11 клас Чертане на равнинни сечения (чрез използване на успоредност) Учител: Я. Янева Правила за чертане на равнинни сечения: • Прободна точка между права и равнина намираме,
Download ReportTranscript 11 клас Чертане на равнинни сечения (чрез използване на успоредност) Учител: Я. Янева Правила за чертане на равнинни сечения: • Прободна точка между права и равнина намираме,
Slide 1
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 2
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 3
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 4
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 5
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 6
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 7
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 8
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 9
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 10
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 11
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 12
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 13
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 2
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 3
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 4
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 5
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 6
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 7
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 8
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 9
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 10
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 11
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 12
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.
Slide 13
11 клас
Чертане на
равнинни сечения
(чрез използване на успоредност)
Учител: Я. Янева
Правила за чертане на равнинни сечения:
• Прободна точка между права
и равнина намираме, като
намерим права в равнината,
пресичаща дадената права.
• Пресечницата на две равнини
намираме, като намерим
две техни общи точки.
А
А
В
1. Достатъчно условие за успоредност
на права и равнина
а
b
α
Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна на права,
която лежи в равнината,
то тя е успоредна и на равнината.
•••
2.
а
b
α
β
Ако равнина минава през права,
успоредна на дадена равнина,
то пресечницата на двете равнини
(ако съществува)
е успоредна
• • на
• правата.
с
3.
а
b
β
α
Ако две пресекателни равнини
минават съответно през две
успоредни прави и пресечницата им е
различна от тези прави,
то тази пресечница е успоредна на
всяка от дадените прави.
•••
4.
с
α
а
β
Ако права е успоредна на
две пресекателни равнини,
то тя е успоредна и на
тяхната пресечница.
•••
5.
а
β
α
b
γ
Пресечниците на две
успоредни равнини
с трета равнина
са успоредни.
•••
Дадено:
D
ABCD – пирамида
М[BC]
P
αzМ
α ІІ АВ
Зад.1.
N
Дадена е пирамида
ABCD.
Q
C
A
α
ІІ
CD
Да се начертае сечение на пирамидата
M
Да
се
постр.
сеч.
с равнина, която минава през точка М
B на АВ и CD.
от ръба ВС и е успоредна
CD || α, CD (BCD), (BCD) α={MN} => MN || CD
AB || α, AB (ABD), (ABD) α={NP} => NP || AB
Аналогично PQ || CD и QM || AB
D
1) a z M, a || CD
P
2) a BD = {N}
3) b z N, b || AB
N
A
Q
C
4) b AD = {P}
5) c z P, c || CD
6) c AC = {Q}
7) QM
M
b
B
a
c
D1
C1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – куб
αЗад.
zВ
A1
B1
2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1.
Да се построи сечението му с
Да се постр. сеч.
D В и успоредна
равнина през точка
C
на равнината
(CB
D
).
1
1
A
B
α ІІ (CB1D1)
BD || B1D1
=> (CB1D1) || (BA1D)
BA1 || CD1
D1
Задача
Дадено:
Да се докаже, че
A1
ABCDA
B
C
D
–
куб
правата1 АС
1 1 пресича
1
двете равнини в
αzВ
медицентровете на
α
ІІ (CB1D1)
триъгълниците
CB D и ВA1D.
Да 1се1постр.
сеч.
C1
М2
D
B1
М1
C
О
A
B
Решение:
O – среда на BD => A1O – медиана в BА1D
1D1 1);
AC,BD
A1O|| B(AСC
(CB
D ) || (BA1D)
AC || A1C1 => AOM1=>
~ C
1A11M11
=> BA
OM1 :||ACD
1M11= AO : C1A1 = 1 : 2
=> M1 – медицентър на BA1D
M
Дадено:
ABCDM – пирамида
ABCD – трапец
AB=2CD
Зад.3.
K – ср.
на МАВ пирамидата ABCDМ основата
K
Р – ср.
на MDе трапец с основи AB и CD, като
ABCD
α z B, P, K
P
AB=2CD.
Точка
К
е
среда
на
МА,
α MC = {Q}
Q
B е среда на MD.
A
точка Р
Да се постр. а
сеч.
Да се намери
MQ:QC
а) Да
се построи сечението й
с равнината (BPK);
б) Да се намери вN какво отношение тази
D
C
равнина дели околния ръб МС.
PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα =>AD || α
AD || α, AD (ABC), (ABC) α={a} => a || AD
a (CD) = {N} => ABND - успоредник
NP MC = {Q}. Сечението е PKBQ.
Правила за построяване на сечения
чрез използване на успоредност:
• Права построяваме, като построим
точка от правата и права, успоредна
на дадена.
• Пресечница на две равнини
построяваме, като намерим тяхна
обща точка и права от едната
равнина, успоредна на другата.