dönüşür. Serhat YILMAZ [email protected]

41

Örnek. Kütle-yay-sönümleyici

• Bir M kütlesinin, lineer olmayan bir yayı denge konumuna gelene kadar ağırlığıyla sıkıştırdığını düşünelim. Çalışma noktasını yer çekimi kuvveti Mg’nin , yay tarafından dengelendiği bu denge noktası olarak seçelim. Burada g, yerçekimi sabitidir.

Kütle f(y) yay kuvveti f =y 2 Doğrusal olmayan yay y f 0 df dy y  y 0 Denge noktası (Çalışma Noktası) y 0 y Şekil. a) Doğrusal olmayan yay üzerine yerleştirilmiş bir kütle, b) yayın gerilme (sıkışma) kuvvetiyle yerdeğiştirme arasındaki ilişkiyi gösteren fonksiyon Serhat YILMAZ [email protected]

42

• Doğrusal olmayan yayın formülü f=y² dir ve df dy  2 y olur.

• Denge noktası y

0

’da yayın gerilme kuvveti, f

0

=f(y

0

) yerçekimi kuvvetine eşittir (f

0

=Mg).

Denge noktasında f

0

= y 2 0  Mg = y 2 0  y

0

=   1 / 2 dir.

• Aynı sistemin küçük değişimler için doğrusal eşdeğer modeli  f  m  y ’ olacaktır.

• Burada m=2y  f  2 y 0

0

m= df dy y  y 0 ’dir. Denklem Y’ye göre m; ’dır. Sistemin doğrusal eşdeğer modeli de  y olacaktır.

Serhat YILMAZ [email protected]

43

Çok parametreli fonksiyonlarda doğrusallaştırma

• Eğer y bağımlıysa bağımlı bu değişkeni, bağıntı pek benzer çok şekilde değişkenli bir fonksiyonla temsil edilebilir.

y=g(x

1

, x

2

, x

3

…….xn) girişe çok • Burada da y çıkışının her bir giriş değişenine göre kısmi türevleri kullanılarak, fonksiyon serisine açılabilir. Yine yüksek dereceli terimler atılıp, birinci dereceden olan terimler bırakılarak fonksiyonun edilebilir.

x 1 0 , x 2 0 ,

x

3 0 ….

x n 0 Taylor çalışma noktası civarında, doğrusal yaklaşık bir eşdeğeri elde + dg dx 1 0 n x  x x n 0 2 0  x , n

x

3 0  x n 0 ….

 x n 0 )+ dg dx 1 x  x 1 0  x 1  x 1 0  + dg dx 2 x  x 2 0  x 2  x 2 0  Burada x 0 çalışma noktasıdır.

Serhat YILMAZ [email protected]

 .....

44

Örnek. Ters Sarkacın Salınım Modeli

• Şekildeki gibi bir sarkacın salınımını ele alalım.

Burada kütleye etki eden döndürme momenti (tork) T=M g l sin  dır.

T T 0 =0 Mg  L   2  2     0 T 0 M Şekil. Ters sarkacın salınımı T ile arasındaki nonlineer ilişki • Burada g yerçekimi sabitidir. Çalışma (denge) noktası normalde, yani sarkacın düşey olarak durduğu noktadadır. Normalle yapılan açı 90° iken normale doğru yapılan döndürme momenti en büyüktür (T=Mg*1).

Çalışma noktasında ise en küçüktür ( T 0  Mg * 0 ).

[email protected]

45

• Çalışma noktası değişimler için (  0  0 sistemin ) civarındaki küçük doğrusal kadar açılmasıyla elde edilebiliyordu.

yaklaşık eşdeğeri; fonksiyonun Taylor serisinin 1. türevine Burada T=0 ve  0 =0 idi.

• Bu yaklaşık model, şekilden de görüldüğü gibi   4     4 aralığında oldukça doğru sonuçlar verir.

Gerçekten de küçük açı değerleri için sinüsün aldığı değer açı değerinin kendisine oldukça yakındır (sin0=0;sin(0.150)=0.1495;sin(0.314)=0.308) Serhat YILMAZ [email protected]

46

Laplace Dönüşümü

• Laplace dönüşümlerinin olması gerekir.

kullanılabilmesi için sistemleri temsil eden denklemlerin doğrusal • Bu yüzden fiziksel sistemlerin doğrusal yaklaşık eşdeğerleri elde edilir.

• Laplace dönüşümleri, zaman düzleminde çözümü oldukça karmaşık ve güç olan doğrusal diferansiyel denklemleri, karmaşık frekans düzleminde toplama çarpma bölme gibi çözümü daha basit olan cebirsel denklemlere dönüştürür.

Serhat YILMAZ [email protected]

47

Diferansiyel denklemler elde edilir

• Amacımız sisteme ait bir değişkenin zaman düzleminde çözümünü bulmaksa Laplace dönüşümlerini de içeren yandaki gibi bir yol izleyebiliriz;

Diferansiyel denklemlerin Laplace dönüşümleri bulunur. (Böylece denklem çözümü karmaşık frekans düzleminde toplama çarpma gibi basit cebrik işlemlere dönüşür) ) Denklem istenen değişken için çözülür (Zaman düzleminde gözlenmek istenen değişken, Y(s)=… yalnız bırakılır) Ters Laplace ile zaman düzlemine dönülür. Böylece zaman düzlemi çözümü elde edilmiş olur ( y(t)=…..) Belirli bir zaman aralığı içinde t’ye değerler vererek ilgilenilen değişkenin grafiği çizilebilir. Böylece zaman düzleminde davranışı gözlenebilir 0.2

0.15

0.1

0.05

0 -0.05

-0.1

-0.15

-0.2

0 1 2 3 4 5 zaman(sn) 6 7 8 9 10 Şekil1. Bir sisteme ait çıkış değişkenin Zaman düzlemi yanıtının çözümlenme adımları Serhat YILMAZ [email protected]

48

• Dönüştürme yani sonlu bir değere sahip olan, doğrusal diferansiyel denklemlerin Laplace dönüşümleri vardır. Örneğin f(t) böyle bir denklemi temsil etsin.

f(t)’nin dönüşümünün olabilmesi için yeter koşul integrali yakınsayan,

0   f ( t ) e   1 t dt  

ile verilir. • Burada

 1

, pozitif gerçel bir sayıdır.

Serhat YILMAZ [email protected]

49

• Fiziksel olarak gerçeklenebilir f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü bütün işaretlerin Laplace dönüşümleri vardır. Bir F ( s )    f ( t ) e  st dt    0 • Benzer şekilde ters Laplace dönüşümü de

f(t)=

1 2  j     j   j  F ( s ) e  st ds • Bu dönüşüm formülleri kullanılarak bizim için gerekli pek çok oluşturulabilir.

işaretin Laplace dönüşümü elde edilip dönüşüm tabloları Serhat YILMAZ [email protected]

50

• Yanda önemli Laplace-Ters bazı Laplace dönüşüm gösteren çiftlerini dönüşüm tablosu verilmiştir.

Serhat YILMAZ [email protected]

51

• Otomatik kontrolde etmek için kullanıyoruz.

Laplace dönüşümlerini çoğunlukla transfer fonksiyonu modellerini elde Daha sonraki bölümde göreceğimiz bu modelleme türünde, ilk koşullar sıfır alınır. Bu nedenle Laplace değişkeni s’i diferansiyel operatörlerin Laplace dönüşümü olarak düşünmek yanlış olmayacaktır.

s= ℒ d ve = ℒ dt • Sistemin karmaşık düzlemde çözümü bulunduktan sonra zaman düzlemi karşılığı bulunur. Bu sırada ters Laplace dönüşümleri genelde kısmi kesirlere ayrılarak bulunur.

çözüm yaklaşımıdır.

Bu yaklaşım, karakteristik denklemin her bir kökünün (özdeğerinin) sistem yanıtına ne kadar etki ettiğini göstermesi nedeniyle sistem analizi ve tasarımında oldukça yararlı bir Serhat YILMAZ [email protected]

52

Sistem Davranışının İncelenmesinde Geçici Durum ve Sürekli Durum Yanıtı Kavramları

• Laplace dönüşümleri karmaşık düzlemde s’li terimlerden oluşan denklemler (F(s)=s2+3s+..) elde etmemizi sağlar.

• Bu s’li terimler, diferansiyelleri yani değişimleri, yani dinamik bir davranışı ifade ederler.

• Sistem, kararlı bir sistemse, yani denetleyicisi onu istenen nihai bir değere ulaştırıyor ve bu değerde sabit kalmasını sağlıyorsa, sistem geçici bir süre için değişik çıkışlar üretecek, sonunda sürekli bir çıkış değeri verecektir.

Serhat YILMAZ [email protected]

53

• Zaman düzleminde ve karmaşık frekans düzleminde geçici hal yanıtı (steady state response) ve sürekli hal yanıtı aşağıdaki gibidir.

Serhat YILMAZ [email protected]

54

• Laplace dönüşümlerinin özellikle çözülmesi zor diferansiyel denklemler içeren sistem problemlerinin görelim.

çözümlenmesinde nasıl kolaylıklar sağladığını örnekler üzerinde • Çıkış yanıtı başlangıç koşulları tarafından belirlenen doğal yanıt ve giriş tarafından belirlenen zorlanmış yanıtın toplamından oluşur.

Y(s)=

m    q ( s )  zorlanmis p   R ( s q ( s ) ) • Burada q(s)=0 karakteristik denklemdir.

Serhat YILMAZ [email protected]

55

• Eğer giriş işaretimiz, basamak fonksiyonu 1 s , rampa fonksiyonu ise Y(s) = m   q ( s ) 1 gibi kesirli bir sayı (R(s)= s 2   p zorlanmis   n ( s ) q ( s ) d ( s ) = Y 1 ( s )  n ( s ) d ( s )     Y 2 ( s )  Y 3 ( s ) ) şeklinde olur.

Serhat YILMAZ [email protected]

56

• Y

1

(s), doğal yanıttır, gerekirse kısmi kesirlere ayrılarak bulunabilir.

• Benzer şekilde zorlanmış yanıt da paydası q(s) ve d(s) olan terimler olarak kısmi kesirlere ayrılabilir.

• q(s)’li olan kısmi kesirli terimden elde edilen yanıt Y

2

(s), paydası giriş işaretinin paydası olan d(s)’li terimden elde edilen yanıt ise Y

3

(s)’tir.

• Yanıtın ters Laplace’ı alındığında y(t)= y

1

(t) + y

2

(t) + y

3

(t) bulunur. • Geçici durum yanıtı y

1

(t)+y

2

(t)’den, kalıcı durum yanıtı, giriş işaretini içeren y

3

(t)’den oluşur.

Serhat YILMAZ [email protected]

57

Örnek. Bir diferansiyel denklemin çözümü

• Aşağıdaki diferansiyel denklem ile temsil edilen bir sistem düşünelim; d 2 2 y  4 dy  3 y  2 r   dt dt • Başlangıç koşulları için

r(t)=1

olsun.

y(0)=1

dy dt   

t

• Denklemin Laplace dönüşümü  s 2 Y ( s )  sy ( 0 )   4  sY ( s )  y ( 0 )   3 Y ( s )  2 R ( s ) şeklindedir.

 0 Serhat YILMAZ [email protected]

58

 s 2  4 s  3  Y ( s )  ( s  4 ) y ( 0 )  2 R ( s ) Y(s)= y(0)=1   s 2  s    4 s 4     3  y ( 0 )      2  s 2  4 s  3  R ( s ) ve R(s)= = d ( s ) 1 s olduğundan Serhat YILMAZ [email protected]

59

• Buradan   s 3 /  2 1   1 / s  3 2      s   1 1  s 1 /  3 3    s 3 Zaman yanıtı Y 1 ( s )  Y 2 ( s )  Y 3 ( s ) y(t)=   3 2

e



t

 1 2

e

 3

t

      1

e



t

 1 3

e

 3

t

   2 3 ve kalıcı durum yanıtı lim t   y    2 3 bulunur.

Kalıcı duruma erişilene kadar geçen süre zarfında y(t)’nin grafik üzerinde gösterdiği davranış ise geçici durum yanıtıdır.

Serhat YILMAZ [email protected]

60

Örnek.1. Kütle-yay-sönümleyici örneği

• Daha önceki örneklerde kütle-yay- sönümleyici elemanlarından oluşan sistemin dinamik denklemini; M d 2 dt y   2  b dy ( t ) dt  k y ( t )  r ( t ) olarak bulmuştuk. y’nin zamana göre değişimini öğrenmek istersek, yukarıdaki diferansiyeli çözüp y(t)’yi elde etmek oldukça zor olacaktır. r(t)=0, y(0)=y 0 =1 ve dy durumda y(t)=?

( dt 0 ) =0, b M =3, k M =2 olsun. Bu Serhat YILMAZ [email protected]

61

Çözüm: Laplace dönüşümüyle s düzlemine geçersek;

• M    s 2 Y ( s ) • Burada  sy r(t)=0 , denklem; ( 0 )  dy ( 0 ) dt     b  sY ( s )  y ( 0 ) y(0)=y 0 =1   kY ( s ) ve dy dt  ( 0 ) R ( s ) =0 olduğu için • • y(t)’yi bulmak istediğimize göre Y(s)’i yalnız bırakmalıyız.

haline dönüşür.

( Ms Ms 2   b bs ) y  0 k  2 ( s  b M ) y 0  2  3 s          p ( s ) ( s )

• Karakteristik denklemin kökleri, denklemi sıfır, yanıtı da sonsuza, yani çok uzağa götüreceğinden kutup olarak da adlandırılırlar.

• Benzer şekilde paydaki p(s) polinomunun kökleri, sistem yanıtını sıfıra taşıdığından sıfır olarak adlandırılırlar.

• Sistemin girişi ne olursa olsun kutuplar ve sıfırlar sistem yanıtını sonsuz veya sıfır yapan kritik frekanslardır.

• Kutup ve sıfırların karmaşık frekans ( s ) düzlemindeki yerleri, sistemin doğal geçici durum yanıtının karakteristiğinin ne olacağını grafiksel olarak gözler önüne serer.

Serhat YILMAZ [email protected]

63

Serhat YILMAZ [email protected]

64

• Denklemi kısmi kesirlere ayırırsak

• Y(s)=

s k 1  1  s k  2 2 • Burada bu Hangi k1, katsayılar, kutbun k2 her kutup değerine eşitlenir.

kısmi kesirlerin katsayılarıdır. Rezidü olarak da adlandırılan bir kutbun, rezidüsünü çıkış davranışına ne oranda etki ettiğini gösterir.

bulmak istiyorsak, içinde o kutup olan çarpan (s si) ile henüz kısmi kesirlere ayrılmamış Y(s) fonksiyonu çarpılır ve s değeri istenen Serhat YILMAZ [email protected]

65

• k1 ve k2 yerlerine koyulursa ters Laplace değerlerini bulabileceğimiz kısmi kesirlerine ayrılmış basit terimleri elde ederiz.

• Y(s)= s 2  1  s  1  2 ve denklemin ters Laplace’ı alınırsa • Sistemin yanıtı bulunur. Serhat YILMAZ [email protected]

66

• Geçici yanıtı 10 sn boyunca grafik olarak görmek istersek Matlabta aşağıdaki kodları yazabiliriz.

2 1.5

1 0.5

0 -0.5

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Şekil. Yanıtı çizdirmek için oluşturduğumuz program ve çıktısı Serhat YILMAZ [email protected]

67

• Eksponansiyel olarak azalan zıt iki işaret kesikli çizgilerle verilmiştir.

• Yanıtı temsil eden ve düz çizgiyle verilen bileşke işarette, katsayısı daha büyük olan kutbun, katsayısı oranında daha etkili olduğu görülmektedir.

• Son olarak, son değer teoremine göre kalıcı yanıtın ne olacağı bulunabilir.

t lim   y ( t )

=

lim s  0 sY ( s )

= =0

s   s 1   s 3   2 Serhat YILMAZ [email protected]

68

• Demek ki yay bir r(t) kuvvetiyle (veya herhangi başka bir yolla) önceden bir y0 noktasına getirilmişse ve sonra olarak da y=0 değerini alır.

r(t)=0 iken serbest bırakılmış ise kütlenin “y” yer değiştirmesi şekildeki gibi geçici bir süre boyunca hiç salınım yapmadan eksponansiyel olarak azalır ve doğruca denge noktası olan 0’a doğru gider. Son değer • Laplace dönüşümü yönteminin özelliklerini biraz daha açmak için aynı kütle-yay-sönümleyici sistemini eksik sönümlü durum için inceleyelim.

Karakteristik denklemi 2.

dereceden denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir.

olan dolayısıyla 2.dereceden bir sistem yanıtı olan Y(s) Serhat YILMAZ [email protected]

69

• Burada  frekansıdır.

: sönümleme oranı, ise sistemin doğal • Denkleme göre salınımı sağlayan doğal frekansı fiziksel olarak yay sabiti ve kütle belirlemektedir (c).

= • Yay sabiti büyük, yani yay sert ise salınım frekansı büyük, gevşek ise salınım daha yavaş olmaktadır.

• Benzer şekilde kütle ağırsa salınım ağır seyretmekte, kütle küçüldükçe ise salınım kolaylaştığından salınım frekansı yükselmektedir.

, • (b) katsayısında yerine k koyduğumuzda, sönümleme oranı  =b/  2 kM orantılı olduğunu görüyoruz.

M  bulunur. Buradan da sönümlemeyi b sürtünmesiyle orantılı, yay ve kütleyle ters Serhat YILMAZ [email protected]

70

• Karakteristik denklemin kökleri, 2. dereceden sistemlerin köklerinin bulunmasında olduğu gibi Serhat YILMAZ [email protected]

71

• Kritik sönümlü durum: (eşit) v gerçeldir.

 =1 ise s1,s2 kökleri tekrarlamalı Serhat YILMAZ [email protected]

72

• Eksik sönümlü durum: 0<  <1 eşlenik kökler şeklindedir. Çünkü  2  1 = (-1)*  1   2  ise s1,s2 kökleri karmaşık  2  1  0 olacağından olarak yazılabilir. Bu durumda kökler Serhat YILMAZ [email protected]

73

• Sönümsüz durum:  =1 ise s1,s2 kökleri imajiner eksen üzerindedir. Gerçel bileşeni yoktur; Serhat YILMAZ [email protected]

74

• Bu durumda sistem yanıtı, doğal frekansta salınım yapar ve sönümlenemez.

Serhat YILMAZ [email protected]

75

• Şekil. a) s düzleminde eşlenik karmaşık kökler olarak köklerin yer değiştirmesi • b)  ’ya bağlı cos   komsu hipotenüs =   w n w n = ‘dır.

sabit tutulursa, ’ye kadar değişecek ve karmaşık eşlenik kökler şekildeki gibi yarıçapı  :1’den 0’a değiştikçe,  ’da olan dairesel bir yörünge izleyecektir.

’den • Böylece  ,sıfıra yaklaştıkça kökler imajiner eksene yaklaşacak ve geçici yanıtın salınımı artacaktır.

• Tersini düşünecek olursak,  : 0’dan 1’e doğru değişirken, iki karmaşık kök, daire çizerek karmaşık eksenden gerçel eksene doğru kayacak, aradaki makas giderek kapanacak, salınım kalmayacaktır.

 =1’ken iki kök reel eksen üzerinde çakışacak, imajiner bileşen ve dolayısıyla • Artık ortada bir  ve doğal frekansı kalmamıştır. Dolayısıyla üstteki formüller karmaşık düzlemde kalmıştır, gerçel eksen üzerinde geçerli değildir.

 daha da artarak 1’den büyük değerler almaya devam ettiğinde kökler gerçel eksen üzerinde biri sola, diğeri sağa doğru kayarak ilerler.

Örnek.2. Eksik sönümlü durum için y(t) yanıtının bulunması

• 2.dereceden

sistemin birbirinin karmaşık eşleniği olduğunu görmüştük.

Bu durumda s 2  s * 1 ’dır.

köklerinin her zaman • y(t) yanıtını bulmak için yine denklemi kısmi kesirlerine ayıralım. Bunun için Y(s)= s k  1 s 1  s k  2 s şeklinde bir denklem elde edebilmemiz gerekir.

* 1 = Serhat YILMAZ [email protected]

77

• Önce bunu bulmalıyız.

sağlayacak k

1

, k

2

katsayıları • Buradaki bölme işlemini daha kolay yapabilmek için karmaşık sayıları toplama ve çıkarma şeklindeki gösteriliş biçiminden, genlik ve fazın çarpımı şeklindeki kutupsal gösterime geçelim.

Paydaki paydadaki şekilde M

2

 s 1   2  w s 1  s n * 1   genliği ve karmaşık terimi, değerlerini  2

1

genliği ve  1 fazından; karmaşık terimi de benzer fazından oluşsun.

Serhat YILMAZ [email protected]

78

• Bu durumda denklem y 0 M 1 e j  2 j  1 halini alacaktır.

  w  jw n ve s 1   2

2

olarak tanımlamıştık.

Serhat YILMAZ [email protected]

79

• 1   2 ’yi daha basit bir sembolle temsil edelim;   1   2 Serhat YILMAZ [email protected]

80

• Sistem, üstel olarak azalan sinüzoidal bir davranış göstermektedir.

görürüz.

Gerçekten de t’ye değerler vererek y(t)’yi çizecek olursak bu davranışı Serhat YILMAZ [email protected]

81

Serhat YILMAZ [email protected]

82

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -0.05

-0.1

-0.15

-0.2

0 1 2 3 4 5 zaman(sn) 6 7 8 9 10 Serhat YILMAZ [email protected]

83

Doğrusal Sistemlerin Transfer Fonksiyonu

• G(s) sadece bir araçtır. Amaç bir R(S) girişi karşısında Y(s)=G(s)*R(s)’i, buradan da y(t)’yi bulmaktır.

• Yüksek dereceli bir sistemin davranışını ele alalım ve belirli bir girişe yanıtını inceleyelim. y(t) yanıt, r(t) giriş olmak üzere sistemi betimleyen diferansiyel denklem d n y d n  1 y d n  1 r d n  2 r q n n  q n  1 n  1  .....

 q 0 y  p n  1 n  1  p n  2 n  2  .....

 p 0 r dt dt dt dt • şeklinde olsun.

Bütün başlangıç koşulları sıfıra eşitse sistemin transfer fonksiyonu G  Y R ( s ) ( s ) =  p n   1 q n s s n n  1   q n p n  1  s 2 n s  1 n   2  ........

........

  q 0 p  0  olur.

Serhat YILMAZ [email protected]

84

Kaynaklar

1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005 2) Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, 1995 3)http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/2nd_order.pdf

4)Vatansever,Ş.,Savaş,Ç.,KOÜ. Mü .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik Kontrol Dersi Ödevi Serhat YILMAZ [email protected]

85