Fourierovi redovi i integrali Ivica Jerbić Uvod Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francuski fizičar i matematičar, uveo je u analizu Fourierov red i Fourierov integral Fourierov.
Download ReportTranscript Fourierovi redovi i integrali Ivica Jerbić Uvod Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francuski fizičar i matematičar, uveo je u analizu Fourierov red i Fourierov integral Fourierov.
Slide 1
Fourierovi redovi i integrali
Ivica Jerbić
Slide 2
Uvod
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830),
francuski fizičar i matematičar, uveo je u analizu
Fourierov red i Fourierov integral
Fourierov red je jedan od najvažnijih alata za
rješavanje običnih i parcijalnih diferencijalnih
jednadžbi
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 3
Periodičke funkcije
Za funkciju f(x) kažemo da je periodička ako je
definirana za sve realne x i ako postoji neki pozitivni
broj T takav da je
f ( x T ) f ( x)
za sve x. Tada se broj T naziva period od f(x).
Ako je n bilo koji cijeli broj i vrijedi
f ( x nT ) f ( x )
za svaki x tada je svaki umnožak nT također
period funkcije.
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 4
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Pretpostavimo da je f(x) periodička funkcija s
periodom 2π koja se može razviti u trigonometrijski
red
f ( x ) a0
(a
n
cos nx b n sin nx )
(1)
n 1
Za takvu funkciju f(x) želimo odrediti koeficijente
pripadajućeg reda (a0, an i bn )
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 5
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Integriranjem obiju strana izraza (1) od –π do π imamo
f(x) dx a 0
( a n cos nx b n sin nx ) dx
n 1
Nakon integriranja, naš prvi koeficijent
a0
1
2
f(x) dx
je površina ispod krivulje f(x) na intervalu od –π do π
podijeljena sa 2π.
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 6
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Sada ćemo na sličan način odrediti a1, a2,... Pomnožit
ćemo izraz (1) s cos mx, gdje je m bilo koji pozitivni
cijeli broj, i integrirati od –π do π, što nam daje
f(x) cos mx dx a 0
( a n cos nx b n sin nx ) cos mx dx
n 1
Integriranjem član po član dobijemo
am
1
f(x) cos mx dx
m 1, 2 ,....
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 7
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Na kraju određujemo b1, b2,.... Ako pomnožimo (1) sa
sin mx, gdje je m određeni pozitivni cijeli broj i
integriramo od –π do π imamo
f(x) sin mx dx a 0
( a n cos nx b n sin nx ) sin mx dx
n 1
Integriranjem član po član konačno dobijemo
bm
1
f(x) sin mx dx
m 1, 2 ,....
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 8
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Zamjenom n umjesto m dobijemo tzv. Eulerove
izraze:
a0
an
bn
1
2
1
1
f(x) dx
f(x) cos nx dx n 1, 2, ...
f(x) sin nx dx n 1, 2, ...
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 9
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Za zadanu periodičku funkciju f(x) s periodom 2π
možemo izračunati koeficijente an i bn te napraviti
trigonometrijski red
a 0 a 1 cos x b1 sin x ... a n cos nx b n sin nx ...
Ovaj se red zove Fourierov red funkcije f(x), a
pripadni koeficijenti zovu se Fourierovi koeficijenti
funkcije f(x).
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 10
Parne i neparne funkcije
Za funkciju g(x) kažemo da je parna ako vrijedi
g ( x) g ( x)
za svaki x.
Za funkciju h(x) kažemo da je neparna ako vrijedi
h( x) h( x)
za svaki x.
Funkcija cos nx je parna dok je sin nx neparna.
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 11
Parne i neparne funkcije
Ako je g(x) parna funkcija vrijedi
g ( x ) dx
2 g ( x ) dx
0
Ako je h(x) neparna funkcija vrijedi
h ( x ) dx
0
Produkt q = gh parne funkcije g i neparne funkcije h
je neparna funkcija zato jer
q ( x ) g ( x ) h ( x ) g ( x ) h ( x ) q ( x )
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 12
Parne i neparne funkcije
Ako je f(x) parna, tada je f(x) sin nx neparna i bn=0.
Slično tome, ako je f(x) neparna tada je f (x)cos nx
neparna i an=0. Slijedi
Fourierov red parne periodičke funkcije sa periodom 2π je
'Fourierov kosinus red'
f ( x) a0
a
n
cos nx
n 1
Fourierov red neparne periodičke funkcije s periodom 2π
je 'Fourierov sinus red'
f ( x)
b
n
sin nx
n 1
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 13
Proširenje na funkcije sa bilo
kojim periodom
Opći oblik reda
f (t ) a 0
Koeficijenti reda
(a
n
cos
2n
T
n 1
t b n sin
2n
T
T
a0
1
T
2
T
f(t) dt
2
T
an
2
2
T
f(t) cos
bn
T
dt n 1, 2, ...
t
dt n 1, 2, ...
2
2
T
t
T
T
T
2
2n
f(t) sin
2n
T
2
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
t ).
Slide 14
Određivanje Fourierovih
koeficijenata bez integracije
Neka je f(x) funkcija s periodom 2π opisana
polinomima p1,..., pm u intervalu – π < x < π;
p 1 ( x ) kada
p ( x ) kada
2
f ( x)
. p m ( x ) kada
x 0 x x1 ,
(x0 )
x1 x x 2
x m 1 x x m ( )
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 15
Određivanje Fourierovih
koeficijenata bez integracije
Tada f može imati skokove u x0, x1, …,xm što
također vrijedi i za derivacije funkcije f’, f’’…
Koristiti ćemo slijedeći način označavanja:
j s skok od f u x s
j s ' skok od f ' u x s
( s 1, 2 ,..., m )
j s ' ' skok od f ' ' u x s
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 16
Određivanje Fourierovih
koeficijenata bez integracije
Korištenjem prethodnih izraza dobijemo
1
an
n
m
j s sin nx s
s 1
1 m
1
bn
j s cos nx s
n s 1
n
1
n
m
j s ' cos nx s
n
s 1
m
1
s 1
j s ' sin nx s
1
n
2
2
m
j s ' ' sin nx s
n
s 1
m
j s ' ' cos nx s
s 1
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
1
n
m
1
3
3
s 1
m
s 1
j s ' ' ' cos nx s ...
j s ' ' ' sin nx s ...
Slide 17
Primjer:
Fourierov red funkcije
0
f ( x)
x 0
0 x
f ( x ) a0
(a
n
cos nx b n sin nx )
n 1
0
1
a0
0 dx dx
2
0
2
bn
sin nx dx
0
f (x)
1
n
an
1 cos nx
cos nx dx 0
0
1
(1 ( 1) )
n
sin 3 x sin 5 x
2 sin x
...
2
3
5
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
n
Slide 18
Primjer:
Fourierov red funkcije
0
f ( x)
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x 0
0 x
Slide 19
Primjer:
Fourierov red funkcije
0
f ( x)
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x 0
0 x
Slide 20
Primjer:
Fourierov red funkcije
0
f ( x)
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x 0
0 x
Slide 21
Primjer:
Fourierov red funkcije
f (x) x
x
Fourierov sinus red
f ( x)
b
n
sin nx
n 1
bn
1
1 x cos nx sin nx
f(x) sin nx dx
2
n
n
bn
Prema tome
f ( x)
2
n
cos n
2
cos n ( 1)
n 1
n
sin 2 x sin 3 x
2 sin x
...
2
3
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 22
Primjer:
Fourierov red funkcije
f (x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x
Slide 23
Primjer:
Fourierov red funkcije
f (x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x
Slide 24
Primjer:
Fourierov red funkcije
f (x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x
Slide 25
Primjer:
Fourierov red funkcije
0 x
f ( x) x
f ( x) a0
Fourier-ov kosinus red
1
a0
an
2
x cos nx dx
0
2
n
2
xdx
0
cos n
a
n
cos nx
n 1
2
1
2
n
2
( 1)
n
1
Prema tome
4
1
1
f ( x)
cos x cos 3 x
cos 5 x ...
2
9
25
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 26
Primjer:
Fourierov red funkcije
f ( x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
0 x
Slide 27
Primjer:
Fourierov red funkcije
f ( x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
0 x
Slide 28
Hvala na pažnji!
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Fourierovi redovi i integrali
Ivica Jerbić
Slide 2
Uvod
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830),
francuski fizičar i matematičar, uveo je u analizu
Fourierov red i Fourierov integral
Fourierov red je jedan od najvažnijih alata za
rješavanje običnih i parcijalnih diferencijalnih
jednadžbi
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 3
Periodičke funkcije
Za funkciju f(x) kažemo da je periodička ako je
definirana za sve realne x i ako postoji neki pozitivni
broj T takav da je
f ( x T ) f ( x)
za sve x. Tada se broj T naziva period od f(x).
Ako je n bilo koji cijeli broj i vrijedi
f ( x nT ) f ( x )
za svaki x tada je svaki umnožak nT također
period funkcije.
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 4
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Pretpostavimo da je f(x) periodička funkcija s
periodom 2π koja se može razviti u trigonometrijski
red
f ( x ) a0
(a
n
cos nx b n sin nx )
(1)
n 1
Za takvu funkciju f(x) želimo odrediti koeficijente
pripadajućeg reda (a0, an i bn )
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 5
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Integriranjem obiju strana izraza (1) od –π do π imamo
f(x) dx a 0
( a n cos nx b n sin nx ) dx
n 1
Nakon integriranja, naš prvi koeficijent
a0
1
2
f(x) dx
je površina ispod krivulje f(x) na intervalu od –π do π
podijeljena sa 2π.
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 6
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Sada ćemo na sličan način odrediti a1, a2,... Pomnožit
ćemo izraz (1) s cos mx, gdje je m bilo koji pozitivni
cijeli broj, i integrirati od –π do π, što nam daje
f(x) cos mx dx a 0
( a n cos nx b n sin nx ) cos mx dx
n 1
Integriranjem član po član dobijemo
am
1
f(x) cos mx dx
m 1, 2 ,....
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 7
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Na kraju određujemo b1, b2,.... Ako pomnožimo (1) sa
sin mx, gdje je m određeni pozitivni cijeli broj i
integriramo od –π do π imamo
f(x) sin mx dx a 0
( a n cos nx b n sin nx ) sin mx dx
n 1
Integriranjem član po član konačno dobijemo
bm
1
f(x) sin mx dx
m 1, 2 ,....
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 8
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Zamjenom n umjesto m dobijemo tzv. Eulerove
izraze:
a0
an
bn
1
2
1
1
f(x) dx
f(x) cos nx dx n 1, 2, ...
f(x) sin nx dx n 1, 2, ...
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 9
Fuorierovi redovi. Eulerove
formule
Za zadanu periodičku funkciju f(x) s periodom 2π
možemo izračunati koeficijente an i bn te napraviti
trigonometrijski red
a 0 a 1 cos x b1 sin x ... a n cos nx b n sin nx ...
Ovaj se red zove Fourierov red funkcije f(x), a
pripadni koeficijenti zovu se Fourierovi koeficijenti
funkcije f(x).
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 10
Parne i neparne funkcije
Za funkciju g(x) kažemo da je parna ako vrijedi
g ( x) g ( x)
za svaki x.
Za funkciju h(x) kažemo da je neparna ako vrijedi
h( x) h( x)
za svaki x.
Funkcija cos nx je parna dok je sin nx neparna.
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 11
Parne i neparne funkcije
Ako je g(x) parna funkcija vrijedi
g ( x ) dx
2 g ( x ) dx
0
Ako je h(x) neparna funkcija vrijedi
h ( x ) dx
0
Produkt q = gh parne funkcije g i neparne funkcije h
je neparna funkcija zato jer
q ( x ) g ( x ) h ( x ) g ( x ) h ( x ) q ( x )
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 12
Parne i neparne funkcije
Ako je f(x) parna, tada je f(x) sin nx neparna i bn=0.
Slično tome, ako je f(x) neparna tada je f (x)cos nx
neparna i an=0. Slijedi
Fourierov red parne periodičke funkcije sa periodom 2π je
'Fourierov kosinus red'
f ( x) a0
a
n
cos nx
n 1
Fourierov red neparne periodičke funkcije s periodom 2π
je 'Fourierov sinus red'
f ( x)
b
n
sin nx
n 1
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 13
Proširenje na funkcije sa bilo
kojim periodom
Opći oblik reda
f (t ) a 0
Koeficijenti reda
(a
n
cos
2n
T
n 1
t b n sin
2n
T
T
a0
1
T
2
T
f(t) dt
2
T
an
2
2
T
f(t) cos
bn
T
dt n 1, 2, ...
t
dt n 1, 2, ...
2
2
T
t
T
T
T
2
2n
f(t) sin
2n
T
2
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
t ).
Slide 14
Određivanje Fourierovih
koeficijenata bez integracije
Neka je f(x) funkcija s periodom 2π opisana
polinomima p1,..., pm u intervalu – π < x < π;
p 1 ( x ) kada
p ( x ) kada
2
f ( x)
. p m ( x ) kada
x 0 x x1 ,
(x0 )
x1 x x 2
x m 1 x x m ( )
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 15
Određivanje Fourierovih
koeficijenata bez integracije
Tada f može imati skokove u x0, x1, …,xm što
također vrijedi i za derivacije funkcije f’, f’’…
Koristiti ćemo slijedeći način označavanja:
j s skok od f u x s
j s ' skok od f ' u x s
( s 1, 2 ,..., m )
j s ' ' skok od f ' ' u x s
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 16
Određivanje Fourierovih
koeficijenata bez integracije
Korištenjem prethodnih izraza dobijemo
1
an
n
m
j s sin nx s
s 1
1 m
1
bn
j s cos nx s
n s 1
n
1
n
m
j s ' cos nx s
n
s 1
m
1
s 1
j s ' sin nx s
1
n
2
2
m
j s ' ' sin nx s
n
s 1
m
j s ' ' cos nx s
s 1
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
1
n
m
1
3
3
s 1
m
s 1
j s ' ' ' cos nx s ...
j s ' ' ' sin nx s ...
Slide 17
Primjer:
Fourierov red funkcije
0
f ( x)
x 0
0 x
f ( x ) a0
(a
n
cos nx b n sin nx )
n 1
0
1
a0
0 dx dx
2
0
2
bn
sin nx dx
0
f (x)
1
n
an
1 cos nx
cos nx dx 0
0
1
(1 ( 1) )
n
sin 3 x sin 5 x
2 sin x
...
2
3
5
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
n
Slide 18
Primjer:
Fourierov red funkcije
0
f ( x)
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x 0
0 x
Slide 19
Primjer:
Fourierov red funkcije
0
f ( x)
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x 0
0 x
Slide 20
Primjer:
Fourierov red funkcije
0
f ( x)
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x 0
0 x
Slide 21
Primjer:
Fourierov red funkcije
f (x) x
x
Fourierov sinus red
f ( x)
b
n
sin nx
n 1
bn
1
1 x cos nx sin nx
f(x) sin nx dx
2
n
n
bn
Prema tome
f ( x)
2
n
cos n
2
cos n ( 1)
n 1
n
sin 2 x sin 3 x
2 sin x
...
2
3
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 22
Primjer:
Fourierov red funkcije
f (x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x
Slide 23
Primjer:
Fourierov red funkcije
f (x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x
Slide 24
Primjer:
Fourierov red funkcije
f (x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
x
Slide 25
Primjer:
Fourierov red funkcije
0 x
f ( x) x
f ( x) a0
Fourier-ov kosinus red
1
a0
an
2
x cos nx dx
0
2
n
2
xdx
0
cos n
a
n
cos nx
n 1
2
1
2
n
2
( 1)
n
1
Prema tome
4
1
1
f ( x)
cos x cos 3 x
cos 5 x ...
2
9
25
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Slide 26
Primjer:
Fourierov red funkcije
f ( x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
0 x
Slide 27
Primjer:
Fourierov red funkcije
f ( x) x
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
0 x
Slide 28
Hvala na pažnji!
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI