Transcript Vector Analysis วัตถุประสงค์  นิ สิตต้องทราบการกระทาการของ vector  ผลคูณของ vector  คุณสมบัติของ vector  ทราบถึงscalars และfield  ระบบ Coordinate.

Vector Analysis
วัตถุประสงค์
 นิ สิตต้องทราบการกระทาการของ vector
 ผลคูณของ vector
 คุณสมบัติของ vector
 ทราบถึงscalars และfield
 ระบบ Coordinate
 การแปลงจุดข้ามระบบcoordinate
 การกระทาการเวกเตอร์ ขา้ มระบบcoordinate
Cartesian ( x, y, z )
aˆ x , aˆ y , aˆ z
Cylindrical (  ,  , z )
aˆ  , aˆ , aˆ z
Spherical (r , ,  )
aˆr , aˆ , aˆ
1.1Scalar and Vector
คือ ปริ มาณที่มีแต่ค่าเพียงอย่างเดียว(บวกหรื อลบ)
 Vector คือ ปริ มาณที่มีทิศทาง
เวกเตอร์บอกตาแหน่ง Positioning Vector
เวกเตอร์ปริ มาณ Quality Vector
Field มี 2 ชนิดคือscalar fieldและvector field
คือช่วงบริ เวณที่มี ปริ มาณ scalarหรื อ vectorปริ มาณอยู่
 Scalar
1.2 Vector Algebra

การกระทาการของเวกเตอร์ อัน
ประกอบด้วย

Commutative law

Associative law

Distributive law
   
A B  B  A
     
( A  B)  C  A  (B  C)
 
   
(r  s)(A  B)  rA  rB  sA  sB
1.3 The Cartesian Coordinate System
Cartesian ( x, y, z )
aˆ x , aˆ y , aˆ z
P(1,2,3) and Q(2,2,1)
เป็ นจุดในระบบ Cartesian ดังนั้นเวกเตอร์ บอก
ตาแหน่งจากจุดศูนย์ไปจุดPคือ

rP  aˆ x  2aˆ y  3aˆ z
ดังนั้นเวกเตอร์บอกตาแหน่งจากจุดศูนย์ไปจุดQคือ

rQ  2aˆ x  2aˆ y  aˆ z
ดังนั้นเวกเตอร์บอกตาแหน่งจากจุดPไปจุดQคือ
 
rQ  rP  (2  1)aˆ x (2  2)aˆ y  (1  3)aˆ z

 R PQ  aˆ x  4aˆ y  2aˆ z
1.4 Vector Components and Unit
Vectors

สมมุติวา่ มีเวกเตอร์ดงั นี้ A  Ax aˆ x  Ay aˆ y  Az aˆ z


2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
B  Bx ax  By a y  Bz az B  Bx  By  Bz
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวB คือ


B
aˆ B    B
2
2
2
B
Bx  B y  B z
1.5 Vector Fields
คือ เวกเตอร์ที่เป็ นฟังก์ชนั โดยตรงของโดเมนที่เป็ นบริ เวณของจุด
ต่างๆใน Coordinate
ตัวอย่างคือ ความเร็ วของรถที่แล่นบนดินที่ลอ้ มรอบด้วยน้ า
1.6
Dot Product
 The

A  B  ( Ax Bx  Ay By  Az Bz )
   
A  B  A B cos AB
 
2
A A  A


B  aˆ  B cos Ba
การดอทของเวกเตอร์ใดๆกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ผลก็คือขนาด
ของเงานั้นที่ไปปรากฏอยูใ่ นแนวของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
การดอทของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใดๆกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ผลก็
คือค่าโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์น้ นั ทากัน
คาถาม มีผลของการดอทที่เป็ นศูนย์หรื อหรื อติดลบบ้างหรื อไม่
1.7 The Cross Product
เป็ นผลคูณของสองเวกเตอร์ที่ออกมาแล้วเป็ นเวกเตอร์
 
 
A  B  aˆ N A B sin  AB
aˆ x
 
A  B  Ax
Bx
aˆ y
aˆ z
Ay
Az
By
Bz
1.8 Cylindrical Coordinates
Cylindrical (  ,  , z )
aˆ  , aˆ , aˆ z
x   cos ; y   sin  ; z  z
2
2
1 y
  x  y ;   tan
;zz
x

A  A aˆ   A aˆ  Az aˆ z
aˆ x  aˆ  ? ; aˆ y  aˆ  ? ; aˆ x  aˆ  ? aˆ y  aˆ  ?
1.9 The Spherical Coordinate
x  r sin  cos ; y  r sin  sin  ; z  r cos
r  x2  y2  z 2 ;
  cos
z
-1
x2  y2  z 2
y
  tan
;
x
1

A  Ar aˆr  A aˆ  A aˆ
aˆ x  aˆr  ? ; aˆ y  aˆ  ? ; aˆ x  aˆ  ? aˆ y  aˆr  ?
 dot
aˆ x
aˆ 
aˆ
aˆ z
aˆ y
aˆ z
cos
sin 
0
 sin 
cos
0
0
1
0
 dot
aˆ x
aˆ y
aˆ z
aˆr
sin  cos
sin  sin 
cos 
aˆ
cos cos cos sin 
aˆ
 sin 
cos
 sin 
0
Ex aˆ x  (aˆr  aˆ )  ?
aˆ x  aˆr  aˆ x  aˆ  aˆ x  [(sin cos )aˆ x  (sin sin  )aˆ y  cosaˆ z ]
 aˆ x  [(cos cos )aˆ x  (cos sin  )aˆ y  sin aˆ z ]
 [0  (sin sin  )aˆ z  cosaˆ y ]  [0  (cos sin  )aˆ z  sin aˆ y ]
 (sin   cos )aˆ y  sin  (sin   cos )aˆ z
Ex (aˆ  aˆr )  aˆ y  ?
[aˆ  (sinaˆ  cosaˆ z )] aˆ y  (cos )aˆ  aˆ y
 (cos )(cos )
่
่
จงเปลี่ยน Vector field ต่อไปนี
ใ
ห้
ม
ี
ส
ว
นประกอบต่
า
งๆอยู
ใ
น
้

G  ( xz / y)aˆ x
ระบบ Spherical

G  Gx aˆ x  Gy aˆ y  Gz aˆ z 
Gr aˆr  G aˆ  G aˆ

xz
xz
Gr  G  aˆr  aˆ x  aˆ r  sin  cos
y
y
2
cos

(r sin  cos )(r cos )

sin  cos  r sin  cos
sin 
r sin  sin 

xz
xz
G  G  aˆ  aˆ x  aˆ  cos cos
y
y
2
cos

(r sin  cos )(r cos )
2

cos cos  r cos 
sin 
r sin  sin 

xz
xz
G  G  aˆ  aˆ x  aˆ  ( sin  )
y
y
(r sin  cos )(r cos )

( sin  )  r cos cos
r sin  sin 

G  r cos cos (sin cotaˆr  cos cotaˆ  aˆ )