Transcript A(t )  A 0  e   t Us  dy f (x  x )  f (x )  lim dx x.

A(t )  A 0  e
  t
Us 
dy
f (x  x )  f (x )
 lim
dx x 0
x
50
 A R t  e
0

ln2
T1 / 2 , f
t
dt
0
Voorkennistest wiskunde
voor Stralingshygiëne niveau 4, 3 en 2
If people do not believe that mathematics is simple,
it is only because they do not realize how
complicated life is. ~John Louis von Neumann
Delft
University of
Technology
Challenge the future
Uitleg
• Dit is een voorkennistest op het gebied van wiskunde voor de cursus
stralingshygiëne niveau 4, 3 en 2. Rechtsboven is steeds aangegeven voor welke
niveaus de gevraagde wiskundige vaardigheid relevant is.
• Werk de vraag uit op papier, bij voorkeur zonder rekenmachine. Bij elke vraag
kunt u een hint krijgen door te klikken. Klikt u nogmaals dan krijgt u de
uitwerking. Onder de uitwerking kunt u aangeven of u de vraag correct had weten
te beantwoorden of niet. Er wordt vervolgens aangegeven met welke vraag u
verder kunt gaan.
• Wanneer u meerdere vragen over hetzelfde onderdeel of heel basale vragen fout
beantwoordt, zal de test aangeven dat u door ons aangeraden wordt de
Voorcursus te volgen. U kunt echter natuurlijk beslissen verder te gaan met de
volgende vraag.
• De test bestaat uit 50 opgaven, maar u hoeft deze nooit alle te maken. De tijd die
de test maximaal zou moeten kosten is 1,5 uur.
Voorkennistest wiskunde
2
Lineaire en kwadratische vergelijkingen
N4
N3
N2
Vraag 1
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
24
4
3x
Hint: Breng door herschrijven x uit de noemer.
Voorkennistest wiskunde
3
Uitwerking
24
4
3x
24  12x
24
x 
2
12
Goed? Door naar Vraag 3
3x
:12
Fout? Door naar Vraag 2
Voorkennistest wiskunde
4
Lineaire en kwadratische vergelijkingen
N4
N3
N2
Vraag 2
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
3x  7  20
Hint: Begin met aan beide zijden 7 op te tellen.
Voorkennistest wiskunde
5
Uitwerking
3x  7  20
3x  27
x 9
Goed? Door naar Vraag 3
7
:3
Fout? We raden u aan u op te
geven voor de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
6
Lineaire en kwadratische vergelijkingen
N4
N3
N2
Vraag 3
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
x  6x  9  0
2
Hint: Ontbindt de vergelijking in factoren in de vorm
(x + a)(x + b) = 0.
Voorkennistest wiskunde
7
Uitwerking
Ontbinden in factoren:
(x + a)(x + b) = 0
a en b opgeteld -6,
a en b vermenigvuldigd 9.
x
 3  x  3   0
x 30
x 3
Goed? Door naar Vraag 5
Alle mogelijkheden op
gehele getallen die bij
vermenigvuldiging 9
opleveren:
a
b
+
*
1
9
10
9
3
3
6
9
-1
-9
-10
9
-3
-3
-6
9
Fout? Door naar Vraag 4
Voorkennistest wiskunde
8
Lineaire en kwadratische vergelijkingen
N4
N3
N2
Vraag 4
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
x
2
 4x  0
Hint: Haal buiten haakjes en los op
Voorkennistest wiskunde
9
Uitwerking
x
2
 4x  0
x (x  4)  0
x 0 x 4 0
x 0 x  4
Goed? Door naar Vraag 6
Fout? We raden u aan u op te
geven voor de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
10
Lineaire en kwadratische vergelijkingen
N3
N2
Vraag 5
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
3x  6x  9
6
x 1
2
Hint: Herschrijf de vergelijking in de vorm ax 2 + bx + c = 0,
vereenvoudig en los op.
Voorkennistest wiskunde
11
Uitwerking
3x 2  6x  9
6
x 1
3x 2  6x  9  6x  6
  x  1
3x 2  15  0
:3
(6x  6)
x2 5 0
x  5x  5
Goed? Door naar Vraag 6
Fout? Door naar Vraag 4
Voorkennistest wiskunde
12
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 6
Reken uit zonder rekenmachine:
5
2

Hint: a-1 = 1/a
Voorkennistest wiskunde
13
Uitwerking
• Een negatieve macht leidt volgens de rekenregels voor machten
tot een breuk:
52
50
1
1
 2  2 
25
5
5
Goed? Door naar Vraag 8
Fout? Door naar Vraag 7
Voorkennistest wiskunde
14
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 7
Reken uit zonder rekenmachine:
3
2 
Hint: De exponent geeft aan hoeveel keer het grondtal met zichzelf
moet worden vermenigvuldigd.
Voorkennistest wiskunde
15
Uitwerking
3
2  2 2 2  8
Goed? Door naar Vraag 8
Fout? We raden u aan u op te
geven voor de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
16
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 8
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
2
3
6 6  6
x
Hint: Niet nodig om de machten uit te rekenen, rekenregels voor
machten gebruiken
Voorkennistest wiskunde
17
Uitwerking
• Wanneer machten met hetzelfde grondtal met elkaar worden
vermenigvuldigd, mogen de exponenten worden opgeteld:
2
3
6 6  6
2  3
 6
5
• Uitgeschreven is dit logisch te verklaren:
6  6   6  6  6   6  6  6  6  6  6
Goed? Door naar Vraag 10
5
Fout? Door naar Vraag 9
Voorkennistest wiskunde
18
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 9
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
3
6
3
2
 3
x
Hint: Vergelijkbare rekenregel als in vraag 8
Voorkennistest wiskunde
19
Uitwerking
• Rekenregel:
3
6
3
2
 3
6  2 
 3
4
Goed? Door naar Vraag 10
Fout? We raden u aan u op te
geven voor de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
20
Machten en logaritmes
N3
N2
Vraag 10
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
2 
5
2
 4
x
Hint: Rekenregels voor machten gebruiken en 4x schrijven als
macht van 2.
Voorkennistest wiskunde
21
Uitwerking
• Wanneer een macht tot een macht wordt verheven, kunnen de
exponenten worden vermenigvuldigd:
2 
5
2
 2
 5 2 
 2
10
• Dezelfde regel gebruiken om 4x om te schrijven:
2
10
 4
x
 
 2
2
x
 2
2x
2x  10
x 5
Goed? Door naar Vraag 12
Fout? Door naar Vraag 11
Voorkennistest wiskunde
22
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 11
Reken uit zonder rekenmachine:
3
64 
Hint: Wortels zijn de omgekeerde bewerking van machten
Voorkennistest wiskunde
23
Uitwerking
Probeer uit welk getal je 3x met zichzelf moet vermenigvuldigen om
64 te krijgen:
3
64  4
w ant 4  4  4  64
Goed? Door naar Vraag 12
Fout? Door naar Vraag 13
Voorkennistest wiskunde
24
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 12
Reken uit zonder rekenmachine:
3
2
4 
Hint: Gebroken machten zijn wortels. Splits deze macht in een
vermenigvuldiging van twee machten en reken uit.
Voorkennistest wiskunde
25
Uitwerking
Uitwerking (een van de manieren):
• Splits op m.b.v. rekenregels voor machten:
3
2
1
12
4 4
1
 4 4
1
2
• Een gebroken macht is gelijk aan een wortel:
1
2
4  4 2
• Dus het correcte antwoord is:
1
1
2
4 4  42  8
Goed? Door naar Vraag 14
Fout? Door naar Vraag 13
Voorkennistest wiskunde
26
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 13
Reken uit zonder rekenmachine:
16
1
4

Hint: Reken ofwel met de vierdemachtswortel, of gebruik de
rekenregels voor exponenten om de macht te splitsen.
Voorkennistest wiskunde
27
Uitwerking
• Gebroken machten zijn wortels. Herschrijven:
1
16 4 
4
16  2
w ant 2
4
 16
• Andere oplossing is rekenregels gebruiken:
1
16 4  16
1 1
  
2 2
1
 1 2
 16 2 


1
16 2 
1
16  4

42 
Goed? Door naar Vraag 14
4  2
Fout? Aandachtspunt, maar
ook door naar Vraag 14
Voorkennistest wiskunde
28
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 14
Bereken het volgende logaritme:
2
lo g 1 0 2 4 
Hint: Het logaritme wordt gebruikt om de exponent van een macht
te berekenen. Bovenstaande opgave vraagt eigenlijk: “Tot welke
macht moet het grondtal 2 verheven worden om 1024 te krijgen?”.
Voorkennistest wiskunde
29
Uitwerking
2
lo g 1 0 2 4  1 0 , w a n t 2
Goed? Door naar Vraag 17
10
 1024
Fout? Door naar Vraag 15
Voorkennistest wiskunde
30
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 15
Bereken het volgende logaritme:
3
log 81 
Hint: Het logaritme wordt gebruikt om de exponent van een macht
te berekenen. Bovenstaande opgave vraagt eigenlijk: “Tot welke
macht moet het grondtal 3 verheven worden om 81 te krijgen?”.
Voorkennistest wiskunde
31
Uitwerking
3
log 81  4 , want 34  3  3  3  3  81
Goed? Door naar Vraag 16
Fout? We raden u aan u op te
geven voor de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
32
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 16
Bereken het volgende logaritme:
4
3
lo g 1 6 
Hint: Rekenregels voor logaritmen vergemakkelijken deze
berekening.
Voorkennistest wiskunde
33
Uitwerking
• Wanneer een exponent in een logaritme voorkomt, mag deze er
direct uitgehaald worden en vermenigvuldigd worden met het
resterende logaritme. Hiermee is vaak vereenvoudiging mogelijk:
4
3
4
lo g 1 6  3  lo g 1 6  3  2  6
Goed? Door naar Vraag 18
Fout? Aandachtspunt, maar
ook door naar Vraag 18
Voorkennistest wiskunde
34
Machten en logaritmes
N3
N2
Vraag 17
Los x op uit de volgende vergelijking:
5
lo g 1 2 5
x
 12
Hint: Maak gebruik van de rekenregels voor logaritmen om deze
vergelijking te herschrijven.
Voorkennistest wiskunde
35
Uitwerking
• Wanneer een exponent in een logaritme voorkomt, mag deze er
direct uitgehaald worden en vermenigvuldigd worden met het
resterende logaritme. Hiermee is vaak vereenvoudiging mogelijk:
5
lo g 1 2 5
x
 12
5
x  lo g 1 2 5  1 2
x  3  12
x  4
Goed? Door naar Vraag 18
Fout? Door naar Vraag 16
Voorkennistest wiskunde
36
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 18
Bereken het volgende logaritme. U mag hierbij uw rekenmachine
gebruiken.
2
lo g 1 0 0 
Hint: Gebruik de rekenregel alog b = xlog b / xlog a om het
logaritme om te schrijven naar een ander grondtal en zo in de
rekenmachine te kunnen invoeren.
Voorkennistest wiskunde
37
Uitwerking
• Gebruik het logaritme met grondtal 10, deze zit op uw
rekenmachine (10log- of LOG-knop):
10
2
lo g 1 0 0 
lo g 1 0 0
10
lo g 2

2
0, 301
Goed? Door naar Vraag 20
 6, 64
Fout? Door naar Vraag 19
Voorkennistest wiskunde
38
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 19
Bereken het volgende logaritme. U mag hierbij uw rekenmachine
gebruiken.
1
2
lo g  0 , 0 5  
Hint: Gebruik de rekenregel alog b = xlog b / xlog a om het
logaritme om te schrijven naar een ander grondtal en zo in de
rekenmachine te kunnen invoeren.
Voorkennistest wiskunde
39
Uitwerking
• Gebruik het logaritme met grondtal 10, deze zit op uw
rekenmachine (10log- of LOG-knop):
1
2
10
lo g  0 , 0 5  
lo g  0 , 0 5 
10
lo g  0 , 5 
Goed? Door naar Vraag 20

 1, 3 0 1
0, 301
 4 , 32
Fout? We raden u aan u op te
geven voor de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
40
Machten en logaritmes
N3
N2
Vraag 20
Bereken het volgende logaritme. Kan ook zonder rekenmachine.
9
lo g 2 7 
Hint: Gebruik de rekenregel alog b = xlog b / xlog a om het
logaritme om te schrijven naar een ander grondtal en het
eenvoudig op te kunnen lossen.
Voorkennistest wiskunde
41
Uitwerking
• Herschrijven naar het logaritme van 3 om het zonder
rekenmachine op te lossen:
3
9
lo g 2 7 
lo g 2 7
3
lo g 9

3
2
 1, 5
• Herschrijven naar het logaritme van 10 met rekenmachine werkt
altijd:
10
9
lo g 2 7 
lo g 2 7
10
lo g 9

1, 4 3
0, 954
Goed? Door naar Vraag 21
 1, 5
Fout?
Het kunnen oplossen met rekenmachine
is essentieel voor alle niveaus, begrip van het
principe voor N2 en N3. Verder naar Vraag 21.
Voorkennistest wiskunde
42
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 21
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
x
2  32
Hint: Schrijf 32 als macht van 2 of gebruik het logaritme.
Voorkennistest wiskunde
43
Uitwerking
Schrijf 32 als macht van 2:
2 x  32
2 x  25
x 5
• Dit is feitelijk hetzelfde als het logaritme nemen:
Goed? Door naar Vraag 22
2
log32  5
Fout? We raden u aan u op te
geven voor de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
44
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 22
Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die u zou kunnen
tegenkomen in de berekening van verval van radioactief afval:
t
 1 10
35  4480   
2
Hint: Deze vergelijking kan ook opgelost worden door te bepalen
hoe vaak het getal 4480 gehalveerd moet worden om 35 te krijgen.
Voorkennistest wiskunde
45
Uitwerking
t
35
 1 10
 
4480  2 
 35 
log 

t
4480

 7

10
1
log  
2
t  7  10  70
Goed? Door naar Vraag 24
Alternatief voor log-berekening:
Tel eenvoudigweg na hoe
vaak het getal 4480 gehalveerd
moet worden om op 35 te
komen. Het antwoord is 7.
Fout? Door naar Vraag 23
Voorkennistest wiskunde
46
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 23
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking die overeenkomt
met radioactief verval:
1 
2  1024   
2
x
Hint: Los op door ofwel het logaritme te nemen ofwel steeds met
1/2 te vermenigvuldigen.
Voorkennistest wiskunde
47
Uitwerking
2
1 
  
1024
2
x 
x
 2 
lo g 

 1024 
1 
lo g  
2
Alternatief voor log-berekening:
 9
Goed? Door naar Vraag 24
Tel eenvoudigweg na hoe
vaak het getal 1024 gehalveerd
moet worden om op 2 te
komen. Het antwoord is 9.
Fout? We raden u aan u op te
geven voor de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
48
Machten en logaritmes
N3
N2
Vraag 24
Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die u zou kunnen
tegenkomen in de berekening van verval van radioactief afval (u
mag de rekenmachine gebruiken):
5
1  3, 2  1 0  2

t
60
Hint: Los op via logaritmeberekening. Let op het minteken in de
exponent en de juiste invoer van de wetenschappelijke notatie.
Voorkennistest wiskunde
49
Uitwerking
1
3, 2  1 0

5
t
60
 2


t
60


1
lo g 
5 
 3, 2  1 0 
lo g 2
 18, 3
t   1 8 , 3   6 0  1,1  1 0
Goed? Door naar Vraag 25
3
Fout? Aandachtspunt, maar
ook door naar Vraag 25
Voorkennistest wiskunde
50
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 25
Los d op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen
tegenkomen in de berekening van een afschermingsdikte.
e
 13 d
 0,05
Hint: De exponent van het getal e (= 2,71828…) kan worden
berekend door het natuurlijk logaritme (ln) te nemen.
Voorkennistest wiskunde
51
Uitwerking
Gebruik het natuurlijk logaritme om de e-macht weg te werken:
ln e
 1d
3
 ln 0 , 0 5
 13 d   3
d  9
Goed? Door naar Vraag 26
Fout? Door naar Vraag 27
Voorkennistest wiskunde
52
Machten en logaritmes
N3
N2
Vraag 26
Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die u zou kunnen
tegenkomen in de berekening van een activiteitsproductieberekening.

750  1000 1  e
 0 ,1 t

Hint: Maak de e-macht vrij en gebruik de ln om deze op te lossen.
Voorkennistest wiskunde
53
Uitwerking

750  1000 1  e
 0 ,1 t
7 5 0  1 0 0 0  1 0 0 0e
1 0 0 0e
 0 ,1 t
 250
e
 0 ,1 t


 0 ,1 t
250
1000
 250 
 0 ,1  t  ln 
   1, 3 9
1
0
0
0


t  1 3, 9
Goed?
N3 en N2: Door naar Vraag 28
N4: Door naar Vraag 31
Fout? Door naar Vraag 27
Voorkennistest wiskunde
54
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 27
Los d op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen
tegenkomen in de berekening van een afschermingsdikte.
10  e
 0 ,2 t
1
Hint: Gebruik de ln-knop op de rekenmachine om het natuurlijk
logaritme van een getal te nemen.
Voorkennistest wiskunde
55
Uitwerking
Gebruik het natuurlijk logaritme om de e-macht weg te werken:
10  e
 0 ,2 t
1
e
 0 ,2 t

1
10
 1 
 0 , 2  t  ln 
  2, 3
 10 
t  1 1, 5
Goed?
N3 en N2: Door naar Vraag 28
N4: Door naar Vraag 31
Fout?
N3 en N2: Wij raden u de Voorcursus aan
N4: Aandachtspunt, door naar Vraag 31
Voorkennistest wiskunde
56
Machten en logaritmes
N3
N2
Vraag 28
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
3
lo g 9 x  5
Hint: Gebruik de rekenregels om het logaritme te splitsen.
Voorkennistest wiskunde
57
Uitwerking
• Als in een logaritme een vermenigvuldiging van twee termen
staat, kan dit opgesplitst worden in een optelling van twee
logaritmes:
3
lo g 9 x  5
3
lo g 9 
2
3
3
3
lo g x  5
lo g x  5
lo g x  3
3
x  3  27
Goed? Door naar Vraag 30
Fout? Door naar Vraag 29
Voorkennistest wiskunde
58
Machten en logaritmes
N3
N2
Vraag 29
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
2
lo g 8 
2
lo g 4 
2
lo g x
Hint: Gebruik de rekenregels om tot één logaritme te herschrijven.
Voorkennistest wiskunde
59
Uitwerking
• Wanneer twee logaritmes met hetzelfde grondtal worden opgeteld
of afgetrokken, kunnen ze worden gecombineerd tot één
logaritme:
2
lo g 8 
2
2
lo g(8  4 ) 
lo g 4 
2
2
lo g x
lo g x
x  32
• Andersom kan deze regel ook gebruikt worden om een logaritme
op te splitsen.
Goed? Door naar Vraag 30
Fout? We raden u aan u op te
geven voor de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
60
Machten en logaritmes
N3
N2
Vraag 30
Herschrijf de onderstaande exponentiële vergelijking die
verzwakking van een stralingsbundel beschrijft in decimeringen
(afnamen in factoren van 10) naar een vergelijking met grondtal e.
d
 1  40
I (d )  I (0)   
 10 
Hint: ax = (e
ln a)x
Voorkennistest wiskunde
61
Uitwerking
Herschrijf het grondtal in een e –macht en vereenvoudig daarna
zover mogelijk m.b.v. rekenregels voor machten:
1
ln
1
1
 e 10  e ln10  e  ln10
10
• Vul in:
I (d )  I (0)  e

ln10
d
40
Fout? Aandachtspunt. Vooral in N2 is
Goed? Door naar Vraag 31
het kunnen omschrijven van
vergelijkingen essentieel.
Door naar Vraag 31.
Voorkennistest wiskunde
62
Machten en logaritmes
N4
N3
N2
Vraag 31
Gebruik de hiernaast
afgebeelde grafiek om te
bepalen hoeveel procent
van een stralingsbundel
door een loden wand van
4 cm dik kan dringen.
Transmissie is de fractie
straling die door een
afscherming heen komt.
Hint: Let goed op de
onderverdeling binnen de
logaritmische schaal.
Voorkennistest wiskunde
63
Uitwerking
• Wanneer nauwkeurig afgelezen ziet
men dat de zwarte lijn voor lood bij
4 cm dikte op hoogte is van het
eerste ongemarkeerde streepje
boven de aanduiding 10-3.
• Er bevinden zich acht
ongemarkeerde streepjes tussen 10-3
en 10-2, dus eerste streepje staat
voor een fractie van 2∙10-3. Dit is
gelijk aan 2/1000e deel, dus 0,2%.
Fout? Aandachtspunt. In alle niveaus
Goed? Door naar Vraag 32
is correct kunnen aflezen van lineaire
en logaritmische assen belangrijk.
Door naar Vraag 32.
Voorkennistest wiskunde
64
Goniometrie
N4
N3
N2
Vraag 32
• Een stralingsbron produceert een
bundel in de richting van een betonnen
muur. Door verstrooide straling wordt
een persoon in dezelfde ruimte
2,0 m
blootgesteld.
• Het is belangrijk de afstand van het
verstrooiingspunt tot de persoon en de
verstrooiingshoek te kennen om de
dosis te kunnen bepalen. Bereken
afstand x en hoek .
5,0 m

x m
Hint: Gebruik de stelling van Pythagoras
voor x en de tangens voor de hoek.
Voorkennistest wiskunde
65
Uitwerking
• Afstand via stelling van Pythagoras:
b
2
c
2
2, 0  5, 0
2
 x
2
2
 4  25  29
a
2
2
x
x 
• Hoek m.b.v. de tangens:
ta n  

  ta n
Goed? Door naar Vraag 35

1
a
b

2, 0
5, 0
29  5, 4 m
 0, 4
0, 4   22
Fout? Door naar Vraag 33
Voorkennistest wiskunde
66
Goniometrie
N4
N3
N2
Vraag 33
In de hiernaast afgebeelde rechthoekige
driehoek (niet op schaal) is de lengte
van zijde a 5,0 meter en van
schuine zijde c 9,0 meter.
c
a
Hoe lang is zijde b ?
b
Hint: Pythagoras.
Voorkennistest wiskunde
67
Uitwerking
• Vul stelling van Pythagoras in: a 2  b 2  c 2
c
5, 02  b 2  9, 02
b 2  81  25  56
a
b
b  56  7,5
• Zijde b is ca. 7,5 m lang (niet nauwkeuriger weergeven dan
oorspronkelijk gegeven lengten).
Goed? Door naar Vraag 34
Fout?
N3 en N2: Wij raden u de Voorcursus aan
N4: Aandachtspunt, door naar Vraag 34
Voorkennistest wiskunde
68
Goniometrie
N4
N3
N2
Vraag 34
In de hiernaast afgebeelde
rechthoekige driehoek (niet op schaal)
is de lengte van zijde a 30 cm.
Hoek  is 30°.
Hoe lang is zijde c ?
c

a
b
Hint: Gebruik de sinus van hoek .
Voorkennistest wiskunde
69
Uitwerking
• De sinus van een hoek in een rechthoekige driehoek is gelijk aan
de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde.
c
a
sin   
c
 
sin 30
 0,5 
a

b
30
c
c  60
Goed? Door naar Vraag 35
Fout?
N3 en N2: Wij raden u de Voorcursus aan
N4: Aandachtspunt, door naar Vraag 35
Voorkennistest wiskunde
70
Meetnauwkeurigheid en statistiek
N4
N3
N2
Vraag 35
Geef in het juiste aantal significante cijfers antwoord op de
volgende vraag:
Een wand is 275,5 bij 1102,0 cm groot. Met 1,0 liter muurverf kun
je 12,5 m2 verven. Hoeveel liter verf heb je nodig?
Hint: Let goed op de eenheden en op de nauwkeurigheid van de
verschillende gegevens.
Voorkennistest wiskunde
71
Uitwerking
• Het wandoppervlak is 275,5 ∙ 1102,0 = 3,036∙105 cm2 = 30,36 m2.
• Met 1,0 liter verf je 12,5 m2, dus voor 30,36 m2 heb je nodig:
30,36/12,5 ∙ 1,0 = 2,4 liter verf.
• Aangezien de minst nauwkeurige waarde (volume verf) in twee
significante cijfers gegeven is, wordt het eindantwoord ook in twee
significante cijfers gegeven.
Goed?
N4: U bent klaar met de test, u
heeft de Voorcursus niet nodig.
N3 en N2: Door naar Vraag 36
Fout? Aandachtspunt.
N4: U bent klaar, u heeft de Voorcursus
niet nodig.
N3 en N2: Door naar Vraag 36
Voorkennistest wiskunde
72
Meetnauwkeurigheid en statistiek
N3
N2
Vraag 36
Kennis van statistische basisbegrippen is nodig om de
nauwkeurigheid van stralingsmetingen te kunnen beoordelen.
Bereken het gemiddelde, de modus en de mediaan van de volgende
serie gemeten massa’s in grammen:
420
415
424
406
432
422
427
433
420
Hint: Zet voor bepaling van modus en mediaan als eerste de getallen
op volgorde van laag naar hoog.
Voorkennistest wiskunde
73
Uitwerking
• Herschikking getallenreeks:
406 415 420 420 422 424
427 432 433
n
xi

• Berekening gemiddelde: x  i 1
n

406  415  420  420  422  424  427  432  433
 422 gram
9
• Modus = de meetwaarde die het meest voorkomt = 420 gram.
• Mediaan = de middelste meetwaarde in de reeks op volgorde van
laag naar hoog = 422 gram.
Goed? Door naar Vraag 37
Fout? Gemiddelde dient minimaal
bekend te zijn. Door naar Vraag 37.
Voorkennistest wiskunde
74
Meetnauwkeurigheid en statistiek
N3
N2
Vraag 37
Bereken de absolute en de relatieve standaarddeviatie van het
gemiddelde in dezelfde serie gemeten massa’s als de vorige vraag:
420
415
424
406
432
422
427
433
420
Hint: De standaarddeviatie is de wortel uit de variantie, die berekend
wordt door van elk van de waarde het verschil met het gemiddelde te
berekenen, kwadratisch op te tellen en te delen door het aantal
metingen.
Voorkennistest wiskunde
75
Uitwerking
n
(x i

i
 x )2
• Bereken eerst de variantie, dit is de
standaarddeviatie in het kwadraat:
s2 
• De absolute standaarddeviatie:
s  63, 9  7, 99 gram
1
n
2,112  7,112  3, 892  16,12  9, 892  0,112  4, 892  10, 92  2,112

 63, 9
9
s 7, 99
• De relatieve standaarddeviatie,
v  
 0, 0189  1, 89%
ook wel variatiecoëfficiënt genoemd:
x
422
Goed? Door naar Vraag 38
Fout?
Aandachtspunt, door naar Vraag 38
Voorkennistest wiskunde
76
Meetnauwkeurigheid en statistiek
N3
N2
Vraag 38
Metingen van radioactieve bronnen voldoen aan een
binomiaalverdeling die bij grote aantallen overgaat in een
Poissonverdeling. Hiervan kan uit één meting de relatieve meetonzekerheid (1 standaarddeviatie) worden berekend met √N / N.
N staat hierin voor het aantal gemeten telpulsen.
Hoeveel telpulsen moeten worden gemeten als de relatieve
meetonzekerheid 0,5% mag zijn?
Hint: Stel op als vergelijking en probeer eerst te vereenvoudigen.
Voorkennistest wiskunde
77
Uitwerking
N
 0,5%  0, 005
N
N
1

 0, 005
N  N
N
N 
1
 200
0, 005
N  2002  40000
Goed? Door naar Vraag 39
Fout? Aandachtspunt, maar wordt
ook behandeld in cursus. Door naar
Vraag 39
Voorkennistest wiskunde
78
Meetnauwkeurigheid en statistiek
N3
N2
Vraag 39
Een serie activiteitsmetingen geeft als gemiddelde waarde 250 Bq
en als standaarddeviatie 15 Bq. De meetwaarden hebben een
normale verdeling.
Tussen welke waarden ligt het 95% betrouwbaarheidsinterval
(onzekerheidsinterval)?
Hint: De (on)zekerheid van een meting in normaalverdeling wordt
bepaald door het aantal standaarddeviaties marge dat wordt
genomen.
Voorkennistest wiskunde
79
Uitwerking
• Een marge van één standaarddeviatie in een normaalverdeling
leidt tot een 68% betrouwbaarheidsinterval, wanneer twee
standaarddeviaties wordt genomen is dit 95% en bij drie 99%.
x  2s  250  2  15 Bq  250  30 Bq
• De grenswaarden voor 95% betrouwbaarheid zijn dus 220 Bq en
280 Bq.
Goed? Door naar Vraag 40
Fout? Aandachtspunt, door naar
Vraag 40
Voorkennistest wiskunde
80
Meetnauwkeurigheid en statistiek
N3
N2
Vraag 40
Trek de volgende gemeten teltempo’s met foutenmarges van
elkaar af om het netto teltempo te verkrijgen:
Rmonster  244  5, 0 cps
Rachtergrond  34  3,5 cps
Hint: Bij optellen of aftrekken van meetwaarden kan men de
standaarddeviaties “kwadratisch optellen”.
Voorkennistest wiskunde
81
Uitwerking
• Het netto teltempo (=gemeten minus achtergrond):
244 – 34 = 210 cps.
• Als een waarde z wordt berekend uit meetwaarden x en y door
optellen of aftrekken, geldt voor de standaarddeviaties:
sz  sx 2  sy 2
s  5, 02  3,52  6,1 cps
• Rapportage berekende waarde: 210 ± 6,1 cps.
Goed? Door naar Vraag 41
Fout?
Bij meer dan de helft van de vragen
van dit onderdeel fout raden we u de
Voorcursus aan, anders door naar Vraag 41
Voorkennistest wiskunde
82
Differentiëren en integreren
N3
N2
Vraag 41
Differentiëren is het bepalen van de hellingfunctie oftewel de
afgeleide functie. Differentieer de volgende functie:
f (x )  4 x
2
 3x  6
Hint: De afgeleide van a∙x n + b is a∙n∙x n-1.
Voorkennistest wiskunde
83
Uitwerking
• f is een machtsfunctie, hiervoor bestaan eenvoudige rekenregels
voor het snel bepalen van de afgeleide functie.
• Het getal -6 wordt niet meegenomen: dit bepaalt alleen de
verticale verschuiving van de curve, niet de helling.
f (x )  4 x
2
 3x  6
f '( x )  4  2  x
2 1
 3 1  x
1 1
f '( x )  8 x  3
Goed? Door naar Vraag 43
Fout? Door naar Vraag 42
Voorkennistest wiskunde
84
Differentiëren en integreren
N3
N2
Vraag 42
• Differentieer de volgende functie:
f (x )  x
3
 2x
Hint: De afgeleide van a∙x n + b is a∙n∙x n-1.
Voorkennistest wiskunde
85
Uitwerking
f (x )  x
3
 2x
f '( x )  3  x
f '( x )  3 x
2
3 1
 2x
1 1
2
Goed? Door naar Vraag 43
Fout?
N3: Aandachtspunt, door naar Vraag 43
N2: Wij raden u de Voorcursus aan
Voorkennistest wiskunde
86
Differentiëren en integreren
N3
N2
Vraag 43
• Een bepaalde radioactieve stof in het lichaam wordt volledig
uitgescheiden in de urine met twee verschillende
verwijderingssnelheden. De retentie van activiteit in het lichaam
wordt beschreven met deze functie:
R (t )  0 ,1  e
 0 ,3 t
 0, 9  e
 0 ,0 0 6 t
• De functie X (t )   f u  R '(t ) (met fu als fractie van de totale
uitscheiding naar de urine, hier dus 1) is de zogenaamde
excretiefunctie en beschrijft de activiteit in de urine.
Bepaal deze excretiefunctie.
Hint: De afgeleide van a∙e
nx
is a∙n∙e nx.
Voorkennistest wiskunde
87
Uitwerking
• Een e-macht blijft gelijk bij differentiëren. Alleen het getal voor de
variabele in de e-macht komt naar voren:
R (t )  0 ,1  e
R '(t ) 
dR
dt
 0 ,3 t
 0, 9  e
  0 , 3  0 ,1  e
 0, 03  e
 0 ,3 t
 0 ,0 0 6 t
 0 ,3 t
 0, 006  0, 9  e
 0, 0054  e
X (t )   f u  R '(t )  0 , 0 3  e
Goed? Door naar Vraag 44
 0 ,3 t
 0 ,0 0 6 t
 0 ,0 0 6 t
 0, 0054  e
 0 ,0 0 6 t
Fout? Aandachtspunt, door naar
Vraag 44
Voorkennistest wiskunde
88
Differentiëren en integreren
N3
N2
Vraag 44
• Bereken de afgeleide van de volgende functie die de activiteit van
een radioactief dochternuclide in een zogenoemd glijdend evenwicht
beschrijft:
A (t )  1 0 0   e
2t
e
4t

• Bereken tevens bij welke waarde van t de activiteit een maximum
bereikt (de afgeleide functie die de helling beschrijft 0 is).
Hint 1: De afgeleide van a∙e nx is a∙n∙e nx. Werk hiertoe eerst de haakjes weg.
Hint 2: Zorg bij het oplossen van t dat aan beide zijden van het = teken een
e-macht staat. Los daarna op met gebruik van de rekenregels
Voorkennistest wiskunde
89
Uitwerking
• Afgeleide berekenen:
A (t )  1 0 0   e
dA
A '(t ) 
• Maximum bepalen:
dt
200  e
2t
 400  e
4t
e
2t
2 e
4t
e
2t

4t
e
4t
 200  e
2 e
ln 2  e
2t
4t
2t
  100  e
 400  e
2t
 100  e
4t
4t
 0
 0
   2t
ln 2  4 t   2t
t 
ln 2
2
Goed? Door naar Vraag 45
 0, 35
Fout?
N3: Aandachtspunt, door naar Vraag 45
N2: Indien beide onderdelen fout raden
wij u de Voorcursus aan
Voorkennistest wiskunde
90
Differentiëren en integreren
N3
N2
Vraag 45
Met een integraal wordt het oppervlak onder een curve berekend.
Dit kan bijvoorbeeld nodig zijn om uit te rekenen wat de dosis is als
gevolg van het inademen van radioactief materiaal.
Reken de onderstaande opgeloste integraal van een negatieve
exponentiële vergelijking uit:
t 1 0
100 

t 0
e
 0 ,2 5 t
dt  1 0 0    4 e
 0 ,2 5 t
10
 
0
Hint: Vul in voor de bovenste grenswaarde, vul in voor de onderste
grenswaarde, en trek tenslotte de twee antwoorden van elkaar af.
Voorkennistest wiskunde
91
Uitwerking
• Vul in de gegeven primitieve functie (tussen de vierkante haken)
de bovenste en onderste grenswaarde voor t in en trek de twee
gevonden waarden van elkaar af. Dit geeft het oppervlak onder
de curve.
1 0 0    4e

 0 ,2 5 t
10
  100 
0
   4e
 0 ,2 5 1 0
    4e
 0 ,2 5  0
 
100   0, 328  4   367
Goed?
N2: Door naar Vraag 47
N3: U bent klaar met de test, u
heeft de Voorcursus niet nodig.
Fout? Door naar Vraag 46
Voorkennistest wiskunde
92
Differentiëren en integreren
N3
N2
Vraag 46
• Reken de onderstaande opgeloste integraal uit:
t 5
 1  e
t 0
 0 ,1 t
 dt
 t  1 0 e

 0 ,1 t
5
 
0
Hint: Vul in voor de bovenste grenswaarde, vul in voor de onderste
grenswaarde, en trek tenslotte de twee antwoorden van elkaar af.
Voorkennistest wiskunde
93
Uitwerking
• Grenswaarden invullen in de gegeven integraal:
t  1 0  e

 0 ,1 t
5

  5  10  e
0
 0 ,5
  0  10  e  
0
1 1,1  1 0  1,1
Goed?
N2: Door naar Vraag 47
N3: U bent klaar met de test, u
heeft de Voorcursus niet nodig
Fout?
N2: Wij raden u de Voorcursus aan
N3: Aandachtspunt. Indien alle vragen
van dit onderdeel fout raden wij de
Voorcursus aan. U bent klaar met de test.
Voorkennistest wiskunde
94
Differentiëren en integreren
N2
Vraag 47
Differentieer de volgende functie:
2x
e
f (x )  3
x
Hint 1: Quotiëntregel: f (x ) 
g (x )
h (x )
 f '(x ) 
g '(x )  h (x )  g (x )  h '(x )
(h (x ))2
Hint 2: Kettingregel: f (x )  g (h (x ))  f '(x )  g '(h (x ))  h '(x )
Voorkennistest wiskunde
95
Uitwerking
• Bereken eerst apart de afgeleiden van de functie g (x) in de teller
en de functie h (x) in de noemer. Gebruik voor de teller de
kettingregel.
g (x )  e 2 x  g '(x )  e 2 x  2x 11  2e 2 x
h (x )  x 3  h '(x )  3  x 3 1  3x 2
• Voor de afgeleide van het totaal: vul de quotiëntregel in en
vereenvoudig zo ver mogelijk.
f '( x ) 
2e
2x
x
3
e
x 
3
2
2x
 3x
2

Goed? Door naar Vraag 48
2x
 3e
x
6
2x
x
2

2x
 3e
x
2x
4
Fout? Kennis van product-, quotiënten kettingregel is handig, door naar
Vraag 48
Voorkennistest wiskunde
96
Differentiëren en integreren
N2
Vraag 48
Bereken de volgende integraal:
x 4
 1 0  e
2 x
 dx
x 2
Hint: Integreren is het omgekeerde van differentiëren. Bereken
eerst de zgn. primitieve functie en vul deze in met de
grenswaarden.
Voorkennistest wiskunde
97
Uitwerking
• Bereken de primitieve via de omgekeerde rekenregels voor
differentiëren:
f (x )  10  e
F (x )  5  e
2 x
2 x
c
• Vul de grenswaarden in en werk uit. De onbekende constante c
komt te vervallen bij het invullen van grenswaarden.
x 4
 1 0  e
2 x
x 2
 1, 6 7  1 0
3

dx    5  e
 9 ,1 6  1 0
2
2 x
4

  5  e
2
 9, 32  10
Goed? Door naar Vraag 49
8
   5  e  
4
2
Fout? Belangrijk punt! Oefen zelf
verder met oplossen integreren van
e-machten of volg de Voorcursus
Voorkennistest wiskunde
98
Differentiëren en integreren
N2
Vraag 49
• De volgende differentiaalvergelijking beschrijft de
vermogensopbouw door maandelijkse inleg van 175 euro en een
rente van 0,5% per maand:
dV
dt
 1 7 5  0 , 0 0 5 V
• Los de differentiaalvergelijking op tot een vergelijking voor V met
randvoorwaarde dat op t = 0 geldt V = 0.
• Hoe lang moet men sparen om tot 100.000 euro te komen?
Hint 1: Herschrijf tot de termen met V en dV aan een kant van het = teken
staan en t en dt aan de andere kant. Primitiveer daarna links en rechts.
Hint 2: De primitieve van 1/x is ln x.
Voorkennistest wiskunde
99
Uitwerking
• Oplossen differentiaalvergelijking:
dV
 1 7 5  0 , 0 0 5 V
dt
1



 dV   1  dt
 1 7 5  0 , 0 0 5 V 
1
0, 005
 ln  1 7 5  0 , 0 0 5 V
ln  1 7 5  0 , 0 0 5 V
t
 c1
  0, 005  t
 c2
1 7 5  0 , 0 0 5 V  e
0 ,0 0 5 t  c 2
 C e
0 ,0 0 5 t
• Invullen randvoorwaarde:
175  0, 005  0  C  e
0 ,0 0 5  0
C  175
Voorkennistest wiskunde
100
Uitwerking (vervolg)
• Invullen en omschrijven tot functie
1 7 5  0 , 0 0 5 V  1 7 5  e
0 , 0 0 5 V  1 7 5  e
V (t ) 
175
0, 005

 e
0 ,0 0 5 t
0 ,0 0 5 t
0 ,0 0 5 t

 175  175  e


 1  35000  e
0 ,0 0 5 t
1

0 ,0 0 5 t
1

• Uitrekenen wanneer tot 100.000 euro is gespaard:

100000  35000  e
e
0 ,0 0 5 t
1 
100000
35000
0 ,0 0 5 t

 2, 86
0 , 0 0 5  t  ln 3, 8 6  1, 3 5

t  2 7 0 m a a n d e n  2 2 , 5 ja a r
Goed? U bent klaar met de test.
U heeft de Voorcursus niet nodig
Fout? Door naar Vraag 50
Voorkennistest wiskunde
101
Differentiëren en integreren
N2
Vraag 50
• Los de volgende differentiaalvergelijking op die wordt gebruikt bij
afschermingsberekeningen van gammastraling. Randvoorwaarde
is dat bij dikte x = 0 geldt dat fluentie  = (0)
d
dx
  
Hint 1: Herschrijf met fluentie naar links en dx naar rechts.
Hint 2: De primitieve van 1/x is ln x.
Voorkennistest wiskunde
102
Uitwerking
• Oplossen differentiaalvergelijking:
d
dx
  
 1 

 d       dx



ln      x  c
 e
  x  c
e
• Invullen randvoorwaarde:
 0   C  e
• Dus afschermingsformule luidt:
 x
  x
  0
e

c
 C e
  x
C   0 
    0   e   x
Fout? Minimaal het kunnen volgen van
Goed? U bent klaar met de test.
U heeft de Voorcursus niet nodig
het oplossen van eenvoudige
differentiaalvergelijkingen is van belang.
U bent klaar met de test.
Voorkennistest wiskunde
103