Transcript 一维拓扑学－图论 图的定义 • 有限个顶点和联结这些顶点的边组成的 图形，称为图（或网络）。 • 一个顶点可以有几个边与之相联，但一 个边只连结两个顶点。 • 一些例子： 如何区分不同胚的图 • • • • • 连通分支数， 边界点的个数， 顶点的个数, 边的个数, 顶点个数与边的个数之差. 是 是 否 否 是 计算机网络的拓扑类型 • 总线型 • 星型 • 环型 它们同胚吗? 关于图的几个问题： （1）一个图能否用一笔画出（顶点可重复、 边不可重复）？ （2）一个图能否嵌入空间（无自交点）？ （3）一个图能否嵌入平面（无自交点）？ 一笔画问题 • 它描述的图的一个性质，也是一个拓扑 不变量。 • 如何求这个不变量？ 有关图的几个量 • 度：对于一个顶点，以其为端点的边的 个数 • 对于一个图G，记度数为1，2，3，…的 顶点的个数分别为a1(G)，a2(G)， a3(G)，… • 显然a1(G)是图G的边界分支数(端点数)。 度数与同胚 • 定理：如果f: X  Y是同胚，那么对于其 中的任意顶点x，它的度数与f(x)的度数 相同。 • 由此定理一个自然的推论是: aj(G),j=1,3,4,5,...是拓扑不变量。 • 但: 注意a2(G)不是拓扑不变量。 一个公式 • a1(G)+2a2(G)+3a3(G)+...

一维拓扑学－图论
图的定义
• 有限个顶点和联结这些顶点的边组成的
图形，称为图（或网络）。
• 一个顶点可以有几个边与之相联，但一
个边只连结两个顶点。
• 一些例子：
如何区分不同胚的图
•
•
•
•
•
连通分支数，
边界点的个数，
顶点的个数,
边的个数,
顶点个数与边的个数之差.
是
是
否
否
是
计算机网络的拓扑类型
• 总线型
• 星型
• 环型
它们同胚吗?
关于图的几个问题：
（1）一个图能否用一笔画出（顶点可重复、
边不可重复）？
（2）一个图能否嵌入空间（无自交点）？
（3）一个图能否嵌入平面（无自交点）？
一笔画问题
• 它描述的图的一个性质，也是一个拓扑
不变量。
• 如何求这个不变量？
有关图的几个量
• 度：对于一个顶点，以其为端点的边的
个数
• 对于一个图G，记度数为1，2，3，…的
顶点的个数分别为a1(G)，a2(G)，
a3(G)，…
• 显然a1(G)是图G的边界分支数(端点数)。
度数与同胚
• 定理：如果f: X  Y是同胚，那么对于其
中的任意顶点x，它的度数与f(x)的度数
相同。
• 由此定理一个自然的推论是:
aj(G),j=1,3,4,5,...是拓扑不变量。
• 但: 注意a2(G)不是拓扑不变量。
一个公式
• a1(G)+2a2(G)+3a3(G)+... 是边的个数的2倍。
• 推论：有奇数度的顶点数和
a1(G)+a3(G)+a5(G)+... 是偶数。
一笔画的条件
• 定理：连通图G能一笔画出当且仅当
a1(G)+a3(G)+a5(G)+...是0或2
• 不是一笔画的例子
七桥问题
邮差问题
• 邮差如何有效地（尽量少重复）到各处
送信
– 這一類的問題最先是由華裔數學家管梅谷所提出，因此被稱
為“中國郵差問題”。
一个例子
A1
• 三个住户到三口井中取水，线路不相交
A1
A3
A2
要求：
(1)Aj到Bj
(2)A到所有的B
B3
B1
B2
直观的答案
• (1)能做到
• (2)做不到
相交数
• 两个图G与G‘正则相交，其交点是：仅二
重点、孤立的，不是任何一个图的端点。
• 交点的个数，称为相交数。
相交数 1
相交数 2
相交数和定理
• 定理：无公共顶点的两个圈，交点数是
一个偶数。
定理的应用
• 推论：不相邻道路的交点奇偶性不变
答案
• 三个住户到三口井中取水，不相邻道路
相交数之和是奇数(下图中为9)，从而必
有交点
可平面化问题
• 如何判定一个图能否嵌入平面（成为平
面的子集）
• 应用：印刷电路，手性
• 例子
Kuratowski定理
• 一个图不可嵌入平面当且仅当它含有
更早的定理
• 任何一个图都有可以嵌入三维欧氏空间:
• 证明大意: 安排好顶点