Transcript 数值分析 （Numerical Analysis） 武汉大学数学与统计学院 信息与计算科学系 数值分析课程建设小组 教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社） 辅导教材 (Tutorial Text Book) 数值计算方法学习指导书 邹秀芬等 编著 （武汉大学出版社）

数值分析
（Numerical Analysis）
武汉大学数学与统计学院
信息与计算科学系
数值分析课程建设小组
教材 (Text Book)
数值计算方法 郑慧娆等 编著
（武汉大学出版社）
辅导教材 (Tutorial Text Book)
数值计算方法学习指导书 邹秀芬等 编著
（武汉大学出版社）
 参考书目 (Reference)
Numerical Analysis:Mathematics of Scientific
Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney
（机械工业出版社)
Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires
（高等教育出版社）
网络资源
1、武汉大学《数值分析》教学专题网站
http://jpkc.whu.edu.cn/jpkcsite/szfx
2、国外《数值分析》课程网站
http://math.fullerton.edu/mathews/numerical.html
基础知识和工具
微积分
线性代数
常微分方程
VC程序设计语言
Matlab数学软件
学时
理论教学：95学时（5学分)
实践教学：36学时 ( 2学分，由实验
教师单独给成绩,具体的方法见数值
分析实践教学大纲 ）
考试方法
1. 期终闭卷考试占70%;
2. 平时成绩占20％，包括作业和
课堂回答问题；
3. 创新成绩占10％，根据课堂内
容所进行的创新活动，如科技小论
文、心得体会、对课程改革的建议
等，以读书报告的形式提交两次.
Introduction
数值分析
能够做什么？
•
研究使用计算机求解各种科学与工程
计算问题的数值方法（近似方法），对
求得的解的精度进行评估，以及如何在
计算机上实现求解等。
数值分析课程中所讲述的各种数值方
法在科学与工程计算、信息科学、管理
科学、生命科学等交叉学科中有着广泛
的应用
应用问题举例
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，
实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，
实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，
实二十六斗。
问上、中、下禾实一秉各几何？
答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾
一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四
分斗之三。-------《九章算术》
3 x  2 y  z  39
2 x  3 y  z  34
x  2 y  3 z  26
 a11

 a21
 

a
 n1
a12  a1n   x1   b1 

a22  a2 n   x2   b2 
 





  
   

an 2  ann   xn   bn 
Axb
本课程第二章的内容：
线性方程组的数值方法！
2、天体力学中的Kepler方程
x   sin x  t  0,0    1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数
本课程第三章的内容：
非线性方程的数值解法
3、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
全球定位系统：
在地球的任何一
个位置，至少可
以同时收到4颗
以上卫星发射的
信号
8
S5
S6
( x, y, z, t ) 表示地球上
Height
6
一个接收点R的当前位
置，卫星Si的位置为
( xi , yi , zi , ti ) ，则得
到下列非线性方程组
S3
4
S4
2
S1
0
10
R
S2
6
5
4
2
N-S positions
0
0
图 7.8













8
( x  x1 )2  ( y  y1 )2  ( z  z1 )2  (t1 -t)  c  0
( x  x2 )2  ( y  y2 )2  ( z  z2 )2  (t 2 -t)  c  0
( x  x3 )2  ( y  y3 )2  ( z  z3 )2  (t 3 -t)  c  0
( x  x4 )2  ( y  y4 )2  ( z  z4 )2  (t 4 -t)  c  0
( x  x5 )2  ( y  y5 )2  ( z  z5 )2  (t 5 -t)  c  0
( x  x6 )2  ( y  y6 )2  ( z  z6 )2  (t 6 -t)  c  0
 f1 ( x1 , x2 , xn )  0
 f (x , x , x )  0
 2 1 2
n


 f n ( x1 , x2 , xn )  0
记为
其中
F ( x)  0
F:D R R ,
n
n
x  ( x1 , x2 ,
T
, xn )
本课程第三章的内容：
非线性方程组的数值方法
4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634
水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，
600米，1000米…）处的水温
本课程第四章的内容：插值法
5、用比较简单的函数代替复杂的函数
误差为最小，即距离为最小
（在不同的度量意义下）
本课程第五章的内容：函数逼近
6、人口预测
下面给出的是中国1900
年到2000年的人口数，
我们的目标是预测未
来的人口数（数据量
较大时）
1950
55196
1960
66207
1970
82992
y  1t 3  2t 2  3t  4
1980
98705
s  (t  1979) / 30
1990
114333
2000
126743
y  1s  2 s  3s  4
3
2
本课程第六章的内容：曲线拟合
7、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机
器将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从
中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸
为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的
长度L.
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的
曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L
48
0
1  ( f ( x)) dx  
'
2
48
0
1  (cos x) 2 dx
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通
方法来计算.
本课程第七章的内容：数值积分
8、生物化学反应的例子
A，B，C是三种蛋白质，其反应如下：
A 
B
a1
B  B 
C  B
a2
B  C 
 AC
a3
我们通过建模可以得到如下方程组
A： y1'  a1 y1  a3 y2 y3
B：
y1 (0)  1
y2'  a1 y1  a3 y2 y3  a2 y22
C： y 
'
3
本课程第八章的内容：
常微分方程的数值方法
2
2 2
a y
y2 (0)  0
y3 (0)  0
9、Google搜索引擎
G xx
T
xTe  1
G: Google Matrix,
“the world’s largest matrix computation”.
4,300,000,000
x: PageRank vector
“The $25,000,000,000 Eigenvector”
London, England: Millennium ('Wobbly') Bridge (1998-2002,
Norman Foster and Partners and Arup Associates)
… the natural modes and frequencies of a structure are the
solution of an eigenvalue problem that is quadratic when
damping effects are included in the model. (F. Tisseur, K.
Meerbergen, The quadratic Eigenvalue Problem, SiREV 43, 2000,
pp.235-286)
本课程第九章的内容：
矩阵特征值问题的数值方法
用计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型
选择数值方法
编写程序
上机计算结果
数值分析的特点
1、方法是近似的；
2、与计算机不能分离：上机实习
（掌握一门语言：C语言或Fortran语言，
会用一种数学软件：Matlab或Mathematica，
Maple）
在我们今后的讨论中，误差将不可回避，
上机实习是需要大家创造条件完成的
1.2 误差
/* Error */
§1 误差的背景介绍 /* Introduction */
1. 来源与分类 /* Source & Classification */
 从实际问题中抽象出数学模型
—— 模型误差 /* Modeling Error */
 通过测量得到模型中参数的值
—— 观测误差 /* Measurement Error */
 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 Truncation Error）
 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
 绝对误差 /* absolute error */
e  xx
*
*
其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
*
| e | 的上限记为 ε* , 称为绝对误差限 /* accuracy */，
*
*
x

x

ε
工程上常记为
例如：

1
0
e
 x2
dx  0.743 0.006
*
e
*
e
 相对误差 ( relative error ) r  *
x
*
ε
x 的相对误差上限 定义为 ε 
| x|
*
r
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x  0.a1a2 an 10 (其中 a1  0）
*
mn
若 | x  x | 0.5  10
（即 a n 的截取按四舍五入规
m n
x
10
则），则称 为有n 位有效数字，精确到
。
m
例：  3.1415926535
897932;  *  3.1415
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
证明： π*  0.31415  101 ,
and | π * π | 0.5  10 3  0.5  1014
 * 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。