Transcript หน่ วยที่ 3 : วิธีการพิสูจน์ (Methods of Proof) CHANON CHUNTRA วิธีการพิสูจน์ ทฤษฎีบทถือว่ าเป็ นส่ วนประกอบที่สาคัญอันหนึ่งใน โครงสร้ างทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีบทแต่ ละทฤษฎีบทนัน้ ได้ มาโดยอาศัยบทนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทที่มีมาก่ อน เมื่อเรายอมรับว่ าบทนิยามและสัจพจน์

หน่ วยที่ 3 : วิธีการพิสูจน์ (Methods of
Proof)
CHANON CHUNTRA
วิธีการพิสูจน์
ทฤษฎีบทถือว่ าเป็ นส่ วนประกอบที่สาคัญอันหนึ่งใน
โครงสร้ างทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีบทแต่ ละทฤษฎีบทนัน้
ได้ มาโดยอาศัยบทนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทที่มีมาก่ อน
เมื่อเรายอมรับว่ าบทนิยามและสัจพจน์ เป็ นจริงก็นาบท
นิยามและสัจพจน์ ดังกล่ าวมาอ้ างอิงเป็ นเหตุผลเพื่อ
สนับสนุนข้ อความใหม่ ว่าเป็ นจริง เราเรียกขบวนการนีว้ ่ า
การพิสูจน์ ข้อความใหม่ ให้ เป็ นทฤษฎีบท
การพิสูจน์ ข้อความ p ---> q
การพิสูจน์ ข้อความในแบบ p --> q สามารถทาได้ 3 วิธี
คือ
1) โดยวิธีตรง (Direct proof)
2) โดยวิธีการแย้ งสลับที่ (Contrapositive proof)
3) โดยวิธีขัดแย้ ง (Contradiction proof)
แบบที่ 1 : วิธีตรง (Direct proof)
ในการพิสูจน์ p --> q ทางตรงหรือการพิสูจน์ ว่า p --> q
มีค่าความจริงเป็ นจริง มีรูปแบบดังนี ้
พิสูจน์
,Sn)
สมมติว่า p
: (ใช้ p และ S1, S2, S3, …
เพราะฉะนัน้ q
นั่นคือ p --> q
แบบที่ 2 : วิธีการแย้ งสลับที่ (Contrapositive)
การพิสูจน์ ข้อความ p --> q โดยพิสูจน์ ข้อความ ~q --> ~p แทน
โดยมีรูปแบบดังนี ้
พิสูจน์
สมมติว่า ~q
: (ใช้ ~q, บทนิยาม, สัจพจน์ หรือทฤษฎีบท
ที่มีมาก่ อนแล้ ว)
เพราะฉะนัน้ ~p
นั่นคือ ~q --> ~p
ดังนัน้ p --> q
แบบที่ 3 : วิธีการหาข้ อขัดแย้ ง (Contradiction)
พิสูจน์ สมมติว่า p และ ~q เป็ นจริง
: (ใช้ p, ~q, บทนิยาม, สัจพจน์ หรือ
ทฤษฎีบทที่มีมาก่ อนแล้ ว)
เพราะฉะนัน้ เกิดข้ อความขัดแย้ ง (c)
นั่นคือ p ^ ~q --> c
ดังนัน้ p --> q เป็ นจริง
3.2
พิสูจน์
การพิสูจน์ โดยการหาข้ อขัดแย้ ง
(Proof by Contradiction)
สมมติว่า ~p เป็ นจริง
: (ใช้ ~p , บทนิยาม, สัจพจน์ หรือ
ทฤษฎีบทที่มีมาก่ อนแล้ ว)
เพราะฉะนัน้ q ^ ~q
นั่นคือ ~p --> q ^ ~q
ดังนัน้ p เป็ นจริง
การพิสูจน์ ข้อความในแบบ p <--> q
เนื่องจาก (p --> q) ^ (q --> p) = (p <--> q) ดังนัน้ วิธีหนึ่งที่
จะพิสูจน์ ข้อความ p <--> q โดยแยกการพิสูจน์ เป็ น 2 ตอน คือ
1) p --> q ขัน้ ตอนนีเ้ รียกว่ า “ if part ” หรือ “sufficient part ”
(p เป็ นเงื่อนไขที่พอเพียงสาหรับ q)
และ 2) q --> p ขัน้ ตอนนีเ้ รียกว่ า “ only if part ” หรือ
“ necessity part ” (pเป็ นเงื่อนไขที่จาเป็ นสาหรับ q)
การพิสูจน์ ข้อความในแบบ p <--> q
จะพิสูจน์ ข้อความ p <--> q เราต้ องแสดงว่ า p --> q
และ ~p --> ~q เป็ นจริง และอีกวิธีหนึ่งที่เรานิยมใช้ ใน
การพิสูจน์ ข้อความแบบ p <--> q ซึ่งเรียกว่ า Iff –
String คือ การสร้ างข้ อความที่สมมูลต่ อเนื่องกัน จาก p
ไป q
การพิสูจน์ ข้อความโดยการแจงกรณี
(Proof by Cases)
เนื่องจากข้ อความ (p v q --> r) = (p --> r) ^ (q --> r) กล่ าวคือ
ถ้ าเราจะพิสูจน์ ข้อความ (p v q) --> r เป็ นจริง ทาได้ โดยการ
พิสูจน์ ว่า p --> r และ q --> r เป็ นจริง เราจะเรียกการ
พิสูจน์ ในลักษณะนีว้ ่ า การพิสูจน์ แบบการแจงกรณี
การพิสูจน์ ว่าเป็ นเท็จโดยการยกตัวอย่ างค้ าน
(Disproof by Counter Example)
การพิสูจน์ มี x, ~p(x) เป็ นเท็จ อยู่ในรูปแบบ ดังต่ อไปนี ้
พิสูจน์ เลือก a ที่เหมาะสม โดยให้ a E U
:
เพราะฉะนัน้ ~p(a) เป็ นจริง
นั่นคือ มี x, ~p(x) เป็ นจริง
ดังนัน้ ทุก x, ~p(x) เป็ นเท็จ
การพิสูจน์ ว่ามี (อย่ างน้ อยหนึ่ง) และ มีเพียงหนึ่งเดียว
(Proof of Existence and Uniqueness)
การพิสูจน์ ว่ามี เป็ นการพิสูจน์ ว่า มีสมาชิกอย่ างน้ อย
1 สมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ U ที่สอดคล้ องกับลักษณะที่
กาหนดให้ กล่ าวคือ เป็ นการพิสูจน์ ว่า มี x ที่ว่า p(x) เป็ น
จริง โดยการหาสมาชิก 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ มาแทนตัว
แปร x แล้ วทาให้ p(x) เป็ นจริง
การพิสูจน์ ว่ามี (อย่ างน้ อยหนึ่ง) และ มีเพียงหนึ่งเดียว
(Proof of Existence and Uniqueness)
ถ้ าต้ องการพิสูจน์ ว่า มี x เพียงตัวเดียวที่ว่า p(x) เป็ นจริง
กล่ าวคือ ต้ องการพิสูจน์ ว่า มี x เพียงตัวเดียว (Unique) เท่ านัน้
ที่ทาให้ p(x) เป็ นจริง เราจะต้ องแสดง 2 ขัน้ ตอน คือ
1. พิสูจน์ ว่า มี x ที่ว่า p(x) เป็ นจริง (แสดงว่ า มี x อย่ างน้ อย
ที่สุดตัวหนึ่งซึ่งมีสมบัติ p(x))
2. พิสูจน์ ว่า ทุก x ทุก y [p(x) ^ p(y) --> x = y] (แสดงว่ ามี x
อย่ างมากที่สุดเพียงตัวเดียวซึ่งมีสมบัติ p(x))
การพิสูจน์ โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
(The Principle of Mathematical Induction)
ทฤษฎีบท 3.9.1 วิธีพสิ ูจน์ โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ วิธีท่ ี 1
(The first method of proof by mathematical induction)
สาหรับ n E N ให้ p(n) แทน ข้ อความที่เกี่ยวข้ องกับ n
ถ้ า (1) p(1) เป็ นจริง (ขัน้ ตอนฐานหลัก – basic step)
และ (2) สาหรับ k E N ถ้ า p(k) เป็ นจริง แล้ ว p(k + 1) เป็ น
จริงด้ วย (ขัน้ ตอนอุปนัย – induction step)
จะสรุ ปได้ ว่า p(n) เป็ นจริง สาหรับทุก ๆ จานวนนับ n
การพิสูจน์ โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
(The Principle of Mathematical Induction)
บทแทรก 3.9.2 สาหรับแต่ ละจานวนนับ n ให้ p(n) แทน
ข้ อความที่เกี่ยวข้ องกับ n และ m เป็ นจานวนนับที่กาหนดให้
ถ้ า (1) p(m) เป็ นจริง
และ (2) สาหรับทุก ๆ จานวนนับ k ซึ่ง k >= m
ถ้ า p(k) เป็ นจริง แล้ ว p(k + 1) เป็ นจริงด้ วย
จะสรุ ปได้ ว่า p(n) เป็ นจริง สาหรับทุก ๆ จานวนนับ n
ซึ่ง n >= m
การพิสูจน์ โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
(The Principle of Mathematical
Induction)
ทฤษฎีบท 3.9.3 วิธีพสิ ูจน์ โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ วิธีท่ ี 2
(The second method of proof by mathematical induction
หรือ Strong induction)
สาหรับแต่ ละจานวนนับ n ให้ p(n) แทน ข้ อความที่เกี่ยวข้ องกับ n
ถ้ า (1) p(1) เป็ นจริง
และ (2) สาหรับแต่ ละจานวนนับ m ถ้ า p(k) เป็ นจริง สาหรั บ
ทุก ๆ จานวนนับ k ซึ่ง k <= m แล้ ว p(m + 1) เป็ นจริง
จะสรุ ปได้ ว่า p(n) เป็ นจริง สาหรับทุก ๆ จานวนนับ n