Глава 7 Элементарная теория удара

§ 1. Основные понятия теории удара § 2. Действие ударной силы на материальную точку § 3. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе § 4. Теорема об изменении главного момента количеств движения при ударе (Теорема моментов) § 5. Прямой центральный удар шара о неподвижную поверхность

§ 1. Основные понятия теории удара

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела меняются на конечную величину, называется ударом Мгновенной или ударной называют силу, которая действует в течение малого промежутка времени, но достигает таких больших значений, что её импульс за это время становится конечной величиной

( 1 )



S

   

F dt 0 F ср



F S

 - ударный импульс По теореме о среднем 

S

 

F ср

 ; величина, то

S



F F



ср



S



1

 

A v



A v



B

Пусть соударяются два тела: v A > v B , тела движутся поступательно

B

Линия удара - это общая нормаль к поверхностям соударяющихся тел в точке соприкосновения Удар называют центральным , если центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара Центральный удар называется центров масс соударяющихся тел в начале удара направлены по линии удара прямым , если скорости

Рассмотрим подробнее процесс удара. Пусть A, B абсолютно гладкие тела, удар прямой, центральный. После соприкосновения оба тела деформируются, v B увеличивается, v A - уменьшается. Процесс деформации заканчивается, когда v A = v B Эта часть явления удара называется фазой деформации 

F



F

 Время этой фазы 

F

   

F

Ударный импульс 

S

 

S 1

   

S 1



1



S 1

  

1



F dt 0



F



После деформации тела восстанавливают свою форму целиком или частично. Это фаза восстановления Время этой фазы 

2

отделения тел друг от друга 

S

. Фаза заканчивается в момент

2

  

2



1



F dt

  

1

 

2

- продолжительность удара

Упругость соударяющихся тел оценивается по отношению ударного импульса за фазу восстановления к ударному импульсу за фазу деформации

k



S 2 S 1 K

коэффициент восстановления опытным путем , определяется

k



0



S 2



0

- фаза восстановления отсутствует (абсолютно неупругий удар)

k



1

- абсолютно упругий удар

0 < k < 1

- упругий удар

§ 2. Действие ударной силы на материальную точку



u



F k

 

F v

 По теореме об изменении количества движения точки

m



u



m v

   

F 0 S

 - ударный 

dt

импульс  

0

 силы 

F k dt

импульс конечной 

S k

 

F k ср

 по теореме о среднем малой величиной можно пренебречь

m



u

 

m



v

 

S

(2)

A M

Изменение количества движения точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке.

(2) – основное уравнение динамики точки при ударе,  

u



v

 

1 m



S



F k

(в этой формуле все величины конечные)

B m v

 

S



F m



u D

В результате действия ударной силы резко меняется траектория движения

ABD

s

  

vdt 0

- расстояние, пройденное за время удара,

s



v ср

 

s



0

Выводы

1. Действием конечных сил за время удара можно пренебречь 2. Перемещением точки за время действия ударных сил можно пренебречь 3. Действие ударных сил на точку выражается в быстром изменении величины и направления скорости

§ 3. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе

Для механической системы, состоящей из n материальных точек,на которую действуют как конечные, так и ударные силы, справедливо 

Q

 

Q 0

 

k



S k e

(3) Изменение количества движения механической системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему

В проекциях: 

k



S



0



Q



Q



Q y z x

  

Q



Q

 

Q 0 0 0 x y

  

z



Q

 

k



k



k



Q



S



S



S k k k z x y e e e

Вывод: Внутренние ударные импульсы не могут изменить количество движения системы

M



u c

 

Q



M v



M c

 

u c



k



S k e



Q 0



M v



c

- определяет изменение скорости центра масс при ударе

§ 4. Теорема об изменении главного момента количеств движения при ударе (Теорема моментов)

Рассмотрим систему из n материальных точек 

S k e

- равнодействующая внешних ударных импульсов 

S k i

- равнодействующая внутренних ударных импульсов, действующих на каждую точку,

m k



u k



m k v k

 

S k e

 

S k i

Векторы приложены к точке, которая за время удара не перемещается, тогда, по теореме Вариньона, 

m 0 ( m k



u k )

 

m 0 ( m k v



k )

 

m 0 (



S k e )

 

m 0 (



S k i )

Теперь просуммируем  

m 0 (



u k

 

m 0 ( m



S k k e )



)

   

m 0



m ( 0 (



S k m k i ) v



k )

 

K 0 2

 

K 0 1

   

m 0 (



S k e )

Изменение за время удара кинетического момента системы относительно какого-либо центра равно сумме моментов относительно того же центра всех действующих на систему внешних ударных импульсов В проекциях: 

K K



K 0 0 0 2 2 2 x z y

   

K K



K 0 0 0 1 1 1 z x y

     

m m

 

m



0 0 0 z x y ( ( (



S



S S k k k e e e ) ) )

Внутренние ударные импульсы не меняют кинетический момент системы

§ 5. Прямой центральный удар шара о неподвижную поверхность

n

Масса шара –

M



N

Реакция плиты – 

N

 Согласно теореме об изменении количества движения,

v

 

Q

 

Q 0



S



M



u



u



M v

  

S ( 4 )

Проектируем на нормаль:

Mu n



Mv n



S n u n



u v n

 

v S n



S Mu



Mv



S



0



Mv



S 1 ; ( 5 ) Mu



0



S 2 k



S 2 S 1



u v

 

S 1

- ударный импульс за фазу деформации

S 2

- ударный импульс за

S



M ( v



kv ); S



Mv ( k



1 ) v



2 gh u



2 gh k



h 1 h