Introductory to Numerical Analysis การวิเคราะห์ เชิงตัวเลขเบือ้ งต้ นby Suriya Na nhongkai Type of Errors ความคลาดเคลือ่ นฝังติด (Inherent error) เกิดจากการที่เราไม่สามารถจาลองแบบของธรรมชาติได้ตามปรากฏการณ์ที่ เกิดขึ้นจริ ง ความผิดพลาดจากการวัดข้อมูล ความคลาดเคลือ่ นจากการปัดเศษ (Round-off.
Download ReportTranscript Introductory to Numerical Analysis การวิเคราะห์ เชิงตัวเลขเบือ้ งต้ นby Suriya Na nhongkai Type of Errors ความคลาดเคลือ่ นฝังติด (Inherent error) เกิดจากการที่เราไม่สามารถจาลองแบบของธรรมชาติได้ตามปรากฏการณ์ที่ เกิดขึ้นจริ ง ความผิดพลาดจากการวัดข้อมูล ความคลาดเคลือ่ นจากการปัดเศษ (Round-off.
Introductory to Numerical Analysis การวิเคราะห์ เชิงตัวเลขเบือ้ งต้ น 01417343 by Suriya Na nhongkai Type of Errors ความคลาดเคลือ่ นฝังติด (Inherent error) เกิดจากการที่เราไม่สามารถจาลองแบบของธรรมชาติได้ตามปรากฏการณ์ที่ เกิดขึ้นจริ ง ความผิดพลาดจากการวัดข้อมูล ความคลาดเคลือ่ นจากการปัดเศษ (Round-off error) เกิดจากการตัดทอนตัวเลขอันเนื่องมาจากข้อจากัดของพื้นที่ ความคลาดเคลือ่ นจากการตัดปลาย (Truncation error) เกิดจากการตัดทอนจานวนพจน์ของการคานวณให้เป็ นพจน์จากัด การแปลง ปั ญหาในระบบต่อเนื่อง (continuous system) ให้เป็ นปั ญหาในระบบไม่ ต่อเนื่อง (discrete system) Definition of Error นิยามความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์และความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ นิยาม 1 ความคลาดเคลือ่ น ั ม ร ล ความคลาดเคลือ่ น ั ม ั x เปนคา จริง ล ~x เปนคาปร มา อง x ความคลาดเคลือ่ น e x ~x ความคลาดเคลือ่ น ม ร (Absolute error) e x ~x อ เ ต องความคลาดเคลือ่ น ั ม ร คือ ความคลาดเคลือ่ น ั ม ร ง ด นั่นคือ x~ x ความคลาดเคลือ่ น ั ม ั คือ e x รือ e ~x อ เ ต องความคลาดเคลือ่ น ั ม ั คือ e x รือ e ~ x Error: Example ตัวอย่าง ถ้า x = 0.5225 เป็ นค่าแม่นตรง และ ~x =0.5237 เป็ นค่า ดยประมาณของ x ความคลาดเคลื่อน e = 0.5225-0.5237 = -0.0012 ขอบเขตความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ e x = 0 . 0012 0 . 5225 = 0.0023 Accuracy Identification จานวนตา นง ศนิยม (Decimal Place, D.P.) จานวนตัวเล ลังจด ศนิยม จ่ าเปนตองเ ยน เ น x = 3.14725 คาปร มา ่ กตอง ง 3 D.P. คือ x = 3.147 จานวนเล นัย าคั (Significant Digit, S.D.) จานวนตัวเล ่ ม ศนยตัว รกจาก าง าย งตัว ด าย จ่ าเปนตองเ ยน เ น 0.012041 ล 0.31470 มเล นัย าคั 5 ตัว ต .3147 10 มเล นัย าคั 4 ตัว 5 คา อ เ ต องความคลาดเคลือ่ น (Error Bound) คาปร มา ~ x 3 . 147 3 . 147 0 . 0012 ม อ เ ตความคลาดเคลือ่ น 0.0012 มายความวา x อยร วาง General Rounding off เปลย่ นตัวเล าง วามือ องตัว ่ n เปนศนย ้งั มด 123.4567890123456…23456… ตา นง ่ n ่ น จ จ ด 123.4567890123456…23000… General Rounding off จิ าร า วน ่จ ปัด ามคามากกวา 5000... เ ม ิ่ คาตัว ่ n อก น่ง ามคานอยกวา 5000... มตองเ ม ิ่ คา ามคาเ ากั 5000... ◦ จิ าร าตัว ่ n วาเปนเล ค รือค่ ◦ าเปนเล ค มตองเปลย่ น ◦ าเปนเล ค่ เ มิ่ คาเปนเล ค ่ งกวา General Rounding off: Example ตัวอยาง จ ปดเศษ อง 5.4565725 กตอง 2 D.P. จ ด 5.46 มความคลาดเคลื่อน – 𝟎. 𝟑𝟒𝟐𝟕𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 3 D.P. จ ด 5.457 มความคลาดเคลื่อน – 𝟎. 𝟒𝟐𝟕𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 6 D.P. จ ด 5.456572 มความคลาดเคลื่อน 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔 5 S.D. จ ด 5.4566 มความคลาดเคลื่อน– 𝟎. 𝟐𝟕𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 จานวน ด ่ กปดเศษ เ ลือ n D.P. คา อ เ ตความคลาดเคลื่อนคือ 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝒏 าคาปร มา 𝒙 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟕𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 𝒙 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟕 กปดเศษ มความ กตอง 3 S.D. จ ด รือ 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟓𝟖 ม นาด องความคลาดเคลื่อน ง ดเปน Propagated Error กา นด มนตรง องคา 𝒙𝟏 𝒙𝟐 เปนคาปร มา อง 𝒙𝟏 ล 𝒙𝟐 ตามลาดั 𝒆𝟏 𝝐𝟐 เปนคาความคลาดเคลื่อน อง 𝒙𝟏 ล 𝒙𝟐 ตามลาดั 𝝐𝟏 𝝐𝟐 เปน อ เ ต องความคลาดเคลื่อน อง 𝒙𝟏 ล 𝒙𝟐 ตามลาดั 𝒙𝟏 = 𝒙𝟏 + 𝒆𝟏 ล 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒆𝟐 𝒆𝟏 < 𝝐𝟏 ล 𝑒2 < 𝜖2 𝒙𝟏 ล ล ล ล 𝒙𝟐 เปนคา Propagated Error: Addition and Subtraction กา นด 𝒆𝒙𝟏+𝒙𝟐 ล 𝒆𝒙𝟏−𝒙𝟐 เปนคาคลาดเคลื่อน องการ วก ล การล ตามลาดั 𝒙𝟏 ± 𝒙𝟐 = 𝒙𝟏 ± 𝒙𝟐 + 𝒆 𝟏 ± 𝒆 𝟐 นั่นคือ 𝒆𝒙𝟏±𝒙𝟐 = 𝒆𝟏 ± 𝒆𝟐 ปกติ ลวเราจ ม รา คา 𝒆𝟏 ล 𝒆𝟐 จ รา เ ยง 𝝐𝟏 ล 𝝐𝟐 ดังนั้น 𝒆𝒙𝟏 ±𝒙𝟐 ≤ 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 ≤ 𝝐𝟏 + 𝝐𝟐 Propagated Error Addition and Subtraction: Example ตัวอยาง 𝒙𝟏 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟐 ล 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟐𝟎𝟑𝟕𝟒 คาปร มา รกมความ กตอง 3 D.P. ม อ เ ต องความคลาดเคลื่อนเปน 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 คาปร มา ่ องมความ กตอง 8 D.P. ม อ เ ต องความคลาดเคลื่อนเปน 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟖 ดังนั้น 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 = 𝟐. 𝟔𝟖𝟎𝟕𝟗𝟔𝟐𝟔 ม อ เ ตความคลาดเคลื่อนเปน 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 + 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟎𝟎𝟎𝟓 ≈ 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 Propagated Error: Multiplication ห้ x1 ~ x 1 e1 ละ x2 ~ x2 e2 ะ ้ วา x1 x 2 ~ x1 ~ x2 ~ x1 e 2 ~ x 2 e1 e1 e 2 เ อื ิ าร าเ าะ น์ ของควา คลา เคลือน ะ ้ e x1 x 2 ~ x1 e 2 ~ x 2 e1 e 1 e 2 หรื อ ex x e1 ~ x2 e2 ~ x1 1 2 ~ ~ ~ x1 ~ x2 x1 ~ x2 x1 ~ x2 นันคือ ex x e1 e2 1 2 1 2 ~ ~ ~ ~ ~ x1 ~ x2 x1 x2 x1 x2 ความคลาดเคลื่อน สัมพัทธ์ของการคูณ ความคลาดเคลื่อนกาลัง สอง ของเขตความคลาดเคลื่อน สัมพัทธ์ Propagated Error Multiplication: Example 1 ลค องคาปร มา องคา −𝟑. 𝟕𝟖𝟒 × 𝟒𝟎. 𝟎𝟑 เ ากั −𝟑. 𝟕𝟖𝟒 เปนตัวเล 𝟒𝟎. 𝟎𝟑 เปนเล −𝟏𝟓𝟏. 𝟒𝟕𝟑𝟓𝟐 ่มความ กตอง 3 D.P. ม อ เ ตความคลาดเคลื่อน ัม ั ม่ ความ กตอง 2 D.P. ม อ เ ตความคลาดเคลื่อน ัม ั ลค อง องคาปร มา น้ ม อ เ ตความคลาดเคลื่อน ัม ั เ ากั 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟑 −𝟑.𝟕𝟖𝟒 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟐 𝟒𝟎.𝟎𝟑 𝒆 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 𝟏 𝟏 ≤ + ≤ + = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔𝟖 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝟑. 𝟕𝟖𝟒 𝟒𝟎. 𝟎𝟑 𝟕𝟎𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝝐𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔𝟖 ∙ 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔𝟖 ∙ 𝟏𝟓𝟏. 𝟒𝟕𝟑𝟓𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟎𝟓𝟕𝟑𝟐𝟔𝟒 ≤ 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏 นั่นคือ ลค มความ กตอง 1 D.P. รือคา ่ จริงมคาอยร วาง −𝟏𝟓𝟏. 𝟒𝟕 ± 𝟎. 𝟎𝟒 Propagated Error Multiplication: Example 2 ลค องคาปร มา องคา −𝟑. 𝟕𝟖 × 𝟒𝟎. 𝟎𝟑𝟑 เ ากั −𝟑. 𝟕𝟖 มความ −𝟏𝟓𝟏. 𝟑𝟐𝟒𝟕𝟒 กตอง 2 D.P. ล ม อ เ ตความคลาดเคลื่อน ัม ั 𝟒𝟎. 𝟎𝟑𝟑 มความ กตอง 3 D.P. ล ม อ เ ตความคลาดเคลื่อน มั ั ลค อง องคาปร มา น้ ม อ เ ตความคลาดเคลื่อน ัม ั เ ากั 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟐 −𝟑.𝟕𝟖 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟑 𝟒𝟎.𝟎𝟑𝟑 𝒆𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 𝟏 𝟏 ≤ + ≤ + = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟒𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝟑. 𝟕𝟖 𝟒𝟎. 𝟎𝟑𝟑 𝟕𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝝐𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟒𝟏 ∙ 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟒𝟏 ∙ 𝟏𝟓𝟏. 𝟑𝟐𝟒𝟕𝟒 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟖𝟎𝟔𝟗 ≤ 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 นั่นคือ ลค มความ กตอง 0 D.P. มคาเ ากั -151 Propagated Error: Division ~ x e1 e 1 ~1 ~ ~ x 1 e1 1 ~2 x2 x2 e2 x2 x2 ~ ~ x1 e1 x ee ~ ~ 12 e 2 1 22 ~ x2 x2 ~ x2 x2 x1 นั่นคือ e x 1 x2 ~ e1 x ~ 12 e 2 ~ x2 x2 ความคลาดเคลือ่ น ั ม ั ( จิ าร าเ า ความคลาดเคลือ่ นอันดั น่ง) องการ าร e x1 x 2 e1 e2 ~ ~ ~ x1 ~ x2 x1 x2 e x1 x 2 e1 e2 1 2 ~ ~ ~ ~ ่ง ~ x1 ~ x2 x1 x2 x1 x2 ความคลาดเคลื่อน สัมพัทธ์ของการหาร ความคลาดเคลื่อนกาลัง สอง ของเขตความคลาดเคลื่อน สัมพัทธ์ Propagated Error Division: Example า 𝒙𝟏 = 𝟒𝟎. 𝟐𝟏 (2 D.P.) ล 𝒙𝟐 = 𝟐. 𝟓𝟐𝟏 𝒙𝟏 ม อ เ ตความคลาดเคลื่อน ัม ั 𝒙𝟐 ม อ เ ตความคลาดเคลื่อน ัม ั (3 D.P.) ่ง 𝒙𝒙𝟏 = 𝟏𝟓. 𝟗𝟓𝟎𝟎𝟏𝟗𝟖𝟑 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟐 𝟒𝟎.𝟐𝟏 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟑 𝟐.𝟓𝟐𝟏 ≈ ≈ 𝟏 𝟐 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟏 ด อ เ ตความคลาดเคลื่อน ัม ั องการ ารเปน 𝟖𝟎𝟎𝟎 + = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟐𝟓 𝟓𝟎𝟎𝟎 อ เ ตความคลาดเคลื่อน องการ ารเปน 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟐𝟓 𝟏𝟓. 𝟗𝟓𝟎𝟎𝟏𝟗𝟖𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟏𝟖𝟑𝟕𝟓𝟔 < 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟏𝟓. 𝟗𝟓 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟏 มความ กตอง 1 D.P. Fundamental Theorem in Calculus ษ 𝒇 เปน งก ันนิยาม นเ ตจานวนจริง 𝐗 จ กลาววา งก ัน 𝒇 มลิมิตเ ากั 𝑳 ่ 𝒙𝟎 เ ยน นดวย 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝑳 า วา า รั จานวนจริง ด 𝜺 > 𝟎 จ มจานวนจริง 𝜹 > 𝟎 ่ ่ง 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺 เมื่อ ดกตาม ่ 𝒙 ∈ 𝐗 ล 𝟎 < 𝒙 − 𝒙𝟎 < 𝜹 Fundamental Theorem in Calculus 𝒇 𝒙 𝑳+𝜺 𝑳 𝑳−𝜺 𝒙𝟎 − 𝜹 𝒙𝟎 𝒙𝟎 + 𝜹 𝒙 Fundamental Theorem in Calculus ษ 𝒇 เปน งก นั นิยาม นเ ตจานวนจริง 𝐗 ล 𝒙𝟎 ∈ 𝐗 จ กลาววา งก ัน 𝒇 มความ ตอเนื่อง ่ 𝒙𝟎 า 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 ล จ กลาววา งก นั 𝒇 มความตอเนื่อง น 𝐗 า 𝒇 ตอเนื่อง ่ กจด น 𝐗 ั ลักษ 𝑪 𝐗 จ นเ ต อง ก งก ัน ่มความตอเนื่อง น 𝐗 Fundamental Theorem in Calculus ษ เปนลาดั อนันต องจานวนจริง รือจานวนเ ิง อน จ กลาววา คา 𝒙 า า รั 𝜺 > 𝟎 ด จ มจานวนเตม วก 𝑵 𝜺 ่ ่ง 𝒏 > 𝑵 𝜺 ลวจ ดวา 𝒙𝒏 − 𝒙 < 𝜺 ั ลักษ 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒙𝒏 = 𝒙 รือ 𝒙𝒏 → 𝒙 เมื่อ 𝒏 → ∞ มาย งลาดั 𝒙𝒏 ∞ 𝒏=𝟏 ลเ าคา 𝒙 𝒙𝒏 ∞ 𝒏=𝟏 Fundamental Theorem in Calculus ษ า 𝒇 เปน งก ันนิยาม นเ ตจานวนจริง 𝐗 ล 𝒙𝟎 ∈ 𝐗 ลว อความตอ ปน้ มมลกัน 1. 𝒇 ตอเนื่อง ่จด 𝒙𝟎 2. า 𝒙𝒏 ∞𝒏=𝟏 เปนลาดั ด น 𝐗 ่ลเ า 𝒙𝟎 ลว 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒇 𝒙𝒏 = 𝒇 𝒙𝟎 Fundamental Theorem in Calculus ษ 𝒇 เปน งก ัน ่นิยาม น วงเปด ่ รรจ 𝒙𝟎 จ กลาววา 𝒇 มอน ัน ่จด 𝒙𝟎 า 𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 าคา ด เราจ ั ลักษ 𝒇′ 𝒙𝟎 ล เรยก ิ่งน้วา อน ัน อง 𝒇 ่จด 𝒙𝟎 งก ัน ด ่มอน ัน ่ กจด นเ ต 𝐗 จ กเรยกวาเปน งก ัน ่ าอน ัน ด นเ ต 𝐗 อน ัน อง 𝒇 ่จด 𝒙𝟎 คือ ความ ัน องเ น ัม ั กรา 𝒇 ่ 𝒙𝟎 , 𝒇 𝒙𝟎 Fundamental Theorem in Calculus ษ า 𝒇 เปน งก ัน ่ าอน ัน ด ่จด 𝒙𝟎 ลว 𝒇 จ ตอเนื่อง ่ 𝒙𝟎 ดวย เ ต อง งก ัน ่มความตอเนื่อง งอน ัน อันดั ่ 𝒏 นเ ต 𝐗 จ เ ยน น ดวย 𝑪𝒏 𝐗 ล เ ต อง งก ัน ่มความตอเนื่อง ง กอันดั องอน ัน น เ ต 𝐗 จ เ ยน นดวย 𝑪∞ 𝐗 Fundamental Theorem in Calculus ษ อง รลล (Roll’s Theorem) 𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 ล 𝒇 ลวจ มจานวน 𝒄 ่ ่ง 𝒇′ าอน ัน ดเ นือ วงเปด 𝒂, 𝒃 า𝒇 𝒂 =𝒇 𝒃 =𝟎 𝒄 =𝟎 𝒇 𝒙 𝒇′ 𝒄 = 𝟎 𝒂 𝒄 𝒃 𝒙 Fundamental Theorem in Calculus ษ คามั ิม (Mean Value Theorem) 𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 ล 𝒇 าอน ัน ดเ นือ วงเปด 𝒇′ 𝒄 = 𝒂, 𝒃 ลวจ มจานวน 𝒄 ่ ่ง 𝒇 𝒃 −𝒇 𝒂 𝒃−𝒂 𝒇 𝒙 Slope = 𝒇′ 𝒄 𝑦=𝑓 𝑥 slope = 𝒂 𝒄 𝒇 𝒃 −𝒇 𝒂 𝒃−𝒂 𝒃 𝒙 Fundamental Theorem in Calculus ษ คา ด ด (Extreme Value Theory) า 𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 , ลว 𝒄𝟏 , 𝒄𝟐 ∈ 𝒇 𝒄𝟏 ≤ 𝒇 𝒙 ≤ 𝒇 𝒄𝟐 า รั 𝒂, 𝒃 จม 𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃 า 𝒇 าอน ัน ดเ นือ วงเปด 𝒂, 𝒃 ลวจานวน 𝒄𝟏 ล อง วง 𝒂, 𝒃 ่ า 𝒂, 𝒃 รือ ่จด น วง 𝒇′ 𝒄𝟐 จ มคาเ ากั ศนย ปราก ่ปลาย Fundamental Theorem in Calculus นิยาม รมานนอิน ิกรัล (Riemann Integral) อง งก ัน 𝒇 น วงปด 𝒂, 𝒃 คือลิมิต ่กา นด ดย 𝒏 𝐛 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒇 𝒛𝒊 𝚫𝒙𝒊 𝐥𝐢𝐦 𝐦𝐚𝐱 𝚫𝒙𝒊 →𝟎 𝒊=𝟏 เมื่อ 𝒂 = 𝒙𝟎 ≤ 𝒙𝟏 ≤ ⋯ ≤ 𝒙𝒏 = 𝒃 า รั 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏, 𝚫𝒙𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊−𝟏 ล 𝒛𝒊 กเลือกจากคา ด น วง 𝒙𝒊−𝟏 , 𝒙𝒊 Fundamental Theorem in Calculus ษ (Weighted Mean Value Theorem for Integral) า 𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 , 𝒈 ามาร าปริ ัน ดเ นือ วง 𝒂, 𝒃 ล 𝒈 มเปล่ยน เครื่อง มายเ นือ วง 𝒂, 𝒃 ลวจ มจานวน 𝒄 น วง 𝒂, 𝒃 ่ ่ง 𝐛 𝐛 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒄 𝒂 เมื่อ 𝒈 𝒙 = 𝟏 ษ น้จ 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝒂 คาเ ล่ย อง งก ัน 𝒇 เ นือ วง 𝒂, 𝒃 ่งคาเ ล่ยน้คือ 𝟏 𝒇 𝒄 = 𝒃−𝒂 𝐛 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒂 Fundamental Theorem in Calculus 𝑓 𝑥 𝑦=𝑓 𝑥 𝑓 𝒄 𝑎 𝑐 𝑏 𝑥 Fundamental Theorem in Calculus ษ ษ คาร วางกลาง (Intermediate Value Theorem) า 𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 ล จานวน 𝒄 น วง 𝑲 เปนจานวน ด 𝒂, 𝒃 ่ ่ง 𝒇 ่อยร วาง 𝒇 𝒄 =𝑲 𝒂 กั 𝒇 𝒃 ลว จ ม Fundamental Theorem in Calculus: Example จงแสดงว่า 𝑥 5 − 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1 = 0 มีผลเ ลยในช่วง 0,1 เนื่องจาก 𝑓 𝑥 = 𝑥 5 − 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1 เปน งก์ชันพหนาม และมีความ ต่อเนื่องบนช่วง 0,1 ึ่งเราพบว่า 𝑓 0 = −1 < 0 < 1 = 𝑓 1 ดยทบ.ค่าระหว่างกลางจะได้ว่า จะมีค่า 𝑥 ∈ 0,1 ที่ทาให้ 𝑥 5 − 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1 = 0 Fundamental Theorem in Calculus: Taylor’s Theorem ษ ษ า 𝒇 ∈ 𝑪𝒏 ม𝝃 𝒙 องเ ยเลอร (Taylor’s Theorem) ล 𝒂, 𝒃 𝒇 𝒏+𝟏 ่อยร วาง 𝒙𝟎 กั 𝒙 าคา ดเ นือ วง 𝒂, 𝒃 า รั ก 𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃 ่ง 𝒇 𝒙 = 𝑷𝒏 𝒙 + 𝑹 𝒏 𝒙 เมื่อ 𝑷𝒏 ′ 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 + 𝒇 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒇 𝒏 𝒙𝟎 𝒏! ล 𝑹𝒏 𝒙 = 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒇 𝒏+𝟏 𝝃 𝒏+𝟏 ! 𝒏 = 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒇′′ 𝒙𝟎 𝟐! 𝒇 𝒌 𝒙𝟎 𝒏 𝒌=𝟎 𝒌! 𝒏+𝟏 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒌 𝟐 +⋯+ จ Fundamental Theorem in Calculus: Taylor’s Theorem เรยก 𝑷𝒏 𝒙 วา นามเ ยเลอรอันดั จด 𝒙𝟎 ล เรยก 𝑹𝒏 อดคลองกั 𝒙 𝒏 (Taylor Polynomial) า รั งก ัน 𝒇 รอ วา จนเศษเ ลือ (Remainder Term or Truncation Error) ่ 𝑷𝒏 𝒙 กร ่เปนอนกรมอนันต (𝒏 → ∞) นาม 𝑷𝒏 𝒙 ่ ่ง 𝒏 → ∞ จ กเรยกวาอนกรม เ ยเลอร นกร ่ 𝒙𝟎 = 𝟎 อนกรมเ ยเลอรน้จ กเรยกวา อนกรม มคลอริน (Maclaurin Series) Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example กา นด (1) 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 จง นามเ ยเลอรอันดั อง ล อันอั าม อง 𝒇 นาม ่ ดปร มา คา 𝐜𝐨𝐬 (2) จง า 𝒙 รอ จด 𝒙𝟎 = 𝟎 ล 𝟎. 𝟎𝟏 นามเ ยเลอรอันดั าม รอม จนเศษเ ลือปร มา คา 𝟎.𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝟎 Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example สาหรับ 𝑛 = 2 และ 𝑥0 = 0 เราได้ 1 2 1 3 cos 𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥 sin 𝜉 𝑥 2 6 เมื่อ 𝜉 𝑥 เปนจานวนที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 𝑥 เมื่อค่า 𝑥 = 0.01 พหนามเทย์เลอร์และเ เหลือจะเปน 1 1 2 cos 0.01 = 1 − 0.01 + 0.013 sin 𝜉 𝑥 2 6 = 0.99995 + 0.16∙ × 10−6 sin 𝜉 𝑥 Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example เมื่อ 0 < 𝜉 𝑥 < 0.01 เราทราบว่า 0 = sin 0 < sin 𝜉 𝑥 < sin 0.01 = 0.099833 เราจะได้ 𝐸 = cos 0.01 − 0.99995 = 𝑅2 𝑥 ≤ 0.16∙ × 10−6 sin 0.01 = 0.166 × 10−8 ≤ 0.5 × 10−8 นั่นหมายความว่า ค่าประมาณของ cos 0.01 ที่ประมาณด้วยพหนามเทย์เลอร์อันดับ สองจะมีขอบเขตความคลาดเคลื่อนเท่ากัน 0.5 × 10−8 หรือมีความแม่นยา 8 D.P. Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example สาหรับ 𝑛 = 3 และ 𝑥0 = 0 เราได้ 1 2 1 4 cos 𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥 cos 𝜉 𝑥 2 24 ค่าประมาณของพหนามเทย์เลอร์อันดับสามนั้นเท่ากับค่าที่ได้จากพหนามเทย์เลอร์อันดับ สอง นั่นคือ cos 0.01 ≈ 1 − 1 1 0.012 2 = 0.99995 เมื่อพิจารณา 𝑅2 𝑥 = 24 𝑥 4 cos 𝜉 𝑥 สาหรับ 0 < 𝜉 𝑥 < 0.01 จะได้ว่า 𝐸 = cos 0.01 − 0.99995 = 𝑅3 𝑥 = 0.4166 × 10−9 ≤ 0.5 × 10−9 ≤ 1 0.014 24 cos 0 Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example ค่าประมาณของ cos 0.01 ที่ประมาณด้วยพหนามเทย์เลอร์อันดับสามมีความแม่นยา 9 D.P. ค่าจริงของ cos 0.01 คือ 0.99995000042 เมื่อเทียบกับค่าประมาณด้วยพหนามเทย์เลอร์อันดับสองและสาม พบว่าค่าประมาณมี ความถูกต้องถึงท นิยมตาแหน่งที่ 9 Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example (2) เนื่องจาก 1 2 1 4 cos 𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥 cos 𝜉 𝑥 2 24 0.1 0.1 1 2 1 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 1 − 𝑥 𝑑𝑥 + 2 24 0 0 = = 0.1 0.1 𝑥 4 cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥 0 0.1 4 𝑥− 𝑥 + 𝑥 cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥 6 24 0 0 1 1 0.1 4 0.1 − 0.1 3 + 𝑥 cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥 6 24 0 0.1 1 3 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 0.1 − 0.1 = 0.09983 0 6 ึ่งทาให้เราได้ค่าประมาณของ 1 3 1 Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example เมื่อพิจารณาพจน์เ เหลือ จะได้ 𝐸 = 1 24 ≤ 0.1 4 0.1 4 𝑥 cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑥 0 0 0.1 4 ∙ −7 𝑥 𝑑𝑥 = 0.83 × 10 0 0.1 cos 𝑥 𝑑𝑥 0 ึ่งค่าจริงของ ึ่งจากท ี เราได้ cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥 คือ 0.099833417 𝐸 ≤ 0.83∙ × 10−7 ≤ 0.5 × 10−6 หรือค่าประมาณจะมี ความแม่นยา 6 D.P. ความคลาดเคลื่อนของค่าประมาณ ายในขอบเขตของความคลาดเคลื่อนจากท ี Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example อนกรมแมคคลอริน (อนกรมเทย์เลอร์กระจายรอบจด x เปน e x 1 x x 2 2 R3 x x x 3 6 e 0 . 04 ) ถึงพจน์ x เขียนได้ 4 e , 0 4! x 1 0 . 04 0 . 04 2 2 e 0 R3 x ถ้าใช้อนกรมนี้คานวณค่า e 0 .04 เราจะแทนค่า 0 . 04 0 1 . 04081067 R 3 0 . 04 0 . 04 6 3 R 3 0 . 04 x ด้วย 0.04 3 Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example ถ้าใช้ค่าประมาณ e 0 x 0 . 04 1 . 04081067 ค่าความคลาดเคลื่อน E 0 . 04 4 e 24 ดยที่ 0 . 04 4 0 . 04 4 0 . 04 4 เราได้ 24 24 24 หรือ 0 .7 10 7 E 1 .11 10 7 นั่นคือ E 0 .1 10 6 0 .5 10 6 e 0 E e e 0 . 04 นั่นแสดงว่า การประมาณค่า e 0 .04 ด้วยอนกรมแมคคลอรินจานวน 3 พจน์ หรือถึง ได้ค่า e 0 .04 1 . 040811 ึ่งมีความแม่นยาถึงท นิยมตาแหน่งที่หก (6 D.P.) x 3 Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example ในการใช้อนกรมแมคคลอรินประมาณค่า sin D.P. จะต้องใช้กี่พจน์ sin x x x 3 3! x 5 5! x x เมื่อ x 0 .5 ให้ได้ผลลัพธ์ถูกต้อง 5 7 ... 7! ความถูกต้อง 5 D.P. หมายถึงขอบเขตของความคลาดเคลื่อน 0 . 5 10 5 Fundamental Theorem in Calculus Taylor’s Theorem: Example x 5 ถ้าใช้ถึงพจน์ที่ 2 ได้ R x 5! มีค่าสูงสดเมื่อ 3 7 x 0 .5 เท่ากับ 0 .2 10 3 ถ้าใช้ถึงพจน์ที่ 3 ได้ R x 7! มีค่าสูงสดเมื่อ x 0 . 5 เท่ากับ 0 .2 10 5 ดังนั้นเราสามารถใช้อนกรมแมคคลอริน 3 พจน์ในการประมาณค่า sin x เมื่อ x 0 . 5 นั่นคือ x 5 sin x x x 3 3! x 5 5! Rounding off and Computer Arithmetic รู ปแบบในการแทนค่าตัวเลขของเครื่ องคานวณ 𝒇 × 𝒃𝒄 เมื่อ 𝑓 หมายถึง เลขนัยสาคัญ (Significant Number) หรื ออีกชื่อหนึ่งคือ แมนทิส า (Mantissa) 𝑏 หมายถึง เลข าน ่ ึ งอาจจะหมายถึง านสอง านสิ บ านสิ บหก 𝑐 หมายถึง เลขชี้กาลัง หรื อเรี ยกว่า คาแรคเตอร์ ริสติค (Characteristic) Rounding off and Computer Arithmetic าจด านอย ลังเล ดดตัว รก องเล นัย าคั 123.4567 ล 𝟏. 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕 × 𝟏𝟎𝟐 0.00021378 𝟐. 𝟏𝟑𝟕𝟖 × 𝟏𝟎 −𝟒 นการ ัน ก เล าน มจาเปนตอง ก ัน กลง ปดวย คา นเครื่องคานว มักจ อย นรป 𝟐. 𝟏𝟑𝟕𝟖 𝑬 − 𝟒 าน (𝒃) เปน าน ิ Rounding off and Computer Arithmetic: Example คอม วิ เตอรเมนเ รม 32 ิต เ น IBM 3000 ล ◦ ◦ ◦ 1 7 24 IBM 4300 ติ นเครื่อง มาย วก รือล ิต นเล ้กาลัง ( าน 16) ิต นเล นัย าคั เล ้กาลัง 7 ติ นตัวเล ตั้ง ต 0 ง 127 ตตองล เล ้กาลังดวย 64 เ อื่ า ามาร นคานอย ด ่งจ า เล ้กาลังมคาอย ร วาง -64 ง 63 Rounding off and Computer Arithmetic: Example 0 1000010 101100110000010000000000 Sign bit 0 เปนคา วก เล ้กาลัง 1 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24 +0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 +0 × 20 = 66 เล นัย าคั 1 1 1 1× +1× 3 +1× 4 2 2 2 1 1 1 +1 × 7 + 1 × 8 + 1 × 14 2 2 2 ลงเ นเลข าน ิบ ะ ้ 1 1 1 1 1 1 + 3 + 4 + 7 + 8 + 14 ∙ 1666−64 = 179.015625 2 2 2 2 2 2 Rounding off and Computer Arithmetic: Example จานวนจริง น่ อยกวา ัดจาก คือ มคาเ ากั 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 179.0156097412109375 179.015625 จานวนจริง ม่ ากกวา ัดจาก คือ มคาเ ากั 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 179.0156402587890625 Rounding off and Computer Arithmetic: IEEE-754 Single Precision Single Precision 32 ิต 1 ิต 8 ิต 23 ิต ามาร นเครื่อง มาย วก รือล (𝒔) นเล ้กาลัง (𝒄) ่เ ลือจ ก นเล นัย าคั (𝒇) ปลงเปนเล าน ิ นรป −𝟏 𝒔 ∙ 𝟐𝒄−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝒇 Rounding off and Computer Arithmetic: IEEE-754 Double Precision Double Precision 64-bit 1 ิต 11 ิต 52 ิต ามาร นเครื่อง มาย วก รือล (𝒔) นเล ้กาลัง (𝒄) ่เ ลือจ ก นเล นัย าคั (𝒇) ปลงเปนเล าน ิ นรป −𝟏 𝒔 ∙ 𝟐𝒄−𝟏𝟎𝟐𝟑 ∙ 𝟏 + 𝒇 Rounding off in Calculator การปดเศษจ เกิด น วน อง มน ิ า (𝒇) า ้นื ่เก อมล น วน มน ิ าม นาด กจ า คา ่ นนั้นมความ มนยา ง น้ าจาลอง เล าน ิ อย นรป 𝒙(𝟏𝟎) = 𝟎. 𝒅𝟏 𝒅𝟐 … 𝒅𝒍 𝒅𝒍+𝟏 𝒅𝒍+𝟐 … × 𝟏𝟎𝒎 ก ปลง เปนเล าน อง ่อย นรป 𝒙(𝟐) = 𝟎. 𝒃𝟏 𝒃𝟐 … 𝒃𝒌 𝒃𝒌+𝟏 𝒃𝒌+𝟐 … × 𝟐𝒏 นื้ ่ อง มน ิ า ่จากัด า ตองมการปรั เปล่ยนคา 𝒙(𝟐) ่งอาจ า ดยการ ตัด ิ้ง (Chopping) รือ การปดเศษ (Rounding) Chopping and Rounding Chopping ตัด ิตตั้ง ตตา นง 𝒌 + 𝟏 ิ้ง ป Rounding ิจาร า ิต ่ 𝒌 + 𝟏 ดย า 𝒃𝒌+𝟏 ≥ 𝟏 จ วก ิต ่ 𝒌 ดวย 1 ลวตัด ิต ตั้ง ตตา นง ่ 𝒌+𝟏 ิ้ง ป ต า 𝒃𝒌+𝟏 < 𝟏 กจ ตัด ิตตั้ง ตตา นง ่ 𝒌+𝟏 ิ้ง ป Rounding off in Calculator: Example เล าน อง 33 ิต รก ่ นคา อง 𝜋 คือ 11.001001 00001111 110011010 10100010 0 จง นคา 𝜋 น้ นรป Single Precision IEEE-754 รอม ั้งคานว คาปร มา อง 𝜋 นรปเล าน ิ 33 ิต รก อง 𝝅 คือ 11.001001 00001111 110011010 10100010 0 เมื่อปดเศษเ ลือ 24 ิตจ ด 11.001001 00001111 110011011 Rounding off in Calculator: Example า Normalize 1. เลื่อนจด ว ลัง ิต รก ่มคาเปน 1 ( อน้ตองเลื่อนมา าง าย 1 ตา นง) 2. ตัดเล 0 ่อย นา ิ้ง ( าม) การเลื่อนจดน้ าเลื่อน ป าง ายจ มคาเปน วก ต าเลื่อน ป าง วาจ มคาเปนล จ เปน 11.001001 00001111 110011011 1.1001001 00001111 110011011 จ ดเล ้กาลังเปน 1 ล เนื่องจากเล นัย าคั ม ิต รกเปน 1 เ มอ จงตัด ิ้ง ด Rounding off in Calculator: Example เล ้กาลังเปน 𝟏 = 128 − 127 นั่นคือ 𝑐 = 128 เล นัย าคั ม ิต รกเปน 1.1001001 00001111 110011011 Sign (s) Characteristic (c) 0 10000000 128 + เมื่อ ปลงคา ดย จ ด 𝟐−𝟐𝟑 −𝟏 𝟎 Mantissa (f) 10010010000111111011011 2−1 + 2−4 + 2−7 + 2−12 + 2−13 + ⋯ + 2−23 ตร −𝟏 𝒔 ∙ 𝟐𝒄−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝒇 ∙ 𝟐𝟏𝟐𝟖−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝟐−𝟏 + 𝟐−𝟒 + 𝟐−𝟕 + 𝟐−𝟏𝟐 + 𝟐−𝟏𝟑 + ⋯ + ่งมคา 𝟏. 𝟓𝟕𝟎𝟕𝟗𝟔𝟐𝟓𝟏 × 𝟐𝟏 = 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟓𝟎𝟑 คาจริง อง 𝝅 เปน 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑𝟓𝟖𝟗𝟕𝟗𝟑𝟐𝟑𝟖𝟒𝟔𝟐𝟔𝟒𝟑𝟑𝟖𝟑𝟐𝟕𝟗𝟓 … Rounding off in Calculator: Example รป Single Precision IEEE-754 เล าน อง อง 0.1 คือ 0.000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 … Normalize 0000 1.100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 … Rounding 0000 1.100 1100 1100 1100 1100 1101 1100 1100 … เลื่อนจด ป าง วา 4 ตา นง ดวา – 4 = 𝑐 − 127 นั่นคือเรา ด 𝑐 = 123 เปนเล ้กาลัง เล นัย าคั จ เปน 100 1100 1100 1100 1100 1101 Rounding off in Calculator: Example Sign (s) Characteristic (c) Mantissa (f) 0 + 01111011 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏 2−1 + 2−4 + 2−5 + 2−8 + 2−9 + ⋯ + 2−23 ปลงคา ดย 123 −𝟏 𝒔 ∙ 𝟐𝒄−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝒇 จ ด −𝟏 𝟎 ∙ 𝟐𝟏𝟐𝟑−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝟐−𝟏 + 𝟐−𝟒 + 𝟐−𝟓 + 𝟐−𝟖 + 𝟐−𝟗 + ⋯ + 𝟐−𝟐𝟑 ่งมคา 𝟏. 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟒 × 𝟐−𝟒 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏