OPTIMISATION et SIMULATION des PROCESSUS Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA Responsable de l’équipe MOCIS Méthodes et Outils pour la conception Intégrée des Systèmes http://www.mocis-lagis.fr/membres/belkacem-ould-bouamama/ Laboratoire d'Automatique, Génie.
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OPTIMISATION et SIMULATION des PROCESSUS Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA Responsable de l’équipe MOCIS Méthodes et Outils pour la conception Intégrée des Systèmes http://www.mocis-lagis.fr/membres/belkacem-ould-bouamama/ Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS - UMR CNRS 8219 et Directeur de la recherche à École Polytechnique de Lille (Poltech’ lille) ---------------------------------------------------------mèl : [email protected], Tel: (33) (0) 3 28 76 73 87 , mobile : (33) (0) 6 67 12 30 20 Ce cours est dispensé aux élèves de niveau Master 2 HSQE (Hygiène Sécurité et Qualité de l’Environnement Toutes vos remarques pour l’amélioration de ce cours sont les bienvenues. PRESENTATION Du COURS 2 Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Chap.1/3 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chapitre 1: INTRODUCTION Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Chap.1/4 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap 2 TRAITEMENT DE DONNEES EXPERIMENTALES D'UN PROCESSUS Méthodes statistiques de modélisation : Définitions & but Modèles de régression Principe des méthodes des moindres carrés (MMC) Régression linéaire multiple Adéquation des modèles et signification des coefficients Vérification des hypothèses de régression Méthodes de corrélation Exemple d'application Estimation récursive MMC avec facteur de pondération Méthode des MC avec fenêtre glissante Exemple d'application Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Chap.1/5 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap3: OPTIMISATION DES PROCESSUS TECHNOLOGIQUES Problématique de l'optimisation des processus technologiques Méthodes analytiques d'optimisation Programmation linéaire APPLICTION : TD de 4h : utilisation du logiciel Matlab pour la simulation d'un problème d'optimisation d'un processus chimique en vue de minimiser le taux de pollution CHAP1 INTRODUCTION 6 Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Chap.1/7 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap1 : Introduction Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Chap.1/8 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Importance & objectifs des modèles statistiques Caractère stochastique de la majorité des phénomènes; " L'intelligence des statistiques sera un jour une compétence aussi indispensable à l'exercice de la citoyenneté que la lecture ou l'écriture". (H.G.Wells). Objectifs Fournir des lois, de nature "statistique", là où il n'est pas possible d'en fournir qui soient de nature certaine ou déterministe. Applications Sondage, prévision, contrôle des processus indust. Lois empiriques Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Chap.1/9 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Modélisation ? Définitions Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du modélisateur Modèle jamais "exact"? Importance Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, Représente 50 % d’un projet de commande Perspectives grâce à l'informatisation Un modèle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider). Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Chap.1/10 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Un modèle comment faire ? 1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; Hypothèses simplificatrices; Dilemme- précision-simplicité Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse. 2. MODELE DE REPRESENTATION Système "boite noire"; Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; Complément du modèle de représentation. Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Chap.1/11 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Classification des modèles selon le caractère des régimes de fonctionnement statique et dynamique selon la description mathématique linéaire, non linéaire selon les propriétés dynamiques à paramètres localisés, à paramètres distribués selon l’évolution des paramètres : stochastique , déterministe selon le nombre de variables : monovariable (SISO) , multivariable (MIMO) Étapes de modélisation PROCESSUS PHYSIQUE Etablissement du schéma de principe Représentation par bloc Acquisition de données Mise en équation Calcul erreur de modélisation Amélioration du modèle NON Modèle adéquat ? OUI SIMULATION, MONITORING, CONTROL... Chap.1/12 Chapitre 2 METHODES STATISTIQUES Chap2/13 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/14 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Méthodes des MMC Principe de la MMC LST La MMC est introduite par Karl Gauss en 1809 en cherchant à prévoir le Mvt. des planètes à partir des observations par télescopique Ys(i) SYSTEME + Entrées x(i) (i) - MODELE Ym(i) n D (Ys (i ) Ym (i )) min i 1 2 Critère d’identification D((i)) Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/15 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille EXEMPLE : REGRESSION LINEAIRE x1 y1 PROCEDE TECHNOLOGIQUE XK Expérimentation N : Nbre. d'observations (d'échantillons de mesures); J = 1,2..K : Paramètre du modèle; i = 1,2...N : Numéro d'expériences; Modèle statique : Ym = F(X1,X2,.....Xk) Modèle Structure du modèle k Ym a0 a1 X 1 a2 X 2 ....ak X k a0 ai X i i 1 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/16 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Matrice d’expérience H No Exp. I N P U T ............ OUTPUT 1 X11 X21 X31 ............ Xj1 XK1 Y1 2 X12 X22 X32 ............. Xj2 XK2 Y2 3 X13 X23 X33 ............. Xj3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i X1i X2i X3i ............ Xji ............ XKj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N X1N X2N X3N XjN ............ XKN Y3 . . . Yj . . . YN Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/17 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Problématique générale Soit donné : K Ym a j X j X0 X 1 Ym . .a0 a1 ... ak T H T . . X K j 0 a0 a1 ... ak T , H X 0 X 1 ... X k Que veut on ? : Trouver : a0 a1 ... a K T Tel que : K 2 y (i ) Ym (i ) y (i ) ( a j X j (i )Ym (i ) J ( ) min i 1 i 1 j 0 N 2 N Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/18 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille 1. cas monovariable K=1, Ym=a0+a1x Ym EN E2 yex Ym=ao+a1X Champ de corrélation ym Yex(i) E(i) Ei ym(i) E1 X X(i) X Combien d’expériences à réaliser ? 1. N=2 : Par deux points ne passent qu’une droite : E1=Y-Ym1=Y-Ym2=E2=0.? Le modèle reflète parfaitement le système ? Cas idéal irréalisable en pratique : Présence d'erreurs de mesure (Systématique, instrumentale, humaine etc.) Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/19 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille 1. cas monovariable 2. N > 2 : trouver la meilleure droite au sens des MMC Déterminer les paramètres a0 et a1 tel que : N J ( a0 ,a1 ) y (i )( a0 a1 X (i )) 2 min i 1 Ceci revient à résoudre le système d’équations: J ( a0 ,a1 ) Minimum j ( a 0 ,a 1 ) 0 a 0 j ( a ,a ) 0 1 0 a1 N N 2 N N i 1 i 1 yi . X i _ X i . X i . yi . a0 i 1 i 1 N N . X i X i i 1 i 1 N 2 2 , a1 N N N i 1 i 1 i 1 2 N . X i . yi . X i . . yi . N N . X i X i i 1 i 1 N 2 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/20 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille 1. cas multivariable K>1, Structure du modèle K Ym a j X j a1 X 1 a2 X 2 ...a K X K H T . , j 0 a0 a1 ... a K T , H X 0 X 1 ... X K T Calcul des paramètres Processus aléatoire : la sortie est affectée d'un bruit V(t) : Réalisation de N expériences y1 a1 X 11 a 2 X 21 ...a k X k1 V1 y a X a X ...a X V 1 12 2 22 k k2 2 2 Y . H . V (t ) . y N a1 X 1N a 2 X 2 N ...a k X kN V N Ym H T . v(t ) X 11 X H 12 . X 1N X 21 X 22 . X 2N X k1 ... X K 2 . . ... X kN ... dim( H ) ( N k ), dim ( k N ), dim (V ) ( N 1), dim(Y) ( N 1), Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/21 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille 1. Système non bruité V=0 Cas déterministe, si H est inversible, alors : Y H . 0 H 1.Y Cas non réaliste 2. Système bruité V#0 Y H . V Y H . V H 1Y H 1V Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/22 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Estimation des paramètres 2 types d’erreurs : Erreurs d'observation : Erreurs d’estimation : E Y Ym ˆ m Estimateur optimal Critère d’optimalité J () N N T y (i ) ym (i ) E (i )2 E1 2 ....E N 2 E T .E Y H . .Y H . i 1 2 i 1 Conditions d'optimalité J ( ) 2 H T .Y H . 0 1 opt. H .H .H T .Y T Conditions d'observabilité : HT non singuliére et N > K Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/23 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Biais de l'estimateur Biais de l’estimateur b b E (opt R ) E (opt )R b=0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de probabilité centrée sur la valeur cherchée Lim opt N N b # 0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de probabilité centrée sur la valeur cherchée V et H séquences corrélées ( hypothèses de régression); V est de moyenne non nulle Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/24 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Simulation sur Matlab 1. Cas monovariable home disp('EXEMPLE DE CALCUL D UN MODELE DE REGRESSION') % VALEURS EXPERIMENTALES pause,home x=[1 2 3]; y_exp=[2 4 6]; pause;home disp('CHOISIR L ORDRE n DU MODELE') pause,home input n= n=ans; poly_model=polyfit(x,y_exp,n)%c'est pour trouver l'ordre du polyn^ome disp('VERIFICATION DU MODELE : ERREUR DE MODELISATION') pause,home Y_model=polyval(poly_model,x);%calcul les valeurs du modèle E=abs([y_exp' Y_model' (y_exp'-Y_model')]); ERREUR_MAX=max(E(:,3)) pause home disp('GRAPHE') pause,home plot(x,y_exp,'*',x,Y_model,'--');grid;title('VERIFICATION DU MODELE');legend('--:model, *:exp') pause;home;close disp('SI L ERREUR N EST PAS BONNE CHANGER L ORDRE n') Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/25 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Simulation sur Matlab 2. Cas multivariable disp('INTRODUCTION DES DONNES EXPERIMENTALES:') pause, home disp(' 1. MATRICE D EXPERIENCES H:') disp(' NOUS AVONS 7 EXPERIENCES ET DEUX VARIABLES X1 et X2') H= [1 3;4 2;1 5;2 1;3 4;4 5;6 8] pause,home disp('2. VARIABLE DE SORTIE Y:') y=[5 13 9 4 11 12 23]' pause,home disp('SOLUTION : PARAMETRES ESTIMES:') teta=inv(H'*H)*H'*y; a1=teta(1) a2=teta(2) pause,home disp(' LE MODELE EST DONC; Ym=a1*X1+a2*X2') pause,home disp('VERIFICATION DU MODELE') pause,home disp('VALEURS DU MODELE') ym=polyval([a1 0],H(:,1))+polyval([a2 0],H(:,2)) %ym=a1*X1+a2*X2 pause,home disp('CALCUL DE L ERREUR DE MODELISATION') pause R=[ym,y,abs((ym-y)./y)*100] disp('ERREUR MAXIMALE') Emax=max(R(:,3)) pause,home disp('GRAPHE 3D') plot3(y,H(:,1),H(:,2),ym,H(:,1),H(:,2));grid;Xlabel('X1,X2'); Ylabel ('Modéle, Expérimentale'); METHODES RECURSSIVES Chap2/26 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/27 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Limites de la MMC simple Principe de la RLST opt.( N 1) Estimateur optimal tenant compte des N 1 observations. opt( N ) Estimateur optimal tenant compte des N précédentes observations. YN 1 la (N 1)éme observation. Alors l'estimateur, tenant compte des (N+1) observations sera : opt. N 1 opt. N K N 1. YN 1 H N 1T .opt. N Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/28 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille L’estimateur de la nouvelle mesure H N 1T . N Ym N 1 Le gain d’adaptation ou facteur de pondération de la mise à jour apportée par la nouvelle mesure K N 1 H N .H N T 1 .H N 1.1H N 1 T . H N T .H N 1 .H N 1 1 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/29 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille ALGORITHME RLST PN H N . H N GAIN T Ko=1+ H(N+1) . P(N). H(N+1) -1 K(N+1)=Ko .P(N). H(N+1) ESTIMATION opt.(N+1) = opt. (N) +K(N+1).E(N+1) 1 , et P N 1 1K N 1. H N 1T . . PN N-elle mesure à l'instant N+1 Y(N+1), H(N+1) ECART DE PREDICTION T E(N+1)=Y(N+1)- H(N+1) T N=N+1 MISE A JOUR DE P(N) T P(N+1)=(1-K(N+1). H(N+1) ).P(N) Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/30 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille INITIALISATION DE L'ALGORITHME P(0) = diag(1000); 0)=0. PROBLEME DE DECROISSANCE DU GAIN PN PN 1 PN 2 1H N 1 .PN Inconvénient de la RLST Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/31 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille MMC AVEC FENETRE GLISSANTE PRINCIPE : Tronquer les observations à travers une FENETRE de largeur N constante que l'on "glisse" au fur et à mesure que les échantillons arrivent N échantillons K K+1 N+1 éme échentillon K-N K-N+1 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/32 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Estimateur optimal K 1 K PK 1. H K 1T . YK 1 H K 1. K H K N T . YK N H K N . K La formule met en évidence la contribution dans la nouvelle estimée de l'enrichissement dû à l'observation à l'instant K+1 d'une part et de la contribution de la K-N iéme observation qui doit être retranchée d'autre part de l'estimation précédente. Limite de la méthode Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/33 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille MMC AVEC FACTEUR DE PONDERATION Princiope CRITERE CLASSIQUE PONDERATION HOMOGENES DES Ei J ( ) E12 E2 2 .......... ........ E N 2 E T .E Pondération des erreurs J ( ) E12 E2 2 .................. E N 2 E T .W .E 0 0 W . . 0 0 0 . . 0 0 . . 0 . . . 0 . . 0 Matrice de pondération définie 0 . . . . . . . . . . . Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/34 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Choix de la pondération On recommande progression géométrique i (1 0,1...N ) < 1 : Favorise les premières mesures (Facteur d'oubli); > 1 : Favorise les dernières mesures par rapport aux premières Critère d’optimalité J ( )Y H T .W Y H J () 2 H T WHY T WH H T W Y 0 1 opt H WH .H W Y T T Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/35 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille RLST AVEC FACTEUR DE PONDERATION T N 1 N K N 1.YN 1 H N 1 . N K N 1 PN .H N 1. 1 H N 1 .PN .H N 1 T PN H N .W .H N T T 1 1 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/36 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille MODELES LINEARISABLES Modèle exponentiel Utilisé lorsque le taux les données sont telles que le taux de croissance ou de décroissance d'une variable Z est constante en f-n de X. Z A.B X LogZ LogA X .LogB Y a0 a1. X Exemple Les données suivantes représentent la croissance du biologiste, mois par mois, d'une grandeur caractéristique d'un certain type de plante Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/37 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Données Mois X 1 2 3 4 5 6 7 Taille Z 0.8 1.1 1.7 2.6 3.8 5.7 8.5 Connaissances à priori on postule un modéle exponentiel entre l'age et taille Z A.B X , log Z log( A.B X ) log A log( B ) * X a0 a1 X Par la MMC on trouve : a1= 0.1735 a0= -0.2860 A 10a0 , B 10a1 Z A * B X 100.1735 . 10 0.286 X Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/38 Modèle puissance Z A X B LogZ LogA B LogX tel que Y a0 B x a0 LogA x LogX Modèle polynomial 1. modèle parabolique Y a2 X 2 a1 X a0 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/39 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille 2. Modèle polynomial général Calcul des paramètres du modèle J ( a , a ,a ) Y a X a X a Min . 2 2 0 1 2 i 2 i 1 i 0 i 2 a . X a1 X i a0 Yi 2 i i i i 3 2 a 2 . X i a1 X i a0 . X i Yi . X i . i i i i 4 3 2 2 a 2 . X i a1 X i a0 X i Yi . X i i i i i Y a0 a1 X a2 X 2 ak X K Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/40 a K X i K a K 1 X i K 1.... a j 1 X i j 1 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille ... a0 Yi a K X i K 1 a K 1 X i K ......a j 1 X i j ..... a0 X i Yi X i a K X i K 2 a K 1 X i K 1... a j 1 X i j 1 ... a0 X i 2 Yi X i 2 ........ a K X i 2 K a K 1 X i 2 K 1.... . a0 X i K Yi X i K . Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/41 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille ADEQUATION DU MODELE Définition Procédé de vérification sur la base des échantillons, la validité d'une hypothèse et décider soit de rejeter, soit d'accepter hypothèse envisagé Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/42 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DU MODELE Somme des carrés totale (dispersion des données exp Ye(i) autour de la valeur moyenne ) N _ 2 St Yi Y i 1 Dispersion des données expérimentales autour de la ligne de régression (Somme des carrés résiduels) N 2 St Yi Yi i 1 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/43 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Dispersion des valeurs du modèle autour de la valeur moyenne expérimentale N _ 2 S M Yi Y i 1 Degré de liberté : = N-K Caractérise l'excès du nbre d'expériences Exemple Y aa a1 X N 6 6 2 4, N 2 0 N 1 1 pas de solution Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/44 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille VERIFICATION DE L'ADEQUATION DU MODELE CONNAISSANCES A PRIORI Y=F(X, PLANIFICATION EXPERIENCES N, Plan FICHIER DONNEES N, Yi NON HOMOGENEITE Loi de distribution? Non stationnaire ? Echantillon différent? OUI ESTIMATION DES PARAMETRES NON ADEQUATION IMPORTANCE COEFFICIENTS Simulation,Optimisation.. NON Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/45 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille 1. VÉRIFICATION DE L’HOMOGÉNÉITÉ Principe : critère de Cochrane (Test de 2 ) La moyenne d'un échantillon est susceptible de varier de façon substantielle d'un échantillon à un autre : Ce test permet d'expliquer la signification à donner à cette différence : La vérification en deux étapes : 1.Variance de sondage ou de reproductibilité (Test de 2 ) : Pour chaque expérience on calcule : 2 _ M Yij Yi _ Y ji ; Y j 1 sp j 1 i M 1 M M 2. Somme des dispersions N 2 sp i 1 M : Nbre d'essais parallèles, N : Nbre d'expériences M-1 : degré de liberté = Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/46 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille 3. Critère calculé de Khi2 c2 Max spi 2 N spi 2 i 1 4. On vérifie l’homogénéité Variances homogènes avec une probabilité P ssi :si c2 T2 P, ( M 1) Loi de Khi2 (exemple) Probabilité M-1= 0.001 … 0.999 3 0.002 … 13.8 …. … …. …. 26 9.22 … 54.1 Sinon (variances non homogènes) alors on refait les expériences Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/47 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille 2. VERIFICATION DE L’ADEQUATION But : vérifier que le modèle obtenu est adéquat (décrit avec précision le procédé) Quel critère ? Critère de Fischer F Comme le rapport de la variance résiduelle à celle des essais parallèles Sens ? : comparer erreurs dues au modèle et celles dues au système Y Yi i 1 N r F s 1 = N-K 2 2 = M-1 _ Y jM Y j 1 M 2 M : Nbre d'essais parallèles, N : Nbre d'expériences K : nbre de paramètres du modèle Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/48 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Adéquation en absence d'essais parallèles Conditions d’adéquations par le critère F Modèle adéquat ssi F FT ( , , P ) Critère F (exemple) : F(1, 2) pour P=0.95 1 1 … 14 6 5.99 … 3.96 8 5.32 …. 3.24 100 3.94 … 1.79 2 Influence de N (nbre d’exp.) et d’essais // sur l’adéquation du modèle : Pour 2 fixé , 1 = N-K . Si N alors FT (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>FT) Pour 1 fixé , 2 = M-1 . Si M alors FT (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>FT) Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/49 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Que faire en absence d’essais parallèles ? N _ 2 i 1 Yi Y F y r N Y Yi i 1 K Modèle adéquat ssi 2 F FT ( , , P ) ou F 1 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/50 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Exemple d'application Equation D’arhenius Déterminer la relation liant la constante de vitesse K (mole/s) et la température de la réaction T (°K) T (°K) Réaction chimique K (mole/s) Structure du modèle : formule empirique K K0e E RT F (T ) E : Energie d’activation, R : cste des gaz T (°K) = t (°c) +273 Question : déterminez les valeurs numériques des paramétres E/R et K0 ? Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/51 Données expérimentales Exp. K t x=1/(t+273) y=lnK 1 3.23 400 2.2*10-6 1.1725 2 3 4 7.80 15.43 24.11 452 493 520 5 37.95 561 6 60.09 604 1.9*10-6 1.7*10-6 1.56*10-6 1.44*10-6 1.30*10-6 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Solution 1. Linéarisation du modèle K K0e E RT 2.054 E F (T ) ln( K ) ln K 0 e RT y a0 a1 x 2.74 3.19 y a0 a1 x 3.64 4.09 y ln( K ) 1 T a0 ln K 0 x a1 E R Trouver a0 et a1 / 6 yi (a0 a1 xi ) 2 min i 1 ln K E . 1 0 R T Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/52 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Simulation sur Matlab t= [400 452 493 528 561 604] K=[3.23 7.80 15.43 24.21 37.95 60.09]; a0 = 13.8329 y=log(K) x=1./(t+273) a1 = -8.5218e+003 input n= n=ans; ym=polyfit(x,y,n); -E/R=a1 = -8.5218e+003 K 1.01176 * 106 e K0 = 1.0176e+006 a0=ym(2) a1=ym(1) 70 K0=exp(a0) disp('-E/R=') a1 ymc=K0*exp(a1./(t+273)); E=(abs(ymc'-K')./K')*100; Emax=max(E) disp('GRAPHE') plot(t+273,ymc,t+273,K,'--') MODELE, EXPERIENCE 60 50 40 30 20 10 0 650 700 750 800 TEMPERATURE (°K) 850 900 8518 T Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/53 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille CORRELATION MULTIPLE Corrélation entre deux variables Relation stochastique Relation fonctionnelle Aucune relation N 1 X i X Yi Y XY i1 R XY X . Y 2 N 2 N N . X i X .. Yi Y i1 i1 N RXY 0 Aucune relation fonctionnelle RXY 1 Relation fonctionnelle RXY 0 92 Valeur recommandée Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/54 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Coefficient de corrélation multiple Soit le système suivant _ _ Yi0 Y a0 a1 X 1.... a K X K Yi Y Y ; X 0ji N Yi0 et X 0ji valeurs normées Y Yi i 1 Leur valeur moyenne est nulle, Ecart quadratique moyen 1 : X ji X j Xj ; i 1... N , j 1...k N 1 2 X j i X j N Y 2 , Xj i 1 N 1 Dans cette nouvelle échelle on a : _ _ X 0j 0; Y0 0 Xj 0 Y 0 1 X 0j X 0j N Démonstration X0 j i 1 2 Xj Xj 0 i i 1 N 1 X j N N 1 Xj Xj 0 i Xj i 1 N 1 N 2 N 1 X j 1 N 1 X j 2 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/55 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Coefficient de corrélation des valeurs normées Entre une variables Xj et la sortie Y _ 0 _ X Ji X J0 Yi0 Y 0 0 0 Y . X i ij R 0 0 X JY N 1. 0 . 0 N 1 XJ Y Entre deux variables Xl et Xj R 0 X 0 X m 0 X 0i . X mi N 1 Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/56 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Équation de régression normale 2 K Y bi X i0 ; b1 i 1 0 0 . . bK ?, J () Yi Yi Min. J b 0 1. . J 0 bk RX 1Y b1 b2 RX 1 X 2 bK RX 1 Xp RX 2Y b1 RX 2 X 1 RXKY b1 RXKX 1 Coefficient de corrélation multiple R K NNK1 bi .RXiY ; Rcorrigé 1 1R 2 . i 1 b2 bK RX 2 Xp b2 RXKX 2 bK Chapitre 3 OPTIMISATION 57 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/58 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille INTRODUCTION OPTIMISATION : Obtention d'un meilleur résultat sous quelques conditions. Critère d'optimalité : Fonction économique ou de but. Représentation quantitative du but d'optimisation. Importance du modèle mathématique. Formes de la f-n de but (Algébrique, diff-elles..) CONTRAINTES (Restrictions) : Limitations des ressources disponibles. EXEMPLES : Maximum de profit avec ressources limitées etc.. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/59 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille CONDITIONS D'OPTIMISATION Optimisation d'une seule grandeur : Impossible de maximiser le profit avec minimum de ressources . Degré de liberté suffisant du système a optimiser Ressources suffisantes pour satisfaire le but d'optimisation. EVALUATION QUANTITATIVE DE LA QUALITE D'OPTIMISATION Formulation mathématique du critère; Comparer les effets des différentes actions de commande. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/60 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille METHODES D'OPTIMISATION METHODES ANALYTIQUES Utilisent les méthodes classiques de l'analyse mathématique (Extremum d'une f-n) Utilisées dans le cas d'un critère d'optimalité d'expression simple; Emploi limité : Difficultés avec apparition de contraintes et plusieurs variables. METHODES DU CALCUL VARIATIONNEL Critère est sous forme de fonctionnelle ou dont la solution est une fonction inconnue; Utilisées pour l'optimisation statique des systèmes à paramètres distribués ou dans la programmation dynamique; Permettent de résoudre le problème optimale en intégrant le système d'équations différentielles; Résolution en présence de contraintes type égalité ou inégalité. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/61 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille METHODES D'OPTIMISATION PROGRAMMATION DYNAMIQUE Résolution des problèmes d'optimisation de processus discontinus; Critère d'optimalité est le résultat de la somme de plusieurs critères de chaque stade; La méthode se présente sous forme d'un algorithme pour la détermination d'une stratégie de commande optimale de tous les stades du processus en tenant compte de toutes les contraintes; PRINCIPE DU MAXIMUM Utilisés pour les problèmes décrits par des systèmes d'équations différentielles; La solution optimale est la résolution des équations différentielles décrivant le processus et celui des contraintes pour des conditions aux limites représentant le domaine de l'intervalle d'intégration. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/62 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille METHODES D'OPTIMISATION PROGRAMMATION NON LINEAIRE Pour la résolution de problèmes ayant une fonction but non linéaire; Contraintes peuvent aussi être non linéaires sous forme égalité ou inégalité; Utilisées en pratique lorsque le problème ne peut être résolu par d'autres méthodes; Plusieurs algorithmes numériques existent pour la résolution de ce type de problème; Méthode indirecte : L'action de la recherche de l'optimum (direction et module) dépend des informations précédentes recueillies sur le calcul du critère Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/63 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille PROGRAMMATION LINEAIRE (PL) DÉFINITION Méthode de recherche de l'extremum du critère d'optimalité dans les problèmes dont les équations sont linéaires. FORMULATION MATHEMATIQUE Fonction économique : Elle associe linéairement les quantités de facteurs utilisés et les profits unitaires correspondants F C1 X1 C2 X 2 ... Cn X n Avec: X i : Quantités du i iéme facteur; Ci : Marge (Coût) du i iéme facteur. Contraintes : La manière dont les facteurs peuvent être combinés pour utiliser les ressources et générer un résultat au travers de F ou a X a X ... a X B 1 1 2 2 n n a X a X ... a X B 1 1 2 2 n n en plus : X1, X 2 ,... X n 0 ai : Nombre d'heures de travail nécessaires pour fabriquer une unité du produit i; B : Total des heures disponibles pour la fabrication des n produits. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/64 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Problématique de la PL But : Optimiser les résultats économiques tout en tenant compte strictement des contraintes Déterminer X X 1 X 2 ... X n tel que : F Ci X i Max.( Min.) et ai X i () B. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/65 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Niveaux d'appréhension de la PL FONCTION ÉCONOMIQUE FORME DES CONTRAINTES Peut-on améliorer la solution du problème en modifiant la structure des contraintes Modification de technologie ou de produits fabriqués?. La f-n économique peut-elle être modifiée pour une meilleure utilisation des ressources : modifier les prix, les marges… NIVEAU DES RESSOURCES Le desserrement des contraintes par un accroissement des ressources permet-il d'améliorer la f-n économique d'un montant supérieur aux ressources engagés ? … Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/66 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille RESOLUTION D’UN PROBLEME PL 1. METHODE GRAPHIQUE Lorsque le nombre de variables est limité (< à 2), il est possible de résoudre un problème d'optimisation linéaire graphiquement EXEMPLE Une société fabrique 2 produits P1 et P2. Il faut leur faire subir des opérations dans 3 ateliers différents où ils doivent être progressivement montés. Soit A1, A2 et A3 les 3 ateliers : Estampage, reprise et Assemblage. Les profits unitaires réalisés sur les produits P1 et P2 sont respectivement 15 F et 12,5 F. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/67 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Méthode graphique de la PL Capacités d'usinage (en nbre de pièces) Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2 Produit P1 25 000 33 333 22 500 - Produit P2 35 000 16 667 - 15 000 Les pourcentages (% du temps d'occupation disponible) des capacités totales utilisées pour chaque fabrication unitaire sont : (Calculés : pour estampage : 100/25000 = 0.004 % de la capacité totale pour chaque unité) Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2 Produit P1 0,004 0,003 0,0044 0 Produit P2 0,00286 0,006 0 0,00667 Capacité unitaire tot. utilisé [%] 100 100 100 100 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/68 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Méthode graphique de la PL Question : Quantité de produits P1 et P2 à produire de telle sorte que : Le profit soit maximal; Tout en respecter les limitations de capacité de production 1. Formulation mathématique Soit X1 et X2 les quantités des produits P1 et P2 à produire Fonction de profit : F 15 X1 12,5 X 2 Max. Contraintes (Limitation des capacités de production) : 0,004 X 1 0,00286 X 2 100 : Estampage 0,003 X 0,0060 X 100 : reprise 1 2 0,0044 X 1 0 X 2 100 : Asemblage P1 0 X 0,00667 X 100 : Asemblage P2 1 2 X1, X 2 , X 3 0 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/69 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille 2. RESOLUTION GEOMETRIQUE On trace sur le plan OX1 et OX2 les droites : (1)....0,004 X1 0,00286 X 2 100 (2)....0,003 X1 0,0060 X 2 100 (3)...0,0044 X1 0 X 2 100 (4).... 0 X1 0,00667 X 2 100 X2 35 (1) Estampage (Saturation) Les valeurs des var. X1 et X2 au dessous des droites (1), (2) et (4), et à gauche de (3); F OPTIMAL 30 Assemblage P1 (Non saturation) 25 (3) X1 et X2 ne peuvent être < 0 car ce serait un non-sens du point de vue économique ; 20 15 R (4) Q Assemblage P2 (Non saturation) 10 P (2) d 5 Reprise (Saturation) N X1 0 5 10 15 20 M 25 30 x1000 Toute solution doit se trouver dans la zone ombrée Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/70 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Méthodologie : On déplace parallèlement à elle même la droite F jusqu'au point extrême P, où la droite F cesse d'avoir un point commun avec le domaine du polyèdre OMNPQR, formé par le plan associé aux contraintes en ce point X2 x1000 35 (1) Point optimal P X1opt=20363 X2opt=6485 Fmax=159271 FF Estampage (Saturation) F OPTIMAL 30 Assemblage P1 (Non saturation) 25 (3) F 15 X1 12,5 X 2 20 15 R (4) Q 10 X2opt Assemblage P2 (Non saturation) pP d 5 (2) Reprise (Saturation) N X1 0 5 10 15 20 M X1opt 25 30 x1000 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/71 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille ANALYSE DES RESULTATS En ce point P les capacités limites ne sont pas toutes atteintes : 0,004 20363 0,00286 6485 100 Saturation 0,003 20363 0,0060 6485 100 Saturation 0,0044 20363 89,60 Non saturation 0,00667 6485 43,25 Non saturation En produisant 20363 produits de P1 et 6485 de P2, le profit sera optimal, les capacités d'estampage et de reprise seront saturées tandis que celles d'assemblage ne le seront pas. Propositions : Diminuer la capacité d'assemblage de P2 (si c'est possible) ce qui diminuera le prix de revient donc augmenter le profit. Augmenter le profit en variant le profit unitaire correspondant à chacune des fabrication (ceci se traduit par une plus grande inclinaison de F sur la figure). Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/72 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille LIMITES DE LA SOLUTION GRAPHIQUE Si nombre de variables > 3 problème de représentation Si par ex. n=15 et m (nombre de contraintes) =10, la méthode graphique conduit à plus de 3 millions de points d'intersection. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/73 home disp('PROBLEME:') disp('UNE SOCIETE FABRIQUE 2 PRODUITS P1 et P2.') disp('IL FAUT LEUR FAIRE SUBIR DES OPERATIONS DANS 3 ATELIERS DIFFERENTS') disp('OU IL DOIVENT ETRE PROGESSIVEMENT MONTES.') pause,home disp('SOIT A1, A2 A3 : LES 3 ATELIERS ESTAMPAGE, REPRISE ET ASSEMBLAGE') disp('LES PROFITS UNITAIRES REALISES SUR P1, P2 SONT: 15F ET 12,5F.') pause,home disp('LES CAPACITES D USINAGE SONT LIMITES COMME SUIT:') disp(' ESTAMPAGE REPRISE ASSEMBLAGE P1 ASSEMBAGE P2') disp('PRODUIT P1: 25000 33333 22500 -') disp('PRODUIT P2: 35000 16667 15000') pause,home disp('LES CAPACITES TOTALES UTILISEES POUR CHAQUE FABRICATION UNITAIRE SONT:') disp(' ESTAMPAGE REPRISE ASSEMBLAGE P1 ASSEMBAGE P2') disp('PRODUIT P1: 0,004 0,003 0,0044 0') disp('PRODUIT P2: 0,00286 0,006 0 0,00667') disp('CAPAC. TOTAL 100 100 100 100') pause,home disp('QUESTION : QUANTITE DE PRODUITS P1 ET P2 DE TELLE SORTE QUE:') disp(' 1. LE PROFIT SOIT MAXIMAL;') disp(' 2. RESPECTER LES LIMITATIONS DE CAPACITES DE PRODUCTION') pause;home disp(' SOLUTION : SOIT X1 et X2 QUANTITES DE P1 et P2 A PRODUIRE:') disp(' FONCTION DE BUT : f= 15*X1+12,5*X2 -----> MAX.') pause plot(x1,est,x1,REPR,x1,f) Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/74 f=-[15 12.5] % on met le signe (-) car on maximise et non minimise home,pause RLAB='EST. REPRISE ASS.P1 ASS.P2'; CLAB='X1 X2'; name=' MATRICE DES CONTRAINTES A:'; A=[0.004 0.00286;0.003 0.006;0.0044 0;0 0.00667]; disp('MATRICE DES DONNEES') printmat(A,name,RLAB,CLAB) pause,home disp(' CAPACITES MAXIMALES ') B=[100 100 100 100] pause,home disp('SOLUTION OPTIMALE :x=[x1opt x2opt]') [xopt]=LINPROG(f,A,B) fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2) pause,home disp(' GRAPHE') x1=0:1000:40000; est=((-A(1,1)*x1+100)/A(1,2)); REPR=((-A(2,1)*x1+100)/A(2,2)); f=-15*x1/12.5; Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/75 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille ALGORITHME DU SIMPLEXE Méthode dite simpliciale ou méthode du simplexe, élaborée par George Dantzig (USA). Utilise la procédure employée par le graphe : On évalue les performances de chaque sommet du polyèdre délimité par les contraintes en n dimensions : La sol. opt. est acquise lorsque aucune modification ne permet d'améliorer la valeur de la fonction économique. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/76 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille EXEMPLE Une entreprise peut fabriquer sur une seule machine fonctionnant 45h/semaine 3 produits P1,P2,P3. Les profits nets sont respectivement : 4F, 12F et 3F. Rendement de la machine (Nbre d'article/h) : 50 P1/h, 25 P2/h, 75 P3/h. Possibilités de ventes : 100 P1, 500 P2, 1500 P3. Question : Répartir la capacité de production entre les 3 produits pour maximiser le profit Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/77 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille FORMULATION MATHEMATIQUE X1, X2 et X3 : Quantité des produits à P1, P2 et P3 F : La fonction économique F 4 X 1 12 X 2 3 X 3 Max. Contrainte s: 0 X1 1000 0 X 2 500 0 X 3 1500 X X X 1 2 3 453 X 1 6 X 2 2 X 3 6750 50 25 75 Variables d'écart (V.E.) : X4, X5 , X6 et X7 Elles permettent de transformer les inégalités en égalités afin de prendre en compte la saturation d'une contrainte (V.E. = 0) ou la non saturation (V.E. > 0). V.E. = La différence entre les valeurs des 1er et 2-éme membres des 3 inéquations Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/78 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille MISE EN EQUATION AVEC LES V.E X1 X 4 1000 X 2 X 5 500 X 3 X 6 1500 3 X 1 6 X 2 2 X 3 X 7 6750 FORME MATRICIELLE 1 0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 6 2 0 0 0 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) X1 X 2 0 1000 X3 0 500 X 4 0 1500 X5 1 6750 X6 X 7 X 4 , X 5, X 6 , X 7: Variables de BASE; X1, X 2 , X 3: Variables hors base. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/79 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille INITIALISATION Solution évidente mais sans intérêt : X 1 X 2 X 3 0 Alors: X 4 1000, X 5 500, X 6 1500, X 7 6750 Sens : Profit nul (Valable lors de a fermeture annuelle pour congé payé) Cette solution donne le sommet 0 du polyèdre. Passons de ce sommet initial à un sommet voisin, en augmentant la valeur de F, si possible. Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/80 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille FORMULES DE CHANGEMENT DE COORDONNEES j Colonne j=2, ligne i=5 Xj Ci Indice (Coût base) V.E. A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A0 Xi Cj Solution j 4 0 4 12 0 12 3 0 0 0 0 0 1000 500 1500 6750 3 0 0 0 0 Coefficients de F F=0 Coûts marginaux Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/81 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille COUTS MARGINAUX j : Coefficients de la fonction économique F 4 X1 12 X 2 3 X 3 1 4, 2 12,3 3. Sortie d'un vecteur Ai de la base et entree d'un vecteur Aj dand la base : Xij ➽ "PIVOT". (Intersection ligne i et colonne j) CRITERES DE DANTZIG Pour déterminer la colonne Aj qui doit ENTRER dans la base, on sélectionne celle qui compte le coût marginal le PLUS GRAND. (Pour améliorer la solution initial, il est judicieux de faire d'abord entrer dans cette solution la variable qui apporte la marge la plus grande.) 2 12 grand ( j 2) 2émecolonne Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/82 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Pour déterminer la colonne Ai qui doit SORTIR de la base, on choisit celle d'indice i telle que Voir tableau : i=ligne n°5, Xi Soit le PLUS PETIT parmi ceux positifs X ij 0 j=2 colonne 1000 1 500 X i 1000 500 1500 3750 j max =12 j2 X ij , X i ; (i 4,5,6,7) , , , 0 1500 Xi2 1 0 6 0 6 3750 La colonne i=5 va sortir de la base car x5 /x52 est le plus petit. Alors : La colonne i=5 va sortir de la base (i=5); La colonne j=2 va entrer dans la base (déjà choisi celle qui compte le coût marginal le plus grand j=2); L'élément X52 est le pivot de la transformation (ici X52 =1) X2 va entrer dans la base; Nouvelle base (4), (2),(6),(7). Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/83 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille ETAPE 1 : i = 5, j = 2 TABLEAU N° 1 : Nouvelle base (4,2,6,7) j Xj Ci Indice (Coût base) V.E. A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 X2 entre dans la base A0 Xi Cj Solution j 4 0 12 500 3 0 0 1000 0 0 0 1500 0 3750 4 0 3 0 -12 0 0 Coefficients de F F=6000 Coûts marginaux Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/84 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Comment calculer les nouvelles valeurs du tableau ? On se base sur le tableau initial tel présenté plus haut Nouvelle valeur de la fonction economique F‘ F (ancienne valeur de la f-n économique) = 0; j (coût marginal maximal) = 12 i 5 X i X 5 500 j 2 X ij X 25 1 Alors : F' = 0+(500/1).12 = 6000 F F Xi . j X ij Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/85 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Valeur de l'élément de la ligne K dans la colonne A0 X K X K X KJ . X i Xi X ij Xi si K i X ij si K i X 4 X 4 X 42 . X 5 . X5 500 10000. 1000 ( K i ); X 52 1 X5 500 ( K i ); X 52 X 6 X 6 X 62 . X5 500 15000. 1500 ( K i ); X 52 1 X 7 X 7 X 72 . X5 500 67506. 3750 ( K i ). X 52 1 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/86 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Valeur de l'element de la ligne K dans la colonne Al Colonne 1l 1(Eléments inchangés car X il = X 51 = 0): X 41 X 42 . X 41 X Kl X KJ . X Kl X X il il X ij X il si K i X ij si K i . X 51 X 51 0 10. 1 ( K i ); X 52 1 X 51 0 0 ( K i ); X 52 1 . . X 71 X 72 . X 71 X 51 0 30. 3( K i ); X 52 1 . . Colonne5,Ligne7 Elément X 75. X 75 X 72 . X 75 X 55 1 06.. 6( K i ); X 52 1 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/87 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Nouvelles valeurs des coûts marginaux j j 2 j max 2 12; i 5; K (1,2,3...7) N colonne. K Ancienne valeur . K K j . j 0 X iK si K j X ij si K j Alors: 1 1 2 . X 51 0 412. 4 ( K j; ) X 52 1 2 0 ( K j ); 3 3 2 . X 53 0 312. 3 ( K j ); X 52 1 4 4 2 . X 54 0 012. 0 ( K j ); X 52 1 5 5 2 . X 55 1 012. 12 ( K j ); X 52 1 6 6 2 . X 56 0 012. 0 ( K j ); X 52 1 7 7 2 . X 57 0 012. 0 ( K j ). X 52 1 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/88 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille l'optimum est atteint lorsque tous les couts marginaux J sont négatifs ou nuls. Car dans ce cas son passage à la base provoquerait une diminution du critère d'optimalité. ETAPE 2 : i = 4, j = 1 Sur la base du tableau de l'étape 1 on a : j max 4 j 1 Xi X ij le plus petit 0: 1000 500 1500 3750 , , , i4 1 1 0 3 PIVOT :X 41 : Ligne ayant indice i 4Colonne ayant indice j 2 Les coefficients sont calculés comme précédemment et on obtient : Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/89 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille TABLEAU N° 2 : Nouvelle base (1,2,6,7) j Xj C i In di ce (C oû t baseV.E. ) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A0 Xi X1 e n tr e base Cj S olution j 4 12 3 1000 500 0 0 0 3 0 0 -4 0 0 0 0 1500 750 -12 0 0 C oe fficie nts de F F = 10000 C oû ts m argi naux Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/90 ETAPE 3 : i = 7 , j = 3 Sur la base du tableau de l'étape 2 on a : j max. =3 j=3; Xi 750 le plus petit 0est i7; X ij 2 PIVOT : X 73 2. Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/91 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille NOUVEAU TABLEAU Nouvelle base j (1,2,6,3) Xj C i In di ce (C oû t baseV.E. ) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A0 Xi X3 e ntre dans base Cj S olution j 4 12 3 1000 500 375 0 0 0 0 0 1/2 0 0 0 0 1125 0 -3 0 - 3/2 C oe fficie nts de F F = 11125 C oû ts m arginaux > 0 L'optimum n'est pas atteind Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/92 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille DERNIERE ETAPE : i = 6, j = 4 Sur la base du tableau de l'étape 3 on a : j max. =1 2 j=4; Xi 1125 le plus petit 0est i6; X ij 32 PIVOT : X ij X 64 3 2 . Les valeurs des éléments X’Kl , X’K ’K et F’ sont calculées sur la base du tableau ci-dessus tel présenté, d'une façon analogue Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/93 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille j Ci Indice (Coût base) V.E. Xj A1 A2 A3 A4 A5 A6 A0 A7 Xi Cj Solution j 4 12 3 0 250 500 1500 750 0 0 0 0 0 0 -4 0 0 -1/3 0 0 -4/3 Coefficients de F F=11500 Coûts marginaux < 0 L'optimum est atteind SOLUTION OPTIMALE: X1 250, X 2 500, X 3 1500 F 4. X1 12. X 2 3. X 3 11500F Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/94 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Commentaires : Saturation de ventes pour les produits P3 et P2 Non-saturation pour le produit P1. La machine est occupé pleinement puisque 3X1+6X2+2X3= 6750h/semaine Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/95 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Programme sous MATLAB % nom du programme : PROG_LINEAR % Introduction de données : Home r=-[4 12 3]; % on met le signe (-) car on maximise et non minimise A=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;3 6 2]; B=[1000;500;1500;6750]; % Recherche de la solution optimale x=[x1opt x2opt x3opt] [xopt,FVAL]=LINPROG(r,A,B) %valeur maximale de la fonction fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2)+3*xopt(3) METHODE DE LAGRANGE 96 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/97 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Problématique Soit une fonction g(x1, x2, …xn) à trouver un extremum Les variables x1, x2, …xn ne sont pas indépendantes : elles sont reliées par m relations CONTRAINTES 1 x1 , x2 ,...xn 0 x , x ,...x 0 n 2 1 2 . . m x1 , x2 ,...xn 0 m<n Introduisons j(j=1,…m) de nouvelles variables dites Multiplicateurs de Lagrange et formons : x1 ,...xn , 1 ,...m g ( x1 ,...xn ) 11 ( x1 ,...xn ) 2 2 ( x1 ,...xn ) ...m m ( x1 ,...xn ) 0 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/98 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Conditions d’extremum Conditions d’extremum : ( x1 , x2 ,...xn ) 0 x1 ( x1 , x2 ,...xn ) 0 x2 . . ( x1 , x2 ,...xn ) 0 xn Equations de contraintes 1 x1 , x2 ,...xn 0 x , x ,...x 0 n 2 1 2 . . m x1 , x2 ,...xn 0 Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/99 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Problème global d’optimisation ( x1, x2 ,...xn ) 0 x1 . . ( x1, x2 ,...xn ) 0 xn 1 x1, x2 ,...xn 0 . . m x1, x2 ,...xn 0 n équations m équations Ce système à (n+m) équations permet de déterminer les variables technologiques optimales et les valeurs des m multiplicateurs de Lagrange pour lesquelles la fonction de but est optimale et les contraintes respectées Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/100 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Exemple d’application EXEMPLE Déterminer les dimensions d’un réservoir cylindrique de volume V donnée, qui possède une surface S minimale. R h Fonction à minimiser : S 2 R 2 Rh g ( R, h ) (1) Contrainte : V R 2 h 1 ( R, h ) V R 2 h 0 ( 2) Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/101 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Solution Formulation mathématique Fonction à minimiser : S 2 R 2 Rh g ( R, h ) (1) Contrainte : V R 2 h 1 ( R, h ) V R 2 h 0 ( 2) Développement : méthode de Lagrange Fonction de Lagrange (R, h) 2 R 2 Rh V R 2 h (3) Conditions optimales Solution Résolution du systèmeR 1 d’équations ( R, h) 2 2 R h 2RH 0 (4) R ( R, h) 2R R 2 0 (5) h (9) dans (7) et (8) 0, Pas d' interet (6), R 2 R 2 (5) h 4 V 2 V h 2.3 2 (7 ) (8) (8) et (7) dans (2) 2.3 R3 2 2 V (9)